培优专题04 圆综合题型归纳（专项训练）数学新教材湘教版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优专题04 圆综合题型归纳 常考题型精准突破 ◆题型1圆内知识综合 1.B 2.B 3.12 4.64° 5. (1):△ACD是等腰三角形，∠D=30°， .∠CAD=∠CDA=30° 连接OC, E B .A0=C0 ∴△AOC是等腰三角形， ∠CA0=∠AC0=30°， ∠C0D=60°， 在△C0D中，又：∠CD0=30°， ∴.∠DC0=90% ∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切. (2)过点A作AE⊥CD,垂足为E. 在RtAOCD中，：∠CD0=30°， 0D=20C=12, AD=A0+OD=6+12=18, 在Rt△ADE中， 1/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠EDA=30°， 点4到CD边的距离为：AE=D=9 【点睛】此题考查的知识点是切线的判定与性质，解题的关键是运用直角三角形的性质及30°角所对直角 边的性质。 ◆题型2圆与三角形的综合 1.D 2.B 3. π 4.1 5.. (1)证明：连接OC, .OC=OB,AC=CG. ∴.∠OCB=∠OBC,∠OBC=∠CBD, ∴.∠CBD=∠OCB OC∥BD, ∴.∠ECO=∠EDB CD⊥BG于点D, ∠EDB=90°， 、∠EC0=90°， .OC是⊙0的半径， .CD是⊙O的切线： (2)解：由(1)知，OC∥BD ∴，△COFABDF,△ECOr△EDB, 2/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EO OC OF 2 ∴EBBDFD3' 、.E0=2OB=2OC, :LEC0=90°， .sin E=Co 1 E02, .∠E=30°： (3)解：由(2)知，∠E=30°， :∠BDE=90°， .∠EBD=90°-∠E=60°. ,∠ABC=∠CBD :∠CBD=)∠ABD=30, ,∠BDE=90°，CD=V3cm, .'BC=2CD=2v3cm, ∴.BD=VBC2-CD2=3cm, 0C2 由(2)知，BD3, ∴.OC=2cm, ∴.AB=4cm, 即⊙O的直径AB的长是4cm. ◆题型3圆与四边形的综合 1.B 2.c 3.3v2 4.5 5. (1)证明：如图，连接BG, 3/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E O G 经过正方形 的顶点，， .…⊙0 ABCD B C ∴∠ABC=∠C=90°， .BG是⊙O的直径， .∠BFG=90°， ∴四边形FBCG是矩形： (2)解：连接OE交FG于点J,连接OF,过点O作OH⊥BF于点H, E A D G H 经过圆心， C .OH ∴HF=HB, :AD是⊙O的切线， ∴OE⊥AD 由(1)知四边形FBCG是矩形， .BC∥FG, :BC∥AD, FG∥AD, .OE⊥FG, OE是半径， ..FJ=JG, 同理可得四边形OFH和四边形AFE均为矩形， .AF=EJ,FH=OJ,AE=JF, ∴AE=DE=FJ=JG 设FH=BH=OJ=a,AF=E=b,则AB=AD=2a+b, 4122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE= 2a+b 6 2 -a+2 .OF=OE=a+b,OF2=0J2+JF2, -) 整理得4a2-4ab-3b2=0. ∴.(2a-3b)(2a+b)=0」 ∴.2a=3b或2a=-b(舍去)， AF bb 1 FB2a2.3b3. 3 2 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握知识点，利 用参数构建方程是解题的关键. ◆题型4圆与函数的综合 1.D 2.A 3.2 4.2V2+1 5. 【详解】(1)抛物线y=ax2+bx+c交y轴于A(0,3),交x轴于B,C两点坐标分别为(2,0)，(6,0) c=3 ∴.{0=4a+2b+c, 0=36a+6b+c 〔1 a= 4 解得b=-2 c=3 抛物线的解析式为：y= x-2x+3 5/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)过点D作DF⊥x轴与点F. D E 点 在抛物线上， D 设D点坐标为m,4m-2m+3 :AB⊥BD,DF⊥BF ∴.∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠DBF=90°， ∠OAB=∠DBF, △AOB△BFD, AO BF BO FD' 3 m-2 2 4m2-2m+3: 解得：m=26 或m=2（舍去)· 4m2-2m+3= 40 9· 2640 :点D的坐标为39) (3)证明：连接CE,则CE⊥BD, D A E 抛物线交轴于 两点坐标分别为 B B,C (2,0)(6,0) 对称轴x= 2+ 24 .OB=2,AB=V22+32=13,BC=4, 6122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AB⊥BD, ∴.∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90° △40BABEC, AB OB BC-CE' 52 解得：CE=8V3 13, ,&v3 13 >2, ∴抛物线的对称轴1与⊙C相交 ◆题型5圆中动点最值问题 1.B 2.C 3.100 4.4 5. 【1)证明：连接OD,交BC于点N,如图， C 为直径， A B O .·AB .,∠ACB=90° ∴.∠BCP=90° AD平分∠BAC, .CD=BD」 .ON⊥BC. 7/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DP⊥AC, ∴四边形CDP为矩形. ∴.OD L PD :OD为圆的半径， ∴PD是⊙O的切线： (2)在点E运动过程中，EC+EP存在最小值.理由： 过点C作CF⊥AB,并延长交⊙O于点F,连接PF,交AB于点E,连接EC,则此时EC+EP的值最小， 如图， C B .·∠B=30° ∠ACB=90° .∠CAB=60° :AD平分∠BAC, ∴.∠CAD=∠DAB=30° .CD与BD的度数为60° AB是直径， ∴，AC的度数为60°. .AC=CD=BD :AB⊥CF,AB是直径， .AC=AF .AF+AC+CD=180° .FAD为半圆 :FD为圆的直径， 由(1)知：PD是OO的切线， ∴.FD⊥PD 由题意：AB垂直平分FC, .EC=EF 8/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴EC+EP=EF+EP=FP ∠CFD=∠DAB,∠DAB=30°， .∠CFD=30° :AB=8, ..FD=8. 由(1)知：四边形PCND为矩形， :.PD=NC. ON⊥BC, :.CN-BC. 在Rt△ACB中， :sin∠CAB=BC AB BC=AB:sim60°=8x5 45 :.PD=CN=IBC=23 在RtAFDP中， PF=VDF2+PD2=V82+(23)=29 ∴.EC+EP的最小值为PF=2V19 【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理及其推论，轴对称的性 质，角平分线的定义，解直角三角形，连接半径OD和利用轴对称中的将军饮马模型找出EC+EP存在最小 值是解题的关键。 ◆题型6正多边形和圆的综合 1.C 2.B 3.5 4. 8π 5. 9/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：~正五边形ABCDE内接于⊙0， ∴∠40C=360×2=144 5 ·∠ADC= 5∠A0C=72°， (2)由(1)得∠A0C=144°， :⊙0的半径为1， 扇形40C(阴影部分)的面积为：S=x=144πx_2红 360 360 5 ◆题型7圆（尺规作图） 1. 【详解】解：连接OC, ,C在以OP为直径的圆上， 、LOCP=90°（直径所对的圆周角为直角），即OC⊥PC, :OC是⊙0的半径 :,P℃是⊙O的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）， 同理可证PD是⊙O的切线。 2 【详解】(1) B (2)解：过点C作CH⊥OA于点H, 10/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P 是 的切线， B AC⊙O .AC⊥OC, ∠ACO=∠CHO=90°， ∠A+∠ACH=90°、∠ACH+∠OCH=90°， ∴.∠A=∠OCH, tanA=tan∠0cH=OH_1 CH 2' 设oH=a、CH=2a,则0C=VCH+0H=V(2a}+a2=V5a, :0B=0C=5a, 在R△BCH中，tam∠ABc-CH2a-5-1 BHa+V5a2· 3. 【答案】(1)如图所示： D (2)证明：连接0C,如图， .OA=OC .∠A=∠OCA, CD⊥AC, .∠ACD=90° 11/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠OCA+∠OCD=∠A+∠OCD=90°， :∠A=∠BCD .∠BCD+∠OCD=90°， ∠0CB=90°， ∴OC⊥BC, :0C为⊙0的半径， .BC是⊙O的切线： (3)解：设OC=x,则OD=x,OB=x+4, 在RtAOBC中，由勾股定理得：OC2+BC2=OB2 x2+62=(x+4)2 解得x=2.5, .0C=2.5, .⊙0的半径长为2.5 4. 【详解】解：如图，⊙0为所求 B ◆题型8三角形内切圆与外接圆综合 1.C 2.B 5 3.4 2-3 4.24 5. (1)证明：延长AO交BC于点F,连接OB、OC, 12/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OA=OB=OC. ∠OAB=∠ABO,LOAC=∠ACO,LOBC=∠OCB, .AB=AC, ∠ABC=∠ACB. .∠ABC-∠OBC=∠ACB-∠OCB,即∠ABO=∠ACO, .∠OAB=∠OAC,即AF是∠BAC的角平分线， .AB=AC, ∴AF⊥BC,AF平分线段BC, .AE BC, ∴.AF⊥AE, OA是半径， ∴AE是⊙O的切线； (2).AEllBC, .∠E=∠CBE, AF⊥BC,AC⊥BE, .∴.∠1C+∠ACB=180°-∠AFC=90°， 在△BCD中，∠CBE+∠ACB=180°-∠BDC=90°， ∴.∠CBE=∠AC=∠E, :tam∠E=2: 1 1 ∴tan FAC=2, 由(1)知，AF是BC的垂直平分线， 1 FC=2BC=2×8=4, 2 FC 4 1 ∴tan∠AC=AFAF2' ∴.AF=2×4=8, 连接OC, .AF-AO+OF-8,OA=CD, ..OF+OC-8 13/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设OC=r,则OF=8-T, 在Rt△OFC中，OF2+CF2=0C?,即(8-r}+42=2, ∴.r=5, .⊙0的半径为5. A E 【点睛】本题考查切线的判定定理、勾股定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是 正确作辅助线，熟练运用所学知识 综合攻坚知能拔高 1.A 2.A 3.D 4.C 5.D 6.5+1 7.22 8.60° 9.3V2 10.V5 11. 【详解】(1)解：：△ABC内接于⊙O,F是BC上任意一点， ∴四边形ABFC为圆内接四边形， .∠CAB=180°-∠F=70°， :AB是⊙O的直径， ÷.∠ACB=90°， 14/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC=90°-∠CAB=20°： (2)同(1)法可得：∠ABC=90°-∠CAB=90°-(180°-P)=B-90°， .AC=CF 、∠CBF=∠ABC=B-90°， 在△BCF中，∠F+∠FCB+∠FBC=18O°， .B+u+B-90°=180° .ax+2p=270°： (3)证明如下：连接AE, F B:点是 的内心， E△ABC ∴AE平分∠CAB,CE平分∠ACB, ·∠EAC=∠EAB,∠ACD=∠BCD :∠DAE=∠BAD+∠BAE,∠DEA=∠ACD+∠EAC,∠DAB=∠DCB=∠ACD, ∴.∠DAE=∠DEA, .'AD =DE, :∠ABD=∠ACD=∠DAB, ∴AD=BD, .AD=BD DE. 12. (1过点O作OH⊥AC于点H,连接OD、OA, :△ABC是等腰三角形，O是底边BC中点， 15/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AO⊥BC,且AO平分∠BAC :AB与⊙O相切于D, ∴OD⊥AB OH⊥AC, ∴OH=OD ,OD是⊙0的半径， ∴.OH也等于⊙0的半径， AC是⊙O的切线， (2)①△EGF是等腰直角三角形，证明如下： ,EF是⊙O的直径 .∠EDF=90°. ,DG平分∠EDF, ∴.∠EDG=∠FDG=45° :.EG=FG, ∴.EG=FG. :.△EGF是等腰直角三角形. ②连接OG, B 在RtAEDF中，∠EDF=90°，DE=6,DF=8, ..EF=DE2+DF2=62+82=10 ∴⊙0的半径r=OE=0F=0G=5 ,DG平分∠EDF, ∠FDG= EDF-4 ∴.∠GOF=2∠FDG=90° 90° 只扇形OGE的面积：SOGF-300exr2s1 ×πx52=25π 4 41 16/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :60Gr的面积：ae-2x0Gx0F=x5x5 1 25 2: 25m25 ∴.S阴影= 42· 13. (1)△ABC是等边三角形.理由如下： 在⊙O中，：∠BAC与∠CPB是BC所对的圆周角，∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角， ·∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC, 又：∠APC=∠CPB=60°， ∴∠ABC=∠BAC=60°， :.△ABC为等边三角形： (2)解：当点P为AB的中点时，四边形APBC的面积最大.理由如下： 如图，过点P作PE⊥AB,垂足为E.过点C作CF⊥AB,垂足为F. S.APB=2 AB'PE.S.ABC2 AB'CF 1 ·S四边形APc2AB(PE+CF): 当点P为AB的中点时，PE+CF=PC,PC为⊙O的直径， ∴此时四边形APBC的面积最大 又：⊙0的半径为1， ∴其内接正三角形的边长AB=V5, ·S边形Pc=2×2×V5=V5: 14. 17/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：抛物线y=ax+br+c与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,-4), a-b+c=0 ∴.16a+4b+c=0 c=-4 a=1 解得b=-3 c=-4 ∴.抛物线的表达式为y=x2-3x-4. (2)解：设直线BC的解析式为y=+C, B(4,0).C(0,-4)代入， 4k+c=0 得c=-4, k=1 解得c=4 ∴直线BC的解析式为y=x-4, 设P(x,x2-3x-4), 则E(x,x-4) .PE=x-4-x2+3x+4=-x2+4x, 3 ÷抛物线对称轴为直线x一2， ,点D与点P关于对称轴对称， .D3-x,x2-3x-4), PD=3-2x, PD=PE, ·-x2+4x=3-2x, (-x2+4x)=3-2x, 当-x2+4x=3-2x时，x=3+√6（不合），x=3-V6, 当x2-4x=3-2x时，x=3(不合)，x=-1(不合)， 18/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上，x=3-V6, 故点P的横坐标为3-√6 (3)解：设圆心为卫，M(,m)(其中m=P-3t-4),设直线MN交x轴于点Q, MN∥y轴， .MN⊥x轴， 设N(G,n), 则M0=mN0=m,A0=-1-6Bg=4-1, 当点N在线段Mg上时， 连接AW,BM :∠ABM+∠ANM=180,∠AN0+∠AWM=180°， .∠ANQ=∠ABM」 :∠AQN=∠MQB ∴.△OAN∽aQMB, AO NO ·MgB0' -1-t_n m4-t' .mn=（-1-t)(4-t). .(-1-t)(4-)=t2-3t-4=m ∴.mn=m, :M为抛物线第二象限上一点， .m>0. ∴.n=1. 19122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 X- 2 M N 当点M在线段NO上时， 连接AM,BN ∠ABN+∠AMN=180°，∠AMQ+∠AMN=180°， 、.∠AMQ=∠ABN .∠AQM=∠NQB .△OAM∽△QNB A0 MO .NO BO' -1-tm mn=（-1-t)(4-t). ∴.mn=m, n=1. 综上，n=1. 故N点纵坐标为1. 3 X= M A Q0 【点睛】本题考查二次函数与几何综合.熟练掌握待定系数法求二次函数解析式及一次函数的解析式，二 次函数的图象和性质及一次函数的图象和性质，圆内接四边形性质，二次函数与线段综合，二次函数与相 似三角形综合，是解题的关键， 20/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15. 【详解】(1)解：：AB是⊙0的直径， .∠AFB=90°， :∠BAF=30°，AB=12, .BF= 24B=6: (2)证明：如图，连接OF,则OF=OA, C B D .∠OAF=∠OFA, ,∠BFE=∠BAF, ∴.∠BFE=∠OFA 由(1)知，∠AFB=90°， ∴.∠OFA+∠OFB=90°， ∴.∠BFE+∠OFB=90°，即∠OFE=90°， ∴.OF⊥EF, ,OF是⊙0的半径， EF是⊙O的切线： (3)解：如图，过点G作GH∥OF,交AO于点H,以点H为圆心，AH为半径作圆，连接CH,CH的 延长线交⊙H于点G, C B G D .GH∥OF 21/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△AHG∽△AOF, AH AG AO AF' AG=2GF, AH AG2 A0AF3' ,AB=12, .A0=C0=6, :H=号40=4， .AO=FO .∠HAG=∠OFA, :GH∥OF, .∠HGA=∠OFA, .∠HAG=∠HGA, ∴.AH=HG=4, 点G在⊙H上， :当C、H、G在同一直线上，即G与G重合时，CG最大，即为CG的长， ,OH=A0-AH=6-4=2, ∴在Rt△C0H中，CH=VOH2+0C2=V22+62=20, ..CG=CH+HG=210+4. ∴线段CG的最大值为2W10+4. 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，切线的判定，相似三角 形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键. 22122 培优专题04 圆综合题型归纳 常考题型·精准突破 题型1：圆内知识综合 题型2：圆与三角形的综合 题型3：圆与四边形的综合 题型4：圆与函数的综合 题型5：圆中动点最值问题 题型6：正多边形与圆的综合 题型7：圆（尺规作图） 题型8：三角形内切圆与外接圆综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1圆内知识综合 1．如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．2 C．4 D．4 2．如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 3．如图,内接于⊙O,,则⊙O的直径等于__________．    4．如图，的直径过弦的中点，若，则______． 5．如图，是的直径，点D在的延长线上，点C在上，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，求点A到所在直线的距离． ◆题型2圆与三角形的综合 1．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 2．如图，中，，点在上，过点，且与相切于点，连接．若，，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 3．如图，在中，，以为直径的交于点，的切线与相交于点．若，，则的长为______． 4．如图，是的切线，点是上一点，连接，，连接并延长交于点，的延长线交于点，若，，则________． 5．如图，是的直径，C、G是上两点，且，过点C的直线于点D，交的延长线于点E，连接，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，求的直径的长． ◆题型3圆与四边形的综合 1．如图，四边形内接于，是的直径，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB为⊙0直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=（  ）． A．140° B．40° C．70° D．50° 3．如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 4．如图，四边形是的内接四边形，且， ，垂足分别为，若，则_____． 5．如图，经过正方形的顶点，，与相切于点，分别交，于点，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的值． ◆题型4圆与函数的综合 1．如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为(    ) A． B． C． D． 2．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA＝4，OB＝3，点C在边OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k的值是（　　）    A． B． C． D．﹣2 3．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________．    4．如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，P半径为2，，，点Q是P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最大值是__________． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点，交x轴于点，． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点B作线段的垂线交抛物线于点D，求点D的坐标； (3)如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明． ◆题型5 圆中动点最值问题 1．如图，在中，，，点D是AB上的动点，以BD为直径作圆O，连接CD交圆O于点E，则AE的最小值是（    ）    A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，以点M（6，8）为圆心，2为半径的圆上有一动点P，若A（﹣2，0），B（2，0），连接PA，PB，则当PA2+PB2取得最大值时，PO的长度为（　　） A．8 B．10 C．12 D．10 3．如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为____________ 4．如图，为⊙O的直径，，点为半圆的中点，为上一动点，延长至点，使．若点由运动到，则点运动的路径长为_________． 5．如图，是的外接圆，是直径，弦平分，过点D作射线的垂线，垂足为点P，点E是线段上的动点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在点E运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． ◆题型6 正多边形和圆的综合 1．如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，边长为2的正六边形的中心为，则该正六边形的边心距为______． 4．如图，半径为2的与正五边形的两边，相切于A，C两点，则扇形（小于半圆）的面积是______． 5．如图，已知正五边形内接于，连接，，． (1)求的度数； (2)若的半径为，求扇形（阴影部分）的面积． ◆题型7 圆（尺规作图） 1．下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：P为外一点   求作：经过P点的的切线 作法：如图   （1）连接 （2）以为直径作圆，与交于C、D两点 （3）作直线、，则直线、就是所求作经过P点的的切线 请回答，该作图的依据是________________________． 以上作图的依据是∶__________________________________________________________． 2．如图，点A是外一点．    (1)过点A作的一条切线，点C是切点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，已知，求的值． 3．如图，已知经过A，C，D三点，点D在边上，，． (1)求作；（请保留尺规作图痕迹，不写作法） (2)求证：是的切线； (3)已知，，求的半径长． 4．如图，已知，请用尺规作图法作，使与直线 相切且圆心在射线上．(保留作图痕迹，不写作法) ◆题型8 三角形内切圆与外接圆综合 1．在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，O是的外心，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接．若，，则点O到的距离为______，的值为______． 4．如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 _______． 5．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，BD⊥AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E． (1)求证：AE是⊙O的切线； (2)若BC＝8，，求⊙O的半径． 综合攻坚·知能拔高 1．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 3．如图，的半径为2，点A是上一动点，点C是外一点，，是等边三角形，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，点A、B是CD为直径的⊙O上两点，分别在直径的两侧．其中点A是弧的中点，若tan∠ACB＝2，则sin∠BCD的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，是弦，点D在的延长线上，连接，，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____． 7．如图，四边形的外接圆的半径为，的切线与的延长线交于点，连接、，已知，，，则______． 8．如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是______． 9．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______． 10．如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为______． 11．如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 12．如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 13．如图，的半径为1，A，P，B，C是上的四个点，． (1)请判断的形状？说明理由； (2)当点P位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积． 14．如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为下方抛物线上一点，过点作轴交抛物线于点，轴交于点，若，求点的横坐标； (3)如图2，为抛物线第二象限上一点，过，，三点作，过点作轴交于点，求点纵坐标． 15．如图，，是的两条互相垂直的直径，，点在上，连接，．过点作交的延长线于点，．点在线段上，． (1)若，求的长； (2)求证：是的切线； (3)当点在上运动时，试求线段的最大值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题04 圆综合题型归纳 常考题型·精准突破 题型1：圆内知识综合 题型2：圆与三角形的综合 题型3：圆与四边形的综合 题型4：圆与函数的综合 题型5：圆中动点最值问题 题型6：正多边形与圆的综合 题型7：圆（尺规作图） 题型8：三角形内切圆与外接圆综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1圆内知识综合 1．如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．2 C．4 D．4 【答案】B 【分析】连接交于点F，证明四边形是矩形，点O圆心且，可得是的中位线，可得F为的中点，由勾股定理的，即可求出的长． 【详解】解：连接交于点F点， 为直径， ， ∴， 又为切线， ， ∴， 四边形是矩形， ，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查圆知识的综合应用，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、矩形的判定、垂径定理． 2．如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案. 【详解】∵， ∴∠APO=70°， ∵， ∴∠AOP=90°，∴∠A=20°， 又∵OA=OB， ∴∠ABO=20°， 又∵点C在过点B的切线上， ∴∠OBC=90°， ∴∠ABC=∠OBC−∠ABO=90°−20°=70°， 故答案为：B. 【点睛】本题考查的是圆切线的运用，熟练掌握运算方法是关键. 3．如图,内接于⊙O,,则⊙O的直径等于__________．    【答案】12 【分析】过B作直径BD，连CD，则可得到包含直径的直角三角形，解直角三角形即可得到直径长度． 【详解】解：如图，过B作直径BD，连CD，∴∠BCD=90°    ∵∠BAC=30°，∴∠D=∠BAC=30°，而BC=6，∴BD=2BC=12． ∴⊙O的直径为12； 故答案为12． 【点睛】本题考查圆的综合问题，灵活运用圆周角和直角三角形的有关性质求解是解题关键 ． 4．如图，的直径过弦的中点，若，则______． 【答案】64° 【分析】由的直径过弦的中点，可知AB⊥CD、，即BC=BD,可得∠BDC=∠BCD=26°，再由的直径，可知∠ADB=90°，最后运用角的和差解答即可． 【详解】解：∵的直径过弦的中点 ∴可知AB⊥CD、 ∴BC=BD ∴∠BDC=∠BCD=26° ∵的直径AB ∴∠ADB=90° ∴∠ADC=90°-∠BDC=90°-26°=64°． 故答案为64°． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及同圆等弧所对的弦相等，灵活运用圆的相关知识是解答本题的关键． 5．如图，是的直径，点D在的延长线上，点C在上，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，求点A到所在直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）已知点C在上，先连接，由已知，，得，，所以得到，根据三角形内角和定理得，即能判断直线与的位置关系． （2）要求点A到所在直线的距离，先作，垂足为E，由，得，在中，半径，所以，，从而求出． 【详解】（1）∵是等腰三角形，， ∴． 连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， 在中，又∵， ∴ ∴是的切线，即直线与相切． （2）过点A作，垂足为E． 在中，∵， ∴， ， 在中， ∵， ∴点A到边的距离为：． 【点睛】此题考查的知识点是切线的判定与性质，解题的关键是运用直角三角形的性质及30°角所对直角边的性质． ◆题型2圆与三角形的综合 1．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理及相似三角形的性质，解题思路是先求斜边和中位线的长度，再求点到的距离，最后利用勾股定理和垂径定理求；考查的知识点有勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理，用到的思想是转化思想，方法是几何图形中的长度计算方法，技巧是利用垂径定理将的长度转化为，解题关键是求出点到的距离，易错点是忽略垂径定理的应用导致无法将与建立联系． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的直径为5，半径， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选D． 2．如图，中，，点在上，过点，且与相切于点，连接．若，，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，连接，过点作于点，根据切线的性质可得，可证是角平分线，可得，运用锐角三角函数的计算得到，由此得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵过点，且与相切于点， ∴， 又，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：B ． 【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算，掌握切线和锐角三角函数的计算方法是关键． 3．如图，在中，，以为直径的交于点，的切线与相交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质定理，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，弧长的计算公式等知识点． 连接，连接，首先证明是的垂直平分线，得到，通过证明是等边三角形，得到，继而根据弧长计算公式得到答案． 【详解】解：如图，连接，连接， ∵是的直径， ∴，即， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴的半径， ∴． 4．如图，是的切线，点是上一点，连接，，连接并延长交于点，的延长线交于点，若，，则________． 【答案】 【分析】利用切线和平行线可证，结合推得，再由得，根据三角形外角的性质推出，最后由等角对等边求出． 【详解】解：是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ． 5．如图，是的直径，C、G是上两点，且，过点C的直线于点D，交的延长线于点E，连接，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，求的直径的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； (2) (3)的直径的长是 【分析】（1）要证明是的切线，连接，只要证明即可，根据题目中的条件，可以证明，再根据于点D，从而可以证明结论成立； （2）由（1）知，，则，即可得出，进而得出，继而得到，即可得解； （3）由（2）知，可得，，继而得出，，再根据，即可求出，进而求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， 即的直径的长是． ◆题型3圆与四边形的综合 1．如图，四边形内接于，是的直径，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆内姐四边形性质结合已知求出，从而由圆周角定理求得，，最后由直角三角形锐角互余可得结果． 【详解】解：连接， ， 四边形内接于， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查圆内接四边形性质，圆周角定理、直角三角形锐角互余；熟练掌握圆内接四边形性质、圆周角定理是解题的关键． 2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB为⊙0直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=（  ）． A．140° B．40° C．70° D．50° 【答案】C 【分析】连接OC，因为点C是弧BD的中点，所以可知∠COB=∠DAB，又因为OB=OC，可知∠ABC的度数． 【详解】 解：连接OC ∵点C为弧BD的中点 ∴∠COB=∠DAB=40° ∵OC=OB ∴∠ABC=∠OCB=70°． 故选：C． 【点睛】此题主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键． 3．如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【答案】 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 4．如图，四边形是的内接四边形，且， ，垂足分别为，若，则_____． 【答案】5． 【分析】连接DO并延长，与⊙O相交于点G，连接BG，CG，由AC⊥BD， DG是直径，可得∠DBG=90°=∠DCG可证AC∥BG，可得，可得AB=CG，由OF⊥CD，可证OF∥CG，可证△DOF∽△DGC，由性质，由OF=，可求CG即可． 【详解】解：如图，连接DO并延长，与⊙O相交于点G，连接BG，CG， ∵AC⊥BD，DG是直径， ∴∠DBG=90°=∠DCG， ∴BG⊥DB, ∴AC∥BG， ∴， ∴AB=CG， ∵OF⊥CD， ∴OF∥CG， ∴∠DOG=∠DGC ∴△DOF∽△DGC，， ∴， ∵OF=， ∴CG， 所以AB=CG=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质，掌握平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质是解题关键． 5．如图，经过正方形的顶点，，与相切于点，分别交，于点，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的值． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 经过正方形的顶点，， ， 是的直径， ， 四边形是矩形； (2) 【分析】（1）连接，根据正方形的性质及圆周角定理可得有三个内角是直角，即可得出结论； （2）连接交于点，连接，过点作于点，证明四边形、四边形和四边形均为矩形，推出，，，，设，，则，推出，，由勾股定理，构建关系式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点，连接，过点作于点， 经过圆心， ， 是的切线， ， 由（1）知四边形是矩形， ， ， ， ， 是半径， ， 同理可得四边形和四边形均为矩形， ，，， ， 设，，则， ， ，， ， 整理得， ， 或（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握知识点，利用参数构建方程是解题的关键． ◆题型4圆与函数的综合 1．如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题属于二次函数和圆的综合问题；、、的坐标，然后求出半圆的直径为，由于为定点，是半圆上的动点，为的中点，连接，可证明，所以的运动路径为以为直径的半圆，计算即可． 【详解】解：连接，． ， 点的坐标为， 令，则， 解得，，， ，， ， ∴， ∴轴．， ∴点在上， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的半圆， 点运动的路径长是． 故选：D 2．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA＝4，OB＝3，点C在边OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k的值是（　　）    A． B． C． D．﹣2 【答案】A 【分析】作PM⊥AB于M，PN⊥x轴于N，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质得PM＝PN＝r，再利用面积法求出r＝，接着证明△OBC为等腰直角三角形得到NC＝NB＝，于是得到P点坐标为（，），然后把P（，）代入y＝可求出k的值． 【详解】解：作PM⊥AB于M，PN⊥x轴于N，如图，设⊙P的半径为r， ∵⊙P与边AB，AO都相切， ∴PM＝PN＝r， ∵OA＝4，OB＝3，AC＝1， ∴AB＝5， ∵S△PAB+S△PAC＝S△ABC， ∴•5r+•r•1＝•3•1，解得r＝， ∴BN＝， ∵OB＝OC， ∴△OBC为等腰直角三角形， ∴∠OCB＝45°， ∴NC＝NB＝， ∴ON＝3﹣＝， ∴P点坐标为（，﹣）， 把P（，﹣）代入y＝得k＝×（﹣）＝﹣． 故选A．      【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 3．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则，    ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 4．如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，P半径为2，，，点Q是P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最大值是__________． 【答案】2+1 【分析】易求点P(4，4)，连接OP交P于点Q'，连接BQ'，因为OA=AB，CB=CQ，所以 AC=OQ，所以当OQ最大时，AC最大，Q运动到Q'时，OQ最大，由此即可解决问题. 【详解】点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等， ∴可设P(x，x)( x>0)，则x=解得x=±4(负值舍去）， 点P(4, 4)如图，连接OP交P于点Q'，连接BQ'，取BQ'的中点C'，连接AC'，此时A C'最大， ∵，，点C是QB的中点， ∴OA=AB，CB=CQ，AC=OQ， 当Q动到Q'时，OQ最大，此时AC的最大值AC'=OQ'= (OP+P Q') =2+1， 故答案为：2+1. 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型. 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点，交x轴于点，． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点B作线段的垂线交抛物线于点D，求点D的坐标； (3)如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明． 【答案】(1) (2) (3) 相交． 证明：连接，则， 抛物线交轴于两点坐标分别为，． 对称轴， ，，， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 抛物线的对称轴与相交． 【分析】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系等知识； （1）已知抛物线交轴于，交轴于、两点坐标分别为，，把以上三点的坐标分别代入抛物线，求出，，的值即可求出此二次函数的解析式； （2）过点作轴与点，设，再证明即可求解； （3）根据抛物线的解析式，易求得对称轴的解析式及、的坐标，分别求出线段、、的长度，再求出的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可． 【详解】（1）抛物线交轴于，交轴于两点坐标分别为， ， 解得 抛物线的解析式为：； （2）过点作轴与点． 点在抛物线上， 设点坐标为． ，， ，， ， ， ， ． 解得：或（舍去）． ． 点的坐标为． （3）略 ◆题型5 圆中动点最值问题 1．如图，在中，，，点D是AB上的动点，以BD为直径作圆O，连接CD交圆O于点E，则AE的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接BE，根据圆周角定理得出∠BED=90°，从而得出∠BEC=90°，确定点E在BC为直径的圆上；BC的中点P，连接AP，当点E在AP与圆P的交点处时，AE的值最小；然后运用勾股定理即可得出结论 【详解】解：连接BE    ∵BD是直径，∴∠BED=90°， ∴∠BEC=90°， 取BC的中点P，则点E在BC为直径的圆P上； 连接AP， ∴当点E在AP与圆P的交点处时，AE的值最小； 此时AE=AP-BC； 在RtABP中，AB=6，BP=2 AP=； ∴AE= 即AE的最小值是 故选：B 【点睛】本题考查了圆周角定理以及圆外一点与圆的最短距离问题，解题的关键是准确寻找点P的运动轨迹是圆，具有一定的难度． 2．在平面直角坐标系中，以点M（6，8）为圆心，2为半径的圆上有一动点P，若A（﹣2，0），B（2，0），连接PA，PB，则当PA2+PB2取得最大值时，PO的长度为（　　） A．8 B．10 C．12 D．10 【答案】C 【分析】设P（x，y），根据勾股定理可知PA2=（x+2）2+y2，PB2=（x﹣2）2+y2，OP2=x2+y2，所以PA2+PB2=2OP2+8，根据点P处于OM与圆的交点上时，OP最长可知OP=OM+2，由OM=10可知OP=12. 【详解】：设P（x，y）， ∵PA2=（x+2）2+y2，PB2=（x﹣2）2+y2， ∴PA2+PB2=2x2+2y2+8=2（x2+y2）+8， ∵OP2=x2+y2， ∴PA2+PB2=2OP2+8， 当点P处于OM与圆的交点上时，OP取得最值， ∴OP的长度为：OM+PM=10+2=12， 故选C． 【点睛】本题考查了圆的综合，设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最大值是解本题关键. 3．如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为____________ 【答案】100 【分析】设点P（x，y），表示出PA2＋PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可． 【详解】解：设P（x，y）， ∵PA2＝（x＋1）2＋y2，PB2＝（x−1）2＋y2， ∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2（x2＋y2）＋2， ∵OP2＝x2＋y2， ∴PA2＋PB2＝2OP2＋2， 当点P处于OM与圆的交点P处时，OP取得最大值，如图， ∴OP的最大值为OP＝OM＋PM＝＋2＝7， ∴PA2＋PB2最大值为2×72＋2＝100． 故答案为：100． 【点睛】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最大值，难度较大． 4．如图，为⊙O的直径，，点为半圆的中点，为上一动点，延长至点，使．若点由运动到，则点运动的路径长为_________． 【答案】4 【分析】连接AQ，AP．首先证明△ABP∽△QBA，则∠APB＝∠QAB＝90°，然后求得点P与点C重合时，AQ的长度即可． 【详解】解：如图所示：连接AQ，AP． ∵AB=4， ∴OC=2， ∵BP•BQ＝AB2， ∴． 又∵∠ABP＝∠QBA， ∴△ABP∽△QBA， ∴∠APB＝∠QAB＝90°， ∴QA始终与AB垂直． 当点P在A点时，Q与A重合， 当点P在C点时，AQ＝2OC＝4，此时，Q运动到最远处， ∴点Q运动路径长为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查的是圆的相关知识和相似三角形的判定和性质，证得△ABP∽△QBA是解题的关键． 5．如图，是的外接圆，是直径，弦平分，过点D作射线的垂线，垂足为点P，点E是线段上的动点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在点E运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：连接，交于点，如图， 为直径， ． ． 平分， ． ． ， 四边形为矩形． ． 为圆的半径， 是的切线； (2)存在，最小值为 【分析】（1）连接，交于点，通过证明四边形为矩形得出，利用切线的判定定理即可得出结论； （2）过点作，并延长交于点，连接，交于点，连接，利用将军饮马模型可知此时的值最小；由题意可得为圆的直径，在中，利用勾股定理即可求得结论． 【详解】（1）略 （2）在点运动过程中，存在最小值．理由： 过点作，并延长交于点，连接，交于点，连接，则此时的值最小，如图， ，， ． 平分， ． 与的度数为． 是直径， 的度数为． ． ，是直径， ． ． 为半圆． 为圆的直径． 由（1）知：是的切线， ． 由题意：垂直平分， ． ． ，， ． ， ． 由（1）知：四边形为矩形， ． ， ． 在中， ， ． ． 在中， ． 的最小值为． 【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理及其推论，轴对称的性质，角平分线的定义，解直角三角形，连接半径和利用轴对称中的将军饮马模型找出存在最小值是解题的关键． ◆题型6 正多边形和圆的综合 1．如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正六边形的内角公式，求得，进而求出、，于是可求出扇形的圆心角，再在中过点作于，利用已知条件先求出，再求出，最后利用扇形的面积公式即可求得结果． 【详解】解：正六边形的边长为1， ，， ， 同理可得：， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， 扇形（阴影部分）的面积． 2．如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，根据正多边形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据正多边形所有中心角和为，得出该正多边形为正十二边形，根据正十二边形的面积为即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，、是正多边形的相邻顶点，在外接圆上， ， ，和是外接圆的圆心角和圆周角， ， ∴， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为，即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 3．如图，边长为2的正六边形的中心为，则该正六边形的边心距为______． 【答案】 【分析】如图：连接，过O作于H，易得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，过O作于H， ∵点O是正六边形的中心，且正六边形的边长为2， ∴,, ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即该正六边形的边心距为． 4．如图，半径为2的与正五边形的两边，相切于A，C两点，则扇形（小于半圆）的面积是______． 【答案】 【分析】连接、，根据切线的性质得到，，根据正多边形的内角和公式求出正五边形的内角的度数，求出的度数，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：连接、， ∵，相切于A，C两点， ∴，， ∵正五边形的每个内角的度数为， ∵五边形的内角和为， ∴， ∴扇形（小于半圆）的面积是． 5．如图，已知正五边形内接于，连接，，． (1)求的度数； (2)若的半径为，求扇形（阴影部分）的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，扇形面积的计算，解题关键是掌握正多边形的性质与扇形面积公式． （1）由正五边形的性质，可得，即可解答； （2）根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：正五边形内接于， ； （2）由（1）得， 的半径为， 扇形（阴影部分）的面积为：． ◆题型7 圆（尺规作图） 1．下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：P为外一点   求作：经过P点的的切线 作法：如图   （1）连接 （2）以为直径作圆，与交于C、D两点 （3）作直线、，则直线、就是所求作经过P点的的切线 请回答，该作图的依据是________________________． 以上作图的依据是∶__________________________________________________________． 【答案】 经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 直径所对的圆周角为直角 【分析】首先明确点 、 在以为直径的圆上，依据直径所对的圆周角是直角，可得为直角，且是的半径，结合上述直角的结论，根据切线的判定定理，即可判断是的切线，同理可证是的切线． 【详解】解：连接， ∵ 在以为直径的圆上， ∴（直径所对的圆周角为直角），即， ∵是 的半径 ∴是 的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 同理可证是的切线． 2．如图，点A是外一点．    (1)过点A作的一条切线，点C是切点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，已知，求的值． 【答案】(1)   (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图、切线的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，再以点P为圆心，长为半径作，与的交点为点C，连接，根据是的直径得到，此时为的切线，点C即为所求； （2）过点C作于点H，结合切线的性质得到，进而求出，设、，根据勾股定理求出长，利用圆的基本性质求出长，在中，利用求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：过点C作于点H，   是的切线， ， ， 、， ， ， 设、，则， ， 在中，． 3．如图，已知经过A，C，D三点，点D在边上，，． (1)求作；（请保留尺规作图痕迹，不写作法） (2)求证：是的切线； (3)已知，，求的半径长． 【答案】(1)如图所示： (2)证明：连接，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； (3) 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，的长度为半径画圆，则即为所求作； （2）连接半径，由得；结合得，代入等量代换，推出，即，即可判定； （3）设半径，则．在中，根据勾股定理，代入得，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设，则，， 在中，由勾股定理得： 解得， ， 的半径长为． 4．如图，已知，请用尺规作图法作，使与直线 相切且圆心在射线上．(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】见解析 【分析】根据切线的性质，作点到直线的垂线即可． 【详解】解：如图，为所求．   ◆题型8 三角形内切圆与外接圆综合 1．在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内切圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ， ∵是的内切圆， ， ， ， 故选： C． 2．如图，O是的外心，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，连接，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵点O是的外心， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接．若，，则点O到的距离为______，的值为______． 【答案】 【分析】连接，并延长交于点P，则垂直平分，在中，根据勾股定理可得，设的半径为r，则，在中，根据勾股定理可得；根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到四边形是平行四边形，继而得到，然后根据，可得，自跟进，可得，即可求解． 【详解】解：连接，并延长交于点P，则垂直平分， ∵， ∴， 在中，， ∴， 设的半径为r，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 即点O到的距离为； ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆和外心、平行四边形的判定、平行线分线段成比例、圆周角定理等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 _______． 【答案】 【分析】根据题意，连接，根据内切圆的性质可得四边形是正方形，则，根据切线的性质可得，，设的半径为，则，运用勾股定理可得，则有，，由几何图形面积的计算公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直角三角形的内切圆，点为切点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形形是正方形， ∴， ∵点为切点， ∴，， 设的半径为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，切线长定理，特殊四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质是解题的关键． 5．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，BD⊥AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E． (1)求证：AE是⊙O的切线； (2)若BC＝8，，求⊙O的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）延长AO交BC于点F，连接OB、OC，根据等边对等角可得，，，，继而可得AF是∠BAC的角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质可得AF⊥BC，由平行线的性质可得AF⊥AE，继而根据切线判定定理即可求证结论； （2）根据题意易证∠CBE＝∠FAC＝∠E，继而可得tan∠FAC＝，由三角形外接圆性质和三角函数可得AF，连接OC，设OC＝r，则OF＝8﹣r，根据勾股定理列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：延长AO交BC于点F，连接OB、OC， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即AF是∠BAC的角平分线， ∵AB＝AC， ∴AF⊥BC，AF平分线段BC， ∵AE∥BC， ∴AF⊥AE， ∵OA是半径， ∴AE是⊙O的切线； （2）∵AE∥BC， ∴∠E＝∠CBE， ∵AF⊥BC，AC⊥BE， ∴∠FAC+∠ACB＝180°﹣∠AFC＝90°， 在△BCD中，∠CBE+∠ACB＝180°﹣∠BDC＝90°， ∴∠CBE＝∠FAC＝∠E， ∵， ∴tan∠FAC＝， 由（1）知，AF是BC的垂直平分线， ∴FC＝BC＝， ∴tan∠FAC＝， ∴AF＝2×4＝8， 连接OC， ∵AF＝AO+OF＝8，OA＝CD， ∴OF+OC＝8， 设OC＝r，则OF＝8﹣r， 在Rt△OFC中，，即， ∴r＝5， ∴⊙O的半径为5． 【点睛】本题考查切线的判定定理、勾股定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确作辅助线，熟练运用所学知识． 综合攻坚·知能拔高 1．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 2．如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 【详解】解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 3．如图，的半径为2，点A是上一动点，点C是外一点，，是等边三角形，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理以及点与圆的位置关系，在上方作等边三角形，以点为圆心，2为半径作，则点运动时，点在上运动，作的的高，延长交于点，当点与点重合时面积最大，根据勾股定理求出，可得，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：在上方作等边三角形，以点为圆心，2为半径作，如图， ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点运动时，点在上运动， 作的的高，延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时面积最大，即面积的最大值为， 故选：D． 4．已知，点A、B是CD为直径的⊙O上两点，分别在直径的两侧．其中点A是弧的中点，若tan∠ACB＝2，则sin∠BCD的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AB，连接AO，延长AO交BC于T．由tan∠ACT＝＝2，假设CT＝k，AT＝2k，设OA＝OC＝r，在Rt△OCT中，根据勾股定理，确定r，k之间的数量关系，由此计算即可． 【详解】解：连接AB，连接AO，延长AO交BC于T． ∵点A是弧的中点， ∴AT⊥BC， ∵tan∠ACT＝＝2， ∴可以假设CT＝k，AT＝2k，设OA＝OC＝r， 在Rt△OCT中， ， ∴， ∴r＝k， ∴OT＝AT﹣r＝k， ∴sin∠BCD＝==， 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形，垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 5．如图，在中，，是弦，点D在的延长线上，连接，，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，得出，，根据等腰三角形的性质得出，，则，求出，根据等腰三角形的性质得出，即，求出x的值，最后根据平行线的性质得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，圆与三角形的综合，三角形内角和定理的应用，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 6．如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____． 【答案】/ 【分析】过作于，于，于，根据已知条件推出四边形是正方形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过作于，于，于， ∵， ∴四边形是矩形， ∵是的内心， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，四边形的外接圆的半径为，的切线与的延长线交于点，连接、，已知，，，则______． 【答案】 【分析】本题为圆的综合几何题，解题时先作直径、辅助线与，利用切线性质、平行线性质与垂径定理证得；再结合圆周角定理与勾股定理，由求出；接着通过平行线性质、同弧圆周角相等与圆内接四边形性质，证得；在与中，由勾股定理求出，进而得到；再通过角度推导证得，结合相似三角形的比例关系，联立求解最终算出． 【详解】解：作直径，连接，则，作，垂足为， ∵是的切线， ∴，又， ∴， 由垂径定理得：， ∴，， ∵，， ∴，即， 设， ， 由勾股定理：， 解得， 故，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵四边形是外接圆， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， 即：， 解得：， ∴， 同理，在中，可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：． 8．如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是______． 【答案】60° 【分析】根据菱形的性质得到∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＋∠ABC＝180°，计算即可． 【详解】解：∵四边形OABC为菱形， ∴∠AOC＝∠ABC， 由圆周角定理得：∠ADC＝∠AOC， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 9．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______． 【答案】 【详解】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90° ∵四边形BCDE是正方形 ∴BO＝CO，∠BOC＝90° ∵△AOF是等腰直角三角形 ∴AO＝FO，AFAO ∵∠BOC＝∠AOF＝90° ∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO ∴△AOB≌△FOC（SAS） ∴AB＝CF＝4 若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF； 若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF ∴AF≤AC+CF＝2+4＝6 ∴AF的最大值为6 ∵AFAO ∴AO的最大值为3． 故答案为：3 10．如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为______． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，作，易得为等边三角形，三线合一，结合勾股定理，求出的长，即可． 【详解】解：连接，作， ∵边长为2的正六边形内接于， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴； ∴它的内切圆半径为； 故答案为： 11．如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【答案】(1) (2) (3)， 证明如下：连接， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内心，等角对等边等知识点，熟练掌握相关定理，性质，是解题的关键． （1）圆内接四边形的性质，得到的度数，圆周角定理，得到，再利用三角形的内角和定理，求出的度数即可； （2）同法（1）求出的度数，等弧所对的圆周角相等，得到，根据三角形的内角和定理，得到与的数量关系； （3）连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，结合三角形的外角和圆周角定理，得到，等角对等边，得到，圆周角定理得到，进而得到，得到． 【详解】（1）解：∵内接于，是上任意一点， ∴四边形为圆内接四边形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）同（1）法可得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3） 略 12．如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 【答案】(1)过点作于点，连接、． ∵是等腰三角形，是底边中点， ∴，且平分． ∵与相切于， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴也等于的半径， ∴是的切线． (2)①是等腰直角三角形，证明如下： ∵是的直径 ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形． ②． 【分析】（1）过点作的垂线，记垂足为点H，因为与相切，所以到的距离等于半径，结合等腰三角形三线合一、角平分线的性质，证明到的距离等于半径即可． （2）①因为是的直径，所以先由直径所对圆周角是直角确定为直角，再结合角平分线的条件得到弧和弧相等，所以对应弦，据此判断三角形形状．②先在中用勾股定理求长度，得到的半径，再结合角平分线定义求出度数，根据圆周角定理求出的度数，最后用扇形的面积减去的面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）略． （2）①略． ②连接， ∵在中，，，， ∴， ∴的半径． ∵平分， ∴， ∴． ∴扇形的面积：． ∵的面积：： ∴． 13．如图，的半径为1，A，P，B，C是上的四个点，． (1)请判断的形状？说明理由； (2)当点P位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积． 【答案】(1) 是等边三角形．理由如下： 在中，∵与是所对的圆周角，与是所对的圆周角， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； (2)当点P为的中点时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及圆内接四边形面积的最值问题，解题的关键是利用圆周角定理判定三角形形状，通过拆分四边形面积并结合圆的直径性质求面积最大值． （1）由同弧所对的圆周角相等，结合，得，判定为等边三角形； （2）将四边形面积拆分为与的面积和，转化为，当P为中点时，取最大值（等于直径），结合等边三角形边长计算最大面积． 【详解】（1）略 （2）解：当点P为的中点时，四边形的面积最大．理由如下： 如图，过点P作，垂足为E．过点C作，垂足为F． ∵••， ∴•， 当点P为的中点时，为的直径， ∴此时四边形的面积最大． 又∵的半径为1， ∴其内接正三角形的边长， ∴． 14．如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为下方抛物线上一点，过点作轴交抛物线于点，轴交于点，若，求点的横坐标； (3)如图2，为抛物线第二象限上一点，过，，三点作，过点作轴交于点，求点纵坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点，，代入即可解决题． （2）求出直线的解析式为，设，，根据抛物线对称轴为直线，得点，得，，根据，得，解方程即可； （3）设圆心为P，（其中），设直线交x轴于点Q，由轴，得出轴，设，则，分当点N在线段上时，当点M在线段上时，运用圆内接四边形对角性质，相似三角形的判定和性质解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：设直线的解析式为， ，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 则， ∴， ∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点D与点P关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，（不合），， 当时，（不合），（不合）， 综上，， 故点的横坐标为． （3）解：设圆心为P，（其中），设直线交x轴于点Q， ∵轴， ∴轴， 设， 则， 当点N在线段上时， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为抛物线第二象限上一点， ∴， ∴． 当点M在线段上时， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，． 故点纵坐标为1． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式及一次函数的解析式，二次函数的图象和性质及一次函数的图象和性质，圆内接四边形性质，二次函数与线段综合，二次函数与相似三角形综合，是解题的关键． 15．如图，，是的两条互相垂直的直径，，点在上，连接，．过点作交的延长线于点，．点在线段上，． (1)若，求的长； (2)求证：是的切线； (3)当点在上运动时，试求线段的最大值． 【答案】(1) (2) 证明：如图，连接，则， ∴， ∵， ∴． 由（）知，， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； (3) 【分析】（）由圆周角定理得，再根据直角三角形的性质即可求解； （）连接，由等腰三角形的性质及已知可得，进而由得到，即得到，即可求证； （）过点作，交于点，以点为圆心，为半径作圆，连接，的延长线交于点，由得，进而得，，得到点在上，可知当、、在同一直线上，即与重合时，最大，即为的长，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴； （2）略 （3）解：如图，过点作，交于点，以点为圆心，为半径作圆，连接，的延长线交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在上， ∴当、、在同一直线上，即与重合时，最大，即为的长， ∵， ∴在中，， ∴， ∴线段的最大值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $