第01讲 1.1集合的概念专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 集合概念专项训练以思维导图构建知识框架，通过“知识点-题型-方法”系统架构，整合集合含义、元素特性及表示方法，精选典例培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|4知识点+3即学即练|元素确定性判断、互异性检验|从集合含义到元素特性，再到表示方法，形成概念生成链条| |题型精讲|10题型（含典例+变式）|集合表示转换、参数分类讨论|覆盖元素构成、集合相等、参数求解等核心考法，题型与方法对应| |方法提炼|1分类讨论法|元素个数与参数关系分析|从基础概念应用到综合参数问题，实现知识拓展与能力提升|

第01讲 1.1集合的概念 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  【即学即练1】（第01讲集合的概念（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 知识点02：元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 【即学即练2】（25-26高一上·四川·阶段检测）由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 知识点03：集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符号 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 【即学即练3】（2026高一·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 知识点04：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 第三部分 题型精讲 题型01 判断元素能否构成集合 【典例1】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【变式1】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）下列各项中能表示集合的是（    ） A．温柔的老师 B．所有偶数 C．漂亮的花朵 D．好玩的玩具 【变式2】（25-26高一上·福建泉州·期中）下列所给对象不能构成集合的是（   ） A．一个平面内的所有点 B．某校高一（1）班的高个子学生 C．所有大于零的正整数 D．不等于0的偶数 题型02 判断是否为同一集合 【典例1】（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】（核心考点1集合（高一上学期期中备考研习室）（泸教版）【讲】）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（25-26高一上·四川成都·阶段检测）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型03 判断元素与集合的关系 【典例1】（25-26高一下·青海海东·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（第01讲集合的概念与表示（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【变式2】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 【变式3】（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 题型04 根据元素与集合的关系求参数 【典例1】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【典例2】（2026高三上·广东湛江·专题练习）已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，则______. 【变式3】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合，且，求实数的值. 题型05 根据集合元素互异性求参数 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【典例2】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则________. 【变式1】（25-26高一上·河北·阶段检测）若集合，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知,若集合，则的值为_________. 【变式3】（25-26高一上·上海金山·期中）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 题型06 列举法 【典例1】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（第01讲集合的概念（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）用列举法表示集合. 【变式1】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·山东济南·期中）用列举法表示集合是大于且小于3的整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·上海·期中）集合用列举法表示为________． 题型07 描述法 【典例1】（25-26高二下·湖南永州·期中）不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【变式1】（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【变式3】（第01讲集合的概念（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 题型08两个集合相等问题 【典例1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【典例2】（23-24高一上·重庆江北·阶段检测）设，，若集合，则______. 【变式1】（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式2】（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知集合.若，则______. 题型09 根据集合中元素的个数求参数 【典例1】（多选）（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 【典例2】（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 【变式1】（25-26高一上·上海·阶段检测）集合有且仅有一个元素，则实数___________ 【变式2】（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【变式3】（大招2集合中的一元二次方程问题）若集合中至多有一个元素，求实数a的值 题型10 常见数集或数集关系的应用 【典例1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】（多选）（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式1】（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（多选）（25-26高一上·江西·阶段检测）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 方法1分类讨论法 【典例1】（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 【典例2】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 【变式1】（01题组1集合的概念与表示高中数学必修第一册SJ�巅峰版）已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 【变式2】（25-26高一上·天津静海·阶段检测）若集合中只含有一个元素，则a的值为______． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）集合且的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 4．设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 5．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．0 6．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 二、多选题 8．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）下列说法错误的是（    ） A． B．实数集可写为{所有实数} C．被4除余3的自然数集合： D．与是同一集合 9．直线与的交点构成的集合为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（25-26高二下·广西玉林·期末）由单词“school”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个． B能力提升 1．（第一章集合与常用逻辑用语（单元自测，全国通用人教A版）数学初升高衔接）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·山东聊城·开学考试）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（多选）（25-26高一上·四川眉山·期中）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 5．（01限时小练1集合的概念高中数学必修第一册�RA）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． C综合素养 1．（多选）（25-26高一上·江西九江·阶段检测）已知非空数集T满足：对任意的，都有，且集合T中的元素个数不超过4．下列说法正确的是（   ） A．T可能为双元素集合 B．T中元素不可能都大于0 C．T中所有元素之积为 D．T中所有元素之和可能为 2．（25-26高一上·上海松江·期中）若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为__________. 3．（25-26高一上·上海浦东新·期中）若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 4．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 5．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 1.1集合的概念 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  【即学即练1】（第01讲集合的概念（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2026年高考数学全国I卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合． 知识点02：元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 【即学即练2】（25-26高一上·四川·阶段检测）由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据集合中元素的互异性可得出答案. 【详解】根据集合中元素的互异性，. 即A中的元素个数为6， 故选：C 知识点03：集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符号 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 【即学即练3】（2026高一·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 知识点04：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 第三部分 题型精讲 题型01 判断元素能否构成集合 【典例1】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合； （3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合. 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 【变式1】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）下列各项中能表示集合的是（    ） A．温柔的老师 B．所有偶数 C．漂亮的花朵 D．好玩的玩具 【答案】B 【分析】由集合中元素的确定性判断. 【详解】由集合的性质可知，B中所有偶数都是确定的，可以构成集合. 而ACD中研究对象都不确定，不能构成集合. 故选：B 【变式2】（25-26高一上·福建泉州·期中）下列所给对象不能构成集合的是（   ） A．一个平面内的所有点 B．某校高一（1）班的高个子学生 C．所有大于零的正整数 D．不等于0的偶数 【答案】B 【分析】根据集合的定义一一判断即可． 【详解】对于A，“一个平面内的所有点”是确定的，能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“某校高一（1）班的高个子学生”的标准不确定，因而不能构成集合，故B符合题意； 对于C，“所有大于零的正整数”的标准确定，能构成集合，故C不符合题意； 对于D，“不等于0的偶数”的标准确定，能构成集合，故D不符合题意. 故选：B. 题型02 判断是否为同一集合 【典例1】（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 【典例2】（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据集合定义逐一判断即可. 【详解】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C 【变式1】（核心考点1集合（高一上学期期中备考研习室）（泸教版）【讲】）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据集合的定义及表示方法求解即可. 【详解】选项A： 是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误； 选项B： 是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误； 选C：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 ， 因此集合 ，与原集合是同一集合，故C正确； 选项D： 是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误. 故选：C 【变式2】（多选）（25-26高一上·四川成都·阶段检测）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】对A，两个集合的元素不相同，不是同一集合； 对B，两个集合都是2和3两个元素，是同一集合， 对C，集合的元素是点（或有序实数对），集合的元素是实数，不是同一集合， 对D，两个集合都是由大于2的实数构成，是同一集合， 故选：BD． 【变式3】（多选）（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD. 题型03 判断元素与集合的关系 【典例1】（25-26高一下·青海海东·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合A，依次判断各选项. 【详解】因为，所以. 对于A：不成立，A错误； 对于B：成立，B正确； 对于C：成立，C错误； 对于D：成立，D错误. 【典例2】（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，，所以，故A错误. 对于B，在内无解，所以，故B错误. 对于C，当时，，所以，故C正确. 对于D，由，得，故，故D错误. 【变式1】（第01讲集合的概念与表示（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A 【变式2】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 【答案】B 【详解】由题意可知：为偶数为奇数，偶数+奇数=奇数， 故属于奇数集，即. 【变式3】（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，时的情况判断AC；分别令，求解对应的，并结合判断BD. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 题型04 根据元素与集合的关系求参数 【典例1】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 【典例2】（2026高三上·广东湛江·专题练习）已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求得的取值范围. 【详解】因为， 又且，则. 故选：D 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，则______. 【答案】2或或 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. 【变式3】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合，且，求实数的值. 【答案】 【详解】由得，解得， 此时集合 满足元素互异性，符合题意. 题型05 根据集合元素互异性求参数 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 【典例2】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则________. 【答案】1 【分析】根据进行一一验证可得. 【详解】因，所以 当时，即，此时，元素重复，不符合题意； 当时，即或，由上可知不符合题意， 而时，，元素重复，不符合题意； 当，即或， 由上可知不符合题意，而时，，符合题意. 故答案为：1. 【变式1】（25-26高一上·河北·阶段检测）若集合，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的互异性对进行分类讨论即可. 【详解】当时，，违反集合互异性； 当时，此时，符合题意， 故实数a的取值范围为. 故选：B. 【变式2】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知,若集合，则的值为_________. 【答案】 【分析】利用集合的互异性、无序性，集合相等的含义解决即可. 【详解】 易知,因此. 因此有. 由集合的互异性可知，故 得 因此，. 故答案为：. 【变式3】（25-26高一上·上海金山·期中）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性与集合相等计算即可. 【详解】由题意可知，所以根据集合元素的互异性可知， 则，此时需，即，所以. 故答案为： 题型06 列举法 【典例1】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据列举法的知识确定正确答案. 【详解】找条件为大于1且小于等于5的自然数，则符合条件的元素为， 所以列举法表示为. 【典例2】（第01讲集合的概念（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）用列举法表示集合. 【答案】 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有， 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是． 所以． 【变式1】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得，方程组解集为点集，即为. 【变式2】（25-26高一上·山东济南·期中）用列举法表示集合是大于且小于3的整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把描述法表示的集合转化成列举法来表示即可. 【详解】集合是大于且小于3的整数, 故选：A. 【变式3】（25-26高一上·上海·期中）集合用列举法表示为________． 【答案】/ 【详解】可化为，由，有，解得. 又由，得可能取值为，，． ，得，满足条件；，，不满足条件； ，得，满足条件．综上，集合用列举法表示为． 题型07 描述法 【典例1】（25-26高二下·湖南永州·期中）不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不小于2的所有整数构成的集合可表示为. 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 【变式1】（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得，进而求解即可. 【详解】由，得，解得， 则不等式的解集为. 故选：B 【变式2】（多选）（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【答案】ACD 【详解】对A：可表示奇数集，故A正确； 对B：可表示小于8的非负整数，不含负整数，故B错误； 对C：可表示大于2的实数，故C正确； 对D：不等式的解集为，故D正确. 【变式3】（第01讲集合的概念（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）比1大又比10小的所有有理数组成的集合可表示为； （2）正偶数组成的集合是． （3）函数的图象上所有的点组成的集合是． 题型08两个集合相等问题 【典例1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算即可. 【详解】由， 则，且，即， 此时，结合集合中的元素互异可得，即， 此时集合为，也可表示为，满足题意， 所以. 故选：B 【典例2】（23-24高一上·重庆江北·阶段检测）设，，若集合，则______. 【答案】0 【分析】利用集合相等，即可得，解出即可求解. 【详解】由题意有：，经验证满足题意，所以， 故答案为：0. 【变式1】（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据得到或，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可. 【详解】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得. 故选：C. 【变式2】（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知集合.若，则______. 【答案】 【分析】根据集合的性质和相等进行求解即可 【详解】由集合，可得或， 当时，解得，此时，不满足集合的互异性； 当时，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以则. 故答案为：. 题型09 根据集合中元素的个数求参数 【典例1】（多选）（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】AC 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意； 综上可得或. 故选：AC 【典例2】（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据方程有两个不等实根可讨论得到结果； （2）根据方程有唯一解或两个相等实根可讨论得到结果. 【详解】（1）集合中恰有两个元素，有两个不等实根； 当时，，解得：，不合题意； 当时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为：或. （2）集合中只有一个元素，有唯一实根或两个相等实根； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：，此时； 综上所述：实数的取值集合为. 【变式1】（25-26高一上·上海·阶段检测）集合有且仅有一个元素，则实数___________ 【答案】或 【分析】分别讨论和的情况，结合判别式可构造方程求得结果. 【详解】当，即时，，满足题意； 当，即时，，解得：； 综上所述：或. 故答案为：或. 【变式2】（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 【变式3】（大招2集合中的一元二次方程问题）若集合中至多有一个元素，求实数a的值 【答案】 【分析】当时，验证是否满足题意，当时，由即可求解. 【详解】由题意有：当时，满足题意， 当时，， 故答案为：. 题型10 常见数集或数集关系的应用 【典例1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据常见数集的表示方式，逐一判断，即可得答案. 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，所以①正确； 对于②，为整数，而表示整数集合，所以，所以②错误； 对于③，为正整数，而表示正整数集，所以，所以③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，所以④正确． 故选：C 【典例2】（多选）（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可. 【详解】若，，设，则 ，故A错误，B正确； 若，，设， 则 ，故C正确，D错误. 故选：BC. 【变式1】（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用常用数集的定义逐一判断即可得解. 【详解】对于①：为有理数，则成立，①正确； 对于②：为实数，则不成立，②错误； 对于③：不是正自然数，则不成立，③错误； 对于④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误； 故正确的有1个. 故选：A. 【变式2】（多选）（25-26高一上·江西·阶段检测）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由，，，分别设出的特征表达式，通过运算及变形整理找到新元素的特征归属即可. 【详解】因为，可设，，， 选项A，， 则，故A正确； 所以， 则，故B正确； 所以，其中， 则，故C错误； 所以，其中， 则，故D正确. 故选：ABD. 方法1分类讨论法 【典例1】（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【分析】根据和中只有一个元素，即可结合二次方程和一次方程的根求解. 【详解】当时，则需满足且，解得， 当中只有一个元素时，则或，解得， 综上可知：集合中至多有一个元素，则或， 故选：D 【典例2】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】分类讨论，得到方程组，结合元素互异性，得到，求出答案. 【详解】由， 若，解得，此时中元素不满足互异性，舍去； 若，解得或， 当时，中元素不满足互异性，舍去； 当时，中元素满足互异性，所以. 故选：A 【变式1】（01题组1集合的概念与表示高中数学必修第一册SJ�巅峰版）已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】D 【分析】分、、三种情况讨论，若为一次方程则符合题意，若为二次方程只需即可. 【详解】若，则，符合题意； 若，则变为，显然不成立， 则，不符合题意； 当，即时，则， 解得（舍）或， 所以的所有可能值为，故所有可能值的乘积为． 故选：D 【变式2】（25-26高一上·天津静海·阶段检测）若集合中只含有一个元素，则a的值为______． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论即可. 【详解】当时，，符合题意； 当时，因集合中只含有一个元素，则，得， 故或. 故答案为：或 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【详解】因为构成集合的核心前提是集合的元素的确定性及互异性. 对①“无限接近的数”无标准，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以①错误； 对②试卷填空题数量、内容确定，即集合的元素的确定且互异，故可成集合,所以②正确； 对③“高端数码产品”定义模糊，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以③错误； 对④不大于的非负整数为确定且互异，因此可成集合,所以④正确； 对⑤因为 元素重复，集合仅有个元素，故⑤错误. 综上所述，②④正确. 2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）集合且的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】因为且，所以有5个元素. 3．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合，得， 所以. 4．设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 【答案】D 【分析】先求得集合，由此求得. 【详解】解方程，因式分解得， 解得或故. 由得或. 5．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【详解】已知，，， 因此，解得. 6．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的属于、不属于关系，从的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确定的值 【详解】由，可知a的可能取值为0,1,2,3； 再由，可排除取值0、1、3； 因此的取值只能为2. 7．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 【答案】B 【分析】设出的表示形式，计算后比较各集合的代表元形式可得． 【详解】由题意设，，其中都是整数， 则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数， ∴. 二、多选题 8．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）下列说法错误的是（    ） A． B．实数集可写为{所有实数} C．被4除余3的自然数集合： D．与是同一集合 【答案】BD 【详解】B选项花括号自带“全部”含义，表述冗余错误； D选项前者为数集，后者为点集，不是同一集合； A、C表述正确. 9．直线与的交点构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线方程可得交点坐标，然后由集合表示方法可得答案. 【详解】，即直线交点坐标为，则交点构成的集合为：或. 三、填空题 10．（25-26高二下·广西玉林·期末）由单词“school”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个． 【答案】5 【详解】由已知， 所以集合中的元素共有个. B能力提升 1．（第一章集合与常用逻辑用语（单元自测，全国通用人教A版）数学初升高衔接）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 2．（26-27高一上·山东聊城·开学考试）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 3．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】已知，， 当时： ， ； 当时： ， ； 当时： ， ； 由集合的互异性得，元素个数为. 4．（多选）（25-26高一上·四川眉山·期中）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 5．（01限时小练1集合的概念高中数学必修第一册�RA）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． (3)且． 【分析】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． C综合素养 1．（多选）（25-26高一上·江西九江·阶段检测）已知非空数集T满足：对任意的，都有，且集合T中的元素个数不超过4．下列说法正确的是（   ） A．T可能为双元素集合 B．T中元素不可能都大于0 C．T中所有元素之积为 D．T中所有元素之和可能为 【答案】BCD 【分析】根据题意得，，得， 逐项判断即可. 【详解】由，，得，， 要使得T为双元素集合，则x，，中必有两个相等，另外一个和它们不相等． 因为，，，所以T不可能是双元素集合，所以A错误． 由上知，T中必有三个元素，所以，则，所以B正确，C正确． 当时，，，所以D正确． 故选：BCD 2．（25-26高一上·上海松江·期中）若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为__________. 【答案】7 【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可. 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合的所有非空子集中， 为影子关系的集合有 . 故答案为：7 3．（25-26高一上·上海浦东新·期中）若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 【答案】③④⑤ 【分析】根据题意，结合集合的新定义中性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于①，由集合，若，可得， 所以集合不满足性质（2），所以集合不是个“好集合”，所以①是假命题； 对于②，取，此时，但，所以不是“好集合”，所以②是假命题； 对于③，对于实数集，其中且，且任意，则， 且当时，有，所以实数集是“好集合”，所以③是真命题； 对于④，集合是“好集合”，由，，根据“好集合”的定义， 可得， 因为，可得，所以④是真命题； 对于⑤，若集合是“好集合”，任取， 若中有和时，显然； 设均不含和，由“好集合”的定义知， 所以，所以， 由④可得，同理可得， 若或，显然； 若或，则， 所以，所以， 由，则，所以⑤是真命题. 故答案为：③④⑤ 4．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 【答案】(1)和； (2)证明见解析． 【分析】（1）根据集合的定义验证； （2）由，证明且即可． 【详解】（1）由已知,,0,均是集合中元素， 又，，无意义， ， 所以和属于； （2）因为，则， 设， 则， 而，，所以， 又，所以, 所以． 5．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，根据题意，结合，准确运算，即可求解； （2）假设集合C中只有个元素，结合题意，得到方程，结合一元二次方程的性质，即可得证. 【详解】（1）若，则，若，则， 若，则， 当时，集合中必含有另两个元素、； （2）假设集合中只有一个元素，由题意可知， 集合为单元素集合，， 即，而，则此方程无实数解， 假设不成立，集合不可能是单元素集合． 学科网（北京）股份有限公司 $