四川省成都市西川中学南区2026-2027学年八年级上学期数学练习（三）

四川省成都市西川中学南区2026-2027学年八年级上学期数学练习（三） （全卷分A卷、B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，全卷共150分；考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．下列实数是无理数的是（　　） A．-3.14　　B．√5　　C．0.1010010001　　D．√4 2．下列运算正确的是（　　） A．√3+√4=√7　　B．2√2+3√2=5√2　　C．√2×√3=√5　　D．√((-2)²)=±2 3．如图，五根小棒的长度分别是7 cm，15 cm，20 cm，24 cm，25 cm．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（　　） 4．在中国象棋的棋盘上（如图），每种棋子的行走路线都有自己的规则．如马走“日”，图中的“马”的位置在(6，3)，它走一步可以直接到达的位置有8个．图中的“马”最少走（　　）步可以到达(7，2)． A．1　　B．2　　C．3　　D．4 5．已知方程组　x-y=m，2x+3y=3m+1　消去m，得x与y的关系式为（　　） A．3x+2y=1　　B．x+4y=1　　C．5x+6y=1　　D．x-6y=-1 6．下列语句中，真命题是（　　） A．若a²=b²，则a=b B．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离 C．-3是√81的平方根 D．相等的两个角是对顶角 7．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9 cm，内壁高12 cm．若这支铅笔长为18 cm，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（　　） A．2 cm＜x≤5 cm　　B．3 cm≤x≤6 cm　　C．4 cm＜x≤7 cm　　D．5 cm＜x≤8 cm 8．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，AD=3，AC=2√10，∠BAD=90°，则AB的长为（　　） A．3　　B．2√2　　C．2　　D．√3 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若关于x，y的方程(k-2)x^|k|-1+y+1=0是二元一次方程，则k=______． 10．若代数式 √(x+1)/(x-1) 有意义，则x的取值范围为______． 11．在平面直角坐标系中，若点A(a-5，a+1)在x轴上，则A点的坐标为______． 12．如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中，最短路径的长是______． 13．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即A′C=10尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为______尺． 三、解答题（共48分） 14．（12分）解下列方程：（1）(x-1)²=12；（2）x²-4x+1=0． 15．（8分）已知a=√5+2，b=√5-2，求下列代数式的值：（1）a²+b²+3ab；（2）a²-b²-ab． 16．（8分）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（CA⊥AB于点A）拉船靠岸，开始时绳子BC的长度是AC的3倍． （1）求B处的游船到岸边AC的距离（即AB的长）；（结果保留根号） （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 17．（10分）如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，点E在线段AD上，若AE=2，CE=1，AB=2√5． （1）求证：CE⊥AD；（2）求BC的长． 18．（10分）如图，点C在线段AB的垂直平分线EF上，E为垂足，以AC为边作等边三角形ACD（A，C，D逆时针排列），连结BD，BC，直线BD交EF于点H． 图1 图2 图3 （1）点C在线段AB上方，连结AH． ①如图1，若△ABC为等边三角形，则∠ABD的度数为______，DH/HB的值为______； ②如图2，若△ABC为等腰直角三角形，求证：DH=AE+HE． （2）如图3，连结DE，移动点C，当CE=3且△BDE为直角三角形时，求△ADE的面积． B卷（共50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19．若a是√5的小数部分，则a³+2a²-9a-1的值为______． 20．关于x，y的二元一次方程组 3x-2y=4，mx+my=7 与 2mx-3ny=19，5y-x=3 有相同的解，则mn=______． 21．“勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在《几何原本》中曾对它做了深入研究．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形．连接EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q．若∠AMP=30°，则DG/QM的值为______． 22．对于关于x，y的二元一次方程组 a₁x+b₁y=c₁，a₂x+b₂y=c₂（其中a₁，b₁，c₁，a₂，b₂，c₂是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足|x-y|=1，则称这个方程组为“近解”方程组．若对于任意实数m，关于x，y的二元一次方程组 2amx+by=m+2y，x+2y=4 都是“近解”方程组，则ab的值为______． 23．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=20/3，D，E分别为射线BC与射线AC上的两动点，且BD=AE，连接AD，BE，则AD+BE最小值为______；|AD-BE|的最大值为______． 二、解答题（共30分） 24．（8分）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150 m和200 m，又AB=250 m，环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域． （1）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 25．（10分）勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用．历史上不同时代、不同国家的人士先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考：大正方形面积=4个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式(a+b)²=4×(1/2)ab+c²，化简证得勾股定理a²+b²=c²． 【图形变式】晓华同学受此启发对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： 图1 （1）如图1，若b=2a，那么小正方形面积∶大正方形面积的比值等于______． 图2 （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果a=3，b=5，那么空白部分的面积等于______． 图3 （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密地拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为28，OC=2，求该风车状图案的面积． 图4 （4）【迁移运用】如图4，用三张含60°角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，求出含60°角的三角形三边a、b、c之间的关系？ 26．（12分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE，射线EF交边AD于点G． 图1 （1）如图1，求证：AG=EG； 图2 （2）当AB=4时：①如图2，若四边形ABCD的面积为24，且当点G与D重合时，BC=FG，求AD的长；②在BC边上取一点H，连接AH，使得AH=AG，若△AFG的面积是△AEH的面积的2倍，求BE的长． 参考答案 四川省成都市西川中学南区2026-2027学年八年级上学期数学练习（三） A卷 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．B　2．B　3．C　4．B　5．D　6．C　7．B　8．C 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．-2　　10．x≥-1且x≠1　　11．(-6，0)　　12．√13　　13．14.5 三、解答题（共48分） 14．（1）(x-1)²=12，x-1=±2√3，∴x₁=1+2√3，x₂=1-2√3． （2）x²-4x+1=0，配方得(x-2)²=3，x-2=±√3，∴x₁=2+√3，x₂=2-√3． 15．由a=√5+2，b=√5-2得a+b=2√5，a-b=4，ab=1． （1）a²+b²+3ab=(a+b)²+ab=20+1=21； （2）a²-b²-ab=(a+b)(a-b)-ab=2√5×4-1=8√5-1． 16．（1）AC=4，BC=3AC=12．在Rt△ABC中，AB=√(BC²-AC²)=√(144-16)=8√2（米）． （2）7秒后绳长CD=12-7=5，AD=√(CD²-AC²)=√(25-16)=3， 故游船向岸边移动了AB-AD=(8√2-3)米． 17．（1）由AB=2AC=2√5得AC=√5． 在△AEC中，AE²+CE²=2²+1²=5=AC²，故∠AEC=90°，即CE⊥AD． （2）以E为原点、直线AD为x轴建立平面直角坐标系，则A(-2，0)，C(0，1)，B(4，-2)， ∴BC=√((4-0)²+(-2-1)²)=√(16+9)=√13． 18．（1）①∠ABD=30°；DH/HB=2． ②设AE=EB=a，则C(0，a)（等腰直角三角形斜边AB上的高）．以E为原点、AB所在直线为x轴建系， 得A(-a，0)，B(a，0)，C(0，a)；由△ACD为等边三角形且A，C，D逆时针排列， 求得D(-a(1+√3)/2，a(1+√3)/2)．直线BD与y轴交于H，算得HE=√3a/3，DH=a+√3a/3， 故DH=AE+HE． （2）△ADE的面积为 3√3/2 或 9√3/2． B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19．-3　　20．-203/27　　21．√3-1　　22．1/2 或 3/2　　23．3√10；√10 二、解答题（共30分） 24．（1）会受影响．因为150²+200²=250²，故∠ACB=90°， 点C到AB的距离h=150×200÷250=120（m），120 m＜130 m，所以学校会受噪声影响． （2）垂足D满足AD=150²/250=90（m），DB=160（m）； 受影响路段长为2√(130²-120²)=2×50=100（m），持续时间=100÷50=2（分钟）． 25．（1）5∶9． （2）19．（c²=a²+b²=34，折进的两个直角三角形面积共ab=15，空白部分=34-15=19） （3）154/9．（每段外围长28÷4=7，设AC=x，则AB=7-x，OB=OC=2，OA=2+x； 在Rt△AOB中(7-x)²=(2+x)²+2²，解得x=41/18，OA=77/18， 面积=4×(1/2)×OA×OB=154/9） （4）c²=a²+b²-ab（其中c为60°角所对的边）． 26．（1）以B为原点、BC为x轴、BA为y轴建系，设AB=h，BE=e． 由翻折知∠AEF=∠AEB，又AD∥BC得∠AGE=∠AEF，故∠AGE=∠AEG，∴AG=EG． （2）①由面积得(AD+BC)×4÷2=24，即AD+BC=12； 又G与D重合时AG=AD=(e²+16)/(2e)，FG=(16-e²)/(2e)=BC，联立得e=4/3，AD=20/3． ②设BE=e（0＜e＜4），则AG=(e²+16)/(2e)，AF=AB=4，EF=BE=e； 由AH=AG得BH=√(((e²+16)/(2e))²-16)=(16-e²)/(2e)； 又S△AFG=(16-e²)/e，S△AEH=2|BH-e|，由S△AFG=2S△AEH得16-e²=2|16-3e²|， 解得e=4√5/5 或 e=4√21/7，即BE=4√5/5 或 4√21/7． 学科网（北京）股份有限公司 $