1.4.2空基向量的应用变式同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第1.4.2节P41页练习第1题及其变式 【人教A版选择性必修一第1.4.2节P41页练习第1题】如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若，，，，求平面与平面的夹角． 【分析】解法一：利用向量求解，，两边平方可求平面与平面的夹角． 解法二：根据异面直线上两点间的距离公式求异面直线所成的角，再根据二面角的概念求解. 【详解】解法一：设平面与平面的夹角为，由可得 ，所以， 即平面与平面的夹角为. 解法二：设异面直线与所成的角为，则根据异面直线上两点的距离公式可得：，即，所以. 因为，且，都垂直于棱，所以二面角的平面角等于，所以面与平面的夹角为. 【变式1】（逆向改编：问题与条件置换）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长. 法二：过点作，，连接，结合二面角定义求，解三角形求. 【详解】法一：由条件知，，，又二面角的平面角为， 则，所以 ，所以.故选：C 法二：过点作，且，则四边形为平行四边形，所以，， 因为，所以，又，所以为二面角的平面角，由已知，又，所以，因为，平面，所以平面，平面，所以，由，所以，又，所以，所以的长为. 【变式2】（逆向改编：问题与条件置换）如图，在一个平面角为60°的二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则（    ） A．6或 B．6或2 C．或2 D．6 【答案】B 【分析】过作，连接，证明得到，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】如图所示：过作，连接，则四边形为矩形，，，，故平面，即平面，故，故，根据余弦定理，解得或.故选. 【点睛】本题考查了根据二面角求线段长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 【变式3】（情景不变改变问题）如图，在二面角的棱上有A、B两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则直线CD与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作，过点B作，交CE于点E，证明出是二面角的平面角，同时说明是直线CD与平面所成角的平面角，进而求出直线CD与平面所成角的正弦值. 【详解】 如图，过点C作，过点B作，交CE于点E，在二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，，，，，是矩形，，，，，平面， 平面，，，， ，二面角是60°的二面角，过点C作，交于F，连结AF，DF，则， ，平面，，则是二面角的平面角，， ，，是直线CD与平面所成角的平面角， .故选：D. 【变式4】（改变数据问题不变）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则平面与平面的夹角大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设二面角的大小为，由题意得，从而得到，由此能求出结果. 【详解】设二面角的大小为，由二面角的定义可得的夹角为， 由题意得，，，，解得，∴，∴平面与平面的夹角大小是. 【变式5】（由特殊到一般问题拓展）如图，二面角的大小为，，为棱上相异的两点，射线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱．若线段，和的长分别为，和，则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出的夹角为，再用向量表示出，由向量的数量积运算求解即可. 【详解】与夹角的大小就是二面角，可得 ，即.故选：A. 【变式6】（改变数据及问题类型）已知二面角的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面内，且它们都垂直于l．若，则异面直线AC与BD所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，两边同时平方代入可得，即可得出答案. 【详解】因为，所以. 因为，，，，，， 所以，所以．因为异面直线AC与BD所成角为，，所以，所以.故选：B. 【变式7】（改变数据问题不变）已知点、分别在二面角的两个面、上，，，、为垂足，，若与成角，则平面、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意画出图形，作出直线与所成角及二面角的平面角，设，由已知直线与所成角大小，即可求解平面、的夹角． 【详解】 在内，过作，即，且，连接，由，则四边形为矩形，可得，，，得为二面角的平面角，由线面垂直的判定易知平面即平面，则设，则，又直线与l所成角为，，得，故．，故平面、为夹角为．故选：C． 【变式8】（数据不变问题改变）如图，在二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，当时，则四面体外接球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出平面与平面的夹角，过作的平行线，求出外接圆半径，即可得出四面体外接球的半径. 【详解】由题意，设平面与平面的夹角为，∵，，∴，， ∵，∴ ，∴， 即，∴，即平面与平面的夹角为.过作的平行线，过作的平行线与所成的角为，过作的平行线，连接，四面体的外接球与三棱柱的外接球相同， 在中，外接圆半径为，四面体外接球的半径为.故选A. 【变式9】（改变数据改变问题）（多选）如图，二面角的大小为120°，点A，B在二面角的棱l上，过点A，B分别在平面和内作直线l的垂线段和，且，，，则下列结论正确的是（    ）. A．异面直线和的所成之角为120° B． C．点C到平面与点D到平面的距离之比为 D．异面直线和的之间距离是 【答案】BCD 【分析】对A，根据线线角的范围判断即可；对B，过作矩形，根据二面角的性质结合余弦定理求解即可；对C，根据二面角的性质可得点C到平面与点D到平面的距离之比为再计算即可；对D，根据二面角的性质分析可得异面直线和的之间距离即到平面的距离，再根据面积公式列式求解即可 【详解】对A，因为线线角的范围为，故A错误；对B，过作矩形如图，则，故，且平面.由余弦定理，，解得.又，故，故，故，故B正确； 对C，由题意，，，故点C到平面与点D到平面的距离之比为，故C正确；对D，同B中图，因为，故平面，又平面，故异面直线和的之间距离即到平面的距离.因为为二面角，故到平面的距离即到平面的距离设为，则根据三角形的面积公式有，故，解得，故D正确；故选：BCD 【变式10】如图是某段新开河渠的示意图.在二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，，则该二面角的大小为______. 【答案】/ 【分析】设二面角为，由，对等式两边平方，由向量的数量积的定义代入化简即可得出答案. 【详解】设二面角为，由，得 ， ∴，∵，∴. 【变式11】如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，从，到直线（库底与水坝的交线）的距离和分别为和，的长为，甲乙之间拉紧的绳长为，则库底与水坝所在平面夹角为______． 【答案】 【分析】用几何的方法找出二面角的平面角，再用余弦定理得到夹角的余弦值，即可得到夹角. 【详解】 过点作∥，且，所以四边形为平行四边形，∥，且，由题意知，，，因为∥，∥，所以，，又，所以平面，因为平面，所以，在中，，，所以，因为，，，所以为库底与水坝所在水平面夹角的平面角，，又，所以. 【变式12】如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则线段的长为__________. 【答案】 【分析】过点作，且，在利用余弦定理可得，再在中利用勾股定理求解. 【详解】 过点作，且，则四边形为平行四边形，，又，，，即为二面角的平面角，即，在中，，即， 又，，平面，平面，平面,，，在中，，即。 【变式13】如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同的两点，，，.若，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 【答案】/ 【分析】在平面内过作与平行且相等的线段，过作于，连接，先证明平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，则为直线与平面所成角，再解即可. 【详解】在平面内过作与平行且相等的线段，过作于，连接， 则四边形为平行四边形，所以，因为，所以， 又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，平面， 所以平面，故为直线与平面所成角， 由， 得二面角的平面角即为，所以，又， 所以是等边三角形，可得，，因为，所以平面， 又平面，所以，在中，由勾股定理可得， 在中，，即直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 【变式14】在120°的二面角α－－β的两个面内分别有点A，B，A∈α，B∈β，A，B到棱l的距离AC，BD分别是2，4，且线段AB＝10. (1)求C，D间的距离； (2)求直线AB与平面β所成角的正弦值． 【答案】(1)6  (2) 【分析】（1）要求CD长，应将CD放在三角形中，过点C作BD的平行线，取CE＝BD＝4，根据余弦定理可求出AE的长，最后在直角三角形AEB求出BE长，而四边形BECD为矩形，即可求出所求； （2）在△ACE所在的平面内，作AO⊥CE交CE的反向延长线于点O，利用面面垂直的性质即可证明AO⊥平面β，从而得到∠ABO是直线AB和平面β所成的角． 【详解】（1）过点C作BD的平行线，取CE＝BD＝4，∵AC⊥l，而CE⊥l，则∠ACE＝120°，根据余弦定理知cos∠ACE，解得AE，而三角形AEB为直角三角形，则BE＝6即CD＝6 （2） 在△ACE所在的平面内，作AO⊥CE交CE的反向延长线于点O．∵平面ACE⊥平面β， ∴AO⊥平面β．在△ACO中，∠ACO＝60°，AC＝2，∴AO．连接OB，于是∠ABO是AB和平面β所成的角，在△ABO为直角三角形，∴． 【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解. 【变式15】已知二面角为，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面内，，且，设：． (1)试用表示，并求线段CD的长； (2)求异面直线CD与BA所夹角的余弦值． 【答案】(1)；；(2). 【分析】（1）由已知结合空间向量加法可得，再根据向量模长和数量积的关系可求得CD的长； （2）利用空间向量加法表示，再利用数量积公式求得向量夹角. 【详解】（1），利用空间向量加法可得； 由已知二面角为，A，B是棱l上的两点，，所以，，， ，所以线段CD的长为. （2），， ， 又异面直线夹角范围是，所以异面直线CD与BA所夹角的余弦值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修一第1.4.2节P41页练习第1题及其变式 【人教A版选择性必修一第1.4.2节P41页练习第1题】如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若，，，，求平面与平面的夹角． 【变式1】（逆向改编：问题与条件置换）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（逆向改编：问题与条件置换）如图，在一个平面角为60°的二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则（    ） A．6或 B．6或2 C．或2 D．6 【变式3】（情景不变改变问题）如图，在二面角的棱上有A、B两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则直线CD与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（改变数据问题不变）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则平面与平面的夹角大小是（   ） A． B． C． D． 【变式5】（由特殊到一般问题拓展）如图，二面角的大小为，，为棱上相异的两点，射线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱．若线段，和的长分别为，和，则的长为(    ) A． B． C． D． 【变式6】（改变数据及问题类型）已知二面角的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面内，且它们都垂直于l．若，则异面直线AC与BD所成角为（   ） A． B． C． D． 【变式7】（改变数据问题不变）已知点、分别在二面角的两个面、上，，，、为垂足，，若与成角，则平面、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式8】（数据不变问题改变）如图，在二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，当时，则四面体外接球的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式9】（改变数据改变问题）（多选）如图，二面角的大小为120°，点A，B在二面角的棱l上，过点A，B分别在平面和内作直线l的垂线段和，且，，，则下列结论正确的是（    ）. A．异面直线和的所成之角为120° B． C．点C到平面与点D到平面的距离之比为 D．异面直线和的之间距离是 【变式10】如图是某段新开河渠的示意图.在二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，，则该二面角的大小为______. 【变式11】如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，从，到直线（库底与水坝的交线）的距离和分别为和，的长为，甲乙之间拉紧的绳长为，则库底与水坝所在平面夹角为______． 【变式12】如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则线段的长为__________. 【变式13】如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同的两点，，，.若，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 【变式14】在120°的二面角α－－β的两个面内分别有点A，B，A∈α，B∈β，A，B到棱l的距离AC，BD分别是2，4，且线段AB＝10. (1)求C，D间的距离； (2)求直线AB与平面β所成角的正弦值． 【变式15】已知二面角为，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面内，，且，设：． (1)试用表示，并求线段CD的长； (2)求异面直线CD与BA所夹角的余弦值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $