专题1.2 集合间的基本关系专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题1.2 集合间的基本关系 考点预览 考点一 子集、真子集的判断与符号 考点二 集合相等的应用 考点三 子集的个数 考点四 由包含关系求参数 考点五 集合关系的综合应用 一、知识填空 1．子集 （1）一般地，对于两个集合 ，，如果集合 中 一个元素都是集合 中的元素，就称集合 为集合 的 ，记作 ，读作" 包含于 "。 （2）用韦恩图表示子集关系时，应把集合 画在集合 的 。 （3）任何一个集合都是它本身的子集，即 。 2．真子集 如果 ，但存在元素 且 ，就称集合 是集合 的真子集，记作 。 3．集合相等 （1）如果 ，且 ，就称集合 与集合 相等，记作 。 （2）判断两个集合相等有两种途径：一是元素完全相同；二是证明 同时成立。 4．空集 （1） 的集合叫做空集，记作 。 （2）空集是任何集合的 ，即 ； 空集是任何 集合的真子集。 （3）由子集的定义可知， 与 的关系是 。 5．子集的个数公式 若有限集合 中含有 个元素，则 的子集共有 个，真子集共有 个，非空子集共有 个，非空真子集共有 个。 自检自纠： 1．（1）任意；子集； （2）内部 （3） 2．； 3．（1）； （2） 与 4．（1）不含任何元素； （2）子集；非空 （3） 5．；；； 二、考点专练 考点一 子集、真子集的判断与符号 方法与技巧： 1. 分清"元素与集合"用 、，"集合与集合"用 、。见到 或 这类混用写法，直接判错。 1. 判断 是不是 的子集：把 中每个元素逐一拿去对照 ，全在 中才是子集；只要漏掉一个就连子集都不是。 1. 空集的特殊性： 对任何集合 都成立，但 只对非空集合成立。 【例题精讲】 1．下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A 中 是元素，与集合之间只能用 ，且写法 错误；B 中 是非空集合 的真子集，正确；C 中 不含任何元素，错误；D 中 含元素 ，不是空集的子集。故选 B。 2．已知集合 ，，则 与 的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 ，故 。故选 C。 【变式训练】 1．下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A 中 是集合，与 之间不能用 ；B 中空集是任何集合的子集，正确；C 中 但 ，不是子集；D 中真子集要求不相等，而两集合相等。故选 B。 2．集合 ，，则（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【详解】 是全体偶数集， 是全体 的倍数组成的集合。 的倍数一定是偶数，故 ；但 而 ，故 。故选 B。 3．已知 是小于 的正整数，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，与 元素完全相同。故选 C。 【巩固练习】 1．下列关系中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】C 中 是集合， 的元素只有 ，二者之间应是包含关系而非属于关系。故选 C。 2．已知 ，则下列集合中与 相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A 中方程两根为 ，，集合为 ；B 中不等式的解为 ，是无限集；C 表示满足 0<x<3 的所有实数；D 为 。故选 A。 3．若 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，令 ，则 中的元素都可写成 的形式，与 完全相同。故选 A。 4．下列命题中正确的是（　　） A．空集没有子集 B．任何集合至少有两个子集 C．空集是任何集合的真子集 D．若 ，则 【答案】D 【详解】A 错，空集的子集是它本身；B 错，空集只有一个子集；C 错，空集不是空集的真子集；D 对，由真子集定义知 中必有不在 中的元素。故选 D。 5．设集合 ，，则（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【详解】由 得 或 ，故 。故选 C。 6．下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A 中空集是任何非空集合的真子集，正确； B 中空集不含任何元素，； C 中 含一个元素 ，与空集不同； D 中 是 的子集，应写 。故选 A。 7．已知 ，，则 与 的关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】由 得 ，故 ；由 同样得 ，故 。两者元素完全相同，。故选 C。 8．集合 的子集共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【详解】集合 的子集为 与 ，共 个。故选 B。 考点二 集合相等的应用 方法与技巧： 1. "集合相等"的代数化：两个集合相等 它们的元素完全对应，据此把含参式子一对一列方程。 1. 由相等求参时，先分情形列出所有可能的情形，再逐一代回检验互异性，舍去使元素重复的值。 1. 常用捷径：两个集合都以一元二次方程的解为元素时，把已知的根逐一代入方程列方程组，比先解方程再对比更省事。 【例题精讲】 1．已知集合 ，，若 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【详解】由 得 （因为 已经对应），即 ，故 或 ；当 时 ，违反互异性，舍去； 时 ，，成立。故选 A。 2．已知 ，，若 ，则 ， 的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】两根为 ，，把两根分别代入方程得 4+2p+q=0 与 9+3p+q=0，两式相减得 p=−5，代回得 q=6。故选 B。 【变式训练】 1．已知集合 ，，若 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 或 【答案】A 【详解】由 且两集合都含 的一次式，先试对应 且 ，得 ；另一组对应 无解。检验 ：，，成立。故选 A。 2．已知 ，，则 与 的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两者都表示全体奇数组成的集合：，即 中元素都是奇数，；反之 ，。故 。故选 A。 3．已知集合 ，，且 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【详解】由 得 ，即 ，解得 或 ； 时 ，违反互异性，舍去； 时 ，成立。故选 A。 【巩固练习】 1．若 （，），则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】两集合相等，故 ，，即 ，，。故选 C。 2．已知集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】两根为 ，，故 （同时和 与一次项系数吻合）。故选 B。 3．已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 的倍数一定是 的倍数，故 ；但 而 ，故 。故选 C。 4．已知集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。方程 可分解为 ，故 ；由 得 。故选 A。 5．已知集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。把 代入 得 ，故 恒为根，另一根为 ，即 ；由 得 ，故 。故选 C。 6．已知集合 ，则 ， 的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解集为 {2} 说明方程两根相等，故左边可写成 (x−2)²=0，展开得 x²−4x+4=0，与 x²+ax+b=0 对比得 a=−4，b=4。故选 A。 7．已知集合 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 各取 ，和的最小值为 ，最大值为 ，且 到 之间的每个整数都能取到，故 。故选 C。 8．若 ，，则（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【详解】当 取遍整数时， 与 都表示全体奇数，故 、 都是奇数集，。故选 C。 考点三 子集的个数 方法与技巧： 1. 记死公式： 元集合的子集 个、真子集 个、非空子集 个、非空真子集 个。 1. 求"含指定元素的子集个数"：先把必须含的元素固定下来，剩下的元素每个都有"取或不取"两种选择，逐个相乘即可。 1. ⚠ 子集个数为 等价于 ；子集个数为 等价于 为单元素集——这是反推参数的关键。 【例题精讲】 1．集合 的子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 个元素，每个元素都有"取"与"不取"两种选择，故子集个数为 。故选 C。 2．集合 的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】子集共 个，去掉它本身，真子集为 个。故选 B。 【变式训练】 1．满足 的集合 的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 必含元素 ，再从 ， 中取若干个，且 。故 可以是 、、，共 个。故选 B。 2．集合 的非空真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，非空真子集为 个，即 、。故选 B。 3．若集合 的子集共有 个，则 的真子集有（　　）个 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ，真子集个数为 。故选 B。 【巩固练习】 1．集合 的非空子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】子集共 个，去掉空集，非空子集为 个。故选 B。 2．已知集合 ，则 的子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，有 个元素，子集个数为 。故选 C。 3．若集合 有 个元素，则 的非空真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】非空真子集个数为 。故选 A。 4．已知集合 ，则 的子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，有 个元素，子集个数为 。故选 C。 5．若集合 只有 个子集，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】只有 个子集即 为空集。当 时方程有解， 非空；当 a≠ 0 时，两边乘 a 配方得 (2ax−3)2=9−8a，A 为空集需 9−8a<0，得 a>98。故选 A。 6．集合 的真子集共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】A 【详解】 个元素的集合共有 个子集，去掉它自身，真子集有 个。故选 A。 7．满足 的集合 的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 必含元素 ，且是 的真子集，故 可以为 、、，共 个。故选 B。 8．已知集合 ，则 的子集共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【详解】由 得 或 ，故 。 个元素的集合共有 个子集。故选 C。 考点四 由包含关系求参数 方法与技巧： 1. 含参数的集合是 或 型时，先把 的情况单独讨论，此时最高次项系数为 。 1. 用不等式表示的两个集合，若前一个的元素都在后一个中：画数轴，把两个集合的范围端点对齐比较，同时检查端点能否取等（端点重合时必须单独验证）。 命题人最爱的陷阱：漏掉 ；以及 的含参元素代入后使集合出现重复元素。 【例题精讲】 1．已知 ，，若 ，则 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当 时，方程 无解，，空集是任何集合的子集，符合；当 时 ，由 得 或 。故 。故选 B。 2．已知 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】B={x｜ x<a}，A={x｜ x<1}。要使 中所有元素都小于 ，需 。当 时 ，仍满足 。故选 A。 【变式训练】 1．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当 时，，即 ，符合；当 时，，还需 且 ，即 且 ，故 。两种情况合并得 。故选 A。 2．已知集合 ，，若 ，则 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 或 【答案】B 【详解】由 得 ；当 时 ，不满足互异性，舍去；故 ，取值集合为 。故选 B。 3．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 中所有元素都要落入 B={x｜ x≤a}，故 至少要等于 的上界 ，即 。故选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，，若 ，则 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 （ 时 违反互异性）。故选 C。 2．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 即 ， 中所有元素都要大于 ，故 。故选 A。 3．已知集合 ，，若 ，则 的取值是（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【详解】。 由方程 的根组成： ① 若 ，配方得 (x+m2)2=m24−2，需 m24−2<0，即 −22<m<22； ② 若 为单元素集，需重根为 或 ，但重根满足两根之积为根的平方，，，均不可能； ③ 若 ，则 ，且积 吻合。 故 的取值范围是 或 。故选 C。 4．已知集合 ，，则（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【详解】两者都是全体奇数集。设 ，则 为奇数，；设 ，：当 为偶数， 时 ；当 为奇数， 时 ，故 ，。从而 。故选 C。 5．已知集合 ，，若 ，则 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。当 时 ，符合；当 时 ，由 得 或 。故 。故选 B。 6．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】数轴上 是 {x｜ −1≤x≤2}， 是 {x｜ x≤a}，要 需 在 的右侧或与 重合，即 。故选 B。 7．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】注意端点的开闭： 中含 ，故必须 （不能取等号，否则 ），即 。故选 D。 8．已知 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A 表示 1≤x≤3 的实数，B 表示 a−1≤x≤a+1 的实数，两者范围的跨度都是 2。要使 B 的元素都在 A 中，只能两者完全重合，故 a−1=1 且 a+1=3，解得 a=2。故选 B。 考点五 集合关系的综合应用 方法与技巧： 1. 求"满足条件的集合 的个数"：把约束翻译成对 元素的规定，再数可选元素的自由组合（注意排除 B 与题中给定集合相同的情形）。 1. 用不等式表示的含参集合，讨论包含问题时：一律画数轴，端点比较 + 单独验证端点相等是否可行。 1. 解集型集合相等：把已知的根逐一代入方程，列方程组求参数，比先解方程再对比更快。 【例题精讲】 1．已知集合 ，若 ，则满足条件的集合 的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 的子集共有 个，每个子集都可作为 。故选 C。 2．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A．{x｜ −2≤x≤1} B．{x｜ −2<x<1} C．{x｜ −2≤x<1} D．{x｜ −2<x≤1} 【答案】A 【详解】B 中总有元素（两端相差 3），由 B 的元素都在 A 中得 a≥−2 且 a+3≤4，即 −2≤a≤1。故选 A。 【变式训练】 1．已知集合 ，，若 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 或 【答案】B 【详解】。，故 ；由 得 （ 时 ，不等）。故选 B。 2．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 中所有元素都要不小于 ，故 不大于 的下界 ，即 。故选 A。 3．设集合 ，，若 ，则实数 的取值构成的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。当 时 ，符合；当 时 ，由 得 或 。故 。故选 B。 【巩固练习】 1．若 ，则 的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 或 ，，真子集个数为 。故选 C。 2．设 ，，若 ，则 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。，方程的根为 与 。当 时方程有重根，（重根只算一个元素），满足 ；当 时 ，也满足。故 。故选 C。 3．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【详解】当 时，，即 ，符合； 当 时，，即 ，还需 且 ，即 。 合并得 或 。故选 C。 4．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A．{x｜ −1≤x≤2} B．{x｜ −1<x<2} C．{x｜ −1≤x<2} D．{x｜ −1<x≤2} 【答案】A 【详解】由 得 ，即 ，故 A={x｜ −1≤x≤4}。 非空，由 得 且 ，即 。故选 A。 5．已知集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，两根和 ，积 ，故 ，，。故选 A。 6．已知集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，两根之和 ，而方程 的两根之和为 ，由 得 。故选 A。 7．设 ，，若 A 与 B 没有公共元素，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A 表示 −2<x<3 的实数，B 表示 x>a 的实数。两者没有公共元素需 a≥3；当 a=3 时 B 表示 x>3 的实数，与 A 确实没有公共元素，端点可以取到。故选 B。 8．已知集合 ，，若 ，则 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。当 时方程无解，，符合；当 时 ，由 得 ，由 得 。故 。故选 A。 三、达标检测 1．下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A 中 与 是集合间关系，应写成 ；B 中 含元素 ，不是 的子集；C 正确；D 中 是集合，不能作为 的元素。故选 C。 2．集合 的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】真子集个数为 。故选 B。 3．已知 ，，则 与 的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 ，。故选 C。 4．满足 的集合 的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 必含 ，，再从 ， 中任取若干个，但不能取满两个（否则等于 ）。故可取 、、，共 个。故选 B。 5．若集合 是集合 的子集，则 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当 时 ，符合；当 时 ，由 得 或 。故 。故选 C。 6．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 非空，由 得 且 ，即 。故选 A。 7．若集合 有 个元素，则 的非空子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】非空子集个数为 。故选 B。 8．已知集合 ，，则（　　） A． B． C． D． 且 【答案】B 【详解】 中元素 是偶数，故 ；但 而 （ 无整数解），故 。故选 B。 9．集合 的所有子集为 。 【答案】、、、 【详解】 个元素，子集共 个，按元素个数从少到多依次为：、、、。 10．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是 。 【答案】 【详解】 中所有元素都要小于 ，因此 不小于 的上界 ，即 。当 时 仍成立。 11．已知集合 ，，若 ，求实数 的取值范围。 【答案】 或 【详解】① 当 时，，即 ，符合题意； ② 当 时，，即 ，再由 得 且 ，即 且 ，故 。 综上， 或 。 12．已知集合 ，。 （1）若 ，求 的取值集合； （2）若 ，求 的值。 【答案】（1）；（2） 【详解】。方程 即 ，其根为 与 。 （1）当 时方程有重根，，满足 ；当 时 ，由 得 ，故 。所以 的取值集合为 。 （2）由 得 ，故 ；此时 ，符合要求。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 集合间的基本关系 考点预览 考点一 子集、真子集的判断与符号 考点二 集合相等的应用 考点三 子集的个数 考点四 由包含关系求参数 考点五 集合关系的综合应用 一、知识填空 1．子集 （1）一般地，对于两个集合 ，，如果集合 中 一个元素都是集合 中的元素，就称集合 为集合 的 ，记作 ，读作" 包含于 "。 （2）用韦恩图表示子集关系时，应把集合 画在集合 的 。 （3）任何一个集合都是它本身的子集，即 。 2．真子集 如果 ，但存在元素 且 ，就称集合 是集合 的真子集，记作 。 3．集合相等 （1）如果 ，且 ，就称集合 与集合 相等，记作 。 （2）判断两个集合相等有两种途径：一是元素完全相同；二是证明 同时成立。 4．空集 （1） 的集合叫做空集，记作 。 （2）空集是任何集合的 ，即 ； 空集是任何 集合的真子集。 （3）由子集的定义可知， 与 的关系是 。 5．子集的个数公式 若有限集合 中含有 个元素，则 的子集共有 个，真子集共有 个，非空子集共有 个，非空真子集共有 个。 二、考点专练 考点一 子集、真子集的判断与符号 方法与技巧： 1. 分清"元素与集合"用 、，"集合与集合"用 、。见到 或 这类混用写法，直接判错。 1. 判断 是不是 的子集：把 中每个元素逐一拿去对照 ，全在 中才是子集；只要漏掉一个就连子集都不是。 1. 空集的特殊性： 对任何集合 都成立，但 只对非空集合成立。 【例题精讲】 1．下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知集合 ，，则 与 的关系是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．集合 ，，则（　　） A． B． C． D．以上都不对 3．已知 是小于 的正整数，，则（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．下列关系中错误的是（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则下列集合中与 相等的是（　　） A． B． C． D． 3．若 ，，则（　　） A． B． C． D． 4．下列命题中正确的是（　　） A．空集没有子集 B．任何集合至少有两个子集 C．空集是任何集合的真子集 D．若 ，则 5．设集合 ，，则（　　） A． B． C． D．以上都不对 6．下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，，则 与 的关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 8．集合 的子集共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 考点二 集合相等的应用 方法与技巧： 1. "集合相等"的代数化：两个集合相等 它们的元素完全对应，据此把含参式子一对一列方程。 1. 由相等求参时，先分情形列出所有可能的情形，再逐一代回检验互异性，舍去使元素重复的值。 1. 常用捷径：两个集合都以一元二次方程的解为元素时，把已知的根逐一代入方程列方程组，比先解方程再对比更省事。 【例题精讲】 1．已知集合 ，，若 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 2．已知 ，，若 ，则 ， 的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．已知集合 ，，若 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 或 2．已知 ，，则 与 的关系是（　　） A． B． C． D． 3．已知集合 ，，且 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【巩固练习】 1．若 （，），则 的值为（　　） A． B． C． D． 2．已知集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 4．已知集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 5．已知集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 6．已知集合 ，则 ， 的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 7．已知集合 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．若 ，，则（　　） A． B． C． D．以上都不对 考点三 子集的个数 方法与技巧： 1. 记死公式： 元集合的子集 个、真子集 个、非空子集 个、非空真子集 个。 1. 求"含指定元素的子集个数"：先把必须含的元素固定下来，剩下的元素每个都有"取或不取"两种选择，逐个相乘即可。 1. ⚠ 子集个数为 等价于 ；子集个数为 等价于 为单元素集——这是反推参数的关键。 【例题精讲】 1．集合 的子集个数为（　　） A． B． C． D． 2．集合 的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．满足 的集合 的个数是（　　） A． B． C． D． 2．集合 的非空真子集个数为（　　） A． B． C． D． 3．若集合 的子集共有 个，则 的真子集有（　　）个 A． B． C． D． 【巩固练习】 1．集合 的非空子集个数为（　　） A． B． C． D． 2．已知集合 ，则 的子集个数为（　　） A． B． C． D． 3．若集合 有 个元素，则 的非空真子集个数为（　　） A． B． C． D． 4．已知集合 ，则 的子集个数为（　　） A． B． C． D． 5．若集合 只有 个子集，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．集合 的真子集共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 7．满足 的集合 的个数为（　　） A． B． C． D． 8．已知集合 ，则 的子集共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 考点四 由包含关系求参数 方法与技巧： 1. 含参数的集合是 或 型时，先把 的情况单独讨论，此时最高次项系数为 。 1. 用不等式表示的两个集合，若前一个的元素都在后一个中：画数轴，把两个集合的范围端点对齐比较，同时检查端点能否取等（端点重合时必须单独验证）。 1. ⚠ 命题人最爱的陷阱：漏掉 ；以及 的含参元素代入后使集合出现重复元素。 【例题精讲】 1．已知 ，，若 ，则 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知集合 ，，若 ，则 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 或 3．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知 ，，若 ，则 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 2．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知集合 ，，若 ，则 的取值是（　　） A． B． C． 或 D． 4．已知集合 ，，则（　　） A． B． C． D．以上都不对 5．已知集合 ，，若 ，则 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 6．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 考点五 集合关系的综合应用 方法与技巧： 1. 求"满足条件的集合 的个数"：把约束翻译成对 元素的规定，再数可选元素的自由组合（注意排除 B 与题中给定集合相同的情形）。 1. 用不等式表示的含参集合，讨论包含问题时：一律画数轴，端点比较 + 单独验证端点相等是否可行。 1. 解集型集合相等：把已知的根逐一代入方程，列方程组求参数，比先解方程再对比更快。 【例题精讲】 1．已知集合 ，若 ，则满足条件的集合 的个数为（　　） A． B． C． D． 2．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A．{x｜ −2≤x≤1} B．{x｜ −2<x<1} C．{x｜ −2≤x<1} D．{x｜ −2<x≤1} 【变式训练】 1．已知集合 ，，若 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 或 2．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．设集合 ，，若 ，则实数 的取值构成的集合为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若 ，则 的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 2．设 ，，若 ，则 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 3．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 4．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A．{x｜ −1≤x≤2} B．{x｜ −1<x<2} C．{x｜ −1≤x<2} D．{x｜ −1<x≤2} 5．已知集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 6．已知集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 7．设 ，，若 A 与 B 没有公共元素，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知集合 ，，若 ，则 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 三、达标检测 1．下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．集合 的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，则 与 的关系是（　　） A． B． C． D． 4．满足 的集合 的个数为（　　） A． B． C． D． 5．若集合 是集合 的子集，则 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 6．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若集合 有 个元素，则 的非空子集个数为（　　） A． B． C． D． 8．已知集合 ，，则（　　） A． B． C． D． 且 9．集合 的所有子集为 。 10．已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是 。 11．已知集合 ，，若 ，求实数 的取值范围。 12．已知集合 ，。 （1）若 ，求 的取值集合； （2）若 ，求 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $