1.5 全称量词与存在量词 专项训练（暑期预习）-2026-2027学年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦全称量词与存在量词，构建“概念-判断-否定-应用”四层方法体系，通过易错点警示强化符号化表达与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与符号|基础题5道|量词符号化表示（∀/∃）及命题形式|从自然语言量词抽象为符号，建立命题形式化表达| |命题判断|辨析题4道|真假判断规则（全称：全真为真/一假为假；存在：一真为真/全假为假）|基于集合元素属性推导命题真假判定逻辑| |命题否定|核心题6道|否定法则（量词与结论同时否定，∀↔∃）|原命题与否定命题真假对立关系的推理应用| |易错点|综合题10道|省略量词识别、否定改写步骤规范|针对“仅否结论”等典型错误，强化逻辑严谨性|

1.5全称量词与存在量词 一、基本概念与符号 1. 全称量词：表示“整体或全部”的短语，如所有的、任意一个、一切、每一个、任何等，符号表示为 ∀。 全称量词命题：含有全称量词的命题，形式记为 ∀x∈M, p(x)，读作“对M中任意一个x，p(x)成立”。 2. 存在量词：表示“个别或部分”的短语，如存在一个、至少有一个、有些、有的等，符号表示为 ∃。 存在量词命题（也称特称命题）：含有存在量词的命题，形式记为 ∃x∈M, p(x)，读作“存在M中的元素x，使p(x)成立”。 二、命题真假的判断规则 1. 全称量词命题（∀x∈M, p(x)） 真命题：集合M中每一个元素x都使p(x)成立（全真为真）。 假命题：只要在集合M中能举出一个反例x，使得p(x)不成立即可（一假为假）。 3. 存在量词命题（∃x∈M, p(x)） 真命题：在集合M中至少能找到一个x₀，使得p(x)成立（一真为真）。 假命题：集合M中所有元素x都使p(x)不成立（全假为假）。 三、含有一个量词的命题的否定（核心难点） 对命题进行否定时，需要同时改变量词和结论： 1. 全称量词命题的否定 原命题：∀x∈M, p(x) 否定：∃x∈M, ¬p(x)（即：存在一个x∈M，使p(x)不成立） 结论：全称量词命题的否定是存在量词命题。 2. 存在量词命题的否定 原命题：∃x∈M, p(x) 否定：∀x∈M, ¬p(x)（即：对M中任意一个x，p(x)都不成立） 结论：存在量词命题的否定是全称量词命题。 真假关系：原命题与其否定命题的真假性恰好相反（一真一假）。 四、常见易错点提醒 1. 改写否定命题时，容易只否定结论却忘记改变量词（如把∀改为∃，把∃改为∀）。 2. 日常生活中有些语句会省略量词，例如“正方形是矩形”隐含了“所有的”，实质是全称量词命题。 一、单选题 1．已知命题p：，则是（   ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 4．若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 5．若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 6．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 7．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 8．已知命题：，，则命题的否定为（     ） A．， B．， C．， D．， 9．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．已知命题，；命题，，则（      ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 11．若命题“已知，，有”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 13．命题的否定为（  ） A． B． C． D． 14．下列是全称量词命题，且为真命题的是（    ） A． B． C．自然数都大于零 D．分数是有理数 15．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题 16．命题“”的否定是______. 17．命题“，”的否定是______. 18．给出下列命题： （1），；（2），；（3），，使得． 其中真命题的个数为______． 19．若“，”是假命题，则实数a的取值范围为______. 20．若命题p：“，”是假命题，命题q：，，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 三、解答题 21．已知关于x的方程， (1)若，使方程只有一个实数根，求a的值. (2)若，方程至少有一个大于1的根，求集合M. 22．已知命题，，命题，.若p为真命题、q为假命题，求实数m的取值范围. 23．已知或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 24．已知集合，集合或. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 25．已知集合，且． (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5全称量词与存在量词 一、基本概念与符号 1. 全称量词：表示“整体或全部”的短语，如所有的、任意一个、一切、每一个、任何等，符号表示为 ∀。 全称量词命题：含有全称量词的命题，形式记为 ∀x∈M, p(x)，读作“对M中任意一个x，p(x)成立”。 2. 存在量词：表示“个别或部分”的短语，如存在一个、至少有一个、有些、有的等，符号表示为 ∃。 存在量词命题（也称特称命题）：含有存在量词的命题，形式记为 ∃x∈M, p(x)，读作“存在M中的元素x，使p(x)成立”。 二、命题真假的判断规则 1. 全称量词命题（∀x∈M, p(x)） 真命题：集合M中每一个元素x都使p(x)成立（全真为真）。 假命题：只要在集合M中能举出一个反例x，使得p(x)不成立即可（一假为假）。 3. 存在量词命题（∃x∈M, p(x)） 真命题：在集合M中至少能找到一个x₀，使得p(x)成立（一真为真）。 假命题：集合M中所有元素x都使p(x)不成立（全假为假）。 三、含有一个量词的命题的否定（核心难点） 对命题进行否定时，需要同时改变量词和结论： 1. 全称量词命题的否定 原命题：∀x∈M, p(x) 否定：∃x∈M, ¬p(x)（即：存在一个x∈M，使p(x)不成立） 结论：全称量词命题的否定是存在量词命题。 2. 存在量词命题的否定 原命题：∃x∈M, p(x) 否定：∀x∈M, ¬p(x)（即：对M中任意一个x，p(x)都不成立） 结论：存在量词命题的否定是全称量词命题。 真假关系：原命题与其否定命题的真假性恰好相反（一真一假）。 四、常见易错点提醒 1. 改写否定命题时，容易只否定结论却忘记改变量词（如把∀改为∃，把∃改为∀）。 2. 日常生活中有些语句会省略量词，例如“正方形是矩形”隐含了“所有的”，实质是全称量词命题。 一、单选题 1．已知命题p：，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称量词命题否定的定义改变量词，否定结论即可. 【详解】命题p：的否定为：， 故选：C. 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】直接用特称（存在）量词写出命题的否定即可. 【详解】因为全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：A 3．下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的概念判断即可. 【详解】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A 4．若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中两个命题的真假求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系可得结论. 【详解】当时，；当时，. 若“，”为真命题，则； 若“，”为假命题，即命题“，”为真命题，所以，， 所以，，由题意可知，且， 故符合条件集合可为. 故选：B. 5．若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题的真假确定集合中的元素具有的性质，得正确结论． 【详解】“”为真命题，， 因此做这个中含有 上的数， “”为假命题，则中有不小于2的元素， 只有C选项的集合M满足题意. 故选：C． 6．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 7．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】根据命题否定的定义可知，，的否定为，. 8．已知命题：，，则命题的否定为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】若命题：，，则命题的否定是，. 9．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可知方程无实数根，讨论与0的关系即可列出不等式求解. 【详解】命题“，”为假命题， 则方程无实数根， 当时，，符合题意， 当时，即，解得：； 综上：. 故选：A. 10．已知命题，；命题，，则（      ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】因为，所以是假命题，是真命题； 若，则；若，则， 故是真命题. 11．若命题“已知，，有”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用函数性质求出，根据全称命题为真直接求参即可. 【详解】由，得，要使，有，只需， 所以实数m的取值范围是 12．下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【答案】D 【分析】对于选项A，将集合的子集一一列出，即可判断A错误；对于选项B，根据梯形的性质即可判断B错误；对于选项C，取特值，即可判断C错误；对于选项D，取特值，即可判断D正确. 【详解】对于A选项，集合的子集包括，，和，共个，故A错误； 对于B选项，仅等腰梯形的对角线相等，一般梯形的对角线并不相等，故B错误； 对于C选项，令，为无理数，则，为有理数，故C错误； 对于D选项，令，为无理数，则，为有理数，故D正确. 故选：D 13．命题的否定为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，直接写出即可. 【详解】根据特称命题的否定是全称命题， 所以命题的否定为. 故选:D. 【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题． 14．下列是全称量词命题，且为真命题的是（    ） A． B． C．自然数都大于零 D．分数是有理数 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的特征，以及真命题判断方法结合选项逐一求解. 【详解】对于A，该命题是全称量词命题，当时，，即该命题是假命题，故A不合题意； 对于B，，其中“”是存在量词，所以该命题是存在量词命题，故B不符合题意； 对于C，该命题是全称量词命题，因0是自然数，但并不大于，即该命题是假命题，故C不符合题意； 对于D，“分数是有理数”可理解为“任意一个分数都是有理数”，是全称量词命题； 因有理数是整数和分数的统称，所以分数一定是有理数，该命题为真命题，即D符合题意. 故选：D. 15．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合元素与集合间关系及特称量词与全称量词的关系逐项判断即可得. 【详解】结合元素与集合间关系及特称量词与全称量词的关系逐项判断即可得. 对于A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可， 例如，满足且，故A正确； 对于B，，这是存在性命题，因集合是集合的真子集， 故不存在集合中的元素不属于集合，故B错误； 对于C，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合， 而属于集合，也属于集合，故C错误； 对于D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合， 而属于集合，但不属于集合，故D错误． 二、填空题 16．命题“”的否定是______. 【答案】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知： 命题“”的否定为“”. 故答案为： 17．命题“，”的否定是______. 【答案】， 【分析】全称命题的否定是特称命题. 【详解】， 否定是：，. 故答案为：， 18．给出下列命题： （1），；（2），；（3），，使得． 其中真命题的个数为______． 【答案】1 【分析】由时，；，当，时，，可判断真命题的个数. 【详解】对于（1），当时，，所以（1）是假命题； 对于（2），，所以（2）是假命题； 对于（3），当，时，，所以（3）是真命题． 所以共有1个真命题， 故填：1. 【点睛】本题考查全称命题和特称命题的判断，属于基础题. 19．若“，”是假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】写出命题的否定，根据的否定为真命题，由即可求出的范围. 【详解】若“，”是假命题，则其否定若“，”是真命题， 所以，解得,故实数a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查命题的否定及根据命题的真假求参数值，属于基础题. 20．若命题p：“，”是假命题，命题q：，，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】对于命题，根据其为假命题,得到否定为真命题，可得出关于的不等式；对于命题，根据其为真命题也可得出关于的不等式，最后求这两个不等式的交集得到的取值范围. 【详解】因为命题是假命题， 那么它的否定是真命题. 对于二次函数，其判别式. 展开得到，解得.即. 命题是真命题，即对恒成立. 所以，解得. 综合以上两个命题的结果，取交集可得的取值范围是 故答案为： 三、解答题 21．已知关于x的方程， (1)若，使方程只有一个实数根，求a的值. (2)若，方程至少有一个大于1的根，求集合M. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分和讨论，当时因式分解解方程，根据两根相等可解； （2）分和讨论，当时，由两根所满足条件列不等式求解可得. 【详解】（1）由题知，方程只有一个实数根， 当时，解得，符合题意； 当时，分解因式得，解得或， 则有，得. 综上，或. （2）当时，，符合题意， 当时，由（1）可知，方程的两根为， 因为方程至少有一个大于1的根， 所以或，解得或，且. 综上， 22．已知命题，，命题，.若p为真命题、q为假命题，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】根据命题的真假，转化为问题恒成立或有解问题，列出对应不等式组，可得答案. 【详解】由命题p是真命题，则，对恒成立，即对恒成立. 当时，，所以，即； 由命题q是假命题，则，使得为真命题，即关于x的方程有实数根： ①当时，有实数根； ②当时；依题意得，即且， 综上①②，可得. 因为p为真命题、q为假命题，所以实数m的取值范围是. 23．已知或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意得到是假命题，结合一元二次方程的性质，列出不等式即可求解； （2）根据（1）的结论，得出命题是真命题的范围，再将问题转化为集合间的真子集关系，从而得到不等式组即可求解. 【详解】（1）因为命题是真命题，所以命题是假命题，即关于的方程无实数根. 当时，方程无解，符合题意； 当时，，解得. 故实数的取值范围是. （2）由（1）知若命题是真命题，则或. 因为命题是命题的必要不充分条件， 所以或⫋或， 则解得， 所以实数的取值范围是. 24．已知集合，集合或. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)或. 【分析】（1）先求出集合，再根据交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而根据包含关系求解. 【详解】（1）当时，，而或， 则，或. （2）若命题“，都有”是真命题，则， 由题意，则或，即或， 故的取值范围为或. 25．已知集合，且． (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，可得，根据集合间的关系，列出不等式组，即可得答案. （2）由题意，可得A，根据包含关系，列出不等式组，综合即可得答案. 【详解】（1）若“命题，”是真命题，则， 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围. （2）若是的必要不充分条件，则A， 因为，所以，等号不能同时取到， 解得， 所以实数的取值范围 1 学科网（北京）股份有限公司 $