25.2.2 公式法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦九年级上册“一元二次方程的公式法”，核心内容包括求根公式推导、根的判别式及应用。通过“配方法繁琐”的问题导入，以问题链引导学生用配方法推导一般形式方程的解，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点是以问题驱动探究，通过追问1-5引导学生经历公式推导过程，培养抽象能力和推理意识。例题涵盖Δ>0、Δ=0、Δ<0等情况，练习结合实际问题，强化运算能力和应用意识。课堂小结通过反思问题促进深度学习，帮助学生构建知识体系，教师可借助此资料提升教学效率，落实核心素养。

第二十五章　一元二次方程 25.2.2　公式法 新课导入 　　我们已经学习了用配方法解数字系数的一元二次方程， 发现配方法能解任意的一元二次方程．一元二次方程有无 数个，如果每个都是重复这样的步骤，较为繁琐，能否用 配方法找出对任意一元二次方程都适用的解的统一表达形 式呢？ 2 新知探究 　　问题一　任何一个一元二次方程都可以化成一般形式 　　能否用配方法得出它的解呢？ ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)， 3 新知探究 　　追问 1　是否可以用配方法求解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)？ 　　对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0， 　　移项，得 ax2＋bx＝－c， 　　二次项系数化为 1，得 x2＋ x＝－ 　　配方，得 ． 　　即 ．①　　　　 　　······　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 b a c a 请同学们尝试继续完成后续的解答步骤 x2＋ x＋ ＝－ ＋ b a c a b 2a 2 b 2a 2 b 2a 2 x ＋ ＝ b2－4ac 4a2 4 新知探究 　　追问 2　用配方法解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 时，你有哪些困惑？ b 2a 2 x ＋ ＝ b2－4ac 4a2 　　对于　　　　　　　　　 ， 怎么开平方？ 5 新知探究 　　对于　　　　　　 　　 ①，因为 a≠0，所以 4a2＞0． 　　式子 b2－4ac 的值有以下三种情况： 　　（1）当 b2－4ac＞0 时， 　　，由 ① 得 ． 　　方程有两个不相等的实数根 　　（2）当 b2－4ac＝0 时，　　　　＝0，由 ① 可知，方程有两个相等的实数根 　　（3）当 b2－4ac＜0 时， ＜0，由 ① 得 ． 　　而 x 取任何实数都不能使 成立．因此方程无实数根． b 2a 2 x ＋ ＝ b2－4ac 4a2 ＞0 b2－4ac 4a2 x＋ b 2a ＝± b2－4ac 2a x1＝ －b＋ b2－4ac 2a ， x2＝ －b－ b2－4ac 2a ． b2－4ac 4a2 x1＝ x2＝ －b 2a ． b2－4ac 4a2 b 2a 2 x＋ ＜0 b 2a 2 x＋ ＜0 6 新知探究 　　当 b2－4ac≥0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的实数根可写为 x＝ 的形式，这个式子叫作一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的 求根公式. 2a －b ± b2－4ac 7 新知探究 　　追问 3　回顾推导过程，如何判别一元二次方程方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的情况？ 　　式子 b2－4ac 可以判别一元二次方程的根的情况，我们把它叫作一 元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的判别式，通常用希腊字母“ Δ”表 示，即 Δ＝b2－4ac ． 　　对于方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) ， 　　当 Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根； 　　当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根； 　　当 Δ<0 时，方程无实数根． 8 新知探究 　　追问 4　观察根的判别式与求根公式，它们都是由谁确定的？ 根的判别式与求根公式都是由方程 ax2＋bx＋c＝0 的系数 a，b，c 确定 当Δ≥0时，求根公式 2a －b ± b2－4ac x＝ Δ＝b2－4ac 9 新知探究 　　追问 5　如何用求根公式解数字系数的一元二次方程？ 　　知道了方程的系数，就可以用根的判别式判别方程的根的情况； 　　若有实数根，可以用求根公式直接求得方程的解． 　　求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的结果．解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以 直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法． 10 例题精讲 　　例　用公式法解下列方程： 　　（1）x2－4x－7＝0；　　 　 （2）2x2－2 2x＋1＝0； x1＝x2＝－ ＝－ ＝ ． －2 2 2×2 b 2a 2 2 　　解：（1）因为 a＝1，b＝－4，c＝－7， 所以 Δ＝b2 － 4ac ＝(－ 4)2 － 4×1×(－ 7) ＝44＞0． 　　方程有两个不相等的实数根， 　　即 x＝ －b± b2－4ac 2a ＝ －(－4)± 44 2×1 ＝2± 11 ， x1＝2＋ 11，x2 ＝2－ 11 ． 　　解：（2）因为 a＝2，b＝－2　2， c＝1，所以 Δ＝b2－4ac＝(－2　2)2－ 4×2×1＝0． 　　方程有两个相等的实数根， 11 例题精讲 　　（3）5x2－3x＝x＋1；　　 　 （4）x2＋17＝8x． 　　解：（3）方程化为 5x2－ 4x－1＝0． 因为 a＝5，b＝－4，c＝－1，所以 Δ＝ b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0． 　　方程有两个不相等的实数根， 　　即 　　解：（4）方程化为 x2－8x＋17＝0． 因为 a＝1，b＝－8，c＝17，所以 Δ＝ b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0， 　　方程无实数根． x＝ －b± b2－4ac 2a ＝ －(－4)± 36 2×5 ＝ ， 4±6 10 x1＝1，x2＝－ ． 1 5 12 例题精讲 　　追问　根的判别式和求根公式的作用是什么？ 　　根的判别式解决了一元二次方程的实数根的存在性和实数根是否相 等的问题，求根公式给出了实数根存在情况下根的表达式． 13 课堂练习 　　1. 解章引言中的方程 x2＋5x－25＝0. 　　解：（1）因为 a＝1，b＝5，c＝－25， 　　所以 Δ＝b2－4ac＝52－4×1×(－25)＝125＞0． 　　方程有两个不相等的实数根， 　　即 2a －b ± b2－4ac x＝ 2×1 －5± 125 ＝ 2 －5± 5 5 ＝ x1＝ 2 －5＋ 5 5 x2＝ 2 －5－ 5 5 ． ， 14 课堂练习 　　2. 用公式法解下列方程： 　　（1）x2＋x－6＝0；　　　　　 （2）x2－　3 x－ ＝0； 4 1 　　解：（1）因为 a＝1，b＝1，c＝ －6，所以 Δ＝b2－4ac＝12－4×1× (－6)＝25＞0． 　　方程有两个不相等的实数根， 　　即 x1＝2，x2＝－3． 　　解：（2）因为 a＝1，b＝－　3 ，c＝－ ， 所以 Δ＝b2－4ac＝(－　3)2－4×1× － ＝ 4＞0． 　　方程有两个不相等的实数根， 　　即 1 4 1 4 x＝ －b± b2－4ac 2a ＝ 2×1 3± 4 ＝ ， 2 3±2 x1＝ ，x2＝ ． 2 3＋2 2 3－2 x＝ －b± b2－4ac 2a ＝ －1± 25 2×1 ＝ ， 2 －1±5 15 课堂练习 　　（3）3x2－6x＋4＝0；　　　　　 （4）2x2－3x＝0； 　　解：（3）因为 a＝3，b＝－6， c＝4，所以 Δ＝b2－4ac＝(－6)2－ 4×3×4＝－12＜0． 　　方程无实数根． 　　解：（4）因为 a＝2，b＝－3，c＝0，所 以Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×0＝9＞0． 　　方程有两个不相等的实数根， 　　即 x1＝0，x2＝ 　． x＝ －b± b2－4ac 2a ＝ ＝ ， 2×2 3± 9 4 3±3 3 2 16 课堂练习 　　（5）x2＋4x＋8＝4x＋11；　　 　（6）x(2x－4)＝5－8x． 　　解：（5）方程化为 x2－3＝0．因为 a＝1，b＝0，c＝－3，所以 Δ＝b2－4ac ＝02－4×1×(－3)＝12>0． 　　方程有两个不相等的实数根， 　　即 x1＝　3，x2＝－　3． 　　解：（6）方程化为 2x2＋4x－5＝0． 因为 a＝2，b＝4，c＝－5，所以 Δ＝b2－ 4ac＝42－4×2×(－5)＝56＞0． 　　方程有两个不相等的实数根， 　　即 x1＝　　　　　，x2＝　　　　 　． x＝ －b± b2－4ac 2a ＝ 2×1 0± 12 ＝ ， ±2 3 2 ＝ x＝ －b± b2－4ac 2a 2×2 －4± 56 ＝ ， －4±2 14 4 2 －2＋ 14 2 －2－ 14 17 课堂小结 　　回顾本节课所学内容，请思考并回答下面的问题： 　　（1）如何推导一元二次方程根的判别式和求根公式？体现了什么数 学思想方法？ 　　（2）推导一元二次方程根的判别式和求根公式的过程中，遇到了哪 些困难？如何解决的？ 　　（3）如何判别一元二次方程的实数根的情况？ 　　（4）用公式法解数字系数的一元二次方程的具体步骤是什么？需要 注意什么？ 18 课后任务 教科书习题 25.2 第 5，10 题． 19 $