第02讲 1.2集合间的基本关系专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以韦恩图为直观工具，系统构建子集、真子集、相等集、空集的概念体系，通过分类讨论与数轴辅助法实现集合关系问题的阶梯式突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|5知识点+4即学即练|韦恩图直观表示法|从工具到概念：韦恩图→子集→真子集→相等集→空集递进| |题型精讲|9题型+多变式|数轴辅助法、分类讨论法|题型与方法对应：判断关系用定义/韦恩图，求参数用分类讨论（含空集）| |方法提炼|2方法+典例|空集优先原则|方法迁移：数轴法适用于数集关系，分类讨论覆盖含参问题| |易错警示|1易错题|忽略空集致误点|概念深化：通过易错点强化空集是任何集合子集的核心性质|

第02讲 1.2集合间的基本关系 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 【即学即练1】（多选）（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，解得，集合， 中元素均属于集合，是集合的子集，故A正确； 中有元素不属于集合，不是集合的子集，故B错误； 等于集合，是集合A的子集，故C正确； 中元素均属于集合，是集合的子集，故D正确． 知识点03：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 【即学即练2】（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相等集合的定义逐一判断可得. 【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 知识点04：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练3】（2026·湖南常德·一模）集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先求集合，进而求解. 【详解】由题意得：，解得，又， 所以，所以，所以， 所以集合的真子集的个数为. 知识点05：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【即学即练4】（多选）（25-26高一上·江苏·阶段检测）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空集概念和集合间的关系求解即可. 【详解】是以空集为元素的集合有且只有一个元素就是空集，根据空集是任何集合的子集所以A，C正确. 故选：AC 第三部分 题型精讲 题型01判断两个集合的包含关系 【典例1】已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 【典例2】（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D．S与T的关系不确定 【答案】A 【分析】先对两集合变形，然后根据子集的定义分析判断即可. 【详解】， 因为表示奇数，表示整数， 故根据子集的定义，必有. 故选：A. 【变式1】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【答案】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解. 【详解】由，因为，所以， 又，所以， 故选：A. 【变式2】（25-26高一上·辽宁锦州·阶段检测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用子集的定义直接判断即可. 【详解】集合，，则对，有， 所以. 故选：C 【变式3】（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知集合，集合，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．以上结论都不正确 【答案】A 【分析】将变形为，可得出. 【详解】， 而集合. 故选：A. 题型02 判断子集（真子集）的个数 【典例1】（25-26高二下·河南商丘·期末）集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，集合有个元素，故集合的真子集个数为. 【典例2】（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】D 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2，3，4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为； 当集合中含有四个元素时，可为； 综上所述满足条件的集合的个数为7个． 【变式1】（25-26高三上·广西贵港·开学考试）设集合，则A的真子集的个数是（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先计算集合，再根据子集计算公式计算求解. 【详解】，因为集合A中有3个元素，所以真子集个数为． 【变式2】（25-26高二下·湖南·期末）已知集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解不等式，因式分解得，解得， 又,所以,元素个数为3，所以的子集个数为. 【变式3】高一数学上学期人教B版）已知集合满足，则符合条件的集合个数有______个 【答案】7 【分析】由子集及真子集的概念，可转化为求集合真子集的个数即可得解. 【详解】因为， 所以中含有元素， 故符合条件的集合个数相当于求集合的真子集个数， 故有个， 故答案为：7 题型03求集合中子集（真子集） 【典例1】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【答案】，，， 【分析】通过解二次方程求得集合，由子集的定义写出所有子集. 【详解】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 【典例2】（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【答案】(1)答案见解析 (2)16，14 【分析】（1）根据集合的子集和真子集的概念即可求解； （2）利用集合的子集和非空真子集个数的求解公式，即可得出其相应的个数． 【详解】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 【变式1】（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合，且. (1)求实数的值； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据元素与集合的关系列方程求解； （2）根据集合子集的定义求解即可. 【详解】（1）因为，所以，解得. （2）由（1）可得， 故集合的所有子集为. 【变式2】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 【变式3】（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 【答案】 的子集有： 、、、、、、、； 的真子集有： 、、、、、、. 题型04空集的概念及判断 【典例1】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，因为，不为空集，故A错误； 对于B，因为，不为空集，故B错误； 对于C，因为，不为空集，故C错误； 对于D，因为，所以无解， 所以，故D正确. 故选：D. 【典例2】（多选）（25-26高一上·甘肃甘南·阶段检测）给出下列四个集合，其中为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用空集的定义、一元二次方程、方程组、不等式的性质直接求解． 【详解】对于A，是以为元素的集合，不是空集，A不是； 对于B，方程中，，方程无实根， 因此是空集，B是； 对于C，由，得无实根，因此是空集，C是； 对于D，不是空集，D不是. 故选：BC 【变式1】（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·云南红河·阶段检测）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义，结合选项即可求解. 【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 【变式3】（多选）（23-24高一上·湖北武汉·阶段检测）下列关于空集的说法中，正确的有（    ） A． B．⫋ C． D． 【答案】CD 【分析】根据空集的定义以及元素与集合、集合与集合之间的基本关系逐一判断即可求得结果. 【详解】不含有任何元素的集合是空集，所以A错误； 任一集合是它自身的子集，即，所以B错误； 集合有一个元素为，即，所以C正确； 空集任何集合的子集，所以，即D正确. 故选：CD 题型05空集的性质及应用 【典例1】（24-25高一上·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 【典例2】（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）若集合 为空集，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解. 【详解】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 【变式1】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【详解】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 题型06判断两个集合是否相等 【典例1】（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C 【典例2】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，则与集合M相等的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合类型判断AB；分奇偶讨论可判断C；根据范围和元素特征可判断D. 【详解】选项A，B是点集，不符合题意； 对于C：当为奇数时，当为偶数时，所以C等价于，不符合题意； 对于D：因为，由知可取，所以D等价于，符合题意. 故选：D. 【变式1】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用相同集合的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，与表示不同的点，则，二者不是同一集合； 对于B，是数集，是点集，二者不是同一集合； 对于C，集合表示大于或者等于的数，集合也表示大于或者等于的数， 则，二者是同一集合； 对于D，集合表示二次函数中取值的集合，为数集， 而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，为点集， 则，二者不是同一集合. 故选：C. 【变式2】（多选）（25-26高一上·陕西汉中·期中）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的定义和性质，结合元素特性逐一分析各选项中集合是否为同一集合． 【详解】选项A：，解得，集合， ，解得，集合， ，即集合表示同一个集合，故A正确； 选项B：集合中的元素是有序数对，顺序不同表示元素不同， 集合表示不同集合，故B错误； 选项C：集合中元素完全相同，集合表示同一个集合，故C正确； 选项D：表示奇数集，也表示奇数集， 集合表示同一个集合，故D正确． 故选：ACD． 【变式3】（多选）（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【分析】借助集合定义逐项分析即可得. 【详解】对A：两个集合都为点集，与是不同点，故与为不同集合，故A错误； 对B：是点集，为数集，故B错误； 对C：与中元素相同，故与为同一集合，故C正确； 对D：，， 故与为同一集合，故D正确. 故选：CD. 题型07根据两个集合相等求参数 【典例1】（25-26高二下·河南·期末）已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【分析】利用集合相等的知识求解. 【详解】因为集合，所以或. 显然不成立，当时，,符合题意. 所以. 【典例2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知集合，，若，则（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据集合相等可知关于的方程只有一个实数根，从而可得的值，即可得所求. 【详解】因为集合，，若， 所以关于的方程只有一个实数根，则，故， 所以， 则，故，所以， 故. 故选：B. 【变式1】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，进而可得所求值. 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 【变式2】（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 【答案】C 【分析】利用集合相等条件求解，并检验集合中元素的互异性即可得到判断. 【详解】由可得：，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去， 即满足题意， 故选：C 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）设，集合，则________． 【答案】8 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及相等集合的意义列式求解并验证即可. 【详解】由，得，故， 因为，又， 因此，解得或， 当时，集合与集合不相等，不符合题意； 当时，集合与集合相等，符合题意，所以. 故答案为：8 题型08根据集合的包含关系求参数 【典例1】（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 【典例2】设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据A是B的真子集，即可解出； （2）根据B是A的子集，即可解出. 【详解】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 【变式1】（2026·四川成都·二模）设集合，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合间的包含关系，判断端点大小关系即可. 【详解】集合，因为，所以. 【变式2】（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知集合，且，则实数的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合子集的定义与运算，列出不等式，即可求解. 【详解】由集合， 因为，则满足，所以实数的最小值为. 故选：C. 【变式3】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合间的关系，计算参数范围即可； （2）利用集合间的关系，分类讨论计算参数范围即可 【详解】（1）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值范围为． （2）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值范围为． 题型09 新定义题 【典例1】（2025高一·全国·专题练习）若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合的新定义及元素与集合的关系判断求解. 【详解】由且可得： 若，则， 所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素； 若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素； 若，则， 若，则， 若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有. 故选：B． 【典例2】（多选）（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）设为非空集合，定义集合的运算，则以下正确的是（        ） A．若，则 B．若，则} C．若，非空集合满足，则 D．若非空集合满足，则 【答案】AC 【分析】对于AB，由不等式的性质即可判断；对于C，由集合相等的概念即可判断；对于D，令即可判断. 【详解】对于A，若，，则， 所以，，故A正确； 对于B，若，，则， 所以，所以，故B错误； 对于C，设，，则， 所以只能，解得，所以，故C正确； 对于D，若， 则对任意非空集合，总有，所以不一定有，故D错误. 故选：AC. 【变式1】（多选）（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知 ，且 均不为空集，对于集合 ，我们把集合{}记作 . 例如， ，则有 . 当集合 有 3 个元素，且最大元素不大于 2 时，称集合 为一个集合键. 那么，下列说法中正确的是（    ） A．若，则中有 3 个元素 B．若，则 C．若 ，则是一个集合键 D．集合键共有6个 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用的定义，以及集合键的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由集合，可得， 所以中有3个元素，所以A正确； 对于B，由集合，根据的定义，可得，所以B正确； 对于C，由集合，可得， 此时中有4个元素，所以不是一个集合键，所以C错误； 对于D，要使得中有个元素，且最大元素不大于， 则有：；；； ；；；，共计6个， 所以共有6个集合键，所以D正确. 故选：ABD. 【变式2】（多选）（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）定义集合A、B的一种运算：，若，，则（ ） A．的子集个数为15 B．中的所有元素之积为120 C．中的所有元素之和为14 D．中的元素个数为5 【答案】BC 【分析】我们先根据定义求出，然后根据选项逐项判断. 【详解】当时，分别为，； 当时，分别为，； 当时，分别为，. 所以. 选项A：一个集合有个元素，其子集个数为，有个元素，子集个数为，不是，故A错误； 选项B：中所有元素之积为，故B正确； 选项C：中所有元素之和为，故C正确； 选项D：的元素个数为，不是，故D错误. 故选： BC 方法1 数轴辅助法 【典例1】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得. 综上，，即m的取值范围是.    故选：C. 【典例2】（25-26高一上·上海·开学考试）已知或. （1）若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 【答案】（1）或（2） 【分析】根据集合的包含关系，建立不等式即可解出结果. 【详解】（1）即的范围小于的范围. 当，即时，，满足； 当，即时，要使，由图1得， ①②等号不同时成立，解得.    综上所述，的取值范围为或. （2）BA即的范围小于的范围. 要使BA，优先考虑是否为空集. 当，即时，，满足BA； 当，即时，要使BA，由图2得或， 解得.又因为，所以.    综上所述，的取值范围为. 【变式1】（24-25高二下·天津滨海新区·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 【变式2】（25-26高一上·江苏·单元测试）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________． 【答案】或 【分析】根据，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围. 【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示， 或 要使，只需或，解得或． 所以实数的取值范围或. 故答案为：或 方法2 分类讨论法 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 【变式1】（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次方程以及二次方程的判别式即可求解， （2）对进行讨论，即可结合（1）的结论以及韦达定理求解. 【详解】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式2】（24-25高一上·四川德阳·阶段检测）（1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①②讨论参数，根据集合中元素个数及一元二次方程判别式求参数； （2）讨论参数m，结合集合的包含关系求参数即可. 【详解】（1）①若，则，符合题意； 若，且集合A中只有一个元素， 这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根， 从而，解得， 综上，实数的所有取值可能为：； ②中有两个元素，意味着一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，则且 故的取值范围是； （2）.， 当时，，此时满足，符合题意； 当时，， 若要，则或，解得或； 综上所述，实数的值是. 典型易错题1 忽略空集 【典例1】（多选）（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先表示出集合，然后根据再对集合进行分类讨论，由此可求得结果. 【详解】，， 因为，且集合中至多有一个元素，所以或或， 若，则； 若，则； 若，则； 故选：ABD. 【变式1】（多选）（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知集合，，若，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】BCD 【分析】先求出集合，再根据分情况讨论集合的情况即可确定的值. 【详解】集合，， 当时，，符合题意； 当时，，即，符合题意； 当时，，即，符合题意； 综上，实数的值可以是0，1，. 故选：BCD 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确. 2．（25-26高二下·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【详解】因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． 3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 所以集合和关系的图为A. 4．（暑假预习专题第2讲集合之间的关系（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版）满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. 5．（2026·山东济南·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】D 【详解】集合，集合有4个元素， 所以集合的子集个数为. 6．（2026·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分、，结合进行求解． 【详解】当时，，符合； 当时，，，又， ， 综上，． 7．（2026·安徽滁州·一模）已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因式分解得；可得， 故集合； 因为且，所以，解得. 所以的取值范围是. 二、多选题 8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】ABD 【分析】讨论集合中的参数和，再利用子集关系求解. 【详解】由，可知. 当时，，此时，满足条件. 当时，，则有或， 解得或. 三、填空题 9．（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可. 【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为. 10．（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知集合，，则符合条件的集合的个数为______. 【答案】7 【分析】利用列举法表示集合，再利用给定的包含关系求出集合个数. 【详解】依题意，， 则符合条件的集合的个数为个. 故答案为：7 B能力提升 1．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 2．（2025高一上·安徽六安·专题练习）已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，代入得，再求解即可； （2）分集合为或有且仅有一个元素两种情况进行求解，其中当集合有且仅有一个元素时，注意对方程的二次项系数分和两种情况进行分别求解即可． 【详解】（1）由于，所以是的实数根， 故，故； （2）由已知可得中最多有一个元素，故中可能无任何元素，或者只有一个元素， 当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素， 中最多有一个元素，或． 3．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 【答案】(1)或或； (2) 所有子集有：，，，，，，，. 【分析】（1）根据方程有两个不同的解的问题直接可得； （2）根据方程有一个解进行分类讨论可得实数的取值，再列所有子集. 【详解】（1）由中有两个元素，得方程有两个不同的解， 所以，，解得或且. 故实数的取值集合为或或. （2）由中只有一个元素，得方程有一个解. 当时，方程有一个解； 当时，，解得或. 所以实数的取值集合， 故集合B的所有子集有：，，，，，，，. 4．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知关于的方程的两根均在集合内． (1)求实数的取值集合； (2)设，满足时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的两个解，再根据两根均在集合内，列出不等式组，求出实数的取值集合； （2）根据集合间的包含关系求出实数的取值范围. 【详解】（1）由， 或 . （2）集合， 由题，： 当时，，解得：；满足题意， 当时，或， 解得：. 综上所述：. C综合素养 1．（25-26高二下·河南·期末）定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 【答案】C 【分析】根据题意，求得集合，结合集合真子集的计算方法，即可求解. 【详解】由集合，且， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得， 所以集合， 所以的真子集的个数为个. 2．（25-26高二下·北京朝阳·期中）当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（    ） A．3200 B．1600 C．1550 D．800 【答案】B 【分析】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可. 【详解】根据题意,任意一个元素在非空子集中的出现次数为:. 集合的元素之和为. 所以集合的全部非空子集的厚度之和为:. 3．（25-26高一上·广东·阶段检测）设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值. 【答案】(1)或或 (2)2 【分析】（1）首先根据，再结合“等差集”的定义，确定集合有3个元素或4个元素，结合新定义，即可列举； （2）由“等差集”的定义可知，得，即可列式求解. 【详解】（1）因为集合，，存在3个不同的元素，使得， 所以集合中必然同时含有元素或， 则或或 （2）因为集合是“等差集”， 所以或或， 计算可得或或或或， 又因为集合的元素为正整数，所以为正整数，所以， 经检验，当时，集合，满足题意，故. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 1.2集合间的基本关系 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 【即学即练1】（多选）（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 知识点03：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 【即学即练2】（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 知识点04：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练3】（2026·湖南常德·一模）集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 知识点05：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【即学即练4】（多选）（25-26高一上·江苏·阶段检测）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 第三部分 题型精讲 题型01判断两个集合的包含关系 【典例1】已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【典例2】（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D．S与T的关系不确定 【变式1】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【变式2】（25-26高一上·辽宁锦州·阶段检测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知集合，集合，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．以上结论都不正确 题型02 判断子集（真子集）的个数 【典例1】（25-26高二下·河南商丘·期末）集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【变式1】（25-26高三上·广西贵港·开学考试）设集合，则A的真子集的个数是（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【变式2】（25-26高二下·湖南·期末）已知集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【变式3】高一数学上学期人教B版）已知集合满足，则符合条件的集合个数有______个 题型03求集合中子集（真子集） 【典例1】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【典例2】（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【变式1】（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合，且. (1)求实数的值； (2)写出集合的所有子集. 【变式2】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【变式3】（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 题型04空集的概念及判断 【典例1】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（25-26高一上·甘肃甘南·阶段检测）给出下列四个集合，其中为空集的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·云南红河·阶段检测）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（23-24高一上·湖北武汉·阶段检测）下列关于空集的说法中，正确的有（    ） A． B．⫋ C． D． 题型05空集的性质及应用 【典例1】（24-25高一上·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）若集合 为空集，则实数的取值范围是______. 【变式1】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【变式3】（24-25高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. 题型06判断两个集合是否相等 【典例1】（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【典例2】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，则与集合M相等的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（多选）（25-26高一上·陕西汉中·期中）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型07根据两个集合相等求参数 【典例1】（25-26高二下·河南·期末）已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【典例2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知集合，，若，则（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【变式1】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）设，集合，则________． 题型08根据集合的包含关系求参数 【典例1】（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【典例2】设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【变式1】（2026·四川成都·二模）设集合，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知集合，且，则实数的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 题型09 新定义题 【典例1】（2025高一·全国·专题练习）若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】（多选）（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）设为非空集合，定义集合的运算，则以下正确的是（        ） A．若，则 B．若，则} C．若，非空集合满足，则 D．若非空集合满足，则 【变式1】（多选）（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知 ，且 均不为空集，对于集合 ，我们把集合{}记作 . 例如， ，则有 . 当集合 有 3 个元素，且最大元素不大于 2 时，称集合 为一个集合键. 那么，下列说法中正确的是（    ） A．若，则中有 3 个元素 B．若，则 C．若 ，则是一个集合键 D．集合键共有6个 【变式2】（多选）（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）定义集合A、B的一种运算：，若，，则（ ） A．的子集个数为15 B．中的所有元素之积为120 C．中的所有元素之和为14 D．中的元素个数为5 方法1 数轴辅助法 【典例1】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·上海·开学考试）已知或. （1）若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 【变式1】（24-25高二下·天津滨海新区·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·江苏·单元测试）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________． 方法2 分类讨论法 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【变式1】（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【变式2】（24-25高一上·四川德阳·阶段检测）（1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 典型易错题1 忽略空集 【典例1】（多选）（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知集合，，若，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D．0 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（暑假预习专题第2讲集合之间的关系（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版）满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 5．（2026·山东济南·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 6．（2026·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽滁州·一模）已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（   ） A． B． C． D．0 三、填空题 9．（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 10．（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知集合，，则符合条件的集合的个数为______. B能力提升 1．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 2．（2025高一上·安徽六安·专题练习）已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 3．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 4．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知关于的方程的两根均在集合内． (1)求实数的取值集合； (2)设，满足时，求实数的取值范围． C综合素养 1．（25-26高二下·河南·期末）定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 2．（25-26高二下·北京朝阳·期中）当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（    ） A．3200 B．1600 C．1550 D．800 3．（25-26高一上·广东·阶段检测）设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $