2.1 课时1 正弦及特殊角的正弦值课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

2.1 课时1 正弦及特殊角的正弦值 比萨斜塔 已知塔高 AB = 54.5 米，现在塔顶偏离“自然姿势”的水平距离 BC = 5.2 米. 仔细观察图片，你能求出比萨斜塔现在的倾斜角 α 是多少度吗？ 活动1：理解正弦的概念 A C B 30° 问题1：如图，任意画一个Rt△ABC，其中∠C = 90°，∠A = 30°，计算∠A 的对边 BC 与斜边 AB 的比，你能得出什么结论？ 提示：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（）. ∠A 的对边 斜边 = . 解： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 思考：若把30°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？ 问题2：如图，△ABC 和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α ，∠C=∠F =90°， 则=成立吗？ 为什么？可得出什么结论？ 解：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°， ∴ △ABC∽△DEF. ∴ = ，即BC·DE=AB·EF， ∴ =. 在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 如图，在 直角三角形中，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫作∠ A 的正弦，记作 sin A ，即 例如，当∠A ＝30° 时，我们有sin 30°= . 对边a 斜边c ∠A 的对边 斜边 sin A = A B C (2)∠B 的对边是 AC，根据勾股定理， 得 AC2 = AB2 - BC2 = 52 - 32 = 16. 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 3，AB = 5. （1）求 sin A 的值； （2）求 sin B 的值. A B C 5 3 解：(1)∠A 的对边 BC = 3，斜边 AB = 5， 于是 因此 于是 AC = 4. 活动2：正弦的简单应用 问题：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ，BC = 3，求 sin B 及 Rt△ABC 的面积. A B C BC = 3 斜边 AB 的长 利用勾股定理 AC 的长 sin B 和 Rt△ABC 的面积 解：∵∠C = 90°， ∴ ∴ AB = 3BC = 3×3 = 9. ∴ ∴ ∴ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = k，sin B = h，AB = c，则 BC = ck， AC = ch. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = k，sin B = h，BC = a，则 AB = AC = 1. 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = ，BC = 6，则AB 的长为( ) D A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2. 在△ABC 中，∠C = 90°，如果 sin A = ，AB = 6， 那么 BC =_____. 2 活动3：探究特殊角的正弦值 问题1：如何求 sin 45°的值？ 解：如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C = 90°，∠A = 45°. 于是∠B = 45°. 从而 AC = BC． 根据勾股定理，得 AB2 = AC2 + BC2 = BC2 + BC2 = 2BC2. 于是 AB= BC. 因此 问题2：如何求sin60°的值？ 解：如图， 构造一个Rt△ABC， 使∠C=90°，∠B=60°， 则∠A=30°． 从而BC=AB．根据勾股定理得 AC2=AB2-BC2=AB2-(AB)2=AB2． 于是AC=AB. 因此sin60°= =. 例2 计算：sin²30°-sin45°+sin260° 解：原式=（）²-×+（）² =-+ = 注意：我们把（sin30°）²记作sin²30°. 正弦及特殊 角的正弦值 正弦的概念 正弦的应用 ∠A的对边 斜边 sin A = 已知边长求正弦值 已知正弦值求边长 特殊角的正弦值 （sin 30°= ，sin 45°=，sin 60°=） 1.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3，AC=4， 则sinA的值为（　　）. A． B． C． D． C 随堂小练 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A∶∠B＝1∶2，则sinA=______． 3.若锐角A满足2sinA＝，则∠A＝________°. 60 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． B 5.计算： (1)4sin60°－sin45°； (2)sin245°－sin260°. 解：(1)原式＝4×－×＝2－＝. (2)原式＝()2－()2＝－＝－. 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D. (1)求证：△ACD∽△CBD； (2)若AD＝2，AB＝6，求CD的长和sinA的值． 解：(1)证明：∵∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠B＝90°， ∴∠ACD＝∠B. 又∵∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴△ACD∽△CBD. (2)∵△ACD∽△CBD， ∴=， ∴CD2＝AD·BD＝2×(6-2)＝8， ∴CD＝2. 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC＝2， ∴sinA＝. $