25.2.1 配方法（第1课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法(第1课时) 新课导入 核心引导 问题探究 核心归纳 .探究：如何解一元二次方程x²=4? .依据：正数的平方根有两个，且互为相反数 .解答：由x²= 4, 得x=±2 即方程的根为：x,=2,x₂=-2 一元二次方程： 需要“降次”为一次方程 一元一次方程： 转化为x=a 形式 降次 (开平方) 两个一次方程 二次方程 p的范围 平方根的意义 方程x²=p 的范围 根的书写形式 p>0 正数有两个不相等 的平方根 有两个不相等的 实数根 x₁= √P,x₂=- √P p=0 o的平方根是0 有两个相等的实数根 x₁=x₂=0 p ≤0 负数在实数范围内 没有平方根 无实数根(无意义) 暂无 直接开平方法：利用平方根的意义 直接开平方求一元二次方程解的方法 追问 对于方程 x²=p, 其解的情况如何? 分类讨论表(依据常数p的正负性) 概念生成 新课导入 方程一 方程二 (x+3) ²=5 结构：方程的左边为一次二项 式的平方；右边为一个正数 分析思路 类比观察：对比两方程，寻找结构异同点. 结构：方程的左边为变量的平 方；右边为一个正数 问题引入 对比x²=4, 如何求解(x+3)²=5? 新知探究 规范解答 解：由平方根的意义，得x+3=±√5 即x+3=√5 或x+ 3=- √.5 方法 根据平方根的意义，实现“降次”,转化为 点拨 两个一元一次方程 解得： 得 x₁= √ 5 3, x₂=- 新知探究 降次 (1)4x²—3=0; (1)4x²—3=0; 【思考与破局】 .左边非单纯x², 不能直接开平方 需化归x²=p的标准形式 【方法总结】 .先通过移项、系数化为1变形， 再开方 易错点拨：注意最后一步的分母有理化和最简二次根式化简. 利用 行化简 直接开平方 由此可得x=± 最简二次根式结果更规范! 移项 系数化为1 得 4x²=3. 得 例 解下列方程： 例题精讲 (2)(x+2)²—9=0. 化简求解 得 2 3 (2) 9=0. 整体 【思维路径】 .移项变形，化 为(x+ n)²=p结构 整体代换，将(x+2) 视为一个整体 【方法点拨】 .关键：开方后转化为两个一元一次方程 .易错：注意不要遗漏负根，须求出两个解 规范解答 解：移项，得(x+ 2)²=9. 2 直接开平方，得x+ 2=±3. 降次 3 降次为：x+2=3 或x+ 2=— 3, 最终解得：x₁=1, x₂=-5. 例题精讲 结构重组与化归 .观察结构：左边为二次三项式，无法 直接开平方 .公式转化：逆用完全平方公式，重构 方程左边 化归模型 核心归纳(方法前瞻) .通过因式分解“凑成完全平方”,化 归为解(x+ n)²=p .这种通过配方实现“降次”的思想， 就是下一节课的重点——配方法 规范求解过程 .直接开方：由平方根得x+ 2=± √ .得出方程的解： x+2= √5, 或x+ 2=— √5, x₁=- 2+√5,x₂ =-2 一 √5 完全平方 (x+2)²= 完全平方式 变式 解方程x²+ 4x+4=5 二次三项式 x²+4x+4=5 拓展提升 | 解下列方程(教科书P6 练习): (1)x²—9=0; (2)2x²—8=0; (3)9x²—5=3; (4)(x+6)²—9=0; (5)3(x— 1)²—6=0; (6)x²—4x+4=5. 课堂练习 解：移项，得 2x²= 8, 系数化为1,得x²=4, 开平方，得x₁=2, x₂=—2. 解：移项，得x²= 9, 开平方，得x=3,x ₂=—3. (1)x²—9=0; (2)2x²—8=0; 课堂练习 易错点拨 移项后务必将二次项系数化为1 分式开方注意结果化简为最简二次 根式 化简为± 解：移项，得 9x²= 8, 课堂练习 (3)9x²—5=3; (4)(x+6)²—9=0; (5)3(x— 1)²—6=0; 解：移项，得(x+6)²= 9, 解：移项变形，得(x— 1)²=2, 开平方，得x+ 6=±3, 开平方，得x—1=±√2 解得x₁=-3, x₂=-9. 解得x₁= 1+√ 3 x₂=1— √.2 课堂练习 (6)x²—4x+4=5. 解：方程左边化为完全平方 形式： x²—4x+4=5 (x2)²=5 开平方，得x—2= ±√ 5 解得 整体思想：将含有x的代数式 看作整体直接开方. 结构化归：逆用完全平方公式， 为配方法做铺垫. 方法提炼 x₁= 2+ √ 5 x₂=2 一 √5 课堂练习 回顾本节课所学内容，请思考并回答下面的问题： (1)解一元二次方程的基本思想是什么? 数学思想 ▶降次思想 将二次方程降为一次方程求解 分类讨论 依据p的范围讨论根的个数 整体思想 将(x+n) 视为整体进行开方 化归思想 将未知新知转化为已知旧知 课堂小结 (2)求解形如x²=p或(x+n²=p的方程时，需要注意什么? 注意事项 01 先变形 需先通过移项， 系数化为1,化 为标准形. 03 防遗漏 运用整体思想 开方时，切记 不要漏掉负根. 02 审前提 开平方前需确 保右边常数 课堂小结 教科书习题 25.2第1题. 课后任务 $