22.3 相似三角形的判定 分层同步练习 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 本练习通过“夯实基础-能力提升-拓展创新”三层设计，实现相似三角形判定从概念理解到综合应用再到创新探究的进阶，适配新授课分层教学需求，培养推理意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|相似三角形判定（AA、SAS等）及简单性质应用|以选择、填空、简单证明为主，如第1题直接考查判定定理，第7题结合SAS判定求边长，强化基础概念| |能力提升|综合判定、性质与平移/比例线段结合及跨学科应用|含综合计算（第11题比例线段）、尺规作图（第14题构造相似）、跨学科情境（第15题金星凌日），发展应用意识| |拓展创新|分类讨论、新定义问题及复杂情境探究|涉及多解分类（第16题点位置讨论）、新定义证明（第17题自相似四边形），培养创新意识与逻辑推理|

沪科版数学九年级上册22.3相似三角形的判定分层同步练习 一、夯实基础 1．（2026·中山模拟） 如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是(　　) A． B． C．∠A=∠D， ∠B=∠E D．∠A=∠B， ∠D=∠E 2．（2026·南山模拟） 如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置， 已知AB=6，HD=2，CF=3，则CE的长度为(　　) A．9 B．8 C．6 D．5 3．（2026九上·东莞期末）如图是某小区门口的道闸示意图，当有车辆经过时，道闸绕点旋转使点端缓慢抬起，已知，且表示点抬起的竖直距离，表示点下降的竖直距离，则当点下降的竖直距离为时，点抬起的竖直距离为　 　． 4．（2026·涟源模拟）如图，在中，，，垂足为，若，，那么线段的长为　 　． 5．（2025九上·南沙月考）如图，、分别在边、上，若，，，则的长为　 　． 6．（2026·播州模拟）如图，在中，点在边上，过点作交边于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当四边形是菱形时，，，求菱形的边长． 7．（2026九上·临平期末）如图，△ABC中，点D和点E分别在AB，AC上，AC=2AD，AB=2AE，DE=5，求BC的长度. 8．（2026九上·嘉兴期末） 如图， △ABC与△DEF均为等边三角形， D， E分别在AB，BC上， DF， EF分别交AC于点 G， H。请写出图中与△DBE相似的所有三角形，并从中任选一个三角形说明理由。 二、能力提升 9．（2026·遂宁一模）如图，已知∠1=∠2，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A． B． C．∠B=∠ADE D．∠C=∠E 10．（2026九上·宝安期末）根据凸透镜的成像规律，当物体到凸透镜的距离大于两倍焦距时，会在凸透镜的另一侧形成倒立、缩小的实像。如图所示，物体AB 到凸透镜EF的距离OA=8，凸透镜的焦距 则实像与物体的比值 为(　　) A．38 B． C． D． 11．（2026·龙马潭模拟）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（　　） A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10 12．（2026·新昌月考）如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，对角线BD上有一点E，且BE=BC，在射线CE上有一点F，满足∠FBD=∠ECD，FB，FC分别交AD于点M，N，则MN的长为　 　. 13．（2026·嘉善二模）如图，在 中， AD平分∠BAC交BC于点D，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，连结AE，若BE=5BC=10， 则DE= 　 　. 14．（2026九上·丽水期末）如图，在△ABC中，AB=AC。 （1）请在BC边上作一点D，并连结AD，使△DAB 与△ABC相似（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)。 （2） 若AB=3，BC=5，根据你画出的图形，求BD的长。 15．（2026九上·金华月考）如图1是2012年6月6日上演的“金星凌日”的照片.金星轨道在地球轨道内侧，某些特殊时刻，地球、金星、太阳会在一条直线上，这时从地球上可以看到金星就像一个小黑点一样在太阳表面缓慢移动，天文学称之为“金星凌日”.已知金星距太阳约 千米，地球距太阳约 150000000千米，图2表示2012年6月6日太阳和地球的位置， （1）用科学记数法表示地球与太阳的距离； （2）请你在图2中利用直尺和圆规找到“金星凌日”时金星的位置，用点P表示（保留作图痕迹). 三、拓展创新 16．（2026九上·玉田期末）中，，，，点在边上，，点在的边上，若直线截两边所得的三角形与相似，则这样的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2026九上·龙华期末）【定义】从三角形的一个顶点出发作它的角平分线，在该角平分线的延长线上任取一点与三角形的其余两个顶点相连，得到一个四边形。在这个四边形中，若该角平分线所对的一个内角等于原三角形的一个内角，且这两个角位于该角平分线的两侧，则称这个四边形为自相似四边形，这个顶点叫相似顶点。 例：如图1，AP为△ABD的角平分线，点C是AP 延长线上一点，连接CB，CD，若∠ABC=∠ADB，则四边形ABCD是以点A为相似顶点的自相似四边形。 【性质】已知：如图20-1，四边形ABCD 是以点A为相似顶点的自相似四边形。 求证： ∠BCP=∠BPC； 【判定】如图2， 在 中， 点 D， C 分别在边 AE， BE上， AC与 BD 相交于点 P， 若. 。求证：四边形ABCD是以点A为相似顶点的自相似四边形； 【应用】在以点A为相似顶点的自相似四边形ABCD中，.AB=4，AD=2，AC与BD相交于点 P。当 是等腰三角形时，求CD 的长。 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：A：已知两边对应成比例，且其中一边的对角对应相等，不能判定 △ABC与△DEF相似，所以A不正确； B：已知两边对应成比例，且其中一边的对角对应相等，不能判定 △ABC与△DEF相似，所以B不正确； C：已知两角对应相等，可得出△ABC与△DEF相似，所以C正确； D：由条件不能得出两个三角形之间的边角之间的关系，无法判定△ABC与△DEF相似，所以D不正确； 故答案为：C. 【分析】根据相似三角形的判定，逐项进行判断，即可得出答案。 2．【答案】C 【知识点】平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：由平移的性质可知，平移前后对应线段平行且相等，对应点的连线长度等于平移距离，因此 ，，且 。 ，，又 为公共角，故 。 由 ，可得 。 设 ，则 。 根据相似三角形对应边成比例，得 ，即 ， 解得 ，即 故答案为：C 【分析】本题考查平移的性质与相似三角形的判定及性质，解题时先根据平移的特征得到对应边的长度与平行关系，再由平行判定两个直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质建立比例式，代入已知边长求解即可得到CE的长度。 3．【答案】 【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：过点作，过点作， ， ， ， ， ， 解得：， 点抬起的竖直距离为． 故答案为：． 【分析】过点作，过点作，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案. 4．【答案】 【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：在中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 【分析】由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出∠ACD=∠B，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长即可． 5．【答案】6 【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵，，则， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【分析】本题考查平行线判定三角形相似的性质及相似三角形对应边成比例的应用。由，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似”，可判定。已知，则，相似三角形的对应边成比例，因此。将代入比例式，通过比例计算即可求出的长度。 6．【答案】（1）证明：， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当四边形是菱形时， 设，由得：， ， ， ， ， 解得：， 即：菱形的边长为． 【知识点】平行线的判定；平行线的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】（1）首先根据平行线的判定得出，进而根据平行四边形的定义即可得出结论； （2）根据四边形是菱形，设设，由得：，进而根据，可得出，进而得出，即，解得，即菱形的边长为． 7．【答案】解：， ， 又， ， ， ． 【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等的两三角形相似得到，然后根据对应边成比例解答即可． 8．【答案】解：△ADG、△GHF、△HEC 证△DBE∽△ECH， 理由如下： ∵等边三角形ABC与等边三角形DEF， ∴∠B=∠C=∠DEF=60°， ∴∠DEB+∠BDE=∠DEB+∠HEC=120°， ∴∠BDE=∠HEC， ∴△DBE∽△ECH 【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA 【解析】【分析】选△DBE~△ECH，首先根据等边三角形的性质可得∠B=∠C=∠DEF=60°，根据∠DEB+∠BDE=∠DEB+∠HEC=120°可得∠BDE=∠HEC，再根据两角分别相等的两个三角形相似即可得出结论. 9．【答案】A 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：∵∠1=∠2， ∴∠DAE=∠BAC， A、添加，无法判定△ABC∽△ADE，故本选项正确； B、添加，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误； C、添加∠B=∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误； D、添加∠C=∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误； 故选：A. 【分析】证出∠DAE=∠BAC，由相似三角形的判定方法即可得出结果． 10．【答案】B 【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：从图中可知，CD⊥AC，OF⊥AC，FD∥CO且FD⊥OF， ∴四边形CDFO是矩形， ∴CD=OF， 从图中可知，AB∥EF，且AB、CD垂直于AC，∴△BAF1∽△FOF1， ∴， ∵OA=8，OF1=3， ∴AF1=OA-OF1=5， ∴。 故答案为：B. 【分析】本题根据凸透镜的成像规律可知，当光经过焦距F1后到达凸透镜EF时，此时光延直线传播，并且FD∥CO且FD⊥OF，这样就可以利用矩形的判定得出四边形CDFO是矩形，从而得出CD=OF；然后利用相似三角形判定和性质得出，最后计算出AF1=5，代入计算即可， 11．【答案】D 【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：连接EM， ∵BD：DE：EC=3：2：1，CM：MA=1：2， ∴CE：CD=CM：CA=1：3， ∵∠C=∠C， ∴△CEM∽△CDA ∴ME：AD=CM：AC=1：3，∠MEC=∠ADC， ∴EM//AD，AD=3ME， ∴△BHD∽△BME，△EMG∽△AHG， ∴HD：ME=BD：BE=3：5，即HD=ME， ∴AH=AD-HD=ME， ∴AH：ME=12：5， ∴HG：GM=AH：ME=12：5， 设GM=5k，GH=12k， ∵EM//AD， ∴BH：HM=BD：DE=3：2=BH：17k ∴BH=k， ∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10 故选：D． 【分析】 通过已知线段比例BD：DE：EC 和CM：MA，证明 △CEM∽△CDA ，从而得到EMAD，再利用平行线EMAD构造相似三角形（ △BHD∽△BME，△EMG∽△AHG），通过相似比将BH，HG，GM统一用同一参数（如ME或K）表示，最后求出比值即可. 12．【答案】 【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，∠C=90°，由勾股定理得对角线BD=5。 因为BE=BC=3，所以DE=BD-BE=2。 由∠FBD=∠ECD，∠BEF=∠DEC，可得△FBE∽△CDE， 因此， 因为AD‖BC， 所以△FAM∽△FBC，△FAN∽△FBC， 根据平行线分线段成比例，分别得到，， 由相似比计算得， 因此， 所以MN的长度为. 故答案为：. 【分析】先在矩形中利用已知条件得出线段长度与角相等关系，证明两组三角形相似，再根据相似得到对应线段成比例，分别求出直线 FB、FC 截 AD 所得线段 AM、AN 的长度，最后作差得到 MN。 13．【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：设BD=x， ∵BE=5BC=10， ∴DE=10-x， EC=8， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵AD的垂直平分线交BC的延长线于点E， ∴AE=DE=10-x， ∴∠EAD=∠EDA， 即 整理得： 解得： 不合题意，舍去)， 则 故答案为： 【分析】设BD=x，根据题意用x表示出DE，根据线段垂直平分线的性质得到AE=DE，得到∠EAD=∠EDA，根据角平分线的定义、三角形的外角性质得到∠EAC=∠B，证明△AEC∽△BEA，根据相似三角形的性质列出比例式，求出x，进而求出DE. 14．【答案】（1）解：所作的点D位置如图所示。 （2）解：，为公共角，，， ，即 ． 【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】（1）作的垂直平分线交边于点，则点D即为所作； （2）根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 15．【答案】（1）解：150000000千米用科学记数法表示为千米； （2）解：如图，点即为所作． 【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；作图﹣相似变换；科学记数法表示大于10的数 【解析】【分析】 （1）科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1，据此解答即可； （2）设太阳为点，地球为点，作射线，在射线上依次截取，连接，过点C作CP∥DB交AB于点P，根据平行线分线段成比例即可得到点P即为所作． 16．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：①当点 在 边上时： 若 ，需 ，此时 。 由相似比 ，可得 ，，满足条件，存在1个点 。 若 ，需 ，通过对应边成比例也可找到1个点 。 ②当点 在 边上时： 若 ，需 ，可找到1个点 。 若 ，则 ，也存在1个点 ，但结合图形实际位置，有效交点为1个。 ③当点 在 边上时： 此时 与 重合，无法构成新的三角形，故无符合条件的点。 综上，满足条件的点 共有 3 个， 故答案为：C。 【分析】先对点 所在的边（、、）进行分类讨论，再根据相似三角形的判定条件，计算出每种情况下满足条件的点 的个数，最后汇总得出共有3个符合条件的点。 17．【答案】解：性质：∵四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形， ∴AC平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 判定：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，. ∵， ∴， 即， ∴四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形； 应用：由题意，∵四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴始终成立， 当是等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，，而， ∴矛盾，此情形不成立； ②当时，如图1， 此时， ∴， ∴，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过C作， ∵， ∴， 过B作， ∵， ∴， 在中，设，则， ∴， 在中，， 即， 解得， ∵， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】本题综合考察相似三角形的判定与性质、等腰三角形的分类讨论、自相似四边形的定义。 性质：根据自相似四边形的定义，可得 平分 且 ，结合三角形内角和定理及对顶角相等，可证明 。 判定：由 及公共角 ，可判定 ，得到 ，再结合 推出 ，满足自相似四边形的定义。 应用：先由自相似四边形的性质得出 ，再分“”“”“”三种情况讨论等腰 ，结合相似三角形的性质、勾股定理等知识，分别计算出 的长度，舍去矛盾情况后得到最终结果。 学科网（北京）股份有限公司 $