3.1 一元一次方程的概念课件 2026-2027学年湘教版 数学九年级上册

3.1 一元一次方程的概念 设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高AB为2 m，下部BC=x m，请列出方程. A C B 解：列方程得 x 2 = 2(2 - x )， 整理得 x 2 + 2x - 4 = 0．① x m (2 - x ) m 该方程与我们学过的方程有什么联系和区别？ 问题1：现打算建造一个矩形花圃种植两种不同的花卉. 用长为24 m的篱笆将花圃围起来并有一面靠着墙(墙的最大可用长度是10 m)，且用篱笆将两种不同的花卉隔离开. 如果要围成面积为40 m2的花圃，AB的长是多少米？ 解：设花圃的宽 AB 为 x m，则花圃的长BC 为(24 - 3x) m， 根据花圃面积为40 m2，得x (24 - 3x) ＝ 40. 整理得 - 3x2 + 24x ＝ 40. ② 10 m 问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循坏形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛? 设应邀请支球队参赛，每支球队要与其他支球队各赛1场，则此次邀请赛共需进行 场，所以可列得方程 整理并化简，得 x2-x-56=0. ③ 思考：观察方程①②③有什么共同点？ x 2 + 2x - 4 = 0．① - 3x2 + 24x ＝ 40. ② x2-x-56=0. ③ 1. 等号的两边都是整式； 2. 只含有一个未知数； 3. 未知数的最高次数是2. 一元二次方程的概念 如果一个方程只含有一个未知数，经过整理后含未知数项的最高次数是2，那么这样的方程称为一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0 (a，b，c为常数，a≠0) ax2 称为二次项，a 称为二次项系数. bx 称为一次项，b 称为一次项系数. c 称为常数项. 思考：为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 不是一元二次方程 三种形式 判断下列方程是否为一元二次方程？ (2) x3 + x2 = 36 (3) x + 3y = 36 (5) x + 1 = 0  × × × ×  × × (1) x2 + x = 36 例1 方程3x(1-x)+10=2(x+2)是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：将原方程去括号，得3x - 3x² + 10 =2x+4, 移项、合并同类项，得-3x²+x+6=0. 这是一元二次方程，其中二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6. 可以. 其中二次项系数是 3， 一次项系数是 -1， 常数项是 - 6. 思考：-3x²+x+6=0可以写成 3x2 - x - 6 = 0 吗？那么各项系数又是多少？常数项是多少呢？ 确定一元二次方程的各项及其系数的注意点： （1）先把方程化为一般形式．如果二次项系数小于 0，一般把方程两边同乘－1，将其二次项系数转化为大于0的数． （2）指出一元二次方程各项的系数时，注意带上前面的符号，不要漏掉． （3）特例：若没有出现一次项 bx，则 b＝0；若没有出现常数项，则 c＝0． 例2 方程 (2a－4)x2 − 2bx + a = 0， （1）在什么条件下此方程为关于 x 的一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为关于 x 的一元一次方程？ 解：(1)当 2a − 4 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，是关于 x 的一元二次方程； (2)当 a = 2 且 b ≠ 0 时，是关于 x 的一元一次方程． 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ ax=b (a≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0) 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 做一做 若关于x 的方程ax2－x = 2x2－ax－3是一元二次方程，求常数a应满足的条件，与同学交流讨论. 解：移项，得ax2−x−2x2+ax+3=0， 合并同类项，得(a−2)x2+(a−1)x+3=0， 因为该方程为一元二次方程， 所以a−2 ≠ 0，解得a ≠ 2. 一元二次方程 概念 一般形式 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2. ax2+bx+c=0 (a≠0) 确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项要先化为一般形式. 列方程 1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是( @3@ ) B A. 3x2 - 2xy - 5y2 = 0 B. (x-1) (x+2) = 1 C. ax2 + bx + c = 0 D. 随堂小练 2.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 2x2 = 4x x2 = 2 3x (x-1) = 5 (x-1)(x+3)=5 2x2 - 4x = 0 2 -4 0 x2 - 2 = 0 1 0 -2 3x2 - 3x - 5 = 0 3 -3 -5 x2 + 2x - 8 = 0 1 2 -8 3.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）2x2=1-3x （2）5x（x-2）=4x2-3x． 解：（1）2x2=1-3x 一般形式为2x2+3x-1=0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-1； （2）5x（x-2）=4x2-3x 一般形式为 x2-7x=0，二次项系数为1，一次项系数为-7，常数项为0． 4. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. (1)有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的长方形? (2)一个直角三角形的两条直角边相差 3 cm，面积是 9 cm2 ，求较长的直角边. (2)设较长的直角边长为 a cm，则较短的直角边长为 (a-3) cm， 则直角三角形的面积为[ a(a-3)] cm2 ， 所以其一般形式为 a2-3a-18=0． 解：(1)设长方形的长为xm，则宽为(0.5-x)m. 根据题意，得x(0.5-x)=0.06, 整理，得50x2-25x+3=0. $