22.4 相似三角形的性质 课时作业 2026-2027学年沪科版数学 九年级上册

沪科版九年级上册数学 · 22.4 相似三角形的性质 课时作业 沪科版数学 九年级上册 · 第22章 相似形 22.4 相似三角形的性质 课时作业 班级：____________ 姓名：____________ 学号：________ 用时：________ 第一部分 学习目标 1．理解并掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。 2．掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，并能进行简单推理。 3．能根据面积比求相似比（开平方），会利用“同高三角形面积比等于底之比”解决面积问题。 4．能运用相似三角形的性质解决内接正方形（矩形）、比例尺、测量等实际问题，体会转化与方程思想。 第二部分 知识点梳理 知识点一：相似三角形对应线段的比 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的高，则 ＝＝k。 图1 相似三角形的对应高 说明：因为∠B＝∠B′，∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，所以△ABD∽△A′B′D′，于是 ＝＝k。对应中线、对应角平分线也可以用类似的方法证明。 知识点二：相似三角形周长的比 相似三角形周长的比等于相似比。 理由：若 ＝＝＝k，由等比性质得 ＝k。 知识点三：相似三角形面积的比 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 理由：＝＝×＝k·k＝k²。 相似三角形的量 比值（相似比为k） 对应边的比 k 对应高、对应中线、对应角平分线的比 k 周长的比 k 面积的比 k² 反过来，若两个相似三角形的面积比为 m∶n，则相似比为 ∶。 知识点四：与面积有关的常用结论 （1）等高（同高）的两个三角形，面积的比等于底边的比；等底（同底）的两个三角形，面积的比等于高的比。 （2）如图，若DE∥BC，AD∶AB＝k，则 S△ADE∶S△ABC＝k²，S△ADE∶S四边形DBCE＝k²∶(1－k²)。 图2 A字型中的面积关系 （3）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，这一结论对相似多边形同样成立。 易错警示 ⚠ 易错点1：面积比等于相似比的平方，而不是等于相似比；由面积比求相似比时要开平方，不要直接把面积比当作相似比。 ⚠ 易错点2：“对应高”“对应中线”“对应角平分线”必须是对应边上的线段，不对应的线段之比不一定等于相似比。 ⚠ 易错点3：求四边形（如四边形DBCE）的面积时，常用“大三角形面积减去小三角形面积”，不要把四边形面积误当作小三角形面积的倍数。 第三部分 典型例题精讲 例1　周长比与面积比的基本计算 已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝3，A′B′＝5，△ABC的周长为18，面积为12，求△A′B′C′的周长和面积。 【分析】先求相似比，再由“周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方”求解。 【解答】 相似比 k＝＝。 设△A′B′C′的周长为l，由 ＝ 得 l＝18×＝30。 由 ＝()²＝ 得 S△A′B′C′＝12×＝。 所以△A′B′C′的周长为30，面积为 。 【点评】周长用相似比，面积用相似比的平方，两者不能混用。 例2　三角形的内接正方形 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝12 cm，高AD＝8 cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边EF在BC上，其余两个顶点H，G分别在AB，AC上，AD交HG于点M。这个正方形零件的边长是多少？ 【分析】由HG∥BC得△AHG∽△ABC，利用“对应高的比等于相似比”列方程。 【解答】 设正方形的边长为x cm，则HG＝x，MD＝x，AM＝8－x。 因为HG∥BC，所以△AHG∽△ABC，AM，AD分别是它们的对应高， 所以 ＝，即 ＝。 解得 8x＝96－12x，x＝4.8。 答：这个正方形零件的边长是4.8 cm。 【点评】内接正方形（矩形）问题的关键是“对应高的比等于相似比”，一般结论为 x＝（a为底，h为高）。 例3　平行四边形中的面积计算 如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，AE与BD相交于点F。已知△DEF的面积为2，求△ABF的面积、△ADF的面积和平行四边形ABCD的面积。 【分析】由DE∥AB得“8字型”相似；再利用同高三角形面积比等于底之比。 【解答】 因为四边形ABCD是平行四边形，所以DC∥AB，DC＝AB。又E是CD的中点，所以DE＝AB。 由DE∥AB得△DEF∽△BAF，相似比为 ＝， 所以 S△DEF∶S△BAF＝1∶4，S△ABF＝4×2＝8。 又 ＝＝，△ADF与△ABF同高，所以 S△ADF＝S△ABF＝4。 于是 S△ABD＝4＋8＝12，平行四边形ABCD的面积＝2×12＝24。 【点评】“8字型”相似与“等高三角形面积比等于底之比”常常结合使用。 例4　由面积比求相似比 在△ABC中，DE∥BC，点D，E分别在AB，AC上，且DE把△ABC分成面积相等的两部分。若BC＝10，求DE的长及 的值。 【分析】面积相等说明 S△ADE∶S△ABC＝1∶2，再开平方得相似比。 【解答】 因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。 由题意 S△ADE＝S△ABC，所以 ()²＝，＝。 所以 DE＝10×＝5，＝。 【点评】由面积比求相似比时一定要开平方， 开平方后是 。 例5　比例尺中的周长与面积 在比例尺为1∶500的图纸上，一块三角形草坪的三边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，求这块草坪的实际周长和实际面积。 【分析】图纸上的三角形与实际三角形相似，相似比为1∶500。 【解答】 图上三角形的周长为 3＋4＋5＝12（cm），所以实际周长为 12×500＝6000（cm）＝60（m）。 因为3²＋4²＝5²，所以图上三角形是直角三角形，面积为 ×3×4＝6（cm²）。 实际面积为 6×500²＝1500000（cm²）＝150（m²）。 答：草坪的实际周长为60 m，实际面积为150 m²。 【点评】比例尺相当于相似比，实际面积要乘比例尺分母的平方，注意单位换算：1 m²＝10⁴ cm²。 第四部分 分层课时作业 A组 基础达标 一、选择题 1．（　　）两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的面积比是 A．2∶3 B．4∶9 C．∶ D．3∶2 2．（　　）已知△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为 A．6 B．54 C．2 D．162 3．（　　）两个相似三角形对应中线的比为1∶4，则它们的面积比为 A．1∶4 B．1∶2 C．1∶16 D．1∶8 4．（　　）两个相似三角形的面积比为9∶25，则它们对应角平分线的比为 A．9∶25 B．3∶5 C．81∶625 D．∶ 5．（　　）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝2∶3，则△ADE的面积与四边形DBCE的面积之比为 A．2∶3 B．4∶9 C．4∶25 D．4∶21 6．（　　）把一个三角形的各边都扩大为原来的3倍，得到的三角形与原三角形相似，则面积扩大为原来的 A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．27倍 7．（　　）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD∶BC＝1∶2，对角线AC，BD相交于点O。若△AOD的面积为1，则梯形ABCD的面积为 A．6 B．8 C．9 D．12 8．（　　）两个相似三角形的最短边分别为5 cm和3 cm，它们的周长之差为12 cm，则较大三角形的周长为 A．18 cm B．30 cm C．24 cm D．20 cm 二、填空题 9．已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝4，A′B′＝6，△ABC的面积为8，则△A′B′C′的面积为______。 10．两个相似三角形对应高的比为3∶5，它们的周长之差为16，则较小三角形的周长为______。 11．在比例尺为1∶10000的地图上，一块三角形地的面积为2 cm²，则这块地的实际面积为______m²。 12．已知△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是它们的对应高，AD＝4，A′D′＝6，BC＝8，则B′C′＝______。 13．两个相似三角形的面积比为1∶2，则它们的相似比为______。 14．在△ABC中，DE∥BC，点D，E分别在AB，AC上，AD＝2，DB＝4，△ADE的面积为3，则四边形DBCE的面积为______。 15．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD＝DF＝FB，若△ABC的面积为18，则四边形FBCG的面积为______。 三、解答题 16．已知△ABC∽△DEF，AB＝6，BC＝8，CA＝10，DE＝9。求△DEF的周长和面积。 17．两个相似三角形的对应角平分线的长分别为6 cm和9 cm，它们的面积之和为78 cm²，求这两个三角形的面积。 18．如图，在△ABC中，DE∥BC，S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8。（1）求DE∶BC；（2）若BC＝12，求DE的长。 19．如图，△ABC中，AF⊥BC于点F，DE∥BC，分别交AB，AC，AF于点D，E，G。已知BC＝20，AF＝16，DE＝15，求线段GF的长。 20．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线。求证：＝k。 B组 能力提升 四、综合题 21．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD∶AB＝1∶3，BE与CD相交于点O。若△DOE的面积为1，求：（1）△BOC的面积；（2）△DOB的面积；（3）△ABC的面积。 22．如图，△ABC中，BC＝12，高AD＝8，矩形EFGH的边EF在BC上，顶点H，G分别在AB，AC上，AD交HG于点M，且HG＝2HE。求矩形EFGH的长和宽。 23．如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在BC下方的点A′处，A′D，A′E分别交BC于点M，N。已知△ABC的面积为36，AD∶AB＝2∶3，求折叠后重叠部分（四边形DMNE）的面积。 24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，BC＝8。（1）求CD和AD的长；（2）求△ACD与△CBD的面积比。 C组 拓展探究 五、探究题 25．如图，点P在△ABC的边BC上，PE∥AB交AC于点E，PF∥AC交AB于点F。（1）若△BPF的面积为4，△PCE的面积为9，求△ABC的面积及四边形AFPE的面积；（2）若△BPF的面积为a，△PCE的面积为b，试用含a，b的式子表示四边形AFPE的面积。 26．如图，△ABC中，BC＝12，高AD＝8，矩形EFGH的边EF在BC上，顶点H，G分别在AB，AC上，AD交HG于点M。设HE＝x，矩形EFGH的面积为S。（1）用含x的式子表示HG；（2）求S关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；（3）当x为何值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？它与△ABC的面积有什么关系？ 第五部分 参考答案与解析 A组 基础达标 1．【答案】B 【解析】面积比等于相似比的平方，为 2²∶3²＝4∶9。 2．【答案】A 【解析】周长比等于相似比，△DEF的周长为 18÷3＝6。 3．【答案】C 【解析】对应中线的比等于相似比1∶4，面积比为 1²∶4²＝1∶16。 4．【答案】B 【解析】相似比为 ∶＝3∶5，对应角平分线的比等于相似比。 5．【答案】D 【解析】AD∶AB＝2∶5，S△ADE∶S△ABC＝4∶25，所以 S△ADE∶S四边形DBCE＝4∶(25－4)＝4∶21。 6．【答案】C 【解析】相似比为3，面积比为 3²＝9。 7．【答案】C 【解析】△AOD∽△COB，相似比为1∶2，所以 S△BOC＝4。 又 ＝，所以 S△AOB＝2S△AOD＝2，同理 S△COD＝2。 梯形面积为 1＋4＋2＋2＝9。 8．【答案】B 【解析】相似比为5∶3，设两个周长分别为5k cm，3k cm，则 5k－3k＝12，k＝6，较大三角形的周长为30 cm。 9．【答案】18 【解析】＝()²＝，所以 S△A′B′C′＝18。 10．【答案】24 【解析】周长比为3∶5，设周长为3k，5k，则 2k＝16，k＝8，较小周长为24。 11．【答案】2×10⁴ 【解析】实际面积为 2×10000²＝2×10⁸（cm²）＝2×10⁴（m²）。 12．【答案】12 【解析】＝＝，所以 B′C′＝8×＝12。 13．【答案】1∶（或 ∶2） 【解析】相似比为 ∶＝1∶。 14．【答案】24 【解析】AD∶AB＝2∶6＝1∶3，S△ABC＝3×9＝27，所以 S四边形DBCE＝27－3＝24。 15．【答案】10 【解析】S△ADE∶S△AFG∶S△ABC＝1²∶2²∶3²＝1∶4∶9。 所以 S△AFG＝18×＝8，四边形FBCG的面积为 18－8＝10。 16．【答案】周长36，面积54 【解析】相似比为 ＝＝。 △ABC的周长为 6＋8＋10＝24，所以△DEF的周长为 24×＝36。 因为6²＋8²＝10²，所以△ABC是直角三角形，面积为 ×6×8＝24。 △DEF的面积为 24×()²＝24×＝54。 17．【答案】24 cm²和54 cm² 【解析】相似比为6∶9＝2∶3，面积比为4∶9。 设两个三角形的面积分别为4k cm²，9k cm²，则 4k＋9k＝78，k＝6。 所以两个三角形的面积分别为24 cm²和54 cm²。 18．【答案】（1）1∶3；（2）4 【解析】（1）因为 S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，所以 S△ADE∶S△ABC＝1∶9。 由DE∥BC得△ADE∽△ABC，所以 ()²＝，DE∶BC＝1∶3。 （2）DE＝12×＝4。 19．【答案】4 【解析】因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，且AF⊥DE，AG，AF是对应高。 所以 ＝＝＝，AG＝16×＝12。 所以 GF＝AF－AG＝16－12＝4。 20．【答案】见解析 【解析】因为△ABC∽△A′B′C′，所以∠B＝∠B′，＝＝k。 因为AD，A′D′是中线，所以 BD＝BC，B′D′＝B′C′， 于是 ＝＝k＝。 又∠B＝∠B′，所以△ABD∽△A′B′D′（两边成比例且夹角相等）， 所以 ＝＝k。 B组 能力提升 21．【答案】（1）9；（2）3；（3）18 【解析】（1）由DE∥BC得△ADE∽△ABC，＝＝。 又△DOE∽△BOC，相似比为 ＝，所以 S△BOC＝9×1＝9。 （2）＝＝。△DOE与△DOB有公共顶点D，底OE，OB在同一直线上（同高），所以 S△DOB＝3S△DOE＝3。 （3）同理 ＝，S△EOC＝3S△DOE＝3，所以 S△DEC＝1＋3＝4。△ADE与△DEC同高，＝＝，所以 S△ADE＝2。 S△ABC＝2＋1＋3＋3＋9＝18（或 S△ABC＝9S△ADE＝18）。 22．【答案】宽为 ，长为 【解析】设HE＝x，则HG＝2x，MD＝x，AM＝8－x。 由HG∥BC得△AHG∽△ABC，所以 ＝，即 ＝。 解得 16x＝96－12x，x＝，2x＝。 所以矩形的宽为 ，长为 。 23．【答案】12 【解析】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，S△ADE＝36×()²＝16。 由折叠得△A′DE≌△ADE，S△A′DE＝16。 设△ABC中BC边上的高为h，则点A到DE的距离为 h，DE到BC的距离为 h，所以点A′到DE的距离为 h，到BC的距离为 h－h＝h。 因为MN∥DE，所以△A′MN∽△A′DE，相似比为 h∶h＝1∶2，S△A′MN＝16×＝4。 重叠部分面积为 16－4＝12。 24．【答案】（1）CD＝4.8，AD＝3.6；（2）9∶16 【解析】（1）AB＝＝10。由面积法 AC·BC＝AB·CD 得 CD＝＝4.8。 由△ACD∽△ABC得 ＝，AD＝＝3.6。 （2）△ACD∽△CBD（∠A＝∠BCD，∠ADC＝∠CDB＝90°），相似比为 ＝＝， 所以面积比为 ()²＝，即9∶16。 C组 拓展探究 25．【答案】（1）25，12；（2）2 【解析】（1）因为PF∥AC，所以∠BPF＝∠C；因为PE∥AB，所以∠B＝∠EPC，于是△BPF∽△PCE。 面积比为4∶9，所以相似比 ＝，＝。 又△BPF∽△BCA，所以 ＝()²＝，S△ABC＝25。 四边形AFPE的面积为 25－4－9＝12。 （2）由△BPF∽△PCE得 ＝，所以 ＝。 于是 S△ABC＝a×()²＝(＋)²＝a＋b＋2， 四边形AFPE的面积为 a＋b＋2－a－b＝2。检验：a＝4，b＝9时，2＝12，与（1）一致。 26．【答案】（1）HG＝12－x；（2）S＝－x²＋12x（0＜x＜8）；（3）x＝4时最大为24，恰为△ABC面积的一半 【解析】（1）由△AHG∽△ABC得 ＝，即 ＝，所以 HG＝12－x。 （2）S＝x·(12－x)＝－x²＋12x，其中 0＜x＜8。 （3）S＝－(x²－8x)＝－(x－4)²＋24。 因为 －＜0，所以当x＝4时，S有最大值24。 △ABC的面积为 ×12×8＝48，所以矩形的最大面积恰好是△ABC面积的一半，此时H，G分别是AB，AC的中点。 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $