2.1 课时2 余弦课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

2.1 课时2 余弦 A B C 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定. 那么，其他边之间的比是否也确定了呢？ 探究 如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形，其中∠A =∠D， ∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？从中你能得出什么结论？ 解：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°， ∴∠B=90°-α=∠E， 从而sinB=sinE， ∴ =. 根据之前学过的知识，你还有其他的解法吗？ (法二)解：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°， ∴△ABC∽△DEF(两角分别相等的两个三角形相似). 从而=. 因此= . 在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α 的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 如图，在 直角三角形中，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫作∠ A 的余弦，记作 cos A ，即 邻边b 斜边c ∠A 的邻边 斜边 cos A = A B C = 问题1：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别记作a,b,c.那么∠A，∠B的正弦值是什么？ ∠A，∠B的余弦值是什么？它们之间有什么关系？ sinA sinB cosA cosB sinA=cosB，sinB=cosA 问题2：∠A=，∠A与∠B互余，你能用只含角的式子表示sinA=cosB，cosA=sinB吗？ cos=sin(90°-) sin=cos(90°-) 例1 求cos30°，45°，cos60°的值. cos30°=sin(90°－30°)=sin60°=， cos45°=sin(90°－45°)=sin45°=， cos60°=sin(90°－60°)=sin30°=. 解： 提示：一个锐角的余弦值等于这个角的余角的正弦值. 例2 计算：cos30°－cos60°+. 解：原式=× +×（）² = + =. 注意：一定要熟记特殊角的余弦值. 通过前面的学习，除了30°，45°，60°特殊角外，对于一般锐角α的正弦值、余弦值，可以利用计算器来求. 例如，求 sin50°的值（精确到0.000 1）， 可以在计算器上依次按键： 显示结果为 0.766 044 443， 因此sin50°≈ 0.766 0. sin 5 0 1.已知角的度数，求正弦值： 例如，求 cos10°36′的值（精确到0.000 1）， 依次按键： 显示结果为 0.982 935 349， 因此cos10°36′≈ 0.982 9. cos 1 0 。,,, 3 6 。,,, = 因为10°36′=10.6°，所以可以在计算器上依次按键： cos 1 0 . 6 同样也可以得到上述结果. 例如，已知sinα = 0.368 8 ，求对应锐角α（精确到0.1°）， 依次按键： 显示结果为 21.641 629 2， 因此α≈ 21.6°. 2.已知正弦值或余弦值，也可以利用计算器求出它的对应锐角： sin 0 . 3 6 SHIFT 8 8 还可以再按 ，显示结果为21°38′29.87′′，这表明锐角α精确到1′的结果为21°38′，精确到1′′的结果为21°38′30′′. 。,,, 例如，已知cosα = 0.866 1 ，求对应锐角α（精确到1′′）， 依次按键： 显示结果为 29.991 450 8， 再按 ，显示结果为29°59′29.22′′， 因此α≈ 29°59′29′′. cos 0 . 8 6 SHIFT 6 1 。,,, 做一做 利用计算器计算： （1）sin40°≈ ，cos15°≈_________（精确到0.000 1）； （2）sin15°30'≈ ，cos50°48'≈_________（精确到0.000 1）； （3）sin α=0.965 9，则锐角α≈ （精确到1°）； （4）cos α=0.258 8，则锐角α≈ （精确到1''）. 75° 75°00'04'' 注意：由于计算器的型号与功能的不同，按相应的说明书使用. 0.6428 0.9659 0.2672 0.6320 余弦 余弦的概念 互为余角的角的正弦和余弦关系 30°，45°，60°角的余弦值 用计算器求正弦或余弦值，根据正弦或余弦值求角 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cosA的值 是(　　) A. B. C. D. 2.已知α是锐角，cosα＝，则α等于 ． C 30° 随堂小练 3.计算： (1)cos30°－cos45°－cos60°； (2)2cos245°＋cos260°－3cos230°. 解：(1)原式＝××＝. (2)原式＝2×()2+()2＝＝. 4.设是任一锐角，求证：sin2+cos2=1. 证明：根据题意作直角三角形△ABC,∠ACB=90°，∠A= ， ∵sin=, cos=， ∴ sin2== , cos2== ， ∴ sin2+cos2=+= 又∵ =, ∴ sin2+cos2=1. $