第十四章 全等三角形——全等动点问题专题 2026-2027学年人教版八年级数学上册

一．选择题 1．如图，AB＝12cm，∠A＝∠B＝60°，AC＝BD＝9cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以x（cm/s）的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值是（　　） A．2 B．3或1.5 C．2或1.5 D．2或3 2．如图，在长方形ABCD的中，已知AB＝6cm，BC＝10cm，点P以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以acm/s的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为（　　） A．4或 B．6 C．或1 D．4 3．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．1或5 4．已知AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． ①若x＝1．则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，x＝6； ③若α＝90°，t＝5，x＝1时，△ACP≌△BPQ； ④若△ACP与△BPQ全等，则x＝0.8或． 以上说法正确的选项为（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二．解答题 5．已知AB＝12cm，AC＝BD＝10cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒． （1）如图1，若AC⊥AB，BD⊥AB，且点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系和数量关系，请分别说明理由； （2）如图2，若∠A＝∠B＝60°，设点Q的运动速度为vcm/s，是否存在实数v，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出v，t的值；若不存在，请说明理由． 6．问题情境： 已知：射线AB和射线CB相交于点B．点D在射线CB上，作射线AD，在射线AD上取一点E，连接CE，使∠AEC＝∠ABC． 任务一：当点D在线段CB上时， （1）如图1，请写出∠A与∠C的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当∠AEC＝∠ABC＝90°，AB＝CB时，连接BE．在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF． ①判断BF与BE的数量关系与位置关系，并说明理由； ②∠AEB的度数为 　 　 ； 任务二：当点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合）． （3）如图3，当AB＝CB，∠AEC＝∠ABC＝α（90°＜α＜180°），且AF＝CE时，请直接写出∠AEB的度数（用含α的式子表示）． 7．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是直线BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AD并以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC＝α，连接CE，设∠DCE＝β． （1）如图①，当点D在线段BC上时，求证：α+β＝180°； （2）如图②，当点D在BC的延长线上时，请探究α与β的数量关系，并证明； （3）如图③，当点D在CB的延长线上时，若α+β＝130°，则2α+3β＝　 　 （直接写出答案）． 8．已知，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　 　 度； （2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，请猜想BC，CE，CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出线段BC，CE，CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系． 9．如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0． （1）如图1，求△AOB的面积； （2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值． 10．如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足． （1）如图1，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标； （2）如图2，连接OH，求证：∠OHP＝45°； （3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．如图，AB＝12cm，∠A＝∠B＝60°，AC＝BD＝9cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以x（cm/s）的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值是（　　） A．2 B．3或1.5 C．2或1.5 D．2或3 【分析】根据题意得AP＝2tcm，BQ＝txcm，PB＝（12﹣2t）cm，由于∠A＝∠B＝60°，所以当AP＝BP，AC＝BQ时，△APC≌△BPQ，即2t＝12﹣2t，9＝tx，当AP＝BQ，AC＝BP时，△APC≌△BQP（SAS），即2t＝tx，9＝12﹣2t，然后分别解方程可求出对应的x的值． 【解答】解：根据题意得AP＝2tcm，BQ＝txcm，PB＝（12﹣2t）cm， ∵∠A＝∠B＝60°， ∴当AP＝BP，AC＝BQ时，△APC≌△BPQ（SAS）， 即2t＝12﹣2t，9＝tx， 解得t＝3，x＝3； 当AP＝BQ，AC＝BP时，△APC≌△BQP（SAS）， 即2t＝tx，9＝12﹣2t， 解得x＝2，t； 综上所述，x的值为3或2． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 2．如图，在长方形ABCD的中，已知AB＝6cm，BC＝10cm，点P以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以acm/s的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为（　　） A．4或 B．6 C．或1 D．4 【分析】设点P，Q运动的时间为ts，依题意得BP＝4tcm，CQ＝atcm，则CP＝（10﹣4t）cm，∠B＝∠C＝90°再分两种情况：①当AB＝PC，BP＝CQ时，则△ABP≌△PCQ，由BP＝CQ得4t＝at，由此解得a＝4；②当AB＝CQ，BP＝CP时，则△ABP≌△QCP，由BP＝CP得4t＝10﹣4t，解得t，由AB＝CQ得6＝at，将t代入可得a，综上所述即可得出答案． 【解答】解：设点P，Q运动的时间为t（s）， 依题意得：BP＝4tcm，CQ＝atcm， ∵四边形ABCD是长方形，且AB＝6cm，BC＝10cm， ∴∠B＝∠C＝90°，CP＝BC﹣BP＝（10﹣4t）cm， 当以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等时，有以下两种情况： ①当AB＝PC，BP＝CQ时，则△ABP≌△PCQ（SAS）， 由BP＝CQ，得：4t＝at， 解得：a＝4； ②当AB＝CQ，BP＝CP时，则△ABP≌△QCP（SAS）， 由BP＝CP，得：4t＝10﹣4t， 解得：t， 由AB＝CQ，得：6＝at， 将t代入6＝at，得：a， 综上所述：a的值为4或． 故选：A． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 3．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．1或5 【分析】已知∠B＝∠C，根据全等三角形的性质得出BD＝PC，或BP＝PC，进而算出时间t，再算出v即可． 【解答】解：设经过t秒后，△BPD与△CQP全等， ∵AB＝AC＝12厘米，点D为AB的中点， ∴BD＝6厘米， ∵∠B＝∠C，BP＝CQ＝2t， ∴要使△BPD和△CQP全等，BD＝CP＝6厘米， 则8﹣6＝2t， 解得：t＝1， v＝2÷1＝2厘米/秒， 当BP＝PC时， ∵BC＝8cm， ∴PB＝4cm， t＝4÷2＝2s， QC＝BD＝6cm， v＝6÷2＝3厘米/秒． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等． 4．已知AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． ①若x＝1．则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，x＝6； ③若α＝90°，t＝5，x＝1时，△ACP≌△BPQ； ④若△ACP与△BPQ全等，则x＝0.8或． 以上说法正确的选项为（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【分析】①若x＝1，即点P的速度时点Q的2倍，即可求解； ②求出P、Q的运动时间即可求解； ③证明AP≠BQ，即可求解； ④若△ACP与△BPQ全等，则AC＝PB且AP＝BQ或AC＝BQ且AP＝BP，即可求解． 【解答】解：①若x＝1，即点P的速度时点Q的2倍，故点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，正确，符合题意； ②点P到达A的时间为：6÷2＝3，当x＝6时，点Q到达点A的时间为：（8+10）÷6＝3，故②正确，符合题意； ③若α＝90°，t＝5，x＝1时，如图， 假设AC：AP＝PB：BQ， ∵∠A＝∠B＝α， ∴△APC∽△BQP， ∴∠CPA＝∠PQB， 而∠PQB+∠QPB＝90°， ∴∠CPA+∠QPB＝90°， 即CP⊥PQ， 而此时，AC＝6，则AP＝5×2﹣6＝4，则PB＝AB﹣AP＝6， 而DQ＝1×5＝5，则BQ＝8﹣5＝3， 则AP≠BQ， 故③错误，不符合题意； ④由题意得，AP＝2t﹣6，则PB＝10﹣（2t﹣6）＝16﹣2t，QD＝xt，则BQ＝8﹣xt， 若△ACP与△BPQ全等， 则AC＝PB且AP＝BQ或AC＝BQ且AP＝BP， 即6＝16﹣2t且2t﹣6＝8﹣xt或6＝8﹣xt且2t﹣6＝16﹣2t， 解得：x＝0.8或， 故④正确，符合题意， 故选：C． 【点评】本题为三角形综合题，涉及到三角形全等和相似、动点问题，分类求解是解题的关键． 二．解答题 5．已知AB＝12cm，AC＝BD＝10cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒． （1）如图1，若AC⊥AB，BD⊥AB，且点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系和数量关系，请分别说明理由； （2）如图2，若∠A＝∠B＝60°，设点Q的运动速度为vcm/s，是否存在实数v，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出v，t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）当t＝1时，依题意得∠A＝∠B＝90°，AP＝BQ＝2cm，进而得AC＝BP＝10cm，由此可依据“SAS”判定△ACP和△BPQ全等得PC＝PQ，∠C＝∠BPQ，再根据∠C+∠APC＝90°得∠BPQ+∠APC＝90°，继而得∠CPQ＝90°，则PC⊥PQ； （2）依题意得AP＝2tcm，BQ＝vtcm，则BP＝（12﹣2t）cm，再根据∠A＝∠B＝60°得当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况：①当AC＝BP，AP＝BQ时，则△ACP≌△BPQ（SAS），由AC＝BP得10＝12﹣2t，解得t＝1，由AP＝BQ，得2t＝vt，将t＝1代入得v＝2，②当AC＝BQ，AP＝BP时，则△ACP≌△BQP（SAS），由AP＝BP得2t＝12﹣2t，解得t＝3，由AC＝BQ得10＝vt，将t＝3代入得v，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等， 线段PC和线段PQ的位置关系是：PC⊥PQ，数量关系是：PC＝PQ，理由如下： ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动， ∴AP＝2cm， ∵AB＝12cm，AC＝BD＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝10（cm）， ∴AC＝BP＝10cm， 又∵且点Q的运动速度与点P的运动速度相同， ∴BQ＝2cm， ∴AP＝BQ＝2cm， 在△ACP和△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）， ∴PC＝PQ，∠C＝∠BPQ， 在Rt△ACP中，∠C+∠APC＝90°， ∴∠BPQ+∠APC＝90°， ∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）依题意得：AP＝2tcm，BQ＝vtcm， ∵AB＝12cm，AC＝BD＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（12﹣2t）cm， 又∵∠A＝∠B＝60°， ∴当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况： ①当AC＝BP，AP＝BQ时，则△ACP≌△BPQ（SAS）， 由AC＝BP，得：10＝12﹣2t， 解得：t＝1， 由AP＝BQ，得：2t＝vt， ∵t＝1， ∴v＝2， 即当t＝1s，v＝2cm/s时，△ACP与△BPQ全等； ②当AC＝BQ，AP＝BP时，则△ACP≌△BQP（SAS）， 由AP＝BP，得：2t＝12﹣2t， 解得：t＝3， 由AC＝BQ，得：10＝vt， ∵t＝3， ∴v， 即当t＝3s，v＝10/3cm/s时，△ACP与△BPQ全等， 综上所述：v，t的值分别为t＝1s，v＝2cm/s或t＝3s，vcm/s． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 6．问题情境： 已知：射线AB和射线CB相交于点B．点D在射线CB上，作射线AD，在射线AD上取一点E，连接CE，使∠AEC＝∠ABC． 任务一：当点D在线段CB上时， （1）如图1，请写出∠A与∠C的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当∠AEC＝∠ABC＝90°，AB＝CB时，连接BE．在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF． ①判断BF与BE的数量关系与位置关系，并说明理由； ②∠AEB的度数为 　45°　 ； 任务二：当点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合）． （3）如图3，当AB＝CB，∠AEC＝∠ABC＝α（90°＜α＜180°），且AF＝CE时，请直接写出∠AEB的度数（用含α的式子表示）． 【分析】（1）利用三角形内角和定理即可得出答案； （2）①先证得△ABF≌△CBE（SAS），得出：BF＝BE，∠ABF＝∠CBE，再根据直角三角形性质和垂直定义即可证得结论； ②根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论； （3）当点D在线段BC上时，如图3，当点D在CB的延长线上时，如图4，在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF，先证明△ABF≌△CBE（SAS），可得：BF＝BE，∠ABF＝∠CBE，再由等腰三角形性质即可求得答案． 【解答】解：（1）∠A＝∠C； 理由：∵∠C+∠AEC+∠CDE＝180°，∠A+∠ABC+∠ADB＝180°， 又∵∠ABC＝∠AEC＝a，∠ADB＝∠CDE， ∴∠A＝∠C； （2）①BF＝BE，BF⊥BE，理由如下： 由（1）知：∠A＝∠C， 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE， 又∵∠ABC＝a＝90°＝∠ABF+∠FBC， ∴∠CBE+∠FBC＝90°， 即∠FBE＝90°， ∴BF⊥BE； ②∵△ABF≌△CBE， ∴BF＝BE， ∴∠ABF＝∠CBE， ∴∠FBE＝∠ABC＝90°， ∴∠AEB＝45°， 故答案为：45°； （3）∠AEB＝90°α或90°α，理由如下： 当点D在线段BC上时，如图3，在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF， 由（1）知：∠A＝∠C， 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE， 又∵∠ABC＝a＝∠ABF+∠FBC， ∴∠CBE+∠FBC＝α， 即∠FBE＝α， ∴∠AEB＝∠EFB90°α； 当点D在CB的延长线上时，在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF，如图4， 由（1）知：∠BAF＝∠ECB， 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE， 又∵∠ABC＝α＝∠BAF+∠AFB， ∴∠ECB+∠CEB＝α， 即∠FBE＝α， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴∠AEB＝180°﹣∠BEF＝180°90°α， 综上所述，∠AEB的度数为90°α或90°α． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；构造全等三角形是解题的关键． 7．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是直线BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AD并以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC＝α，连接CE，设∠DCE＝β． （1）如图①，当点D在线段BC上时，求证：α+β＝180°； （2）如图②，当点D在BC的延长线上时，请探究α与β的数量关系，并证明； （3）如图③，当点D在CB的延长线上时，若α+β＝130°，则2α+3β＝　325°　 （直接写出答案）． 【分析】（1）先根据等腰三角形及三角形内角和定理证明α+2∠B＝180°，再根据∠DAE＝∠BAC＝α得∠BAD＝∠CAE，由此依据“SAS”判定△BAD和△CAE全等得∠B＝∠ACE，进而得∠DCE＝∠B+∠ACE＝2∠B＝β，据此可得出结论； （2）先同（1）得∠B＝∠ACB，α+2∠B＝180°，再证明∠BAD＝∠CAE，由此依据“SAS”判定△BAD和△CAE全等得∠B＝∠ACE，进而得∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝2∠B，再根据∠BCE+∠DCE＝180°，∠DCE＝β得2∠B+β＝180°，据此即可得出α与β的数量关系； （3）先证明∠BAD＝∠CAE，进而依据“SAS”判定△BAD和△CAE全等得∠ABD＝∠ACE，再根据∠ABD＝∠ACB+α，∠ACE＝∠ACB+β得α＝β；然后根据α+β＝130°得α＝β＝65°，据此即可得出2α+3β的值． 【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，∴∠B＝∠ACB， ∴∠BAC+∠B+∠ACB＝180°， ∴α+2∠B＝180°， ∵∠DAE＝∠BAC＝α， ∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， ∵∠DCE＝β， ∴∠DCE＝∠B+∠ACE＝2∠B＝β， ∴α+β＝180°； （2）解：α与β的数量关系是：α＝β，证明如下： 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α， 同（1）得：∠B＝∠ACB，α+2∠B＝180°， ∵∠DAE＝∠BAC＝α， ∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝2∠B， ∵∠BCE+∠DCE＝180°，∠DCE＝β， ∴2∠B+β＝180°， 又∵α+2∠B＝180°， ∴α＝β； （3）解：∵∠DAE＝∠BAC＝α， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABD＝∠ACB+∠BAC＝∠ACB+α， 又∵∠ACE＝∠ACB+∠DCE＝∠ACB+β， ∴∠ACB+α＝∠ACB+β ∵α＝β； ∵α+β＝130°， ∴α＝β＝65°， ∴2α+3β＝2×65°+3×65°＝325°． 故答案为：325°． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 8．已知，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　90　 度； （2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，请猜想BC，CE，CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出线段BC，CE，CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系． 【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE＝90°得到∠BAD＝∠CAE，根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，得到∠ACE＝∠B，由∠B+∠ACB＝90°得到∠ACE+∠ACB＝90°，即可解答； （2）同（1）思路证明△ABD≌△ACE（SAS），得到CE＝BD＝BC+CD，即可解答； （3）先补全图形，同（1）思路证明△ABD≌△ACE（SAS），得到BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，从而得出CD＝BC+BD＝BC+CE，又∠ACE＝∠ACB+∠DCE，∠ABD＝∠ACB+∠BAC，得到∠DCE＝∠BAC＝90°，因此CE⊥CB． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE． ∵在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ACE＝∠B（全等三角形对应角相等）， ∵∠BAC＝90°， ∴∠B+∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠ACB＝90°， 即∠BCE＝90°．则∠BCE的度数为90°， 故答案为：90． （2）CE＝BC+CD，理由如下： ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE． ∵在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴CE＝BD（全等三角形对应边相等）， ∵BD＝BC+CD， ∴CE＝BC+CD． （3）CD＝BC+EC，CE⊥CB．理由如下： 补全图形如下： ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE， 即∠BAD＝∠CAE（同角的余角相等）． ∵在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE（E全等三角形对应边相等），∠ABD＝∠ACE（全等三角形对应角相等）， ∴CD＝BC+BD＝BC+CE． ∵∠ACE＝∠ACB+∠DCE， ∠ABD＝∠ACB+∠BAC， ∴∠DCE＝∠BAC＝90°， ∴CE⊥CB． 【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 9．如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0． （1）如图1，求△AOB的面积； （2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值． 【分析】（1）根据非负数的性质得到a﹣2＝0，2b﹣4＝0，求得a＝2，b＝2，得到OA＝2，OB＝2，于是得到结果； （2）证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF根据已知条件得到∠BDF＝180°，由∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，同时代的∠BOD+∠AOC＝45°，求出∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，推出△ODF≌△ODC，根据全等三角形的性质得到DC＝DF＝DB+BF＝DB+DC； （3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，由∠BAO＝∠PDF＝45°，得到∠PAB＝∠PD，E＝135°，根据余角的性质得到∠BPA＝∠PED，推出△PBA≌EPD，根据全等三角形的性质得到AP＝ED，于是得到FD+ED＝PF+AP．即：FE＝FA，根据等腰直角三角形的性质得到结论． 【解答】（1）解：∵（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0， ∴a﹣2＝0，2b﹣4＝0， ∴a＝2，b＝2， ∴A（2，0）、B（0，2）， ∴OA＝2，OB＝2， ∴△AOB的面积2； （2）CD＝BD+AC． 证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF， ∵∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠DBA＝90°， ∴∠DBF＝180°， ∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°， ∴∠BOD+∠AOC＝45°， ∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°， 在△ODF与△ODC中，， ∴：△ODF≌△ODC（SAS）， ∴DC＝DF，DF＝BD+BF，故CD＝BD+AC． （3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD， ∵∠BAO＝∠PDF＝45°， ∴∠PAB＝∠PDE＝135°， ∴∠BPA+∠EPF＝90°，∠EPF+∠PED＝90°， ∴∠BPA＝∠PED， 在△PBA与△EPD中， ， ∴△PBA≌EPD（AAS）， ∴AP＝ED， ∴FD+ED＝PF+AP， 即：FE＝FA， ∴∠FEA＝∠FAE＝45°， ∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°， ∴OA＝OQ＝2， ∴BQ＝4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 10．如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足． （1）如图1，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标； （2）如图2，连接OH，求证：∠OHP＝45°； （3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【分析】（1）要求点P的坐标，只需求出OP的长度，如图1，易证△OAP≌△OBC，即可得到OP＝OC＝1； （2）要证∠OHP＝45°，只需证明HO平分∠CHA，过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图2，只需证到OM＝ON，只需证明△COM≌△PON即可； （3）连接OD，如图3，易证△ODM≌△ADN，从而有S△ODM＝S△ADN，由此可得S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BODS△AOB＝4． 【解答】解：（1）如图1， ∵， ∴a+b＝0，a﹣4＝0， ∴a＝4，b＝﹣4， 则OA＝OB＝4． ∵AH⊥BC即∠AHC＝90°，∠COB＝90° ∴∠HAC+∠ACH＝∠OBC+∠OCB＝90°， ∴∠HAC＝∠OBC． 在△OAP与△OBC中， ， ∴△OAP≌△OBC（ASA）， ∴OP＝OC＝1， 则P（0，﹣1）； （2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图2． 在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°， ∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP． 在△COM与△PON中， ， ∴△COM≌△PON（AAS）， ∴OM＝ON． ∵OM⊥CB，ON⊥HA， ∴HO平分∠CHA， ∴∠OHP∠CHA＝45°； （3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于4． 理由如下： 连接OD，如图3． ∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点， ∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD ∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°， ∴∠DAN＝135°＝∠MOD． ∵MD⊥ND即∠MDN＝90°， ∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA． 在△ODM与△ADN中， ， ∴△ODM≌△ADN（ASA）， ∴S△ODM＝S△ADN ∴S△BDM﹣S△ADN ＝S△BDM﹣S△ODM ＝S△BOD S△AOB AO•BO 4×4 ＝4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（3）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/21 17:38:12；用户：向东菲；邮箱：18283002236；学号：35904369 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $