25.2.1 配方法 第1课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“直接开平方法”解一元二次方程，通过古代营地面积情境导入和平方根知识回顾，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生从\(x^2=p\)（\(p\geq0\)）型逐步过渡到\((x+n)^2=p\)（\(p\geq0\)）型方程的求解。 其亮点在于以情境问题激发数学眼光，通过探究推理培养数学思维，用方程模型体现数学语言。如油漆刷正方体盒子问题引导抽象能力，归纳总结解题步骤强化运算能力，多样化练习助学生掌握，教师可利用系统流程提升教学效率。

25.2 降次———解一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法 人教版九年级上册 古代行军打仗，常常需要先探知敌方驻扎情况。某日，侦察兵汇报：“敌方驻扎在30里之外，营地形似正方形，约16方里”，将军立马说：“原来敌方营地长4里”。 思考：将军是怎么知道敌方营地长的？ 情境导入 1.如果 x2=a，则x叫作a的 . 平方根 2.如果 x2=a(a ≥0)，则x= . 3.如果 x2=64，则x= . ±8 4.任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数. 回顾导入 问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2dm2，依题意， 列出方程 10×6x2=1500， 整理，得 x2=25. 开平方得 即x1=5，x2=−5. 因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm． x=±5， 探究点1：解可化为x2=p(p≥0)型的方程 新知探究 试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1) x2=4 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解：根据平方根的意义，得 x1=2，x2=−2. 解：根据平方根的意义，得 x1=x2=0. 解：移项，得x2=−1， 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 探究点1：解可化为x2=p(p≥0)型的方程 新知探究 (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0; (3)当p<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 一般地，对于方程 x2 = p， (I) (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等 的实数根 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 探究点1：解可化为x2=p(p≥0)型的方程 【归纳总结】 新知探究 例1 利用直接开平方法解下列方程： (1) x2=6； (2) x2－900=0. 解： (1) x2=6， 直接开平方，得 (2)移项，得 x2=900. 直接开平方，得 x=±30， ∴x1=30，x2=−30. 方法点拨：通过移项把方程化为x2 = p的形式，然后直接开平方即可求解． 探究点1：解可化为x2=p(p≥0)型的方程 新知探究 7 在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到： (x+3)2=5 ， ② 得 对照上面的方法，你认为可以怎样解方程(x+3)2=5？ 于是，方程(x+3)2=5的两个根为 探究点2：解可化为(x+n)2=p (p≥0)型的方程 新知探究 上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了. 探究点2：解可化为(x+n)2=p (p≥0)型的方程 新知探究 例2 解下列方程： （1）(x＋1)2= 2 ； 解析：第1小题中只要将(x＋1)看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解. 即x1=−1+ ，x2=−1− 解：（1）∵x+1是2的平方根， ∴x+1= 探究点2：解可化为(x+n)2=p (p≥0)型的方程 新知探究 解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解. （2）(x−1)2−4 = 0； 即x1=3，x2= −1. 解：（2）移项，得(x − 1)2=4. ∵x − 1是4的平方根， ∴x − 1=±2. 探究点2：解可化为(x+n)2=p (p≥0)型的方程 新知探究 11 ∴ x1= ， x2= （3）12(3−2x)2−3 = 0. 解析：第3小题先将−3移到方程的右边，再将等式两边同时除以12，再同第1小题一样地去解. 解：（3）移项，得12(3−2x)2=3， 两边都除以12，得(3−2x)2=0.25. ∵3−2x是0.25的平方根， ∴3−2x=±0.5. 即3−2x=0.5，3−2x=−0.5 探究点2：解可化为(x+n)2=p (p≥0)型的方程 新知探究 12 解： 方程的两个根为 解： 方程的两根个为 例3 解下列方程： 探究点2：解可化为(x+n)2=p (p≥0)型的方程 新知探究 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或(x＋n)2= p(p≥0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明. 探究点2：解可化为(x+n)2=p (p≥0)型的方程 新知探究 1. 下列方程中能用直接开平方法解的是（　C　） A. x2－4x＝0 B. x2＋9＝0 C. 17－x2＝0 D. 3x2－27＝9x 2. 一元二次方程4x2－9＝0的根为（　C　） A. x1＝x2＝ B. x1＝x2＝ C. x1＝ ，x2＝－ D. x1＝ ，x2＝－ C C 随堂练习 3. 一元二次方程7x2＝21的解为 　x1＝ ，x2＝－ 　. 4. 用直接开平方法解方程： （1） 5x2－2＝18； 解：x1＝2，x2＝－2 （2） －7x2＋4＝0. 解：x1＝ ，x2＝－ x1＝ ，x2＝－ 　 5. 转化与化归思想 一元二次方程（x＋1）2＝3可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x＋1＝ ，则另一个一元一次方程为（　D　） A. x－1＝ B. x＋1＝3 C. x＋1＝－3 D. x＋1＝－ D 6. 一元二次方程（x＋1）2＝0的根是 　x1＝x2＝－1　. 7. 方程（x－2）2＝7的根是 　x1x1＝x1＝x1＝x1＝x1＝＝2＋. x1＝x2＝－1　 x1＝2＋ ，x2＝2－ 　 8. 方程 （x－1）2＝3的根是 　x1＝－2，x2＝4　. 9. 教材变式题 解方程： （1） 4（x－3）2－28＝0； 解：x1＝3＋ ，x2＝3－ （2） y2－10y＋25＝4. 解：y1＝3，y2＝7 x1＝－2，x2＝4　 10. 若关于x的方程（x－9）2＝m＋4可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是（　D　） A. m＞4 B. m≥4 C. m＞－4 D. m≥－4 11. 新考向 结论开放题 若关于x的一元二次方程（x＋5）2＝c有正整数根，则c的值可以为 　答案不唯一，如36　（写出一个即可）. D 答案不唯一，如36　 12. 下列方程中，无实数根的是（　D　） A. x2－1＝0 B. x2＝2 C. －3x2＋2＝0 D. x2＋3＝0 13. 用直接开平方法解方程（3x＋1）2＝（2x－5）2，下列过程正确的是（　C　） A. 3x＋1＝2x－5 B. 3x＋1＝－（2x－5） C. 3x＋1＝±（2x－5） D. 3x＋1＝±2x－5 D C 14. 如图所示为一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（　C　） A. 2或－2 B. 3或－3 C. 3或－1 D. －3或1 C 15. 若关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m＋1与2m－4，则 ＝ 　 　. 16. 若关于x的方程（ax－1）2－16＝0的一个根是x＝2， 则a的值为 　　　　　　　. 17. 整体思想 如果（a2＋b2－2）2＝25，那么a2＋b2＝ 　7　. 　 或－ 　 7　 （1） 8x2－71＝129； 解：x1＝5，x2＝－5 （2） 2（x－1）2－36＝0； 解：x1＝1＋3 ，x2＝1－3 （3） x2＋12x＋36＝121. 解：x1＝5，x2＝－17 18. 解下列方程： 19. 在平面直角坐标系中，已知点A（m2－14m＋49，121）在第一象限的角平分线上，求m的值. 解：由题意，得m2－14m＋49＝121，解得m1＝18，m2＝－4 20. 整体思想 已知关于x的方程a（x＋n）2＋b＝0（a，b，n为常数，a≠0）的解是x1＝5，x2＝－3，则方程a（x＋n－2）2＋b＝0的解是 　x1＝7，x2＝－1　. x1＝7，x2＝－1　 解：解方程（x－ ）2＝16，得x1＝ ＋4，x2＝ －4.∵ a为方程（x－ ）2＝16的一个根，∴ a＝ ±4.解方程y2－2y＋1＝13，即（y－1）2＝13，解得y1＝1＋ ，y2＝1－ .∵ b为方程y2－2y＋1＝13的一个根，∴ b＝1± .当a＝ ＋4，b＝1＋ 时，a＋b＝5＋2 ；当a＝ ＋4，b＝1－ 时，a＋b＝5；当a＝ －4，b＝1＋ 时，a＋b＝－3＋2 ；当a＝ －4，b＝1－ 时，a＋b＝－3 21. 分类讨论思想 若a为方程（x－ ）2＝16的一个根，b为方程y2－2y＋1＝13的一个根，求a＋b的值. 直接开平方法 概念 步骤 基本思路 利用平方根的定义求方程的根的方法 关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0)的形式. 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 课堂小结 $