专题03 空间向量的应用专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量应用的12大高频考点，以题载知，构建从基础向量概念到空间几何量计算的递进式训练体系，培养空间观念与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线/平面向量|8题|选择/填空|从方向向量、法向量概念切入，夯实空间向量工具基础| |平行垂直证明|8题|解答证明|运用向量共线/垂直判定，实现几何关系代数化| |空间角计算|8题|综合解答|涵盖异面直线、线面、面面角，强化向量夹角公式应用| |空间距离计算|8题|选择/解答|包含点面、线面、点线等距离，构建距离向量求解模型| |存在性问题|4题|探究解答|结合参数方程，培养逻辑推理与问题转化能力|

专题03 空间向量的应用高频考点精练 12大考点汇总 考点一　直线的方向向量的问题 考点二　平面的法向量的问题 考点三　空间中直线、平面的平行 考点四　空间中直线、平面的垂直 考点五　异面直线夹角的问题 考点六　线面角的问题 考点七　面面角的问题 考点八　点到平面距离的问题 考点九　线面、面面距离的问题 考点十　点到直线距离的问题 考点十一　异面直线距离的问题 考点十二　空间中的存在性问题 题型突破 考点一　直线的方向向量的问题 1．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知，若直线的一个方向向量为，则______. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）若在直线上，则直线的一个方向向量为．( ) 3．（25-26高一上·北京朝阳·期中）若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 考点二　平面的法向量的问题 5．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，为棱长是1的正方体，下列结论正确的是（　　）    A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 6．（25-26高二·全国·课后作业）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出： （1）直线BC的一个方向向量___________； （2）直线OD的一个方向向量___________； （3）平面BHD的一个法向量___________； （4）的重心坐标___________. 7．（25-26高二上·新疆巴州·期末）已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知空间三点，，，则下列结论正确的有（   ） A．存在唯一的实数x使 B．对任意实数，三点都不共线 C．当时，与夹角的余弦值是 D．当时，是平面的一个法向量 考点三　空间中直线、平面的平行 9．（25-26高二上·山东聊城·期中）空间中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C．或 D．与斜交 10．（25-26高二上·浙江·期中）（多选）正方体中，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·天津·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是___________． 12．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 考点四　空间中直线、平面的垂直 13．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 14．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 15．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在平行六面体中，，． (1)用表示，并求的长； (2)求证：平面． 16．（2026·北京石景山·一模）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（   ） A．B．C． D． 考点五　异面直线夹角的问题 17．（25-26高二上·江西萍乡·期末）如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，设，，.M为的中点. (1)用，，表示向量，并求线段的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 18．（2026高二·全国·专题练习）如图在多面体中，，，平面，，为线段上一点且，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)证明：直线与平面不平行． 19．（2026·全国·专题训练）四面体中，两两垂直，，的中点为与所成角的正切值为，求异面直线与所成角的余弦值． 20．（25-26高三上·广东惠州·阶段检测）如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 考点六　线面角的问题 21．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）如图，在三棱锥中，，均为等腰三角形，，，，，，分别为，的中点．    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 22．（26-27高三上·河北·开学考试）如图，已知菱形中，，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 23．（26-27高三上·浙江·开学考试）在三棱锥中，已知是等边三角形，平面平面，. (1)求证：； (2)若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值. 24．（25-26高一下·广东江门·期末）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为正方形，侧面为等腰三角形，为的中点，且，． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为． （ⅰ）求直线与直线所成角的正弦值； （ⅱ）若为直线上的动点，且满足，是否存在点使直线与平面所成的角为？若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 考点七　面面角的问题 25．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）在四棱锥中，平面，，，． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 26．（26-27高三上·北京海淀·开学考试）如图，在四棱锥中，，，，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)已知，，，求二面角的余弦值． 27．（26-27高三上·重庆·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是与的交点，，平面，是棱上一点，且平面． (1)证明：是棱的中点； (2)锐二面角的余弦值为，求线段的长度． 28．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. (1)若平面，求的值； (2)求与平面所成角的正弦的取值范围； (3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 考点八　点到平面距离的问题 29．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 30．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点． (1)证明：平面； (2)设，，．求到平面的距离． 31．（25-26高二下·广东湛江·期末）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形．    (1)若是的中点，求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若点到平面的距离为，求的长． 32．（2026·山东聊城·二模）如图，在三棱柱中，底面，且，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为_________.    考点九　线面、面面距离的问题 33．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 34．（26-27高三·全国·一轮复习）已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 35．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 36．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）（多选）已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．BE与所成角的正弦值是 B．点O到平面的距离是 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 考点十　点到直线距离的问题 37．（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·河南南阳·期末）在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（   ） A．3 B． C．8 D． 39．（25-26高二上·云南楚雄·期末）是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是__________. 40．（2026高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，． (1)证明：； (2)若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离． 考点十一　异面直线距离的问题 41．（2026高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 42．（25-26高二上·宁夏固原·期末）（多选）如图，在长方体中，为的中点，分别是直线上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为4 B． C．直线所成角的余弦值为 D．的最小值为 43．（25-26高二上·辽宁大连·期末）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 44．（25-26高二上·广东广州·期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与的距离为（    ） A．1 B． C． D． 考点十二　空间中的存在性问题 45．（26-27高三·全国·一轮复习）在四棱锥中，底面为正方形，平面，，N为的中点，在棱上（包括端点）存在点M，使，则____. 46．（26-27高三上·北京·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，满足？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 47．（25-26高一下·湖北咸宁·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 48．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量的应用高频考点精练 12大考点汇总 考点一　直线的方向向量的问题 考点二　平面的法向量的问题 考点三　空间中直线、平面的平行 考点四　空间中直线、平面的垂直 考点五　异面直线夹角的问题 考点六　线面角的问题 考点七　面面角的问题 考点八　点到平面距离的问题 考点九　线面、面面距离的问题 考点十　点到直线距离的问题 考点十一　异面直线距离的问题 考点十二　空间中的存在性问题 题型突破 考点一　直线的方向向量的问题 1．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知，若直线的一个方向向量为，则______. 【答案】 【分析】根据题意，由直线方向向量的定义，设,2,，即,,,2,,,，由此分析可得答案． 【详解】根据题意，,,，若直线的一个方向向量为,2,， 则设,2,，即,,,2,,,， 则，解得. 故答案为：． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）若在直线上，则直线的一个方向向量为．( ) 【答案】正确 【分析】求出直线的一个方向向量，并判断与其是否共线即可. 【详解】在直线上 的一个方向向量为 的共线向量也为的方向向量. 故答案为：正确. 3．（25-26高一上·北京朝阳·期中）若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由方向向量的概念求解， 【详解】由，l的方向向量与平行，只有选项A满足题意， 故选：A 4．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案． 【详解】∵ 在直线上， ∴ 直线的一个方向向量， 又∵， ∴是直线的一个方向向量． 故选：D． 考点二　平面的法向量的问题 5．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，为棱长是1的正方体，下列结论正确的是（　　）    A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】求出点的坐标，即可求出直线的方向向量与平面的法向量. 【详解】依题意，，，，，，， 所以，所以直线的一个方向向量为，故A正确； ，所以直线的一个方向向量为，故B正确； ，又平面，所以平面的一个法向量为，故C正确； 又，，因为，所以， 所以向量不是平面的法向量，故D错误； 故选：ABC 6．（25-26高二·全国·课后作业）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出： （1）直线BC的一个方向向量___________； （2）直线OD的一个方向向量___________； （3）平面BHD的一个法向量___________； （4）的重心坐标___________. 【答案】 【分析】先求出正四面体中各边的长度，得到各个点的坐标. 对于（1）（2）：直接求出方向向量； 对于（3）：根据法向量的定义列方程组，即可求得； 对于（4）：利用重心坐标公式直接求得. 【详解】由题意可得：,,.. 由图示，可得：，，，，，， （1）直线BC的一个方向向量为， （2）直线OD的一个方向向量为； （3）,.设为平面BHD的一个法向量， 则，不妨设，则. 故平面BHD的一个法向量为. （4）因为，，，， 所以的重心坐标为. 故答案为：（1）；（2）；（3）（4）. 7．（25-26高二上·新疆巴州·期末）已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的性质可得，即可根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 8．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知空间三点，，，则下列结论正确的有（   ） A．存在唯一的实数x使 B．对任意实数，三点都不共线 C．当时，与夹角的余弦值是 D．当时，是平面的一个法向量 【答案】BD 【分析】由向量垂直的坐标表示可得A错误；由向量共线的基本定理可得B正确；由向量夹角的余弦值计算可得C错误；由法向量的性质可得D正确； 【详解】对于A，， 若，则，解得或1，故A错误； 对于B，设三点共线，则，即， 即，无解，故对任意实数，三点都不共线，故B正确； 对于C，当时，， 所以，故C错误； 对于D，当时，， 若是平面的一个法向量， 则，即， 所以当时，是平面的一个法向量，故D正确； 故选：BD. 考点三　空间中直线、平面的平行 9．（25-26高二上·山东聊城·期中）空间中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C．或 D．与斜交 【答案】C 【分析】根据向量与的数量积为零，判断，再根据线面平行的判定定理可得，或者. 【详解】根据和得：； 因为，可得，所以； 为平面的法向量，所以或者. 故选：C. 10．（25-26高二上·浙江·期中）（多选）正方体中，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】建立适当空间直角坐标系后，表示出对应向量并逐项计算即可得. 【详解】    如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，顶点坐标如下：   ，；   A选项，，A错误； B选项，，，平行，B正确； C选项， ，C正确； D选项， ，D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高二上·天津·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是___________． 【答案】平行 【分析】根据两平面的法向量为共线向量，即可判断两平面的位置关系. 【详解】由题意, 因，即平面和平面的法向量是共线向量，故两平面互相平行. 故答案为：平行. 12．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 【答案】(1)；； (2)（答案不唯一） (3) 由（1）可知，，所以， 由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以，因为平面， 所以直线平面. 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出坐标即可. （2）根据法向量与平面垂直进行求解即可. （3）根据平面法向量与直线的方向向量的关系进行证明即可. 【详解】（1）根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. （2）因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以，得， 令，所以，所以平面的一个法向量为. （3）略 考点四　空间中直线、平面的垂直 13．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 【答案】C 【详解】如图建立空间直角坐标系：以为原点，分别以为轴， 根据已知边长，，，写出各点坐标： ，是中点，得； 是中点，得, 求向量： , 计算向量的数量积可得：， 由数量积为0可判断两向量垂直，即与垂直. 14．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律证明即可； （2）首先利用线面垂直的性质定理证明，若 平面 ，只需满足 ，然后利用空间向量数量积的运算律即可证明. 【详解】（1）设，，， 因为底面 是菱形， 所以，且， . 由题知 ，且 ，因此 ， 即，故. （2）当时， 平面 ，证明如下： 设 ，，则 ，， ， ， 因为底面是菱形，所以， 又因为，平面，，所以平面， 因为平面，所以 . 若 平面 ，需满足 ， ，，令 ，即 ， 展开整理： ，代入 ，得 ： ， 由于 ，，因此 ，即 . 此时 且 ，，平面 ， 故 平面 . 15．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在平行六面体中，，． (1)用表示，并求的长； (2)求证：平面． 【答案】(1)， (2) ，，， 所以 ， 所以，所以. ， 所以，所以. 又，，平面， 所以平面. 【分析】（1）根据向量的加法可得，结合向量的数量积及向量的模的计算公式计算即可. （2）结合向量的数量积得到，，可得，，再利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）平行六面体中，，. . ， 所以. （2）略 16．（2026·北京石景山·一模）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量法可解. 【详解】 不妨以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 对于A，则， ， 则，所以不垂直，故A错误； 对于B，则， ，则，所以不垂直；故B错误； 对于C，则， ，则，所以垂直，故C正确； 对于D，则， ，则，所以不垂直，故D错误. 考点五　异面直线夹角的问题 17．（25-26高二上·江西萍乡·期末）如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，设，，.M为的中点. (1)用，，表示向量，并求线段的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据空间向量基本定理，利用基向量，，表示向量，再利用向量的数量积求向量的模. （2）利用空间向量的数量积求异面直线所成的角. 【详解】（1）由题知，， 因为，， 所以， 所以，即线段的长为. （2），，故， 则， 则， 故异面直线与所成角的余弦值为. 18．（2026高二·全国·专题练习）如图在多面体中，，，平面，，为线段上一点且，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)证明：直线与平面不平行． 【答案】(1) (2) 证明：设平面的一个法向量为， 因为，所以， 所以，所以， 令，则， 因为不是，所以直线与平面不平行． 【分析】（1）建立空间直角坐标系计算异面直线所成角的余弦值； （2）先求平面的法向量，再应用得出直线与平面不平行. 【详解】（1）因为，平面，， 所以以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 则， 设异面直线与所成角为， 则； （2）略 19．（2026·全国·专题训练）四面体中，两两垂直，，的中点为与所成角的正切值为，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】． 【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，根据所成角的正切值求得，再求所成角的余弦值即可. 【详解】根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，为坐标原点，设，    则，故， 设与所成的角为，则，∴， 于是，解得，故； 设与所成的角为，∵， ∴，∴与所成角的余弦值为． 20．（25-26高三上·广东惠州·阶段检测）如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 设是的中点，是的中点，如下图，连接，则， 则，， 由于，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面； (2)存在，，理由如下： 由（1）以及已知条件可知两两相互垂直， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为， 设，则， ， ， 整理可得：，解得：， 存在满足题意的点，此时. 【分析】（1）利用计算证明，结合面面垂直的判定定理来证得平面平面. （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，由线线角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【详解】（1）略 （2）略 考点六　线面角的问题 21．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）如图，在三棱锥中，，均为等腰三角形，，，，，，分别为，的中点．    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：设中点为，连接，， 因为，均为等腰三角形，则，， 所以，，， 故，所以， 又且，平面，则平面， 又平面， 所以平面平面 (2) 【分析】（1）设中点为，连接，，利用等腰三角形的性质得，再根据勾股定理得，进而利用线面垂直的判定定理得平面，从而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用线面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， 为中点，即，为中点，即， ，，． 设平面的一个法向量， 则， 取，则，，故， 设直线与平面所成角为， 则． 22．（26-27高三上·河北·开学考试）如图，已知菱形中，，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：在菱形中，，， 所以，均为等边三角形． 因为，为的中点， 所以． 因为，， 所以，所以． 如图，连接，则． 又因为，， 所以， 所以，所以． 又因为， 所以，所以． 又，且，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）连接，由几何关系证明和，结合线面垂直的判定可得； （2）解法一：设点到平面的距离为，利用等体积法可求；解法二：利用空间向量法可得. 【详解】（1）略 （2）解法一：设点到平面的距离为， 因为菱形的边长为， 所以， 所以， ． 由（1）知平面，， 所以，所以． 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 解法二：由（1）知，，，两两相互垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则即，可取． 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 23．（26-27高三上·浙江·开学考试）在三棱锥中，已知是等边三角形，平面平面，. (1)求证：； (2)若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值. 【答案】(1)取中点，连接. 因为是等边三角形，所以. 又平面平面，平面平面，所以平面. 因为平面，所以. 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以. (2)或. 【分析】（1）根据面面垂直的性质、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质证明即可. （2）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）在等边中，，则. 由（1）知，平面，因为平面，所以. 在中，，则. 在中，，所以. 如图，以为坐标原点，为轴，轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，.，. 设，则，， 所以，即 设为平面的一个法向量， 因为，， 由，得，取，得. 记直线与平面所成角为，则， 所以， 整理得，解得或. 24．（25-26高一下·广东江门·期末）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为正方形，侧面为等腰三角形，为的中点，且，． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为． （ⅰ）求直线与直线所成角的正弦值； （ⅱ）若为直线上的动点，且满足，是否存在点使直线与平面所成的角为？若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)在四棱锥中，由正方形，得， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，而平面，则，由为的中点，， 得，又平面，所以平面. (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，. 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质及判定推理得证. （2）（ⅰ）利用线面平行的判定、性质，结合线线角的意义确定所求角，再利用余弦定理求解；（ⅱ）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式求解. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）由，平面，平面，得平面， 又平面与平面的交线为，平面，则， 则直线与直线所成的角是或其补角， 在平面内过点作交的延长线于点，连接， 由平面平面，平面平面，得平面， 而平面，则，而，， 则， 在中，由余弦定理得，， 所以直线与直线所成角的正弦值. （ⅱ）作，由（ⅰ）得平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，设平面的法向量， 则，令，得，而， 由直线与平面所成的角为，得，解得， 所以存在点使直线与平面所成的角为，此时. 考点七　面面角的问题 25．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）在四棱锥中，平面，，，． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)记的中点为，连，， 由、分别为、的中点，所以且， 又且，所以且，     所以四边形为平行四边形，所以，     又平面，且平面，所以平面． (2) 【分析】（1）先根据平行四边形的判定和性质得到，再根据线面平行的判定即可证明； （2）先建立空间直角坐标系，再利用面面角的向量求法求解即可． 【详解】（1）略 （2）由平面，，则、、两两垂直， 则以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 又， 则、、、， 所以，， 设面的法向量为， 由，取，则，，则， 易知平面的一个法向量为， 记平面与平面所成锐二面角为，则， 因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 26．（26-27高三上·北京海淀·开学考试）如图，在四棱锥中，，，，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)已知，，，求二面角的余弦值． 【答案】(1)取的中点，连接，． 因为是的中点，所以，． 又因为，，所以且． 所以四边形为平行四边形．所以．     又因为平面，平面， 所以平面．     (2) 【分析】（1）构造平行四边形，利用线线平行推证线面平行；（2）借助面面垂直性质建立空间直角坐标系，求出各点坐标，分别求出两个半平面的法向量，计算法向量夹角余弦，结合图形判断二面角实际为钝角，得到最终余弦值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接．因为，所以． 又因为侧面底面，且平面平面，平面， 所以平面．  如图，在平面中，作，则，，，建立空间直角坐标系． 连接，在中，因为，，所以． 在中，因为，，所以．   所以，，，，，． 所以，． 设平面的法向量是，则，即，     令，则，．于是． 因为平面，所以是平面的一个法向量．   所以． 由题意和图形可知，二面角为钝角，所以其余弦值为． 27．（26-27高三上·重庆·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是与的交点，，平面，是棱上一点，且平面． (1)证明：是棱的中点； (2)锐二面角的余弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)证明：如图，连接MO， 在平行四边形ABCD中，因为O为AC与BD的交点，所以O为BD的中点， 平面MAC，平面PBD，平面平面， 所以． 所以,则， 所以是棱的中点． (2) 【分析】（1）由线面平行的性质定理可得，得到，进而可得结论； （2）法一（几何法）过O作AD的垂线，垂足为E，连接PE，可证为二面角的平面角，求解即可；法二（坐标法）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量表示二面角的余弦值，列式求解即可. 【详解】（1）略 （2）法一（几何法）：如图，过O作AD的垂线，垂足为E，连接PE， 因为平面ABCD，所以平面ABCD，所以． 又，又OE，平面OPE，所以平面OPE． 又平面OPE，所以， 所以为二面角的平面角． 因为四边形ABCD是菱形，，， 所以是等边三角形，所以，， 所以，所以． 在中，． 法二（坐标法）：设， 以为轴，以为轴，以为轴，如图建系． ，，，， ，． 设平面ADP的法向量为， 由， 令得一个法向量． 取平面ADC的一个法向量为， 则， 则． 28．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. (1)若平面，求的值； (2)求与平面所成角的正弦的取值范围； (3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为平面，平面，所以，如图建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，令其与垂直，即可求得的值； （2）根据线面角的向量求法，将与平面所成角的正弦表示成的函数，从而求得其取值范围； （3）根据平面与平面夹角的向量求法，列出相应的方程，求解可得的值. 【详解】（1）在平面中，过作的垂线，则平面， 因为平面，所以. 因为平面，，平面，所以，， 所以为二面角的平面角，所以. 以为坐标原点，分别以所在直线，及直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，，， 设平面的一个法向量，则， 即. 令，得，，所以. 由，得， 由，得， 所以， 因为平面，所以， 所以， 解得. （2）因为，所以， 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，， 所以. 设与平面所成的角为，则 . 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立. 所以，即与平面所成角的正弦值的取值范围为. （3）由（1）知，所以. 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，，所以， 由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 即， 解得. 考点八　点到平面距离的问题 29．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量，进而根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 则点到平面的距离. 30．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点． (1)证明：平面； (2)设，，．求到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接，因为四边形为矩形， 所以点为的中点，又点为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； (2) 【分析】（1）借助线面平行判定定理即可得证； （2）法一：可建立适当空间直角坐标系，求出及平面的法向量后，利用空间中点到平面距离公式计算即可得；法二：借助等体积法，利用计算即可得. 【详解】（1）略 （2）法一：由题意，可以点为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，可取， 由（1）知平面， 到平面的距离为到平面的距离， 又，则在法向量上的投影长度为， 故到平面的距离为. 法二：由（1）知平面， 到平面的距离为到平面的距离， 在中，，， 由平面，平面，故， 由底面为矩形，则，又，、平面， 故平面，又平面，故， 则， ∴，则， 故， 由，， 设到平面的距离为， ∴，解得， 故 PB 到平面 AEC 的距离为． 31．（25-26高二下·广东湛江·期末）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形．    (1)若是的中点，求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若点到平面的距离为，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点，连接.    因为四边形为矩形，所以点为中点. 在中，是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，可得，再利用线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量即可求二面角的余弦值. （3）设，利用点到面的向量公式即可求的值，进而可求的长. 【详解】（1）略 （2）平面， 以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，，所以. 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，，所以. 所以. 由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. （3）设 因为，所以. 点到平面的距离为，解得. 所以.则. 所以的长为 32．（2026·山东聊城·二模）如图，在三棱柱中，底面，且，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为_________.    【答案】 【分析】将三棱锥补成直三棱柱，由题设易得三棱锥的外接球的半径为，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离为，进而求解即可. 【详解】如图所示，将三棱锥补成直三棱柱， 分别取的中点，连接，取的中点，连接， 由底面，， 则分别为的外心，，， 由题意知，三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，为球心， 则外接球的半径为. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    易知，，， 则. 设平面的一个法向量为， 则，令，得，又， 所以点到平面的距离为， 则平面截三棱锥的外接球的截面圆的半径， 所以截面圆的面积为. 考点九　线面、面面距离的问题 33．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 34．（26-27高三·全国·一轮复习）已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量公式求解即可； （2）求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量公式求解即可； （3）利用直线到平面距离的向量公式求解即可； （4）求出平面、平面的一个法向量，可得平面平面，转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离向量求法即可求解. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，    则、、、，、、 、、， 所以，， 设是与，都垂直的向量， 则，即，即，令得， 选与的两点向量为， 得与的距离. （2），设为平面的法向量，则， 即，即，令得， 选点到平面两点向量为， 由公式得：点到平面的距离. （3）由（2）可知：平面的法向量可设， 设与平面的两点向量为， 故直线到平面的距离. （4），， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为， 故平面与平面的距离为. 35．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】空间向量法求两点间距离判断A，求点到直线距离判断B，应用点到平面距离判断C，求面面距离判断D选项. 【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 36．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）（多选）已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．BE与所成角的正弦值是 B．点O到平面的距离是 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 【答案】ACD 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量法直接求解即可；对于B，利用空间向量点到面的距离公式进行求解；对于C，两平行平面间的距离转化为点到平面的距离的空间向量法进行求解；对于D，利用空间向量法点到线的距离公式求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，所以，． 对于A，设BE与所成角，则，，故A正确； 对于B，易知，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面. 所以平面的一个法向量，则点O到平面的距离，故B错误； 对于C，，，． 设平面的法向量为，则，所以，令， 所以，所以点到平面的距离． 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，，平面，所以平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，即为，故C正确； 对于D，因为，所以，， 则，所以点P到AB的距离，故D正确． 故选：ACD.    考点十　点到直线距离的问题 37．（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用距离公式求解即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则，，， 所以点到直线的距离为 故选：D 38．（25-26高二上·河南南阳·期末）在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（   ） A．3 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，根据正三棱锥的性质得到平面、，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图，取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，交AB于点，交BC于点，连接BD. 因为三棱锥是正三棱锥， 所以平面，又为等边三角形，所以，所以， 则HB，HF，HP两两垂直， 故以为坐标原点，HB，HF，HP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为是边长为的等边三角形，所以，． 因为，所以， 所以，，，，所以， 所以，， 则，， ， 所以点到直线BC的距离． 故选：D    39．（25-26高二上·云南楚雄·期末）是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是__________. 【答案】 【分析】先求向量及的模长，再利用空间点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为， ， ， ， 所以点到直线的距离是. 故答案为：. 40．（2026高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，． (1)证明：； (2)若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离． 【答案】(1)在中，， 由余弦定理可得：， 则 ，所以有，则 由平面平面，平面 平面， 且， 平面，则 平面 ， 又 平面 ，则. (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质，可得 平面 ，据此可得线线垂直； （2）建立如图所示空间直角坐标，根据异面直线所成的角求出点的坐标，再由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）取 中点分别为，连接 由为正三角形知， ， 结合（1）中 平面 ，由，可知平面 ，则两两垂直， 如图所示，以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 可得 设，则，且， 可得 由，解得或（舍去）， 则，且 故点到直线的距离 考点十一　异面直线距离的问题 41．（2026高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可建立空间直角坐标系，将异面直线所成角转化为对应方向向量夹角的余弦值（取绝对值）求解. （2）可利用向量法，求出两异面直线的公垂线方向向量，再取两直线上任意两点连线在公垂线方向上的投影长度即为异面直线距离. 【详解】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，. 记直线与所成的角为，则. （2）记为与公垂线段的方向向量， 则 即可取， 而， 记直线与间的距离为，则. 42．（25-26高二上·宁夏固原·期末）（多选）如图，在长方体中，为的中点，分别是直线上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为4 B． C．直线所成角的余弦值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】以为底面可得三棱锥的体积为4，可判断A正确；由体对角线长度计算可得，可得B正确；建立空间直角坐标系由空间向量可得直线所成角的余弦值为，即C错误；利用向量垂直可得当与，都垂直时，取得最小值，求出的坐标可知D正确. 【详解】对于A，由等体积法可得三棱锥的体积为，可知A正确； 对于B，利用长方体性质可得，即B正确； 对于C，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如下图所示： 易知，则； 则 所以直线所成角的余弦值为，即C错误； 对于D，易知，则，， 设，即， 设，则 当与，都垂直时，取得最小值； 即，解得； 可，此时的最小值为，即D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：在求解异面直线上两点距离最小问题时，可利用公垂线性质求得当两点连线为异面直线的公垂线时距离最短，即可求得结果. 43．（25-26高二上·辽宁大连·期末）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 【答案】(1) 三棱台中，，则， 有，得，所以， 又，所以在平面内，，有， 平面平面，所以平面． (2) 【分析】（1）由题意和三棱台的结构特征可得，进而证得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据面面垂直的性质和线面垂直的判定定理与性质证得、，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线距，即可求解. 【详解】（1）略 （2）已知平面平面ABC，平面平面，， 平面，所以平面，由平面，得， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，由平面ABC，得. 以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系． 则有， ， 因为，所以， 设向量，且满足：， 则有，令， 在的投影数量为， 异面直线与DE的距离.    44．（25-26高二上·广东广州·期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】在直线上任意一点，作，设，，根据得出和的关系，再由模长公式得出与的关系，再求最值即可. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为，可知此时到直线距离最短， 设，， ， ，因为，所以， 即，所以，即， 所以， 所以， 所以当时，取得最小值，所以直线与的距离为. 故选：D 考点十二　空间中的存在性问题 45．（26-27高三·全国·一轮复习）在四棱锥中，底面为正方形，平面，，N为的中点，在棱上（包括端点）存在点M，使，则____. 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，根据向量垂直的数量积公式计算即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， ，则， ， 设，则，， ， ，，， . 46．（26-27高三上·北京·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，满足？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 【答案】(1)取的中点，连接.因为点为棱的中点， 所以，且，又因为，， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. (2) (3)在棱上存在点，满足，此时 【分析】（1）取的中点，构造平行四边形，从而得到，最后利用线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再利用向量法求出直线的方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值， 即为线面角的正弦值； （3）设比例参数，写出，利用垂直向量数量积为0建立方程求出，且在范围内，说明该点存在. 【详解】（1）略 （2）依题意，以点为坐标原点，分别以所在方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为点为棱的中点，得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 不妨设，可得， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）假设在棱上存在点，满足， 设，则， 因为， 故， 由，得，解得，满足， 所以在棱上存在点，满足，此时. 47．（25-26高一下·湖北咸宁·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)设，连接， 四边形为平行四边形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. (2) (3)存在点， 【分析】（1）根据三角形中位线可得，由线面平行的判定定理可得结论； （2）方法一：设为中点，根据线面垂直的判定可证得平面，进而得到，作，根据线面垂直性质和二面角平面角定义可知所求角为，根据长度关系可求得结果； 方法二：以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果； （3）方法一：设在面上射影为，根据线面角定义可知为与平面所成角，由长度关系可求得的长； 方法二：假设，由线面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【详解】（1）略. （2）方法一：平面，平面，平面平面，； ，，平面,平面； 设为中点，则，平面， 平面，； 过作，，平面，平面， 连接，则，为二面角的平面角． ∽，，即，， 在中，，，， ，即二面角的余弦值为. 方法二：以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，，，； 设平面的法向量，则， 令，解得：，，； 轴平面，平面的一个法向量， ， 又二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. （3）方法一：线段上存在点，当，与平面所成角的正切值大小为，理由如下： 设在面上射影为，则为与平面所成角. ，， ，，， ， ，； ，， 若与平面所成角的正切值大小为，即， 则， 在中，由余弦定理知：， 解得：. 方法二： 假设存在点满足题意， 设， ， 设平面的一个法向量，则， 令，解得：，，， 记直线与平面所成角为，则，， 即， 整理可得：，解得：（舍）或，. 48．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 为的中点， 侧面底面. 侧面底面平面， 平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）已知侧面底面，应用面面垂直性质定理证明线面垂直； （2）建立空间向量求出平面PAD的法向量和平面的法向量，再应用二面角余弦公式计算求解； （3）设点，再应用点到平面距离公式计算求参即可. 【详解】（1）略 （2）∵底面为直角梯形， 其中， ，又平面， ∴以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立 如图所示的空间直角坐标系. 则， ， 设平面PAD的法向量. 设平面的法向量， 则，取，得. 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）设线段上存在， 使得它到平面的距离为， 到平面的距离， 解得或（舍去）， 则，则 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $