精品解析：江苏省泰州市靖江市滨江学校2025-2026学年九年级上学期1月周测 数学试题

2025-2026九年级数学练习 一、选择填空：每题5分 1. 下列函数中属于二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象与轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 3. 已知点是抛物线上的点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（k是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格： x … 0 1 2 … y … 3 4 3 0 … 根据表格上的信息回答问题：一元二次方程的解为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的抛物线解析式为______． 7. 若抛物线的顶点在轴上，则的值为_____． 8. 已知点是二次函数图象上的两个不同的点，则当时，其函数值等于____________． 9. 如图，二次函数的图象经过点、，当时，的取值范围是_______． 10. 不论x取何值，二次函数的函数值总为负数，则c的取值范围为_______． 11. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的函数关系式为s＝60t－2t2，则飞机着陆后滑行________m才能停下来． 12. 二次函数y=x2-2mx+1在x≤1时y随x增大而减小,则m的取值范围是___________. 13. 已知二次函数的图象的对称轴为直线若关于x的一元二次方程为实数，在的范围内有解，则t的取值范围是______  ． 14. 如图，正方形OABC的面积为18，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，则a的值为______． 15. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点的坐标为，线段与轴交于点，连接、．点是抛物线上任意一点，若的面积与的面积相等，则点的坐标为___________． 16. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连结，，则________°；设点是该抛物线对称轴上的一点，若，则点的坐标为_______． 二、解答题 17. 已知关于x的二次函数． （1）求证：此抛物线与x轴总有交点； （2）若此抛物线与x轴有两个交点，且交点的横坐标都是整数，m是正整数，求m的值． 18. 某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（即），当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，解决问题： （1）求水柱所在抛物线的解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； （3）河水离地平面距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 19. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． （1）求：，的值； （2）当时，函数的最小值是2，求出的值； （3）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 定义：在平面直角坐标系中，图形上点的纵坐标与其横坐标的差称为点的“坐标差”，而图形上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形的“特征值”． （1）①点的“坐标差”为___________． ②抛物线的“特征值”为___________． （2）某二次函数（）的“特征值”为，点与点分别是此二次函数的图象与轴和轴的交点，且点与点的“坐标差”相等． ①直接写出m=___________（用含的式子表示）； ②求此二次函数的表达式． （3）在平面直角坐标系中，以为圆心，2为半径的圆与直线相交于点、请直接写出的“特征值”为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026九年级数学练习 一、选择填空：每题5分 1. 下列函数中属于二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数． 根据二次函数的定义选择正确的选项即可． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项错误； B、不是二次函数，故本选项错误； C、，不一定是二次函数，故本选项错误； D、是二次函数，故本选项正确； 故选：D． 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象与轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的图象的性质，掌握图象的对称轴，增减性，顶点坐标，与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．根据二次函数顶点式的特点逐一判断即可． 【详解】解：、二次函数，与轴交点的坐标是，故原选项错误，不符合题意； 、二次函数的图象的对称轴是直线，故原选项错误，不符合题意； 、二次函数的图象得顶点坐标为，故原选项错误，不符合题意； 、二次函数的图象，当时，y随x的增大而增大，故原选项正确，符合题意； 故选：． 3. 已知点是抛物线上的点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征，代入各点的横坐标，可求出的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴． 故选：D． 4. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（k是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断．熟练掌握函数图象与系数的关系，是解决问题的关键．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；当a，b同号时，对称轴位于y轴左侧；当a，b异号时，对称轴位于y轴右侧． 分别根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向下可知，， ∴，矛盾， ∴A不正确； B、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，在y轴左侧， ∴B不正确； C、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴，矛盾， ∴C不正确； D、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，在y轴左侧， ∴D正确． 故选：D． 5. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格： x … 0 1 2 … y … 3 4 3 0 … 根据表格上的信息回答问题：一元二次方程的解为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，由表格中的数据可求出抛物线的解析式，则一元二次方程中各项的系数已知，再解方程即可． 【详解】解：由题意可知点，，在二次函数的图象上， 则， 解得：， 所以一元二次方程可化为：， 解得：，， 故选：C． 6. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的抛物线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“上加下减，左加右减”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，得到， 再向上平移2个单位长度后的抛物线解析式为：， 故答案为：． 7. 若抛物线的顶点在轴上，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握顶点坐标公式． 抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，且二次项系数不为零，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得 故答案为：． 8. 已知点是二次函数图象上的两个不同的点，则当时，其函数值等于____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据、横坐标不同纵坐标相同，可得关于对称轴的等式，当时，则，将代入二次函数可得函数值为1，即当时函数值也为2． 【详解】解： 当和时， 的值相等， 二次函数对称轴为直线， 当时，即，则， 当时，二次函数的值为1． 故答案为：1． 【点睛】此题考查二次函数图像上点的坐标特征，根据两点纵坐标相等得二次函数的对称轴，用对称轴表示的值代入二次函数是解题的关键． 9. 如图，二次函数的图象经过点、，当时，的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象经过点、，结合抛物线开口向下，解答即可． 本题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线的性质，抛物线与不等式，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，二次函数的图象经过点、， 故当时即图象在x轴上方时，自变量的取值范围为 ， 故答案为：． 10. 不论x取何值，二次函数的函数值总为负数，则c的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】因为二次函数的图象开口向下，所以一元二次方程无实数根，从而解得c的取值范围． 【详解】∵二次函数的函数值总为负数， ∴一元二次方程无实数根， 即， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：当抛物线与轴有两个交点时，一元二次方程有两个不等的实数根即；当抛物线与轴有一个交点时，一元二次方程有两个相等的实数根即； 当抛物线与轴无交点时，一元二次方程无实数根即． 11. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的函数关系式为s＝60t－2t2，则飞机着陆后滑行________m才能停下来． 【答案】450 【解析】 【分析】根据题意可以将化为顶点式，飞机滑行的最远距离也就是s取得的最大值，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴当时，s取得最大值，此时，， 即飞机着陆后滑行450m飞机才能停下来． 故答案为：450． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 12. 二次函数y=x2-2mx+1在x≤1时y随x增大而减小,则m的取值范围是___________. 【答案】m≥1 【解析】 【分析】根据二次函数的增减性及对称轴，即可得到答案. 【详解】由题意可得该二次函数的轴对称是，因为二次函数y=x2-2mx+1在x≤1时y随x增大而减小,则m≥1. 【点睛】本题考查二次函数的性质及轴对称公式，解题的关键是掌握二次函数的性质及轴对称公式. 13. 已知二次函数的图象的对称轴为直线若关于x的一元二次方程为实数，在的范围内有解，则t的取值范围是______  ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键． 根据对称轴求出的值，然后求与在的范围内有交点问题即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， ， 解得． ∴二次函数为． 当时，取得最大值4； 当时，； 当时，； 时，． ∵即的解相当于与直线的交点， 当即时，在的范围内有解， 的取值范围是． 故答案为：． 14. 如图，正方形OABC的面积为18，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线及正方形的面积为18可得∠BOC=45°，OB=6，过点B作BD⊥y轴于D，然后求出∠BOD=60°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OD=OB，再利用勾股定理列式求出BD，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可． 【详解】解：如图，连接OB，过点B作BD⊥y轴于D， ∵正方形的面积为18， ∴∠BOC=45°，OB=6， ∵OC与y轴正半轴的夹角为15°， ∴∠BOD=45°+15°=60°， ∴∠OBD=30°， ∴OD= OB=3， ∴BD= ， ∴点B的坐标为（ ，3）， ∵点B在抛物线y=ax2（a＞0）的图象上， ∴a（ ）2=3， 解得a= ． 故答案为： ． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出点B的坐标是解题的关键． 15. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点的坐标为，线段与轴交于点，连接、．点是抛物线上任意一点，若的面积与的面积相等，则点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴交点的相关知识，判断出点是如何得到的是解决本题的关键． 把抛物线的顶点代入可得抛物线的解析式，取，求得对应的的值，即可求得点的坐标，进而求得直线的解析式，根据的面积与的面积相等可得点是过点与平行的直线与二次函数的交点，判断出过点与平行的直线，与二次函数联立可得点的坐标． 【详解】解：过点作的平行线，如图所示， 二次函数的图象与轴交于、两点，顶点的坐标为， 二次函数的解析式为：， 当时，， 解得：，， 点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把点A和点代入， 可得 解得， 直线的解析式为：， 的面积与的面积相等， 点是过点与平行的直线与二次函数的交点 点， 点是过点与平行的直线解析式为：， 解得，或 点的坐标为或． 故答案为：或． 16. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连结，，则________°；设点是该抛物线对称轴上的一点，若，则点的坐标为_______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】利用交点式求得抛物线的解析式，进而求得C的坐标，通过解直角三角形求得，由，得到，即，求得抛物线的对称轴，设对称轴与x轴的交点为，则，连接，则是等边三角形，，故符合题意，作等边三角形的外接圆，交直线于另一点，求得三角形外心M的坐标，然后求得，利用圆周角定理即可判断符合题意． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于两点， 函数解析式为， 令，则， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 二次函数的图象与x轴交于两点， 抛物线的对称轴为直线， 设对称轴与x轴的交点为，则，连接， ， 是等边三角形， ， 符合题意， ∴， ∴， 作等边三角形的外接圆，交直线于另一点， 垂直平分， M在轴上，， 连接， M是等边的外心， ， ， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得： 解得 ∴直线的解析式为， 直线平行于y轴， 当时， ∴， ， 符合题意， 综上，点P的坐标为或． 故答案为：；或． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，数形结合是解题的关键． 二、解答题 17. 已知关于x的二次函数． （1）求证：此抛物线与x轴总有交点； （2）若此抛物线与x轴有两个交点，且交点的横坐标都是整数，m是正整数，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∴此抛物线与x轴总有交点； （2）1 【解析】 【分析】（1）令，使得二次函数变为一元二次方程，然后求出方程中判别式的值，即可证明结论； （2）令，使得二次函数变为一元二次方程，然后对方程分解因式，又因此二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标都是整数，从而可以求得符合要求的正整数m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令，则， 所以或， 解得，， 因为抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标都是整数，m是正整数 所以m为1． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点和解一元一次方程，解决本题的关键是设出两交点的坐标． 18. 某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（即），当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，解决问题： （1）求水柱所在抛物线的解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； （3）河水离地平面距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 【答案】（1） （2） 水柱不能喷射到护栏上，理由如下： 当时，， ， 水柱不能喷射到护栏上； （3）米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析，二次函数图形的平移，解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，且过，设抛物线解析式为，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，当时，（米），再与护栏高度进行比较，即可求解； （3）根据坡比得到（米），则点到原点的水平距离为（米），即，且，可求出直线的解析式为，联立方程得，由此求解即可． 【小问1详解】 解：当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米， ∴抛物线的顶点坐标为， 以O为原点建立平面直角坐标系， ∴点， 设抛物线解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴水柱所在抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：河道坝高米，坝面的坡比为（其中）， ，即， 则点与原点的水平距离为， 点的坐标为， 又点的坐标为， 设的解析式为， ，解得， ， ， 解得（不合题意，舍去），， 当时，， 即河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上． 19. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． （1）求：，的值； （2）当时，函数的最小值是2，求出的值； （3）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），2 （2） （3）存在，点或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； 【小问3详解】 解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 20. 定义：在平面直角坐标系中，图形上点的纵坐标与其横坐标的差称为点的“坐标差”，而图形上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形的“特征值”． （1）①点的“坐标差”为___________． ②抛物线的“特征值”为___________． （2）某二次函数（）的“特征值”为，点与点分别是此二次函数的图象与轴和轴的交点，且点与点的“坐标差”相等． ①直接写出m=___________（用含的式子表示）； ②求此二次函数的表达式． （3）在平面直角坐标系中，以为圆心，2为半径的圆与直线相交于点、请直接写出的“特征值”为___________． 【答案】（1）①1；②7 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）①根据定义，得点的“坐标差”为，解答即可． ②根据定义，得，根据二次函数的最值，解答即可． （2）①根据定义，得点的坐标差为，的坐标差为，又点与点的“坐标差”相等，解得即可． ②根据题意，得，，又，解得，，得到抛物线的解析式为． （3）作轴于K，交于N，作轴于J，作的平分线交于，过作轴于，交延长线于，根据定义解答即可． 本题考查了新定义，抛物线的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的应用，圆的性质，熟练掌握定义，抛物线的性质，三角函数的应用是解题的关键． 【小问1详解】 ①解：根据定义，得点的“坐标差”为， 故答案为：1． ②解：设是抛物线上一点， 坐标差，最大值为7， 所以抛物线的“特征值”为7， 故答案为：7． 【小问2详解】 解：①根据题意，得坐标差，， 根据定义，得点的坐标差为，的坐标差为， 又点与点的“坐标差”相等， 故， 解得， 故答案为：． ②解：根据题意，得坐标差， 又二次函数（）的“特征值”为， 故，， 又， 故，即， 故， 整理得， 解得， 故=3， 故抛物线的解析式为． 【小问3详解】 解：如图，作轴于K，交于N，作轴于J，作的平分线交于，过作轴于，交延长线于， 由题知，坐标差为特征值的点即为图象上在直线上方且距离最远的点， 由图象可知点的坐标差即为的“特征值”， ， ， ， 的半径为2， ， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， ， 点的坐标差， 即的“特征值”为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $