检测1空间向量与立体几何基础卷-2025-2026学年高二上学期数学寒假作业之单元检测（人教A版专用）

检测1空间向量与立体几何基础卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知空间向量，，若，则（   ） A．-5 B．-3 C．2 D．4 2．已知向量与共线，则（   ） A．9 B．3 C． D． 3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 5．若不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．若空间向量，，则（   ） A． B．3 C． D．2 7．已知，，，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 8．在直三棱柱中，分别是的中点，则与直线所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（多选题）已知向量，则下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D．与同方向的单位向量是 10．关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11．已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B．与平行的一个单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知向量，向量，且，则 . 13．在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为 . 14．向量与的夹角为 . 四、解答题(本大题共5小题,13+15+15+17+17,共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 16．已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 17．三棱锥中，平面，，，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 18．如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点.    (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 19．如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B B C A B ABC BCD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】利用空间向量共线的坐标运算求解即可. 【详解】由，可得，即， 解得， 故选：C 2．C 【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量与共线，所以，解得， 所以. 故选：C 3．B 【分析】由共面向量的充要条件验证即可. 【详解】由共面向量的充要条件可得： 选项A，，所以，，三个向量共面； 选项B，，无解，所以，，三个向量不共面； 选项C，，所以，，三个向量共面； 选项D，，所以，，三个向量共面； 故选：B. 4．B 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，l与所成角的正弦值为， 于是，即，解得. 故选：B. 5．B 【分析】根据空间向量基底的性质，结合向量共面的条件求解的值. 【详解】因为向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面，则存在实数使得， 即， 所以，即. 故选：B 6．C 【分析】据向量的坐标运算求，进而可求模长. 【详解】，所以. 故选：C. 7．A 【分析】依次求出即可由点到直线距离的向量法公式分析计算求解. 【详解】由题可得直线BC的单位方向向量为， 且， 所以， 所以点A到直线BC的距离为. 故选：A 8．B 【分析】以为原点建系，由向量法求两直线所成角的余弦值，再由平方关系求正弦值. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 设直线与直线所成角为，则， 所以， 故选：B. 9．ABC 【分析】利用空间向量的数乘坐标运算，模的坐标运算，即可判断各选项. 【详解】由，可得，故A正确； 由，可得，故B正确； 由，可得，故C正确； 由，可得与同方向的单位向量是，故D错误； 故选：ABC 10．BCD 【分析】利用任意向量都与共线来判断A，利用共面定理来判断B，利用空间四点共面定理来判断C，利用空间基底来判断D. 【详解】当时，任意的，都与共线，但与不一定共线，故A错误； 若存在实数、，使得，根据这个式子可判断、、共面，故B正确； 由，满足，则四点共面，故C正确； 若是空间的一个基底，则不共面，假设共面， 则， 因为不共面，所以，此时方程组无解，故假设不成立， 所以不共面， 即也是空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 11．ABD 【分析】根据空间向量的线性运算、模、数量积的坐标表示求解判断ABC；根据法向量的求法求解判断D. 【详解】对于A，，，则， 所以，故A正确； 对于B，由于， 则与平行的单位向量是，故B正确； 对于C，因为， 所以， 则与不垂直，故C错误； 对于D，设平面的一个法向量是， 则，得， 令，得平面的一个法向量是，故D正确. 故选：ABD 12．13 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 所以. 故答案为：13. 13． 【分析】利用点到直线的距离的向量公式即可求解. 【详解】已知，，， 则，，， 所以点到直线的距离为： . 故答案为： 14． 【分析】根据向量夹角的余弦公式和向量数量积坐标公式先求出余弦值，进而得到向量的夹角. 【详解】因为向量与， 所以. 所以. 又向量夹角的范围为，所以向量与的夹角为. 故答案为：. 15．(1)作图见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）由条件建系，求出相关点的坐标，利用进行向量的坐标运算，即可求得点的坐标； （2）求出的坐标，利用向量垂直的坐标公式证明即可. 【详解】（1）因平面，底面是边长为1的正方形，则两两互相垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图，易得，，，. 设，则， 由代入坐标，可得， 解得，故点的坐标为. （2）由（1）易得， 因，故. 16．(1)； (2)； (3). 【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算依次化简求解即可. 【详解】（1） （2）； （3）. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，结合线面垂直的性质可证结论； （2）建立坐标系，求出法向量，利用线面角的向量公式可求答案. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则, , 设平面的一个法向量为，则， 令，则， 设直线与平面所成的角为，所以， 即直线与平面所成的角的正弦值为. 18．(1) (2) 【分析】（1） 建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求线线夹角即可； （2） 利用线面平行，转化为求到平面的距离，即可利用点面距离的向量法求解公式求解. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 可得，， 可得， 所以直线与直线所成角的余弦值为. （2）因为，平面，平面，故平面， 则直线到平面的距离与点到平面的距离相等. 因为，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则到平面的距离为， 因此直线到平面的距离为. 19．(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）先证明线面平行，利用线面平行的性质定理可证结论； （2）建立坐标系，求出平面法向量，利用线面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）证明：由正方体性质可知，因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以. （2）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设的长为， 则, ； 设平面的一个法向量为，则， 令，可得； 设直线与平面所成角为，则， 解得，即线段的长度为1.    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 检测1空间向量与立体几何基础卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知空间向量，，若，则（   ） A．-5 B．-3 C．2 D．4 2．已知向量与共线，则（   ） A．9 B．3 C． D． 3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 5．若不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．若空间向量，，则（   ） A． B．3 C． D．2 7．已知，，，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 8．在直三棱柱中，分别是的中点，则与直线所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（多选题）已知向量，则下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D．与同方向的单位向量是 10．关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11．已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B．与平行的一个单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知向量，向量，且，则 . 13．在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为 . 14．向量与的夹角为 . 四、解答题(本大题共5小题,13+15+15+17+17,共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 16．已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 17．三棱锥中，平面，，，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 18．如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点.    (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 19．如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $