1.4.2用空间向量研究距离问题同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层递进式设计，覆盖空间向量求距离全知识点，从基础公式应用到综合探究，培养数学思维与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |层级(一)“四基”落实练|点到直线、点到平面、异面直线距离等单一问题|选择填空为主，直接应用空间向量公式，强化运算能力| |层级(二)“能力”提升练|多面体、折叠问题中的距离综合应用|含多选题与解答题，结合复杂几何模型，发展推理意识| |层级(三)“素养”培优练|存在性探究及动态距离问题|开放探究题，需构建数学模型论证，培养创新意识与数学表达|

用空间向量研究距离问题 层级(一)　“四基”落实练 1.已知直线l的方向向量n=(1,0,2),点A(0,1,1)在直线l上,则点P(1,2,2)到直线l的距离为 (　　) A. B. C. D.2 2.若三棱锥P ⁃ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是 (　　) A. B. C. D. 3.已知△ABC的顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长等于 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 4.在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AA1=1,AB=2,AD=3,E为AB的中点,则异面直线B1C1与DE的距离为 (　　) A. B. C.1 D. 5.如图,在棱长为2的正方体ABCD ⁃A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0<λ<2),则点G到平面D1EF的距离为 (　　) A.2 B. C. D. 6.已知过点P(1,0,0)的两条直线l1与l2,l1平行于向量s1=(0,1,-1),l2平行于向量s2=(1,1,0),则点P1(0,1,0)到直线l1与l2确定的平面α的距离为　　　　.  7.如图,在长方体ABCD ⁃A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为　　　　.  8.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1,四边形AEC1F为平行四边形. (1)求BF的长; (2)求点C到平面AEC1F的距离. 层级(二)　“能力”提升练 9.如图,在三棱锥A⁃BCD中,AB=AC=AD=6,AB,AC,AD两两垂直,E为AB的中点,F为AD上更靠近点D的三等分点,O为△BCD的重心,则O到直线EF的距离为 (　　) A.2 B.1 C. D. 10.(多选)已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,点E,O分别是A1B1,A1C1的中点,点P在正方体内部且满足=++,则下列说法正确的是 (　　) A.点A到直线BE的距离是 B.点O到平面ABC1D1的距离为 C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D.点P到直线AB的距离为 11.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被平面AEC1F所截而得的,其中四边形AEC1F为平行四边形,AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.设过点B平行于平面AEC1F的平面为α,则平面AEC1F与平面α之间的距离为　　　　.  12.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,∠ABC=90°,如图①把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD(如图②). (1)求证:CD⊥AB; (2)若点M为线段BC的中点,求点M到平面ACD的距离. 层级(三)　“素养”培优练 13.如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,PD的中点.问:线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为?若存在,求出CQ的值;若不存在,请说明理由. 用空间向量研究距离问题 参考答案 1.解析:选A　由已知得=(-1,-1,-1),所以点P到直线l的距离为d===. 2.解析:选D　分别以PA,PB,PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),则d==. 3.解析:选C　因为=(4,-5,0),=(0,4,-3),则对应的单位向量u=, 所以AC边上的高BD的长为B到AC的距离d===5. 4. 解析:选C　分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),C1(0,2,1),B1(3,2,1),E(3,1,0),=(-3,0,0),=(3,1,0),设B1C1与DE的公垂线的方向向量为n=(x,y,z),则取z=1,得x=y=0,则n=(0,0,1).又=(0,2,1),所以异面直线B1C1与DE之间的距离d===1.故选C. 5. 解析:选D　以D为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 则G(2,λ,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),因此=(-2,0,1),=(0,2,0),=(0,λ,1). 设平面D1EF的法向量为n=(x,y,z), 则令x=1,得n=(1,0,2),则平面D1EF的一个法向量为(1,0,2),∴点G到平面D1EF的距离为==.故选D. 6.解析:设平面α的法向量为n=(x,y,z), 由s1·n=s2·n=0得 取x=1,则y=-1,z=-1,所以n=(1,-1,-1)是平面α的一个法向量,又因为=(-1,1,0), 所以点P1到平面α的距离为==. 答案: 7. 解析:以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),于是有=(1,-1,-1), =(0,-2,1), 所以==,||=, 所以点D1到直线GF的距离为=. 答案: 8. 解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),设F(0,0,z). 因为四边形AEC1F为平行四边形,所以由=,得(-2,0,z)=(-2,0,2),所以z=2.所以F(0,0,2). 所以=(-2,-4,2). 于是||=2,即BF的长为2. (2)设n1为平面AEC1F的法向量, 显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1=(x,y,1),所以所以 即所以得n1=. 又因为=(0,0,3),所以C到平面AEC1F的距离d===. 9. 解析:选C　以A为原点,AB,AC,AD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(6,0,0),C(0,6,0),D(0,0,6),E(3,0,0),F(0,0,4), 得O(2,2,2),=(-3,0,4),取a==(-1,2,2),u==(-3,0,4)=,则a2=9,a·u=,所以点O到直线EF的距离为 =. 10. 解析:选BC　如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E,O,C(1,1,0),所以=(-1,0,0),=. 设∠ABE=θ,则cos θ==,sin θ==,故点A到直线BE的距离d1=||sin θ=1×=,故A错误.=,平面ABC1D1的一个法向量为=(0,-1,1),则点O到平面ABC1D1的距离d2===,故B正确.=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0). 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), 则所以令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1).所以点D1到平面A1BD的距离d3===. =(1,0,-1)=,所以D1C∥A1B, 又因为D1C⊄平面A1BD,A1B⊂平面A1BD, 所以D1C∥平面A1BD,同理B1C∥平面A1BD. 又D1C∩B1C=C,D1C,B1C⊂平面B1CD1,所以平面A1BD∥平面B1CD1, 所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为,故C正确. 因为=++,所以=.又=(1,0,0),则=,所以点P到AB的距离d===,故D错误. 11. 解析:由题意,以D为原点,DA,DC,DF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,可得A(2,0,0),B(2,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3), 设F(0,0,t),因为四边形AEC1F为平行四边形,可得=,即(-2,0,t)=(-2,0,2),所以t=2,即F(0,0,2),则=(0,4,1),=(-2,0,2). 设平面AEC1F的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,可得y=-,z=1,所以n=, 由=(0,0,1),可得点B到平面AEC1F的距离为d===. 因为过点B平行于平面AEC1F的平面为α, 所以平面AEC1F与平面α之间的距离等于点B到平面AEC1F的距离, 即平面AEC1F与平面α之间的距离为. 答案: 12. 解:(1)证明:由已知条件可得BD=2,CD=2,CD⊥BD.因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD.又因为AB⊂平面ABD,所以CD⊥AB. (2)以点D为原点,DB所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图. 由已知可得A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,1,0), 所以=(0,-2,0),=(-1,0,-1),=(-1,1,0).设平面ACD的法向量为n=(x,y,z), 则所以 令x=1,得平面ACD的一个法向量为n=(1,0,-1), 所以点M到平面ACD的距离d==. 13. 解:由题意知PA,AD,AB两两垂直,以点A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),D(0,2,0),E(0,0,1),F(0,1,1).假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件. 令CQ=m(0≤m≤2),则DQ=2-m, ∴点Q的坐标为(2-m,2,0),∴=(2-m,2,-1).而=(0,1,0),设平面EFQ的法向量为n=(x,y,z),则∴ 令x=1,则n=(1,0,2-m)是平面EFQ的一个法向量.又=(0,0,1),∴点A到平面EFQ的距离d===,解得m=或,>2,不合题意,舍去.故存在点Q,且CQ=时,点A到平面EFQ的距离为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $