江苏泰州市靖江市滨江学校2026-2027学年度上学期第二周九年级数学学情自测试题

滨江九年级数学周测1，2 参考答案与试题解析 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论. 【解答】解： 当a=0时不是一元二次方程，不符合题意； 含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； 是一元二次方程，符合题意. 故选: D. 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题关键. 2.新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱.2022年某款新能源汽车销售量为22万辆.销售量逐年增加，2024年预估销售量为28.6万辆.求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为( ) A. B. C. D. 【分析】利用2024年某款新能源汽车的预估销售量=2022年某款新能源汽车的销售量×(1+这款新能源汽车的年平均增长率)²，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解. 【解答】解：根据题意得： 故选: D. 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 3.已知反比例函数 下列结论正确的是( ) A.其图象经过点(-1, - 3) B.其图象位于第一、第三象限 C.当x>0时，y随x的增大而减小 D.当x≤-3时, 0<y≤1 【分析】根据反比例函数的解析式和性质，依次判断每个选项即可得到正确结论. 【解答】解: A、把x=-1代入 得 故图象不经过点(-1，-3)，原说法错误，不符合题意； B、反比例函数 中，k=-3<0，故图象位于第二、四象限，原说法错误，不符合题意； C、反比例函数 中，k=-3<0，故当x>0时，y随x的增大而增大，不是减小，原说法错误，不符合题意； D、当x≤-3时，图象位于第二象限，即 即0<y≤1,正确,符合题意, 故选: D. 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键. 4.已知点A(m, y₁), B(-m, y₂), C(2m, y₃)在反比例函数 的图象上,若m>0,则y₁, y₂, y₃的大小关系为( ) A. y₁>y₂>y₃ B. y₁>y₃>y₂ C. y₂>y₁>y₃ D. y₃>y₁>y₂ 学科网（北京）股份有限公司 【分析】先求出 再根据m>0比较大小即可. 【解答】解：由条件可得： ∵m>0, 即y₁>y₃>y₂. 故选: B. 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键. 5.已知代数式 的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程 的解是( ) x -2 -1 0 1 2 3 - 4 -2 0 0 -2 -4 A. x₁=0, x₂=1 B. x₁=-1, x₂=2 C. x₁=-2, x₂=2 D. x₁=-1, x₂=-2 【分析】根据表格数据即可求解. 【解答】解：由数据可得，当x=-1或2时， ∴关于x的一元二次方程 的解是x₁=-1, x₂=2. 故选: B. 【点评】本题考查代数式求值和一元二次方程的解，关键是观察表格，理解代数式 值和一元二次方程 的解的关系. 6.小明同学在学习了一元二次方程章节后，对方程 总结了如下的结论，你认为这些结论中错误的是( ) A.若a+c=0，则方程一定有两个实数根 B.若a-c=0，则方程一定有两个实数根 C.若a-b+c=0,则方程一定有两个实数根 D.若a+b+c=0，则方程一定有两个实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式 判断结论，Δ≥0时方程有两个实数根，逐一计算各条件下的判别式即可判断正误. 【解答】解: A、∵a+c=0, ∴c=-a, ∵a≠0, 则方程一定有两个实数根，正确，不符合题意； B、∵a-c=0, ∴c=a 根据题意无法得到b²与4a²的大小关系， ∴无法得到方程的根的个数，原说法错误，符合题意； C、∵a-b+c=0, ∴b=a+c, 则方程一定有两个实数根，正确，不符合题意； D、∵a+b+c=0, ∴b=- (a+c), 则方程一定有两个实数根，正确，不符合题意， 故选: B. 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式与根的个数的关系是解题的关键. 7.若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k= -1 . 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据题意可知， 然后即可求得k的值. 【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根， 即4+4k=0, 解得k=-1, 故答案为：-1. 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是明确一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ=0. 8.设x₁, x₂是关于x的方程 的两个根,则 x₁+x₂= 3 . 【分析】直接利用根与系数的关系求解. 【解答】解：根据根与系数的关系得x₁+x₂=3. 故答案为：3. 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程 的两根时， 9.关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 -2 . 【分析】把x=0，代入方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【解答】解：由条件可知 解得: a=±2, ∵a-2≠0, ∴a=-2; 故答案为：-2. 【点评】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是关键. 10.若x₁，x₂是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 0 . 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入求值即可. 【解答】解:由题意可知: x₁+x₂=2, x₁·x₂=1, 故答案为：0. 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键. 11.一个正方形的林地，若将一边增加5米，另一边增加3米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了71平方米，则原正方形的边长是 7 米. 【分析】设原正方形的边长是x米，根据扩建后的林地面积比原来面积增加了 71平方米可得：(x+5)(x+3)- 化简解之即可. 【解答】解：设原正方形的边长是x米， 根据题意得： 整理得, 8x=56, 解得x=7, 则原正方形的边长是7米， 故答案为：7. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式. 12.若a，b是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是-2 . 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得 利用根与系数的关系得到a+b的值，并将原表达式变形后代入计算，即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：由条件可知 即 = (-3a+4)+5a+2b =2a+2b+4 =2(a+b) +4, 由根与系数的关系, a+b=-3, 所以原式=2× (-3)+4=-6+4=-2, 故答案为：-2. 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系.熟练掌握以上知识点是关键. 13.关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是k≥-2且k≠0 . 【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ=(-4)²-4×k×(-2)≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可. 【解答】解:由条件可知k≠0且Δ= (-4)²-4×k×(-2)≥0, 解得: k≥-2且k≠0. ∴k的取值范围是k≥-2且k≠0. 故答案为: k≥-2且k≠0. 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握：式子 是一元二次方程 0 (a≠0)根的判别式，△>0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；Δ<0⇔方程无实数根. 14.等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程 的两根，则n的值为 9 . 【分析】根据等腰三角形的性质以及一元二次方程的解法即可求出答案. 【解答】解：由题意，∵a、b是关于x的一元二次方程 的两根， ∴a+b=6, ab=n, 当a=2时, ∴2+b=6, ∴b=4, ∴2+2=4，不能组成一个三角形，当a=b时, ∴a+b=2a=6, ∴a=3, ∴2+3>3,能组成一个三角形, ∴n= ab=9, 故答案为：9. 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质以及一元二次方程的根与系数的关系，本题属于中等题型. 15.已知关于x的两个方程 )有一个公共根，则m、n满足的关系式是m+n=-1 . 【分析】设关于x的两个方程 的一个公共根为p，则 =0，将它们作差后求得p的值，再将其代入 计算即可. 【解答】解：已知关于x的两个方程 有一个公共根，设这个公共根为p， 则 ①-②得: (m-n) p - (m-n) =0, 即(m-n)(p-1) =0, ∵m≠n, ∴m-n≠0, ∴p-1=0, 解得: p=1, 那么两个方程的公共根为x=1， 学科网（北京）股份有限公司 将x=1代入 中整理得: m+n=-1, 故答案为: m+n=-1. 【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键. 16.已知方程 的两个根分别为x₁，x₂，则 的值为 -1 . 【分析】利用一元二次方程根的定义对x 进行降次处理，再结合根与系数的关系(韦达定理)对式子进行变形，最后代入化简求值. 【解答】解：由条件可知 ∵x₁, x₂是方程. 的两根， ∴x₁x₂=1, = (2026x₁-1) - 2026x₁ = - 1. 故答案为：-1. 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键. 17.解方程: (2) 4x(2x+1) =3 (2x+1). 【分析】(1)利用因式分解法(十字相乘)求解比较简便； (2)把2x+1看成一个整体，运用因式分解法(提公因式)求解比较简便. 【解答】解： (x+7)(x-1) =0, ∴x+7=0或x-1=0. ∴x₁=-7, x₂=1; (2) 4x(2x+1) =3 (2x+1), 移项,得4x(2x+1) - 3 (2x+1) =0, ∴ (2x+1)(4x-3) =0. ∴2x+1=0或4x-3=0. 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的因式分解法是解决本题的关键. 18.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求m的值. 【分析】(1)根据关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，可知△>0； (2)先设方程的一个根为a，则另一个根为3a，然后根据根与系数的关系即可得到方程的根和m的值. 【解答】解：(1)∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴△= (-4)²-4×1×(-m) >0, 解得m>-4; 学科网（北京）股份有限公司 (2)设一元二次方程 的一个根为a，则另一个根为3a， ∴a+3a=4, a·3a=-m, 解答a=1, m=-3, 即m的值为-3. 【点评】本题考查根的判别式、根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，求出m的取值范围及相应的m的值. 19.已知关于x的一元二次方程 (1)若方程有一个解为0，求k的值； (2)求证：方程有两个不相等的实数根； (3)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值. 【分析】(1)把x=0代入原方程求解即可； (2)根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=1>0进而可证出方程有两个不相等的实数根； (3)利用因式分解法可求出AB，AC的长，分BC为直角边及BC为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出k值，取其正值(利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形)即可得出结论. 【解答】解:(1)把x=0代入原方程得 解得 (2)在 中， a=1, b=- (2k+1), c=k²+k, ∴方程有两个不相等的实数根； 即(x-k) [x - (k+1) ]=0, 解得 当BC为直角边时， 解得k=12, 当BC为斜边时， 解得: k₁=3, k₂=-4 (不合题意,舍), 综上：k的值为12或3； 【点评】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与直角三角形结合等，熟练掌握一元二次方程相关定义与性质是解决问题的关键. 20.某超市销售一款薯片，每袋进价5元.当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋.超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4袋. (1)若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元? (2)该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润?若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由. 【分析】(1)设每袋薯片降价x元，则每袋薯片的销售利润为(15-5-x)元，平均每天能卖出(20+4x)袋，利用总利润=每袋的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合超市想让利给消费者，即可确定结论； (2)假设该超市每天能通过降低价格实现250元的利润，设每袋薯片降价y元，则每袋薯片的销售利润为(15-5-y)元，平均每天能卖出(20+4y)袋，利用总利润=每袋的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=-100<0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该超市每天不能通过降低价格实现250元的利润. 【解答】解：(1)设每袋薯片降价x元，则每袋薯片的销售利润为(15-5-x)元，平均每天能卖出(20+4x)袋， 根据题意得: (15-5-x) (20+4x) =200, 整理得： 解得: x₁=0, x₂=5, ∵超市想让利给消费者， 学科网（北京）股份有限公司 ∴x=5. 答：每袋薯片应降价5元； (2)该超市每天不能通过降低价格实现250元的利润，理由如下： 假设该超市每天能通过降低价格实现250元的利润，设每袋薯片降价y元，则每袋薯片的销售利润为(15-5-y)元，平均每天能卖出(20+4y)袋， 根据题意得: (15-5-y) (20+4y) =250, 整理得： ∵△= (-10)²-4×2×25=-100<0, ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即该超市每天不能通过降低价格实现250元的利润. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 21.定义：如果关于x的一元二次方程 满足a-b+c=0，那么我们称这个方程为“黄金方程”. (1)下列方程中： ②(x-1)(x+2)=0; ③x²-2x-3=0, 是黄金方程的为 ①③ (填序号). (2)已知 是关于x的黄金方程，若x=a是此黄金方程的一个根，求a的值. (3)已知关于x的一元二次方程 是“黄金方程”，求代数式 的最小值. 【分析】(1)根据黄金方程的定义进行求解即可； (2)根据黄金方程的定义得到b=-a-3，则原方程为 再由a是此黄金方程的一个根，得到 解方程即可； (3)利用配方法，非负数的性质求解即可. 【解答】解: (1) ①x²=1是黄金方程，理由： ∴a=1, b=0, c=-1 ∴a-b+c=1-0-1=0, 是黄金方程； ②(x-1)(x+2) =0不是黄金方程,理由: ∵(x-1)(x+2) =0, ∴a=1, b=1, c=-2, ∴a-b+c=1-1-2=-2≠0, 故(x-1)(x+2) =0不是黄金方程; 是黄金方程， ∴a=1, b=-2, c=-3, ∴a-b+c=1 - (-2) - 3=1+2-3=0, 是黄金方程， 故答案为: ①③; (2)由条件可知3+b - (-a) =0, ∴b=-a-3, ∴原方程为 ∵a是此黄金方程的一个根， 即 ∴(a+1)(2a-3) =0, 解得a=-1或 (3)由条件可知2-b+c=0, ∴c=b-2, ∵(b-1)²≥0, 学科网（北京）股份有限公司 的最小值为4. 【点评】本题主要考查了解一元二次方程解的定义，解题的关键是理解黄金方程解的定义. 22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+6的图象与反比例函数 的图象交于点A (4，a)，与y轴交于点 B，经过点A、点O 的直线与反比例函数 的图象在第三象限交于点 C，△AHC是以AC为斜边的直角三角形. (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，当点H在y轴的正半轴时，求△BAH的面积； (3) 如图2, 若AH平分∠BAC, 求点H的坐标. 【分析】(1)先求出点A坐标，进而可得k值； (2) 作AM⊥x轴于点 M,AN⊥y轴于点 N,先求AC, 再得HO, 可得OH, 即可得解; (3)延长CH交AB的延长线于点D, 证△AHD≌△AHC(ASA), 点H是CD的中点, 设点D (t,-t+6),再利用AD=AC，建立方程求解，可得D坐标，进而得解. 【解答】解：(1)∵一次函数y=-x+6经过点A (4, a), ∴a=-4+6=2, ∴点A (4, 2), ∵反比例函数 经过点A (4, 2), ∴k=4×2=8, ∴反比例函数的解析式为 (2) 作AM⊥x轴于点 M,AN⊥y轴于点 N, ∴AM=2, AN=4, ∵直线AC与双曲线 关于原点中心对称， 学科网（北京）股份有限公司 ∴点A，点C关于原点中心对称， ∵点A (4, 2), ∴点C (-4, - 2)且OA=OC, ∴在Rt△AOM中, ∠AMO=90° ∵∠AHC=90°, HO 是斜边AC上的中线, 一次函数y=-x+6,当x=0时, y=6, ∴B (0, 6), ∴OB=6, (3)延长CH交AB的延长线于点 D， ∵AH平分∠BAC, ∴∠DAH=∠CAH, ∵△AHC为直角三角形，且AC斜边，点H在第二象限， ∴∠AHD=∠AHC=90° 在△AHD 和△AHC中, ∴△AHD≌△AHC (ASA), ∴HD=HC, AD=AC, 即点H是 CD的中点， ∵点D在直线y=-x+6上, ∴设点 D (t, - t+6), ∵点D在第二象限， ∴t<0, ∵AD=AC, 学科网（北京）股份有限公司 解得： (不合题意，舍去)， ∴点 ∵点H是CD的中点, ∴点H的坐标为 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，涉及反比例函数解析式、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨江学校——第一二周九年级数学周测 得分： 一、选择题(每题3分) 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 2.新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱.2022年某款新能源汽车销售量为22万辆.销售量逐年增加，2024年预估销售量为28.6万辆.求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为( ) A. B. C. D. 3.已知反比例函数 下列结论正确的是( ) A.其图象经过点(-1, - 3) B.其图象位于第一、第三象限 C.当x>0时，y随x的增大而减小 D.当x≤-3时, 0<y≤1 4.已知点A (m, y₁), B (-m, y₂), C (2m, y₃)在反比例函数 的图象上,若m>0,则y₁, y₂, y₃的大小关系为( ) A. y₁>y₂>y₃ B. y₁>y₃>y₂ C. y₂>y₁>y₃ D. y₃>y₁>y₂ 5.已知代数式 的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程 的解是( ) x -2 - 1 0 1 2 3 ··· -4 -2 0 0 -2 -4 · A. B. C. D. 6.小明同学在学习了一元二次方程章节后，对方程 总结了如下的结论，你认为这些结论中错误的是( ) A.若a+c=0，则方程一定有两个实数根 B.若a-c=0，则方程一定有两个实数根 C.若a-b+c=0，则方程一定有两个实数根 D.若a+b+c=0，则方程一定有两个实数根 7.若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k= . 8.设x₁, x₂是关于x的方程. 的两个根,则x₁+x₂= . 9.关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 . 10.若x₁，x₂是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 . 11.一个正方形的林地，若将一边增加5米，另一边增加3米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了71平方米，则原正方形的边长是 米. 12.若a，b是一元二次方程. 的两个实数根，则 的值是 . 13.关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是 . 14.等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程 的两根，则n的值为 . 15.已知关于x的两个方程 有一个公共根，则m、n满足的关系式是 . 16.已知方程 的两个根分别为x₁，x₂，则 的值为 . 17. (4分/题)解方程: (2) 4x (2x+1) =3 (2x+1). 18(8分).已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求m的值. 19 (9分).已知关于x的一元二次方程 (1)若方程有一个解为0，求k的值； (2)求证：方程有两个不相等的实数根； (3)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值. 20(8分). Season超市销售一款薯片，每袋进价5元.当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋.超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4袋. (1)若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元? (2)该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润?若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由. 21 (9分).定义：如果关于x的一元二次方程 满足a-b+c=0，那么我们称这个方程为“黄金方程”. (1)下列方程中：①x²=1; ②(x-1)(x+2) =0; ③x²-2x-3=0,是黄金方程的为 (填序号). (2)已知 是关于x的黄金方程，若x=a是此黄金方程的一个根，求a的值. (3)已知关于x的一元二次方程 是“黄金方程”，求代数式 的最小值. 22(3+3+4分).如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+6的图象与反比例函数 的图象交于点A(4,a),与y轴交于点B，经过点A、点O的直线与反比例函数 的图象在第三象限交于点 C，△AHC是以AC为斜边的直角三角形. (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，当点H在y轴的正半轴时，求△BAH的面积； (3) 如图2, 若AH平分∠BAC, 求点H的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $