1.4.2.1 用空间向量研究距离、夹角问题同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“例题精练+基础夯实”分层，通过长方体、四棱锥等几何体模型实现从公式应用到综合问题的知识巩固，培养空间观念与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|长方体、四棱锥中异面直线所成角的向量求法（含证明与计算）|中等难度，综合应用，示范坐标法解题思路| |基础夯实|方向向量夹角公式、正方体/直三棱柱/阳马等模型中的角计算（单选），动点问题分析（多选），公式直接应用与几何体结合（填空），正三棱柱中综合问题（解答）|基础到提升，题型多样，覆盖单一知识点到综合应用，适配新授课巩固需求|

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 （第1课时：异面直线所成角的向量求法） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【例2】如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 【基础夯实】 一、单选题 1．已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（   ） A． B． C． D． 2．已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 3．在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 6．在由三棱柱截得的几何体中，平面点分别是棱的中点.若直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图，在棱长为1的正方体中，为上的动点，则（    ） A．与是相交直线 B．与互相垂直 C．与所成的角为 D．三棱锥的体积为定值 三、填空题 8．设分别为两条异面直线的方向向量，且，则异面直线所成的角为___________. 9．在直三棱柱中，，且，异面直线与所成的角为，则该三棱柱的侧面积为_______. 10．如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2.若圆锥的母线长为4，则圆锥的体积为______；若是底面圆的半径，且为线段的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为______． 四、解答题 11．如图，在棱长都为的正三棱柱中，为侧面的中心，为的中点，点为棱上一动点（不包含端点）. (1)证明：平面； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，求. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 （第1课时：异面直线所成角的向量求法） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，， 所以， 所以，故； （2），， 所以， ，， 所以， 因为异面直线所成角范围， 故异面直线与所成角的余弦值为 【例2】如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)因为E，F分别为，的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为 ，，且E为的中点，所以， 则四边形为平行四边形， 则.又平面，平面，所以 平面. 因为平面，平面， ，所以平面 平面. （2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示. 设 （ ），则，，，， 则，. 因为异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得， 故四棱锥的体积为. 【基础夯实】 一、单选题 1．已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用异面直线夹角公式列式求解并判断. 【详解】由两条异面直线的方向向量分别是，， 得，. 故选：A 2．已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】两直线的方向向量的夹角与两直线所成的角相等或互补，结合题中条件得到，根据向量夹角的坐标表示，即可求解． 【详解】因为为直线的方向向量，为直线的方向向量，与的夹角的余弦值为， 所以，解得． 故选：C 3．在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立坐标系，写出向量坐标，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则, 设和所成角为，，即和所成角的余弦值为. 4．直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 5．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 故选：B. 6．在由三棱柱截得的几何体中，平面点分别是棱的中点.若直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题通过建立如图空间直角坐标系，分别求得直线与的方向向量，再利用向量的夹角公式，即可得解. 【详解】 以点为坐标原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 设则， ， ， 所以直线与所成角的余弦值 解得 故选：A. 二、多选题 7．如图，在棱长为1的正方体中，为上的动点，则（    ） A．与是相交直线 B．与互相垂直 C．与所成的角为 D．三棱锥的体积为定值 【答案】BCD 【详解】建立空间直角坐标系，如下图： 以为原点，，，分别为x，y，z轴，正方体棱长为1， ，，，，，， ，，，， 在顶面上，连接底面到顶面， 两条直线异面，不相交，A错误； ，两向量垂直，故，B正确； ，， ，，故异面夹角为，C正确； 平面，点在上滑动，则到平面的距离恒等于定值1， 底面面积固定，所以，体积不变，为定值，D正确. 三、填空题 8．设分别为两条异面直线的方向向量，且，则异面直线所成的角为___________. 【答案】// 【分析】根据异面直线的夹角与方向向量夹角之间的关系，结合题意，即可求得结果. 【详解】由题意，故可得的夹角为， 故所成的角为. 故答案为：. 9．在直三棱柱中，，且，异面直线与所成的角为，则该三棱柱的侧面积为_______. 【答案】 【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量表示异面直线所成角的余弦值，即可求解，再代入侧面积公式. 【详解】以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则，，，，，， 因为异面直线与所成的角为， 所以，即，解得， 所以该三棱柱的侧面积为. 故答案为： 10．如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2.若圆锥的母线长为4，则圆锥的体积为______；若是底面圆的半径，且为线段的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为______． 【答案】 / 【分析】根据条件求出圆锥的高，代入圆锥体积公式计算即得；通过建系，求出相关点和向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】由题意得圆锥的高长为， 所以其体积为； 由题意得平面，则，， 而，则两两相互垂直， 则可以点为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系如图． 如图，，，，则，，， 则直线与的夹角的余弦值为． 故答案为：，. 四、解答题 11．如图，在棱长都为的正三棱柱中，为侧面的中心，为的中点，点为棱上一动点（不包含端点）. (1)证明：平面； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，求. 【答案】(1) 连接，则为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）取线段的中点，连接， 因为为等边三角形，所以，又因为平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系如图， 设点，其中，易知、、, 则，，， 所以， 因为，解得， 此时的长为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $