1.4 空间向量的应用 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 《空间向量的应用》同步练习以“基础巩固-综合应用-能力提升”分层设计，覆盖法向量、空间角等核心知识点，通过几何体情境培养空间观念与运算能力，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|法向量、方向向量、线面位置关系判断|选择题1-3直接考查概念，填空题11强化点面距离公式应用，培养运算能力| |中档|异面直线角、点线距离、线面角计算|结合直三棱柱等几何体（选择4-6），多选题8-10综合向量关系判断，发展几何直观| |拔高|动态二面角、复杂几何体证明与计算|选择7探究最值问题，解答题14-16多问综合（如OC⊥OD证明），提升推理与模型观念|

《空间向量的应用》同步练习 1、 选择题 1．已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则下列向量是平面ABC法向量的是（　　） A．（﹣1，1，1） B．（1，﹣1，1） C．（1，1，1） D．（1，1，﹣1） 2．若直线l方向向量为（2，1，m），平面α的法向量为，且l⊥α，则m为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 3．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（　　） A．直线l1，l2的方向向量分别是，，则l1∥l2 B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则l⊥α C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，，则α⊥βD．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则l∥α 4．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，BB1＝3，D为棱AB的中点，则异面直线A1D和B1C所成的角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，E为线段A1B1的中点，则点B到直线DE的距离为（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且AC∥OB，，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱CD，CC1上的动点，则二面角P﹣AA1﹣Q的最大值为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 二、多选题 8．已知向量，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．是平面ABC的一个法向量 D． 9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是DD1的中点，则（　　） A．B1C⊥BD1 B．点E到直线B1C的距离为 C．直线B1E与平面B1C1C所成的角的正弦值为 D．点C1到平面B1CE的距离为 10.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB＝AC＝AA1＝2，点D，E，F分别为A1B1，AA1，CD的中点．下列结论正确的是（　　） A． EF∥平面ABC B．异面直线EF与BC所成角的余弦值为 C．直线BE与平面CC1D所成角的正弦值为 D．平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值为 三、填空题 11．在空间直角坐标系中，M（1，﹣1，2），A（2，1，5），平面ABC的一个法向量是（﹣1，2，1），则点M到平面ABC的距离为　 　 ． 12．直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AC＝BC＝AA'，∠ACB＝90°，E为BB'的中点，异面直线CE与C'A所成角的余弦值是 　 　 ． 13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝4，AD＝3．沿AC把△ACD折起，使二面角D1﹣AC﹣B为直二面角，则二面角D1﹣BC﹣A的余弦值为　 　 ． 四、解答题 14．如图，已知圆锥的顶点为P，点C是圆O上一点，∠BOC＝45°，AB＝2OP＝4，点D是劣弧上的一点，平面PCD∩平面PAB＝l，且l∥AB． （1）证明：OC⊥OD； （2）求点O到平面PCD的距离． 15．如图，三棱锥P﹣AOB中，PO⊥平面AOB，AO＝OB，∠ABO＝30°，AC＝2BC＝2PO＝2． （1）求证：AO⊥平面POC； （2）求平面PAB与平面POC夹角的余弦值． 16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝3，F，G分别为线段A1B1，BC的中点． （1）证明：FG∥平面ACC1A1． （2）求异面直线BF与B1C1所成角的余弦值． （3）求平面BFG与平面ACC1A1夹角的余弦值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 《空间向量的应用》同步练习 1、 选择题 1．已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则下列向量是平面ABC法向量的是（　　） A．（﹣1，1，1） B．（1，﹣1，1） C．（1，1，1） D．（1，1，﹣1） 【分析】利用平面法向量的求法求解即可． 【解答】解：根据题意，因为A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则， 设平面ABC的一个单位法向量为， 则，令y＝1，有x＝1，z＝1， 则向量（1，1，1）是平面ABC法向量， 分析选项：C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查平面法向量的应用，涉及空间向量数量积的应用，属于基础题． 2．若直线l方向向量为（2，1，m），平面α的法向量为，且l⊥α，则m为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 【分析】由l⊥α可知l的方向向量为与平面α的法向量平行，再利用向量共线定理即可得出． 【解答】解：∵l⊥α， ∴l的方向向量为（2，1，m）与平面α的法向量平行， ∴， ∴，解得m＝4． 故选：C． 【点评】本题主要考查平面的法向量，属于基础题． 3．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（　　） A．直线l1，l2的方向向量分别是，，则l1∥l2 B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则l⊥α C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，，则α⊥β D．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则l∥α 【分析】对于A，由直线方向向量平行可判断直线相互平行或重合；对于B，要考虑直线可能在面内；对于C，由两法向量垂直可得两平面垂直；对于D，直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，直线l1，l2的方向向量分别是， 易得∥，则l1∥l2或l1，l2重合，故A错误； 对于B，直线l的方向向量，平面α的法向量是， 则，所以，即l∥α或l⊂α，故B错误； 对于C，两个不同的平面α，β的法向量分别是， 则，所以α⊥β，故C正确； 对于D，直线l的方向向量，平面α的法向量是， 易得∥，必有l⊥α，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查空间向量的应用，涉及直线与平面位置关系的判断，属于基础题． 4．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，BB1＝3，D为棱AB的中点，则异面直线A1D和B1C所成的角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【分析】以B1为原点，B1C1为x轴，B1A1为y轴，B1B为z轴建系，利用空间向量求解即可． 【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，BB1＝3，D为棱AB的中点， ∴AB2+BC2＝AC2，∴AB⊥BC， 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1， 以B为原点，BC为x轴，BA1为y轴，BB1为z轴建系，如图， 则B1（0，0，2），A1（0，4，3），A（0，4，0），B1（0，0，3），C（3，0，0）， 则D（0，2，0）， 所以，， 设异面直线A1D和B1C所成的角为θ， 则． 故选：A． 【点评】本题考查异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，E为线段A1B1的中点，则点B到直线DE的距离为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离公式求解． 【解答】解：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由AB＝1，AA1＝2，得D（0，0，0），B（1，1，0），线段A1B1的中点， 则， 因为，，， 所以点B到直线DE的距离． 故选：D． 【点评】本题考查向量法的应用，属于中档题． 6．如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且AC∥OB，，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【分析】建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面PAB的法向量，利用空间向量的数量积求解直线PC与平面PAB所成角的正弦值即可． 【解答】解：∵AB是圆柱底面圆的一条直径，∴∠AOB＝90°， ∵，∴∠BAO＝45°， ∵AC∥OB，∴∠OAC＝90°； ∵AB是圆柱的底面圆的直径，∴∠ACB＝90°， 又∠OAB＝45°，∴四边形OACB为正方形，设AB＝2， 如图建立空间直角坐标系O﹣xyz， 可知A（，0，0），B（0，，0），P（0，0，2），C（，，0）， 设平面PAB的法向量为（x，y，z），（，，0），（，0，2）， ∴，即， 取x，则（，，1）， 又（，，﹣2）， 设直线PC与平面PAB所成角为θ， ∴sinθ＝|cos，|， 所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为． 故选：A． 【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题． 7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱CD，CC1上的动点，则二面角P﹣AA1﹣Q的最大值为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【分析】由题意，建系，写出相关点的坐标，设P（0，y，0），Q（0，1，z），求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式，结合余弦函数的性质即可求得． 【解答】解：如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则A（1，0，0），A1（1，0，1）， 设P（0，y，0），Q（0，1，z），则y，z∈[0，1]，， 设平面PAA1的法向量为， 则，则， 故可取， 设平面QAA1的法向量为， 则，则， 故可取， 设二面角P﹣AA1﹣Q的平面角为θ，由题意，θ为锐角， 则， 当y＝0时，，则θ＝45°； 当y≠0时，， 因在（0，1]单调递减，故， 此时，则得0°≤θ＜45°， 综上，可得θ∈[0°，45°]， 故二面角P﹣AA1﹣Q的最大值为45°． 故选：B． 【点评】本题考查利用向量法求空间角，属于中档题． 二、多选题 8．已知向量，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．是平面ABC的一个法向量 D． 【分析】应用空间向量数量积公式计算判断A，B，应用线面垂直判定定理结合法向量定义判断C，应用向量减法及模长公式计算判断D． 【解答】解：对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，，所以，故B正确； 对于C，因为，，即AB⊥AP，BC⊥AP， 又BC∩AB＝B，BC，AB⊂平面ABC，所以AP⊥平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量，故C正确； 对于D，因为， 所以，故D错误． 故选：ABC． 【点评】本题考查了空间向量的数量积运算及向量线性运算的坐标表示，考查了转化思想，属于基础题． 9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是DD1的中点，则（　　） A．B1C⊥BD1 B．点E到直线B1C的距离为 C．直线B1E与平面B1C1C所成的角的正弦值为 D．点C1到平面B1CE的距离为 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，表示出各个点的坐标，由此分析选项，即可得答案． 【解答】解：根据题意，以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则B（2，0，2），C（2，2，0），D1（0，2，2），E（0，2，1），C1（2，2，2），B（2，0，0）， 由此分析选项： 对于A，（0，2，﹣2），（﹣2，2，2），则•0，则有⊥，故B1C⊥BD1，A正确； 对于B，直线B1C的方向向量（0，2，﹣2），（2，0，﹣1）， 则，故点E到直线B1C的距离d，B错误； 对于C，因为x轴垂直于平面B1C1C，故可取平面B1C1C的法向量为（1，0，0）， 设直线B1E与平面B1C1C所成的角为θ，则sinθ＝|cos，|，C正确； 对于D，设平面B1CE的法向量为（x，y，z）， 则有，取y＝2，可得（1，2，2）， 有（0，0，﹣2），所以点C1到平面B1CE的距离为，D错误； 故选：AC． 【点评】本题考查空间向量的应用，涉及空间中的垂直关系，直线与平面所成的角以及空间中距离的运算，属于中档题． 10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB＝AC＝AA1＝2，点D，E，F分别为A1B1，AA1，CD的中点．下列结论正确的是（　　） A．EF∥平面ABC B．异面直线EF与BC所成角的余弦值为 C．直线BE与平面CC1D所成角的正弦值为 D．平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值为 【分析】以A为原点建系，利用向量法处理线面平行关系可判断选项A；利用向量法求异面直线所成角可判断选项B；利用向量法求线面角可判断选项C；利用向量法求面面角可判断选项D． 【解答】解：由题意知，AB，AA1，AC两两互相垂直， 故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（2，0，0），E（0，1，0），C（0，0，2），D（1，2，0），F（，1，1），C1（0，2，2）， 选项A，（，0，1）， 易知平面ABC的一个法向量为（0，1，0）， 所以•0，即⊥， 又EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC，故选项A正确； 选项B，（，0，1），（﹣2，0，2）， 所以|cos，|， 所以异面直线EF与BC所成角的余弦值为，故选项B正确； 选项C，（﹣2，1，0），（0，2，0），（1，2，﹣2）， 设平面CC1D的法向量为（x，y，z），则， 取（2，0，1）， 设直线BE与平面CC1D所成角为θ， 则sinθ＝|cos，|， 即直线BE与平面CC1D所成角的正弦值为，故选项C错误； 选项D，（1，0，0），（1，2，﹣2）， 设平面A1CD的法向量为（a，b，c），则， 取（0，1，1）， 由选项C知，平面CC1D的一个法向量为（2，0，1）， 设平面A1CD与平面CC1D夹角为α， 则cosα＝|cos，|， 所以平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值为，故选项D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用向量法判断线面平行关系，求异面直线所成角、线面角和面面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 三、填空题 11．在空间直角坐标系中，M（1，﹣1，2），A（2，1，5），平面ABC的一个法向量是（﹣1，2，1），则点M到平面ABC的距离为　　 ． 【分析】利用空间向量法可求出点M到平面ABC的距离． 【解答】解：因为在空间直角坐标系中，M（1，﹣1，2），A（2，1，5）， 又平面ABC的一个法向量是，且， 所以点M到平面ABC的距离为． 故答案为：． 【点评】本题考查点面距的求解，属基础题． 12．直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AC＝BC＝AA'，∠ACB＝90°，E为BB'的中点，异面直线CE与C'A所成角的余弦值是 　　 ． 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，计算异面直线CE与C'A所成角的余弦值． 【解答】解：根据题意，建立空间直角坐标系，如图所示：设AC＝BC＝AA'＝2， 则C（0，0，0），E（0，2，1），A（2，0，0），C′（0，0，2）， 所以（0，2，1），（2，0，﹣2）， •0+0﹣2＝﹣2，||，|2， cos，， 因为异面直线所成角的范围是（0，]， 所以异面直线CE与C'A所成角的余弦值是． 故答案为：． 【点评】本题考查了异面直线所成角的余弦值计算问题，是基础题． 13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝4，AD＝3．沿AC把△ACD折起，使二面角D1﹣AC﹣B为直二面角，则二面角D1﹣BC﹣A的余弦值为　　 ． 【分析】以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角即可． 【解答】解：以点B为坐标原点，平面ABC为xOy平面，BC，BA方向分别为x，y轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则B（0，0，0），C（3，0，0），A（0，4，0）， 在矩形ABCD中，作DH⊥AC于H，HM⊥BC于M，HN⊥AB于N， 则H为D1在平面ABC上的射影． 因为AB＝4，AD＝3， 所以． 所以， 所以，， 所以， 所以， 设平面D1BC的法向量为． 则，则， 令b＝15，则， 因为平面ABC的一个法向量为， 所以． 由图可知二面角D1﹣BC﹣A为锐角． 所以二面角D1﹣BC﹣A的余弦值为． 故答案为：． 【点评】本题考查利用向量法求空间角，考查运算能力，属于中档题． 四、解答题 14．如图，已知圆锥的顶点为P，点C是圆O上一点，∠BOC＝45°，AB＝2OP＝4，点D是劣弧上的一点，平面PCD∩平面PAB＝l，且l∥AB． （1）证明：OC⊥OD； （2）求点O到平面PCD的距离． 【分析】（1）由线面平行的判定和性质，推得AB∥CD，再由∠BOC＝45°和圆的对称性，求出相关的角的大小，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量，利用点到平面的距离公式计算可得所求值． 【解答】解：（1）证明：因为1∥AB，l⊂平面PCD，AB⊄平面PCD， 所以AB∥平面PCD， 因为AB⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PCD＝CD， 所以AB∥CD． 因为∠BOC＝45°，所以∠BOC＝∠OCD＝∠ODC＝45°， 所以∠DOC＝90°，即OC⊥OD． （2）解：以O为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示： 则C（0，2，0），D（2，0，0），P（0，0，2），（0，2，﹣2），（2，0，﹣2），（0，2，0）， 设平面 PCD的法向量为（x，y，z）， 则，令x＝1，得（1，1，1）， 因为cos，， 所以点O到平面PCD的距离为||cos，． 【点评】本题考查线面平行的判定和性质，圆的对称性，点到平面的距离公式，属于中档题． 15．如图，三棱锥P﹣AOB中，PO⊥平面AOB，AO＝OB，∠ABO＝30°，AC＝2BC＝2PO＝2． （1）求证：AO⊥平面POC； （2）求平面PAB与平面POC夹角的余弦值． 【分析】（1）根据几何性质，证明AO⊥OC，再结合PO⊥平面AOB即可证明AO⊥平面POC； （2）以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，通过空间向量法求解二面角的余弦值即可． 【解答】（1）证明：因为PO⊥平面AOB，AO⊂平面AOB，则PO⊥AO， AC＝2BC＝2，故AB＝AC+BC＝3， 在等腰△OAB中，易知∠OAB＝∠ABO＝30°，∠AOB＝120°， 由正弦定理可得，则， 在△AOC中，由余弦定理OC2＝AO2+AC2﹣2AO•ACcos30°，可得OC＝1， 故有AO2+OC2＝AC2＝4，则AO⊥OC， 因为PO∩OC＝O，PO，OC⊂平面POC， 且AO⊥PO，AO⊥OC，所以AO⊥平面POC． （2）解：由（1）知，OA、OP、OB三者两两垂直， 则以O为原点，OA，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则O（0，0，0），，P（0，0，1），C（0，1，0）， 又AC：CB＝2：1，可得， 因为AO⊥平面POC，所以平面POC的一个法向量为， 又，， 设平面PAB的法向量为，则， 即，令x＝1，可得， 可得1，||，||， 可得cos，， 所以平面PAB与平面POC的夹角余弦值为|cos，|． 【点评】本题考查线面垂直的判定定理的应用，两个平面夹角的余弦值，属于中档题． 16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝3，F，G分别为线段A1B1，BC的中点． （1）证明：FG∥平面ACC1A1． （2）求异面直线BF与B1C1所成角的余弦值． （3）求平面BFG与平面ACC1A1夹角的余弦值． 【分析】（1）由题意，以A为原点，建立空间直角坐标系，证明垂直于平面ACC1A1的法向量，即可得证FG∥平面ACC1A1； （2）使用向量夹角公式即可求得异面直线BF与B1C1所成角的余弦值； （3）先求平面BFG的法向量，结合（1）中ACC1A1的法向量，使用向量夹角公式即可求得平面BFG与平面ACC1A1夹角的余弦值． 【解答】（1）证明：由已知，AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点，以AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 已知AB＝AC＝2，AA1＝3，F，G分别为线段A1B1，BC的中点， 则F（1，0，3），G（1，1，0），所以， 易得为平面ACC1A1的一个法向量． 因为，所以， 又FG⊄平面ACC1A1， 所以FG∥平面ACC1A1； （2）解：由（1）知B1（2，0，3），C1（0，2，3），B（2，0，0）， 所以， 可得1×（﹣2）+0×2+3×0＝2，||，||2， 所以cos，， 则异面直线BF与B1C1所成角的余弦值为|cos，|； （3）解：设平面BFG的一个法向量为， 由（1）（2）知， 则，令z＝1，得． 又平面ACC1A1的一个法向量为， 可得3×1+3×0+1×10＝3，||，||＝1， 所以cos，， 即平面BFG与平面ACC1A1夹角的余弦值为|cos，|． 【点评】本题考查线面平行判定定理的应用及异面直线的夹角的余弦值，两圆平面的夹角的余弦值的求法，属于中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $