专题1.1 集合的概念专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题1.1 集合的概念 考点预览 考点一 集合的判断（能否构成集合） 考点二 元素与集合的关系 考点三 集合中元素特性的应用 考点四 集合的表示方法 考点五 集合与方程、不等式的综合 一、知识填空 1．元素与集合的概念 （1）一般地，我们把研究对象统称为 ，把一些 组成的总体叫做集合（简称为集）。 （2）集合中的元素具有的三个特性是 、 、 。 （3）只要构成两个集合的 是一样的，我们就称这两个集合相等。 （4）不含任何元素的集合叫做 ，记作 。 2．元素与集合的关系 （1）如果 是集合 的元素，就说 集合 ，记作 ；如果 不是集合 中的元素，就说 集合 ，记作 。 （2）元素与集合之间只能用"属于"或"不属于"连接；集合与集合之间才用包含关系，二者不能混用。 3．常用的数集及其记法 （1）非负整数集（自然数集）记作 ，正整数集记作 或 ； （2）整数集记作 ，有理数集记作 ，实数集记作 。 4．集合的表示方法 （1）列举法：把集合的所有元素 出来，并用 括起来表示集合的方法。 （2）描述法：设 是一个集合，我们把集合 中所有具有共同特征 的元素 所组成的集合表示为 。 （3） 与 完全不同： 表示一个 ， 表示一个 。 （4）方程组的解集、坐标平面内的点集，元素必须写成 的形式，如 。 二、考点专练 考点一 集合的判断（能否构成集合） 方法与技巧： 1. 判断一组对象能否构成集合，唯一标准是确定性：对任何一个对象，都能明确地判断它属于或不属于这个总体。 1. 常见不能构成集合的说法：个子高、跑得快、比较小、接近某数、著名、美丽等——这些词都没有客观标准。 1. 注意空集也是集合：如"方程 的实数根"能构成集合，只不过它是空集，这一点极易错判。 【例题精讲】 1．下列对象能构成集合的是（　　） A．某校高一年级个子高的同学 B．我国的小河流 C．不超过 的非负整数 D．充分接近 的实数 2．有下列四组对象：①方程 的实数根；②著名的数学家；③所有的正方形；④大于 且小于 的偶数。其中能构成集合的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【变式训练】 1．下列四组对象中能构成集合的是（　　） A．英语单词 book 中的所有字母 B．高一（1）班性格开朗的女生 C．很小的数 D．美丽的花 2．下列各组对象中，不能构成集合的是（　　） A．所有的正方形 B．方程 的实数根 C．某班跑得快的同学 D．大于 的实数 3．由"不超过 的正偶数"组成的集合中，元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．有下列四组对象：①方程 的实数根；②方程 的实数根；③大于 且小于 的整数；④高一年级身高超过 的同学。其中能构成集合的有（　　） A． 组 B． 组 C． 组 D． 组 2．下列说法中正确的是（　　） A．"著名的科学家"能构成集合 B．由 ，， 三个数组成的集合有 个元素 C．由方程 的根组成的集合有 个元素 D．数 不能作为集合的元素 3．由实数 ，， 组成的集合，其元素个数最多为（　　） A． B． C． D． 4．下列能构成集合的是（　　） A．我校高一年级全体同学 B．与 接近的数 C．比较大的正数 D．聪明的学生 5．由" 的所有正因数"组成的集合，用列举法表示为（　　） A． B． C． D． 6．下列四组对象中，不能构成集合的组数是（　　） ①海拔 米以上的山峰；②所有很大的数； ③某校高个子男生；④周长等于 的三角形 A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（　　） A．"所有很大的数"能构成集合 B．集合 与 是两个不同的集合 C．空集不含任何元素，所以空集没有意义 D． 是自然数集 中的元素 8．下列各组对象能构成集合的是（　　） A．中国所有著名的物理学家 B．高一年级跑得快的同学 C．所有无理数 D．接近 的实数 考点二 元素与集合的关系 方法与技巧： 1. 元素与集合之间只有两种关系：属于（）与不属于（）；集合与集合之间才谈包含（），两者不能混用。 1. 由""求参数的步骤：令 中每一个含参元素分别等于 列方程，解完必须代回去检验互异性，重复的舍去。 1. 易错点： 但 ；（空集是 的子集而不是它的元素）。 【例题精讲】 1．给出下列六个关系：①；②；③；④；⑤；⑥。其中正确的个数是（　　） A． B． C． D． 2．已知集合 ，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知集合 ，则 用列举法表示为（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 3．下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．用符号""或""填空： ； ； ； 。 2．已知集合 ，则下列表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若集合 由满足 的正整数 组成，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，则实数 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 5．已知集合 ，若 ，则 中所有元素之积为（　　） A． B． C． D． 6．下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 7．已知集合 ，则下列数中属于 的是（　　） A． B． C． D． 8．已知集合 ，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 考点三 集合中元素特性的应用 方法与技巧： 1. 三个特性中互异性最常考：集合里出现几个含参数的式子，就要求它们两两不等，由此列不等式组。 1. 由"某数属于集合"求参：逐个令含参元素等于该数，解方程后必须代回原集合检验互异性，这是命题人埋的唯一陷阱。 1. 无序性常考"集合相等"：两个集合相等即元素完全相同，与书写顺序无关，据此建立元素之间的对应关系。 【例题精讲】 1．由 ，， 组成一个含有 个元素的集合 ，则实数 的值可以是（　　） A． B． C． D． 2．已知集合 含有三个元素 ，，，且 ，求实数 的值。 【变式训练】 1．若集合 含有 个元素，则 满足（　　） A． B． C． 且 D． 且 2．已知集合 ，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 3．由实数 ，，， 组成的集合中，元素个数最多为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．集合 要含有 个元素，则 应满足（　　） A． B． 且 C． 且 且 D． 2．已知集合 含有两个元素，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D．任意实数 3．若 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 4．下列集合中与集合 相等的是（　　） A． B． C． D． 5．已知集合 恰有两个元素，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知集合 中所有元素之和为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 7．若集合 中恰有 个元素，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 8．已知集合 ，若 ，则 的所有取值之和为（　　） A． B． C． D． 考点四 集合的表示方法 方法与技巧： 1. 列举法与描述法的互化：先把描述法中的条件解出来（注意限定范围如 ），再从小到大、不重不漏地列举。 1. 点集与数集要分清：方程组或坐标平面内的点，元素必须写成有序数对 ，整个集合外面再加一层花括号，如 。 1. 易错：描述法中代表元素的"身份"写在竖线左侧， 是数集， 才是点集（抛物线上的点）。 【例题精讲】 1．集合 用列举法表示为（　　） A． B． C． D． 2．用描述法表示"平面直角坐标系内第一象限内的点组成的集合"，正确的是（　　） A． B． C． 且 D． 【变式训练】 1．集合 用列举法表示为（　　） A． B． C． D． 2．方程组 与 的解集是（　　） A． B． C． D． 3．集合 用列举法表示为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．集合 等于（　　） A． B． C． D． 2．下列表示中，能正确表示"全体奇数组成的集合"的是（　　） A． B． C． D． 3．集合 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 4．下列集合中表示空集的是（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，集合 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 6．用列举法表示集合 ，结果是（　　） A． B． C． D． 7．集合 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 8．下列集合中与集合 相等的是（　　） A．全体偶数组成的集合 B．全体正整数组成的集合 C．全体有理数组成的集合 D． 考点五 集合与方程、不等式的综合 方法与技巧： 1. 集合 的元素个数，就是方程 的实根个数，转化为判别式 讨论： 两个、 一个、 空集。 1. ⚠ 最高次项含参数时，必须单独讨论它为 的情形：此时方程降为一次方程，也可能只有一个元素。 1. " 的元素都在 中"要分 为空集、单元素、双元素三种情况，空集情形最容易被漏掉。 【例题精讲】 1．已知集合 恰有一个元素，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 2．已知集合 有两个元素，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知集合 为空集，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 3．设集合 ，，若 的元素都在 中，则实数 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知集合 ，，若 的元素都在 中，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 2．已知集合 ，则 ， 的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 3．集合 中有一个元素，则（　　） A． B． C． D． 为任意实数 4．已知集合 ，，若 的元素都在 中，则 的取值集合是（　　） A． B． C． D． 5．已知关于 的方程 的解集为 ，则 ， 的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 6．已知集合 为空集，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若集合 中只有一个元素，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D．不存在 8．若关于 的方程 的解集只有一个元素，则 的值为（　　） A． B． C． D． 三、达标检测 1．下列四组对象中，能构成集合的是（　　） A．高一（1）班所有高个子同学 B．方程 的所有实数解 C．所有比较大的数 D．我国著名的科学家 2．已知集合 ，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 3．已知集合 ，若 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 4．集合 用列举法表示为（　　） A． B． C． D． 5．下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．方程组 与 的解集是（　　） A． B． C． D． 7．已知集合 恰有两个元素，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．设 ， 都是实数，集合 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 9．已知集合 ，，则 中元素的个数为 。 10．已知集合 只有一个元素，则 的值为 。 11．已知集合 。 （1）若 是空集，求 的取值范围； （2）若 中恰有一个元素，求 的值及这个元素。 12．设 是由实数组成的集合，且满足：①；②若 ，则 。 （1）若 ，写出 中必有的其他元素； （2）求证： 不可能是单元素集合。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 集合的概念 考点预览 考点一 集合的判断（能否构成集合） 考点二 元素与集合的关系 考点三 集合中元素特性的应用 考点四 集合的表示方法 考点五 集合与方程、不等式的综合 一、知识填空 1．元素与集合的概念 （1）一般地，我们把研究对象统称为 ，把一些 组成的总体叫做集合（简称为集）。 （2）集合中的元素具有的三个特性是 、 、 。 （3）只要构成两个集合的 是一样的，我们就称这两个集合相等。 （4）不含任何元素的集合叫做 ，记作 。 2．元素与集合的关系 （1）如果 是集合 的元素，就说 集合 ，记作 ；如果 不是集合 中的元素，就说 集合 ，记作 。 （2）元素与集合之间只能用"属于"或"不属于"连接；集合与集合之间才用包含关系，二者不能混用。 3．常用的数集及其记法 （1）非负整数集（自然数集）记作 ，正整数集记作 或 ； （2）整数集记作 ，有理数集记作 ，实数集记作 。 4．集合的表示方法 （1）列举法：把集合的所有元素 出来，并用 括起来表示集合的方法。 （2）描述法：设 是一个集合，我们把集合 中所有具有共同特征 的元素 所组成的集合表示为 。 （3） 与 完全不同： 表示一个 ， 表示一个 。 （4）方程组的解集、坐标平面内的点集，元素必须写成 的形式，如 。 自检自纠： 1．（1）元素；元素 （2）确定性；互异性；无序性 （3）元素 （4）空集； 2．（1）属于；；不属于； 3．（1）；； （2）；； 4．（1）一一列举；画括号 （2） （3）元素；集合 （4）有序数对 二、考点专练 考点一 集合的判断（能否构成集合） 方法与技巧： 1. 判断一组对象能否构成集合，唯一标准是确定性：对任何一个对象，都能明确地判断它属于或不属于这个总体。 1. 常见不能构成集合的说法：个子高、跑得快、比较小、接近某数、著名、美丽等——这些词都没有客观标准。 1. 注意空集也是集合：如"方程 的实数根"能构成集合，只不过它是空集，这一点极易错判。 【例题精讲】 1．下列对象能构成集合的是（　　） A．某校高一年级个子高的同学 B．我国的小河流 C．不超过 的非负整数 D．充分接近 的实数 【答案】C 【详解】A 中"个子高"、B 中"小河流"、D 中"充分接近 "都没有明确的判定标准，不满足确定性；C 中"不超过 的非负整数"标准明确，即 。故选 C。 2．有下列四组对象：①方程 的实数根；②著名的数学家；③所有的正方形；④大于 且小于 的偶数。其中能构成集合的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【详解】①能构成，为 ；②"著名"无客观标准，不能构成；③能构成；④能构成，为 。共 个。故选 C。 【变式训练】 1．下列四组对象中能构成集合的是（　　） A．英语单词 book 中的所有字母 B．高一（1）班性格开朗的女生 C．很小的数 D．美丽的花 【答案】A 【详解】A 中字母为 、、，对象明确（重复字母只算一个），能构成集合；B、C、D 中的"性格开朗""很小""美丽"均无客观标准。故选 A。 2．下列各组对象中，不能构成集合的是（　　） A．所有的正方形 B．方程 的实数根 C．某班跑得快的同学 D．大于 的实数 【答案】C 【详解】C 中"跑得快"没有客观标准，不能构成集合；B 虽然没有实数根，但这些根组成一个空集，空集也是集合。故选 C。 3．由"不超过 的正偶数"组成的集合中，元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正偶数为 ，共 个。故选 B。 【巩固练习】 1．有下列四组对象：①方程 的实数根；②方程 的实数根；③大于 且小于 的整数；④高一年级身高超过 的同学。其中能构成集合的有（　　） A． 组 B． 组 C． 组 D． 组 【答案】D 【详解】①为 ；②实数根不存在，组成的集合是空集，空集也是集合；③为 ；④"身高超过 "标准明确。四组都能构成集合。故选 D。 2．下列说法中正确的是（　　） A．"著名的科学家"能构成集合 B．由 ，， 三个数组成的集合有 个元素 C．由方程 的根组成的集合有 个元素 D．数 不能作为集合的元素 【答案】C 【详解】A 中"著名"无标准；B 中由互异性知只有 、 两个元素；C 中方程只有一个根 ，集合为 ；D 中 完全可以作为元素。故选 C。 3．由实数 ，， 组成的集合，其元素个数最多为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当 时，集合为 ，有 个元素；当 时，集合为 ，有 个元素；当 时，集合为 ，有 个元素。故最多 个。故选 B。 4．下列能构成集合的是（　　） A．我校高一年级全体同学 B．与 接近的数 C．比较大的正数 D．聪明的学生 【答案】A 【详解】A 中"我校高一年级全体同学"对象明确，能构成集合；B、C、D 中的"接近""比较大""聪明"都无客观标准。故选 A。 5．由" 的所有正因数"组成的集合，用列举法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的正因数只有 和 ，故集合为 。故选 A。 6．下列四组对象中，不能构成集合的组数是（　　） ①海拔 米以上的山峰；②所有很大的数； ③某校高个子男生；④周长等于 的三角形 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】①"海拔 米以上"标准明确，能构成集合； ②"很大"没有客观标准，不能构成集合； ③"高个子"没有客观标准，不能构成集合； ④周长确定后三角形对象明确，能构成集合。不能构成的有 组。故选 B。 7．下列说法正确的是（　　） A．"所有很大的数"能构成集合 B．集合 与 是两个不同的集合 C．空集不含任何元素，所以空集没有意义 D． 是自然数集 中的元素 【答案】D 【详解】A 中"很大"无客观标准，不能构成集合； B 中集合具有无序性，两者是同一个集合； C 中空集是集合，是任何非空集合的真子集，意义明确； D 中 正确。故选 D。 8．下列各组对象能构成集合的是（　　） A．中国所有著名的物理学家 B．高一年级跑得快的同学 C．所有无理数 D．接近 的实数 【答案】C 【详解】A 中"著名"、B 中"跑得快"、D 中"接近"都没有客观标准，不能构成集合；C 中无理数的定义明确，能构成集合。故选 C。 考点二 元素与集合的关系 方法与技巧： 1. 元素与集合之间只有两种关系：属于（）与不属于（）；集合与集合之间才谈包含（），两者不能混用。 1. 由""求参数的步骤：令 中每一个含参元素分别等于 列方程，解完必须代回去检验互异性，重复的舍去。 1. 易错点： 但 ；（空集是 的子集而不是它的元素）。 【例题精讲】 1．给出下列六个关系：①；②；③；④；⑤；⑥。其中正确的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】① 是实数，正确；② 是无理数，正确；③，正确；④ 不是正整数，错误；⑤ 是无理数，错误；⑥ 是整数，正确。共 个正确。故选 C。 2．已知集合 ，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 知 是 的正因数，即 ，故 ，有 个元素。故选 C。 【变式训练】 1．已知集合 ，则 用列举法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，即 ，又 ，故 ，。故选 A。 2．已知 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若 ，得 ，此时 ，集合为 ，违反互异性，舍去；若 ，得 ， 已舍， 时集合为 ，成立。故 。故选 B。 3．下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A 中空集不含任何元素，错误；B 中 是自然数，错误；C 中 的元素只有 ， 是它的子集而非元素，错误；D 正确。故选 D。 【巩固练习】 1．用符号""或""填空： ； ； ； 。 【答案】；；； 【详解】 不是正整数，故 ； 是无理数，故 ； 是整数； 是实数。 2．已知集合 ，则下列表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程 的根为 与 ，故 。A 正确；B 错；C 中 是集合，与 是相等关系而非属于关系；D 中 是元素，不能用包含符号。故选 A。 3．若集合 由满足 的正整数 组成，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ，又 为正整数，故 ， 有 个元素。故选 B。 4．已知 ，则实数 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若 ，则 ，集合为 ，违反互异性，舍去；若 ，得 ， 已舍， 时集合为 ，成立。故 。故选 B。 5．已知集合 ，若 ，则 中所有元素之积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ，即 ，方程为 ，根为 与 ，故 ，元素之积为 。故选 B。 6．下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A 中 是无理数，； B 中空集不含任何元素，； C 中 是有理数，正确； D 中 是负整数，。故选 C。 7．已知集合 ，则下列数中属于 的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取 得 。 需 ， 不是整数， 需 （不在 中），只有 属于 。故选 B。 8．已知集合 ，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 知 是方程的根，代入得 ，解得 。此时方程为 ，两根为 与 ，符合。故选 A。 考点三 集合中元素特性的应用 方法与技巧： 1. 三个特性中互异性最常考：集合里出现几个含参数的式子，就要求它们两两不等，由此列不等式组。 1. 由"某数属于集合"求参：逐个令含参元素等于该数，解方程后必须代回原集合检验互异性，这是命题人埋的唯一陷阱。 1. 无序性常考"集合相等"：两个集合相等即元素完全相同，与书写顺序无关，据此建立元素之间的对应关系。 【例题精讲】 1．由 ，， 组成一个含有 个元素的集合 ，则实数 的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要有 个元素，需三个式子两两不等： 得 ； 得 ； 即 ，得 且 。故 且 ，只有 满足。故选 C。 2．已知集合 含有三个元素 ，，，且 ，求实数 的值。 【答案】 【详解】若 ，得 ，此时 ，与 重复，违反互异性，舍去； 若 ，即 ，得 ，故 或 。 已舍去；当 时，，，加上 共三个互不相同的数，符合题意。故 。 【变式训练】 1．若集合 含有 个元素，则 满足（　　） A． B． C． 且 D． 且 【答案】C 【详解】需 ，（即 ），（即 且 ）。综合得 且 。故选 C。 2．已知集合 ，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 且 、，得 ，即 ，。当 时 ，符合互异性。故选 C。 3．由实数 ，，， 组成的集合中，元素个数最多为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当 且 时，集合为 ，有 个元素；当 且 时，同样有 个元素；当 时只有 个元素；当 时有 个元素。故最多 个。故选 C。 【巩固练习】 1．集合 要含有 个元素，则 应满足（　　） A． B． 且 C． 且 且 D． 【答案】C 【详解】需 ； 即 ，得 且 ； 即 ，得 且 。综合得 且 且 。故选 C。 2．已知集合 含有两个元素，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D．任意实数 【答案】C 【详解】需 ，即 ，得 ，故 且 。故选 C。 3．若 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【详解】若 ，得 ，此时集合为 ，成立；若 ，得 ，此时集合为 ，成立； 无实数解。故 或 。故选 C。 4．下列集合中与集合 相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合中的元素具有无序性， 与 元素相同，是相等集合；A 的元素是有序数对 ；C 表示区间 内的所有实数；D 的两个元素是集合。故选 B。 5．已知集合 恰有两个元素，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合有两个元素即方程有两个不相等的实数根，故 ，得 。故选 A。 6．已知集合 中所有元素之和为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 ，即 ，。检验互异性： 时集合为 ，三个元素互不相同； 时同样互不相同。故选 C。 7．若集合 中恰有 个元素，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【详解】恰有 个元素即有且仅有两个数相等。 时三个数全是 ，只有 个元素，不符； 时 ，同上不符； 时 （不符）或 ，此时集合为 ，恰有 个元素，符合。故选 A。 8．已知集合 ，若 ，则 的所有取值之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若 ，集合为 ，互异，成立；若 ，得 ： 时集合为 ，成立； 时集合为 ，成立。三值之和 。故选 A。 考点四 集合的表示方法 方法与技巧： 1. 列举法与描述法的互化：先把描述法中的条件解出来（注意限定范围如 ），再从小到大、不重不漏地列举。 1. 点集与数集要分清：方程组或坐标平面内的点，元素必须写成有序数对 ，整个集合外面再加一层花括号，如 。 1. 易错：描述法中代表元素的"身份"写在竖线左侧， 是数集， 才是点集（抛物线上的点）。 【例题精讲】 1．集合 用列举法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 或 ，且 ，故集合为 。故选 A。 2．用描述法表示"平面直角坐标系内第一象限内的点组成的集合"，正确的是（　　） A． B． C． 且 D． 【答案】A 【详解】第一象限内的点满足横坐标、纵坐标都大于 ，且元素是点，要写成有序数对，故为 ；D 中还包含第三象限的点。故选 A。 【变式训练】 1．集合 用列举法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】满足 的整数为 ，共 个。故选 B。 2．方程组 与 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解方程组得 ，，解集的元素是有序数对，故为 。故选 B。 3．集合 用列举法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 且 ，得 可以是 、、，共 个。故选 A。 【巩固练习】 1．集合 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 ，在此范围内没有整数，故集合为空集 。故选 C。 2．下列表示中，能正确表示"全体奇数组成的集合"的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】全体奇数应包含负奇数，只有 时 才能取遍全体奇数；B、D 只给出正奇数，C 是有限集。故选 A。 3．集合 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 ，即 ，整数解为 ，共 个。故选 C。 4．下列集合中表示空集的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A 含元素 ；B 中方程无实数根，为空集；C 以空集为元素，不是空集；D 为 。故选 B。 5．已知 ，集合 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 知 且 ，故 ，，两者之和可取 、、，共 个值。故选 C。 6．用列举法表示集合 ，结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 且 ，故 ，集合为 。故选 B。 7．集合 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 且 得 ，对应的点为 、、、，共 个。故选 C。 8．下列集合中与集合 相等的是（　　） A．全体偶数组成的集合 B．全体正整数组成的集合 C．全体有理数组成的集合 D． 【答案】A 【详解】 取遍所有整数时 取遍所有偶数（含 和负偶数），故该集合就是全体偶数的集合。B、C 范围不符；D 只含正偶数，漏了 与负偶数。故选 A。 考点五 集合与方程、不等式的综合 方法与技巧： 1. 集合 的元素个数，就是方程 的实根个数，转化为判别式 讨论： 两个、 一个、 空集。 1. ⚠ 最高次项含参数时，必须单独讨论它为 的情形：此时方程降为一次方程，也可能只有一个元素。 1. " 的元素都在 中"要分 为空集、单元素、双元素三种情况，空集情形最容易被漏掉。 【例题精讲】 1．已知集合 恰有一个元素，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【详解】当 时，方程为 ，只有一个根 ，符合；当 时，要只有一个元素需 ，得 。故 或 。故选 C。 2．已知集合 有两个元素，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合有两个元素即方程有两个不等实根，故 ，得 。故选 A。 【变式训练】 1．已知集合 为空集，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合为空集即方程无实根，故 ，得 。故选 C。 2．已知集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 知方程 的两根为 与 ，故 （两根之积为 ，与常数项吻合）。故选 C。 3．设集合 ，，若 的元素都在 中，则实数 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。当 时方程无解，，空集的元素都在 中，符合；当 时 ，由 得 或 。故 。故选 B。 【巩固练习】 1．已知集合 ，，若 的元素都在 中，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【详解】。方程 中，把 代入得 ，故 恒为根，另一根为 （两根之积为 ）。 由 的元素都在 中得 ，即 或 ； 时 ， 时 ，均符合。故选 C。 2．已知集合 ，则 ， 的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】集合只有一个元素 ，说明方程有重根 ，即 ，故 ，。故选 A。 3．集合 中有一个元素，则（　　） A． B． C． D． 为任意实数 【答案】A 【详解】当 时方程有唯一解 ，集合有一个元素；当 时方程无解，集合为空集。故选 A。 4．已知集合 ，，若 的元素都在 中，则 的取值集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。 恒为 的根，另一根为 ，由 得 或 。故选 C。 5．已知关于 的方程 的解集为 ，则 ， 的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解集为 即两根为 与 ，由韦达定理得 ，。故选 B。 6．已知集合 为空集，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 为空集即方程无实数根，故 ，解得 。故选 A。 7．若集合 中只有一个元素，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D．不存在 【答案】C 【详解】分两类：① 时方程为 ，解得 ， 恰有一个元素；② 时需 ，得 ，此时 。综上 或 。故选 C。 8．若关于 的方程 的解集只有一个元素，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解集只有一个元素即方程有两个相等的实数根，故 ，得 ，此时方程为 ，解集为 。故选 A。 三、达标检测 1．下列四组对象中，能构成集合的是（　　） A．高一（1）班所有高个子同学 B．方程 的所有实数解 C．所有比较大的数 D．我国著名的科学家 【答案】B 【详解】A、C、D 中的"高个子""比较大""著名"都没有客观标准，不满足确定性；B 的实数解为 与 ，对象明确。故选 B。 2．已知集合 ，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 是 的正因数，即 ，共 个。故选 C。 3．已知集合 ，若 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若 得 ，此时 ，，出现两个 ，违反互异性，舍去；若 得 或 ： 时 、，与 重复，舍去； 时集合为 ，成立。若 得 或 ，均已舍。故 。故选 A。 4．集合 用列举法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，即 ，整数解为 。故选 A。 5．下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A 中空集是 的子集而非元素；B 中 是自然数；C 中 不是整数；D 中 是无理数，正确。故选 D。 6．方程组 与 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】两式相加得 ，，代入得 。解集的元素是有序数对，故为 。故选 B。 7．已知集合 恰有两个元素，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程有两个不等实根，故 ，得 。故选 A。 8．设 ， 都是实数，集合 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 有意义知 。右边含元素 ，故左边必有一个等于 ：只能 ，即 。 此时左边为 ，右边为 。左边有元素 ，右边只能由 提供（若 则 ，结合 得 ，舍去），故 ，。 检验：左边 ，右边 ，相等成立。故 。故选 B。 9．已知集合 ，，则 中元素的个数为 。 【答案】 【详解】 的最小值为 ，最大值为 ，且 都能取到（如 ，，，，），故 ，有 个元素。 10．已知集合 只有一个元素，则 的值为 。 【答案】 或 【详解】当 时，方程化为 ，只有一个根 ，符合；当 时，需 ，得 。故 或 。 11．已知集合 。 （1）若 是空集，求 的取值范围； （2）若 中恰有一个元素，求 的值及这个元素。 【答案】（1）；（2） 时元素为 ， 时元素为 【详解】（1）当 时，方程为 ，有解 ， 不是空集；当 时， 为空集需 ，得 。故 。 （2）当 时，方程为 ，；当 时，需 ，得 ，此时 ，即 。 综上， 时元素为 ； 时元素为 。 12．设 是由实数组成的集合，且满足：①；②若 ，则 。 （1）若 ，写出 中必有的其他元素； （2）求证： 不可能是单元素集合。 【答案】（1），；（2）见详解 【详解】（1）由 得 ；由 得 ；由 得 ，回到出发点。故 中必有的其他元素为 与 。 （2）假设 是单元素集合，设 ，则 ，即 ，整理得 。该方程 ，无实数解，与 是实数矛盾。故 不可能是单元素集合。 学科网（北京）股份有限公司 $