专题1.5 全称量词与存在量词（专项训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题1.5 全称量词与存在量词 考点预览 考点一 两种量词命题的识别 考点二 含量词命题真假的判断 考点三 含量词命题的否定 考点四 由含量词命题的真假求参数 考点五 含量词命题的综合应用 一、知识填空 1．全称量词与全称量词命题 （1）短语"所有的""任意一个"在逻辑中通常叫做 ，并用符号 表示。 （2）含有全称量词的命题，叫做 ，其一般形式为 。 （3）常见的全称量词还有"一切""每一个""任给"等。 2．存在量词与存在量词命题 （1）短语"存在一个""至少有一个"在逻辑中通常叫做 ，并用符号 表示。 （2）含有存在量词的命题，叫做 ，其一般形式为 。 （3）常见的存在量词还有"有些""有一个""对某些""有的"等。 3．含量词命题的否定 （1）全称量词命题 ：， 的否定是 。 （2）存在量词命题 ：， 的否定是 。 （3）规律可以概括为： 量词， 结论。 4．真假判断的要诀 （1）要判断全称量词命题 ， 是真命题，必须对 中 元素 验证 成立；要说明它是假命题，只需 。 （2）要判断存在量词命题 ， 是真命题，只需 ； 要说明它是假命题，必须对 中 元素验证 不成立。 二、考点专练 考点一 两种量词命题的识别 方法与技巧： 1. 看句子里的关键词："所有、任意、一切、每一个"对应全称量词 ；"存在、至少有一个、有些、有的"对应存在量词 。 1. 写成符号形式的固定套路：， 或 ，，范围 写在量词后面。 1. ⚠ 既不含量词也不是明确陈述的句子（疑问句、开句）不是命题；只含一个量词才是含量词命题。 【例题精讲】 1．下列命题中是全称量词命题的是（　　） A．存在一个实数 ，使 B．所有的正方形都是矩形 C．至少有一个整数是负数 D．有的三角形是等边三角形 2．下列命题中是存在量词命题的是（　　） A．， B．有些实数的绝对值是正数 C．任意两个三角形都不全等 D．每一个有理数都是实数 【变式训练】 1．下列命题中是全称量词命题的是（　　） A．存在 ， B．对任意 ， C．至少有一个数能被 整除 D．有些自然数是负数 2．命题"对任意实数 ，都有 "用符号表示，正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．下列命题中不是全称量词命题的是（　　） A．所有的素数都是奇数 B．， C．存在 ，使 D．任意一个无理数都是实数 【巩固练习】 1．下列命题中是存在量词命题的是（　　） A．， B．存在 ， C．所有三角形的内角和都是 D．每一个正方形都有四条边 2．命题"存在一个实数 ，使 "用符号表示，正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．下列命题是存在量词命题的是（　　） A．每个实数的平方都是非负数 B．任意一个自然数都是整数 C．有些整数的平方是 D．所有的正方形都是矩形 5．下列命题中是全称量词命题的是（　　） A．存在实数 ，使 B．对一切实数 ， C．有一个角是直角的三角形是直角三角形 D．有些数能被 整除 6．下列命题中是存在量词命题的是（　　） A．， B．， C．若 ，则 D．， 是偶数 7．命题"有些三角形是等边三角形"是（　　） A．全称量词命题 B．存在量词命题 C．不是命题 D．不能判断真假的语句 8．下列命题中含有全称量词的是（　　） A．有一个实数 使 B．存在整数 使 C．每一个实数的平方都非负 D．有些菱形是正方形 考点二 含量词命题真假的判断 方法与技巧： 1. 全称量词命题判真难、判假易：找一个反例就能否定它；要判真必须说明对每个元素都成立（常配合配方或举反例）。 1. 存在量词命题判真易、判假难：只要举出一个满足条件的例子即可；判假要说明所有元素都不满足。 1. 常见套路：形如"存在实数 x 使某个二次式成立"的命题，可先把二次式配方，再看它能否取到要求的值；"对任意实数某个二次式恒为正"的命题，配方后看它的取值是否恒为正。 【例题精讲】 1．下列全称量词命题中，真命题是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．下列存在量词命题中，真命题是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．下列命题中是假命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．下列命题为假命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．下列命题中真命题的个数是（　　） ①，；②，；③，；④，。 A． B． C． D． 【巩固练习】 1．下列全称量词命题中是假命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．下列存在量词命题中是真命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．下列命题中是真命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．下列命题中是假命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 5．下列命题中为真命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 6．下列命题为真命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 7．命题"，"是（　　） A．真命题 B．假命题 C．无法判断 D．不是命题 8．命题"，"是（　　） A．真命题 B．假命题 C．以上都不对 D．不是命题 考点三 含量词命题的否定 方法与技巧： 1. 否定口诀："改量词、否结论"—— 变 ， 变 ，同时把后面的结论整体取反。 1. 常见结论的否定要写准： 的否定是 ， 的否定是 ， 的否定是 ，是的否定是不是。 1. ⚠ 只改量词而忘记否定结论（或只否定结论而忘记改量词）是最常见的错，两件事必须同时做。 【例题精讲】 1．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．命题"所有能被 整除的数都是偶数"的否定是（　　） A．所有能被 整除的数都不是偶数 B．存在一个能被 整除的数不是偶数 C．有些能被 整除的数是偶数 D．不存在能被 整除的偶数 2．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．命题"， 是正数"的否定是（　　） A．， 不是正数 B．， 不是正数 C．， 是正数 D．， 是负数 【巩固练习】 1．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．命题"有些三角形是直角三角形"的否定是（　　） A．有些三角形不是直角三角形 B．所有三角形都不是直角三角形 C．所有三角形都是直角三角形 D．存在三角形是直角三角形 4．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 5．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 6．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 7．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 8．命题"所有能被 整除的数都是偶数"的否定是（　　） A．存在能被 整除的数不是偶数 B．所有能被 整除的数都不是偶数 C．所有不能被 整除的数都是偶数 D．存在不能被 整除的数是偶数 考点四 由含量词命题的真假求参数 方法与技巧： 1. 把"命题为真"翻译成方程的条件：存在实数使方程成立 ⇔ 方程有实数根，可配方后判断；对任意实数二次式恒为正 ⇔ 配方后常数项为正。 1. ⚠ 二次项系数含参数时必须单独讨论系数为 的情形，此时命题退化为一次不等式，往往不恒成立。 1. 在某个给定的范围内，要判定命题对每一个元素都成立，就看最不利的那个取值；要判定存在某个元素使命题成立，只要能找到一种取法即可，两者方向相反，别记混。 【例题精讲】 1．已知命题 ：， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知命题 ：，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 或 【变式训练】 1．已知命题 ：∀ x∈{x｜ 0≤x≤2}， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知命题 ：∃ x∈{x｜ 0≤x≤2}， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知命题 ：，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知命题 ：， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 2．已知命题 ：，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知命题 ：∃ x∈{x｜ 1≤x≤3}， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知命题 ：∀ x∈{x｜ 1≤x≤3}， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知命题 ：，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 6．若命题"，"为真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若命题"，"为真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．若命题"，"为真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 考点五 含量词命题的综合应用 方法与技巧： 1. 原命题与它的否定真假一定相反：若"原命题为真"不便直接处理，可转而判断其否定为假。 1. ∀ x∈R，x2+2x+a≠ 0 与 ∃ x∈R，x2+2x+a=0 互为否定，两者对应的 a 的取值范围在数轴上恰好互补。 1. 求参数时把几个命题的真假分别化成不等式（组），再取交集。 【例题精讲】 1．已知命题 ：，。 （1）若 为真命题，求 的取值范围； （2）若 为真命题，求 的取值范围。 2．已知命题 ：，则 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 或 【变式训练】 1．已知命题 ：，则 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 或 2．已知命题 ：∀ x∈{x｜ 1≤x≤2}， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知命题 ：∃ x∈{x｜ 1≤x≤2}， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知命题 ：，则 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 或 2．已知命题 ：， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 3．已知命题 ：∀ x∈{x｜ 0≤x≤3}， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知命题 ：∃ x∈{x｜ 0≤x≤3}， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．若命题"，"为真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．命题 ："，"，则 的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 7．若命题"∃ x∈R，x2+ax+1=0"为假命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 8．已知命题 ："∀ x∈{x｜ 1≤x≤2}，"为真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 三、达标检测 1．下列命题中是全称量词命题的是（　　） A．存在实数 ，使 B．， C．有些自然数是质数 D．至少有一个整数是偶数 2．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．下列命题中是真命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．命题"所有实数都有相反数"的否定是（　　） A．所有实数都没有相反数 B．存在一个实数没有相反数 C．存在一个实数有相反数 D．以上都不对 5．已知命题 ：， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知命题 ：，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 7．已知命题 ：∀ x∈{x｜ 1≤x≤3}， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 9．命题"，"的否定是 。 10．命题"， 是正数"的否定是 。 11．已知命题 ：，。 （1）若 为真命题，求 的取值范围； （2）若 的否定为真命题，求 的取值范围。 12．已知命题 ：∃ x∈{x｜ 1≤x≤2}， 为真命题，命题 ：∀ x∈{x｜ 1≤x≤2}， 为真命题，求使 、 都为真命题的 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 全称量词与存在量词 考点预览 考点一 两种量词命题的识别 考点二 含量词命题真假的判断 考点三 含量词命题的否定 考点四 由含量词命题的真假求参数 考点五 含量词命题的综合应用 一、知识填空 1．全称量词与全称量词命题 （1）短语"所有的""任意一个"在逻辑中通常叫做 ，并用符号 表示。 （2）含有全称量词的命题，叫做 ，其一般形式为 。 （3）常见的全称量词还有"一切""每一个""任给"等。 2．存在量词与存在量词命题 （1）短语"存在一个""至少有一个"在逻辑中通常叫做 ，并用符号 表示。 （2）含有存在量词的命题，叫做 ，其一般形式为 。 （3）常见的存在量词还有"有些""有一个""对某些""有的"等。 3．含量词命题的否定 （1）全称量词命题 ：， 的否定是 。 （2）存在量词命题 ：， 的否定是 。 （3）规律可以概括为： 量词， 结论。 4．真假判断的要诀 （1）要判断全称量词命题 ， 是真命题，必须对 中 元素 验证 成立；要说明它是假命题，只需 。 （2）要判断存在量词命题 ， 是真命题，只需 ； 要说明它是假命题，必须对 中 元素验证 不成立。 自检自纠： 1．（1）全称量词； （2）全称量词命题；， 2．（1）存在量词； （2）存在量词命题；， 3．（1）， （2）， （3）改变；否定 4．（1）每一个；举出一个反例 （2）找到一个元素 使 成立；每一个 二、考点专练 考点一 两种量词命题的识别 方法与技巧： 1. 看句子里的关键词："所有、任意、一切、每一个"对应全称量词 ；"存在、至少有一个、有些、有的"对应存在量词 。 1. 写成符号形式的固定套路：， 或 ，，范围 写在量词后面。 1. ⚠ 既不含量词也不是明确陈述的句子（疑问句、开句）不是命题；只含一个量词才是含量词命题。 【例题精讲】 1．下列命题中是全称量词命题的是（　　） A．存在一个实数 ，使 B．所有的正方形都是矩形 C．至少有一个整数是负数 D．有的三角形是等边三角形 【答案】B 【详解】A、C、D 中的"存在一个""至少有一个""有的"都是存在量词，对应存在量词命题；B 中"所有的"是全称量词。故选 B。 2．下列命题中是存在量词命题的是（　　） A．， B．有些实数的绝对值是正数 C．任意两个三角形都不全等 D．每一个有理数都是实数 【答案】B 【详解】A、C、D 都含全称量词（"""任意""每一个"）；B 中"有些"是存在量词。故选 B。 【变式训练】 1．下列命题中是全称量词命题的是（　　） A．存在 ， B．对任意 ， C．至少有一个数能被 整除 D．有些自然数是负数 【答案】B 【详解】A、C、D 均为存在量词命题；B 中"对任意"是全称量词。故选 B。 2．命题"对任意实数 ，都有 "用符号表示，正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】"对任意"对应全称量词 ，结论是 ，故为 ，。故选 B。 3．下列命题中不是全称量词命题的是（　　） A．所有的素数都是奇数 B．， C．存在 ，使 D．任意一个无理数都是实数 【答案】C 【详解】A、B、D 都含全称量词；C 中"存在"是存在量词。故选 C。 【巩固练习】 1．下列命题中是存在量词命题的是（　　） A．， B．存在 ， C．所有三角形的内角和都是 D．每一个正方形都有四条边 【答案】B 【详解】A、C、D 都是全称量词命题；B 中"存在"是存在量词。故选 B。 2．命题"存在一个实数 ，使 "用符号表示，正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】"存在一个实数"即 ，结论为 。故选 B。 3．下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】A 是全称量词命题但 时不成立，是假命题；B 对任意自然数成立，为真；C、D 是存在量词命题（且都是假命题）。故选 B。 4．下列命题是存在量词命题的是（　　） A．每个实数的平方都是非负数 B．任意一个自然数都是整数 C．有些整数的平方是 D．所有的正方形都是矩形 【答案】C 【详解】A、B、D 不含存在量词；C 中"有些"是存在量词。故选 C。 5．下列命题中是全称量词命题的是（　　） A．存在实数 ，使 B．对一切实数 ， C．有一个角是直角的三角形是直角三角形 D．有些数能被 整除 【答案】B 【详解】A、D 含存在量词；C 是判断一类三角形的陈述，不含全称量词；B 中"对一切"是全称量词。故选 B。 6．下列命题中是存在量词命题的是（　　） A．， B．， C．若 ，则 D．， 是偶数 【答案】A 【详解】A 中含存在量词""，是存在量词命题；B、D 都是全称量词命题；C 是不含量词的普通命题。故选 A。 7．命题"有些三角形是等边三角形"是（　　） A．全称量词命题 B．存在量词命题 C．不是命题 D．不能判断真假的语句 【答案】B 【详解】"有些"等价于存在量词""，故该命题是存在量词命题，且为真命题。故选 B。 8．下列命题中含有全称量词的是（　　） A．有一个实数 使 B．存在整数 使 C．每一个实数的平方都非负 D．有些菱形是正方形 【答案】C 【详解】A 中"有一个"、B 中"存在"、D 中"有些"都是存在量词；C 中"每一个"是全称量词。故选 C。 考点二 含量词命题真假的判断 方法与技巧： 1. 全称量词命题判真难、判假易：找一个反例就能否定它；要判真必须说明对每个元素都成立（常配合配方、分类讨论等）。 1. 存在量词命题判真易、判假难：只要举出一个满足条件的例子即可；判假要说明所有元素都不满足。 1. 常见套路：形如"存在实数 x 使某个二次式等于 0"的命题，先把二次式配方，再看它能否取到 0；"对任意实数二次式恒为正"的命题，同样先配方，再看配方后的式子是否恒大于 0。 【例题精讲】 1．下列全称量词命题中，真命题是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】A 中 ，故 ，真；B 中取 则 ，假；C 中取 则 ，假；D 中取 则 ，假。故选 A。 2．下列存在量词命题中，真命题是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】A 中 不可能为 ；B 中整数平方不可能等于 ；C 中取 成立，为真；D 中自然数的平方非负。故选 C。 【变式训练】 1．下列命题中是假命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】，故 A 真、B 假；C 显然真；D 中取 为真。故选 B。 2．下列命题为假命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】A 中 或 成立；B 由绝对值定义知真；C 中 ，方程无实根，为假；D 中 故 ，真。故选 C。 3．下列命题中真命题的个数是（　　） ①，；②，；③，；④，。 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】①真；②假，；③真，取 ；④假，取 时 。真命题有 个。故选 B。 【巩固练习】 1．下列全称量词命题中是假命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】C 中取 时 ，不满足 ，为假；A、B、D 均为真命题。故选 C。 2．下列存在量词命题中是真命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】A 中 不是有理数；B 中 ；C 中取 成立；D 中自然数满足 需 ，不是自然数。故选 C。 3．下列命题中是真命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】A 中 时不成立；B 中方程 的 ，有实根，为真；C 中 或 时不成立；D 中自然数的平方非负。故选 B。 4．下列命题中是假命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】A 中 ，真；B 的 ，方程无实根，故 B 为假；C 中 成立；D 由 得 ，真。故选 B。 5．下列命题中为真命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】A 中 时 ，假；B 中取 得 ，真；C 中 时不成立，假；D 中自然数平方非负，假。故选 B。 6．下列命题为真命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】A 中 时 ，假； B 中取 即成立，真； C 中取 得 ，假； D 中 的解是无理数 ，不属于 ，假。故选 B。 7．命题"，"是（　　） A．真命题 B．假命题 C．无法判断 D．不是命题 【答案】A 【详解】逐一检验：，，，都成立，故为真命题。故选 A。 8．命题"，"是（　　） A．真命题 B．假命题 C．以上都不对 D．不是命题 【答案】B 【详解】，方程没有实数根，故找不到使等式成立的实数 ，命题为假。故选 B。 考点三 含量词命题的否定 方法与技巧： 1. 否定口诀："改量词、否结论"—— 变 ， 变 ，同时把后面的结论整体取反。 1. 常见结论的否定要写准： 的否定是 ， 的否定是 ， 的否定是 ，是的否定是不是。 1. ⚠ 只改量词而忘记否定结论（或只否定结论而忘记改量词）是最常见的错，两件事必须同时做。 【例题精讲】 1．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题：把 改为 ，并把 否定为 。故选 B。 2．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题： 改为 ，并把 否定为 。故选 B。 【变式训练】 1．命题"所有能被 整除的数都是偶数"的否定是（　　） A．所有能被 整除的数都不是偶数 B．存在一个能被 整除的数不是偶数 C．有些能被 整除的数是偶数 D．不存在能被 整除的偶数 【答案】B 【详解】原命题为全称量词命题，其否定应为"存在一个能被 整除的数不是偶数"。故选 B。 2．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】 改为 ， 否定为 。故选 A。 3．命题"， 是正数"的否定是（　　） A．， 不是正数 B．， 不是正数 C．， 是正数 D．， 是负数 【答案】B 【详解】全称量词命题的否定： 改为 ，并把"是正数"否定为"不是正数"。故选 B。 【巩固练习】 1．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】 改为 ， 否定为 。故选 A。 2．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】 改为 ， 否定为 。故选 B。 3．命题"有些三角形是直角三角形"的否定是（　　） A．有些三角形不是直角三角形 B．所有三角形都不是直角三角形 C．所有三角形都是直角三角形 D．存在三角形是直角三角形 【答案】B 【详解】"有些"（存在量词）的否定是"所有都不"，即"所有三角形都不是直角三角形"。故选 B。 4．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】 改为 ， 否定为 。故选 A。 5．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】 改为 ， 否定为 。故选 B。 6．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，并在结论上取反： 改为 ， 否定为 。故选 A。 7．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题： 改为 ， 否定为 。故选 B。 8．命题"所有能被 整除的数都是偶数"的否定是（　　） A．存在能被 整除的数不是偶数 B．所有能被 整除的数都不是偶数 C．所有不能被 整除的数都是偶数 D．存在不能被 整除的数是偶数 【答案】A 【详解】原命题是"（ 能被 整除）， 是偶数"，其否定为"（ 能被 整除）， 不是偶数"，即"存在能被 整除的数不是偶数"。故选 A。 考点四 由含量词命题的真假求参数 方法与技巧： 1. 把"命题为真"翻译成式子的取值条件：存在实数使某个式子取到题目要求的值 ⇔ 配方后看它被要求的取值能否达到。 1. ⚠ 二次项系数含参数时必须单独讨论系数为 的情形，此时命题退化为一次不等式，往往不恒成立。 1. 在某个给定的范围内，要判定命题对每一个元素都成立，就看最不利的那个取值；要判定存在某个元素使命题成立，只要能找到一种取法即可，两者方向相反，别记混。 【例题精讲】 1．已知命题 ：， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题为真即方程有实根，故 ，得 。故选 A。 2．已知命题 ：，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【详解】命题为真即方程 x2+ax+1=0 无实数根，需 Δ=a2−4<0，得 −2<a<2。故选 A。 【变式训练】 1．已知命题 ：∀ x∈{x｜ 0≤x≤2}， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 对一切 x∈{x｜ 0≤x≤2} 成立，由 x2≥ 0 知 a<0 时必成立，反过来取 x=0 就得 0>a。故 a<0。故选 A。 2．已知命题 ：∃ x∈{x｜ 0≤x≤2}， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】存在 x∈{x｜ 0≤x≤2} 使 ，由 0≤x≤2 及不等式性质得 x2≤ 4，故这样的 x 存在当且仅当 a<4（a<4 时取 x=2 即可）。故选 B。 3．已知命题 ：，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】命题为真即方程 x2+2x+a=0 无实数根，需 Δ=4−4a<0，得 a>1。故选 B。 【巩固练习】 1．已知命题 ：， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【详解】方程有实根，故 ，得 或 。故选 A。 2．已知命题 ：，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题为真即方程 x2−2x+m=0 无实数根，需 Δ=4−4m<0，得 m>1。故选 A。 3．已知命题 ：∃ x∈{x｜ 1≤x≤3}， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】存在 x∈{x｜ 1≤x≤3} 使 ，由 x≥ 1 知 a>1 时取 x=1 即满足；若 a≤ 1，任何这样的 x 都有 x≥ 1≥ a，不成立。故 a>1。故选 A。 4．已知命题 ：∀ x∈{x｜ 1≤x≤3}， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 对一切 x∈{x｜ 1≤x≤3} 成立，由 x≤ 3 知 a≥ 3 时必成立；反过来取 x=3 就得 3≤ a。故 a≥ 3。故选 A。 5．已知命题 ：，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【详解】命题为真即方程 x2+2ax+1=0 无实数根，需 Δ=4a2−4<0，即 a2<1，得 −1<a<1。故选 A。 6．若命题"，"为真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 x²+2x+a=(x+1)²+a−1，要存在实数使该式小于 0，取 x=−1 时 (x+1)²=0，故只需 a−1<0，即 a<1。故选 D。 7．若命题"，"为真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 x²−2x+m=(x−1)²+m−1，而 (x−1)²≥0，要使它对一切实数都不小于 0，只需 m−1≥0，即 m≥1。故选 A。 8．若命题"，"为真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分两类：① 时方程为 ，有实根 ，符合；② 时需 ，得 且 。综上 。故选 D。 考点五 含量词命题的综合应用 方法与技巧： 1. 原命题与它的否定真假一定相反：若"原命题为真"不便直接处理，可转而判断其否定为假。 1. ∀ x∈R，x2+2x+a≠ 0 与 ∃ x∈R，x2+2x+a=0 互为否定，两者对应的 a 的取值范围在数轴上恰好互补。 1. 求参数时把几个命题的真假分别化成不等式（组），再取交集。 【例题精讲】 1．已知命题 ：，。 （1）若 为真命题，求 的取值范围； （2）若 为真命题，求 的取值范围。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）p 为真即方程 x2+2x+a=0 无实数根，需 Δ=4−4a<0，得 a>1。 （2）¬ p 为真即存在实数 x 使 x2+2x+a=0，需 Δ=4−4a≥ 0，得 a≤ 1。（也可直接取（1）中范围的补集。） 2．已知命题 ：，则 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【详解】命题为真即方程 x2+ax+a=0 有实数根，需 Δ=a2−4a≥ 0，即 a(a−4)≥ 0，得 a≤ 0 或 a≥ 4。故选 D。 【变式训练】 1．已知命题 ：，则 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 或 【答案】A 【详解】命题为真即方程 x2+ax+a=0 无实数根，需 Δ=a2−4a<0，即 a(a−4)<0，得 0<a<4。故选 A。 2．已知命题 ：∀ x∈{x｜ 1≤x≤2}， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 对一切 x∈{x｜ 1≤x≤2} 成立，由 1≤x 且 x>0 得 x2≥ 1，故 a≤ 1 时必成立；反过来取 x=1 就得 1≥ a。故 a≤ 1。故选 A。 3．已知命题 ：∃ x∈{x｜ 1≤x≤2}， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】存在 x∈{x｜ 1≤x≤2} 使 ，由 1≤x≤2 及不等式性质得 x2≤ 4，故 a≤ 4 时取 x=2 即满足；若 a>4，任何这样的 x 都有 x2<a，不成立。故 a≤ 4。故选 A。 【巩固练习】 1．已知命题 ：，则 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 或 【答案】A 【详解】命题为真即方程 x2−2ax+a=0 无实数根，需 Δ=4a2−4a<0，即 a(a−1)<0，得 0<a<1。故选 A。 2．已知命题 ：， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【详解】方程有实根，需 ，即 ，得 或 。故选 A。 3．已知命题 ：∀ x∈{x｜ 0≤x≤3}， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 对一切 x∈{x｜ 0≤x≤3} 成立，由 0≤x≤3 及不等式性质得 x2≤ 9，故 a>9 时必成立；反过来取 x=3 就得 9<a。故 a>9。故选 A。 4．已知命题 ：∃ x∈{x｜ 0≤x≤3}， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】存在 x∈{x｜ 0≤x≤3} 使 ，若 a≤ 0，由 x2≥ 0 知任何 x 都有 x2≥ a，不成立；故需 a>0（此时取 x=0 即可）。故 a>0。故选 A。 5．若命题"，"为真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题为真即方程 无实根，故 ，得 。故选 A。 6．命题 ："，"，则 的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】 改为 ， 否定为 。（原命题为真，因为 ；其否定为假命题。）故选 A。 7．若命题"∃ x∈R，x2+ax+1=0"为假命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【详解】该命题为假，即方程 x2+ax+1=0 无实数根，需 Δ=a2−4<0，得 −2<a<2。故选 A。 8．已知命题 ："∀ x∈{x｜ 1≤x≤2}，"为真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】命题为真即对 {x｜ 1≤x≤2} 内每个 都有 ，由 1≤x 且 x>0 得 x2≥ 1，故 a≤ 1 时必成立；反过来取 x=1 就得 a≤ 1。故 a≤ 1。故选 B。 三、达标检测 1．下列命题中是全称量词命题的是（　　） A．存在实数 ，使 B．， C．有些自然数是质数 D．至少有一个整数是偶数 【答案】B 【详解】A、C、D 均为存在量词命题，B 中的 是全称量词。故选 B。 2．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】改量词、否结论： 改为 ， 否定为 。故选 A。 3．下列命题中是真命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】A 中 时不成立；B 中取 成立，为真；C 中 时不成立；D 中实数的平方非负。故选 B。 4．命题"所有实数都有相反数"的否定是（　　） A．所有实数都没有相反数 B．存在一个实数没有相反数 C．存在一个实数有相反数 D．以上都不对 【答案】B 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，即"存在一个实数没有相反数"。故选 B。 5．已知命题 ：， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程有实根，需 ，得 。故选 A。 6．已知命题 ：，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【详解】命题为真即方程 x2−ax+1=0 无实数根，需 Δ=a2−4<0，得 −2<a<2。故选 A。 7．已知命题 ：∀ x∈{x｜ 1≤x≤3}， 是真命题，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 对一切 x∈{x｜ 1≤x≤3} 成立，由 x≥ 1 知 a≤ 1 时必成立；反过来取 x=1 就得 1≥ a。故 a≤ 1。故选 A。 8．命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】改量词、否结论， 的否定是 。故选 A。 9．命题"，"的否定是 。 【答案】， 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题：把 改为 ，并把 否定为 。 10．命题"， 是正数"的否定是 。 【答案】， 不是正数 【详解】把 改为 ，并把结论"是正数"否定为"不是正数"。 11．已知命题 ：，。 （1）若 为真命题，求 的取值范围； （2）若 的否定为真命题，求 的取值范围。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）p 为真即方程 x2+2x+a=0 无实数根，需 Δ=4−4a<0，即 a>1。 （2）p 的否定为真即存在实数 x 使 x2+2x+a=0，需 Δ=4−4a≥ 0，即 a≤ 1。 12．已知命题 ：∃ x∈{x｜ 1≤x≤2}， 为真命题，命题 ：∀ x∈{x｜ 1≤x≤2}， 为真命题，求使 、 都为真命题的 的取值范围。 【答案】 【详解】 为真：存在 x∈{x｜ 1≤x≤2} 使 ，由 1≤x≤2 及不等式性质得 x2≤ 4，故这样的 x 存在当且仅当 a<4（a<4 时取 x=2 即可）。 为真：对一切 x∈{x｜ 1≤x≤2} 有 ，由 1≤x 且 x>0 得 x2≥ 1，故 a<1 时必成立；反过来取 x=1 就得 1>a。故 a<1。 两者都真需取交集，即 。 学科网（北京）股份有限公司 $