专题02 空间向量及其运算的坐标表示专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题02 空间向量及其运算的坐标表示高频考点精练 8大考点汇总 考点一　空间向量的坐标运算 考点二　空间向量与点坐标的表示 考点三　空间中点的对称问题 考点四　空间向量投影的问题 考点五　空间向量模长的问题 考点六　空间向量平行的坐标表示 考点七　空间向量垂直的坐标表示 考点八　空间向量夹角的问题 题型突破 考点一　空间向量的坐标运算 1．（25-26高二上·北京·期中）三角形中，，，，则边上的中线向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中点坐标公式求得中点坐标，再由终点坐标减去起点坐标得到向量坐标. 【详解】中点，则. 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏南通·期中）若空间向量，则下列向量能与构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及空间基底的意义判断即得. 【详解】对于A，，向量共面，A不是； 对于B，，向量共面，B不是； 对于C，，向量共面，C不是； 对于D，假设，则，于是，方程组无解， 即向量不共面，能构成空间的一个基底，D是. 故选：D 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C. 4．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知，，且，则实数x的值是 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用空间向量的数量积坐标运算即可. 【详解】由，，且， 则， 故选：C 考点二　空间向量与点坐标的表示 5．（25-26高二上·北京延庆·期中）若是平行四边形，且、、，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，根据题意得出，结合空间向量的坐标运算可求得点的坐标. 【详解】设点，因为四边形为平行四边形，故， 即，即，解得，即点. 故选：A. 6．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）已知点，若，则点的坐标是_____ 【答案】 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】设， 则， 所以，解得， 所以点的坐标是， 故答案为： 7．（25-26高二上·湖南·期中）已知、、，若，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】设点坐标为，则， 因为、，所以，， 所以，，，，则点的坐标为． 故选：A． 8．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知A，B，C三点的坐标分别是，，，点，则点P的坐标是__________. 【答案】 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】，设， 所以，解得. 故答案为：. 考点三　空间中点的对称问题 9．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若空间中两点关于平面对称，则它们的坐标相同，坐标互为相反数， 综上点的对称点坐标为. 10．（25-26高一下·河北承德·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 11．（25-26高一下·吉林长春·期末）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点，，所以线段的中点， 点关于平面对称的点的坐标为. 12．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 【答案】 【详解】因为空间点关于坐标平面对称时，坐标取反，坐标不变， 所以关于坐标平面的对称点为， 因为空间点关于轴对称时，坐标不变，坐标都取反， 所以关于轴的对称点为， 所以． 考点四　空间向量投影的问题 13．（25-26高二上·贵州毕节·期末）若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义计算. 【详解】由空间向量，，则向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 14．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）若，，，则在上的投影向量的模为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，结合空间向量的坐标运算求投影向量的模. 【详解】因为，，，则， 所以在上的投影向量的模为. 故选：A. 15．（25-26高一下·江西新余·期末）已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影向量为______. 【答案】/ 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以在方向上的投影向量为． 故答案为：． 16．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为_________. 【答案】 【分析】先求出的坐标，利用向量夹角的余弦公式求出其夹角即可. 【详解】由题意有：向量在面上的投影向量为， 向量在向量上的投影向量为， 所以， 所以与的夹角为. 故答案为：. 考点五　空间向量模长的问题 17．（25-26高二上·山东济南·期中）已知空间向量，则（    ） A．15 B． C．17 D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的坐标运算和几何意义即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：D 18．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知．若点共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共线得到方程，求出，再求出，得到模长. 【详解】因为点共线，所以与共线， 所以，解得，， 故，， . 故选：B. 19．（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】由题意知， 所以. 故选：B 20．（25-26高二上·安徽·期中）已知空间直角坐标系中的三点，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】应用模长公式计算求解得出等边三角形． 【详解】由题可得， 经计算，，所以是等边三角形． 故选：D. 考点六　空间向量平行的坐标表示 21．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知，若，则______. 【答案】 【详解】由题设，则，可得，可得. 22．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 23．（25-26高二上·天津·阶段检测）设，向量，且，则___________. 【答案】 【分析】根据题意，利用向量垂直和共线的坐标表示，列出方程，求得的值，得到的坐标，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得，所以， 又因为，可得，解得，所以， 所以，则. 故答案为：. 24．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知，则___________，___________． 【答案】 / / 【分析】应用向量的共线定理，结合其坐标列方程求参数值即可. 【详解】由题设，则， 所以，可得. 故答案为：， 考点七　空间向量垂直的坐标表示 25．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知空间向量，，若，则实数的值为_________． 【答案】/ 【详解】因为，所以，解得. 26．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 27．（25-26高二上·陕西安康·期末）（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．与平行 C． D． 【答案】AC 【分析】由空间向量线性运算，垂直，平行，数量积坐标表示可判断各选项正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，若，则存在实数，使，则，方程无解，从而与不平行，故B错误； 对于C，,，则，又,均不是零向量，则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC 28．（25-26高二上·广东·期末）设空间向量，，若，则的值为_____________． 【答案】8 【分析】由向量的坐标运算求得，然后通过向量垂直数量积为零建立方程，解得的值. 【详解】，， 所以， ∵， ∴，即，∴. 故答案为：8. 考点八　空间向量夹角的问题 29．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，，，则与所成角的大小为______． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角的公式即可得解. 【详解】由题意知，，， 设与所成角为， 则， 因为，所以， 所以与所成角的大小为. 故答案为：. 30．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为是单位向量，所以有， 因为与的夹角等于， 所以， 所以有， ， 故答案为： 31．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. （2）由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 32．（25-26高二上·山东临沂·期中）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．若，则 B．向量是的一个单位向量 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】D 【分析】利用空间向量的模的坐标运算来判断A，空间单位向量的坐标运算来判断B，利用空间向量夹角为钝角的充要条件来判断C，利用投影向量计算来判断D. 【详解】由，，可得，故A错误； 由的单位向量是，故B错误； 由为钝角，则， 又当， 所以为钝角，则且，故C错误； 由在上的投影向量为，故D正确； 故选：D. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量及其运算的坐标表示高频考点精练 8大考点汇总 考点一　空间向量的坐标运算 考点二　空间向量与点坐标的表示 考点三　空间中点的对称问题 考点四　空间向量投影的问题 考点五　空间向量模长的问题 考点六　空间向量平行的坐标表示 考点七　空间向量垂直的坐标表示 考点八　空间向量夹角的问题 题型突破 考点一　空间向量的坐标运算 1．（25-26高二上·北京·期中）三角形中，，，，则边上的中线向量为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏南通·期中）若空间向量，则下列向量能与构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知，，且，则实数x的值是 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点二　空间向量与点坐标的表示 5．（25-26高二上·北京延庆·期中）若是平行四边形，且、、，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）已知点，若，则点的坐标是_____ 7．（25-26高二上·湖南·期中）已知、、，若，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知A，B，C三点的坐标分别是，，，点，则点P的坐标是__________. 考点三　空间中点的对称问题 9．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·河北承德·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 11．（25-26高一下·吉林长春·期末）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 12．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 考点四　空间向量投影的问题 13．（25-26高二上·贵州毕节·期末）若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）若，，，则在上的投影向量的模为（   ） A．1 B．3 C． D． 15．（25-26高一下·江西新余·期末）已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影向量为______. 16．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为_________. 考点五　空间向量模长的问题 17．（25-26高二上·山东济南·期中）已知空间向量，则（    ） A．15 B． C．17 D． 18．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知．若点共线，则（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·安徽·期中）已知空间直角坐标系中的三点，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 考点六　空间向量平行的坐标表示 21．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知，若，则______. 22．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 23．（25-26高二上·天津·阶段检测）设，向量，且，则___________. 24．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知，则___________，___________． 考点七　空间向量垂直的坐标表示 25．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知空间向量，，若，则实数的值为_________． 26．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 27．（25-26高二上·陕西安康·期末）（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．与平行 C． D． 28．（25-26高二上·广东·期末）设空间向量，，若，则的值为_____________． 考点八　空间向量夹角的问题 29．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，，，则与所成角的大小为______． 30．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 31．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 32．（25-26高二上·山东临沂·期中）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．若，则 B．向量是的一个单位向量 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $