培优专题01 圆的基本性质综合题型归纳（专项训练）数学新教材湘教版九年级下册

培优专题01 圆的基本性质综合题型归纳 常考题型·精准突破 考点1：垂径定理 题型1. 垂径定理搭配勾股定理计算（高频） 题型2. 利用垂径定理求平行弦问题 题型3. 利用垂径定理求同心圆问题 题型4. 垂径定理的推论（重） 题型5. 垂径定理实际应用 考点2：圆心角 题型1. 圆心角、弧、弦互推等量关系（高频） 题型2. 圆心角相关证明（证弧相等、弦相等） 题型3. 圆心角与扇形面积综合题型 考点3：圆周角 题型1. 圆周角定理 题型2. 同弧、等弧所对圆周角相等倒角计算（重） 题型3. 直径所对圆周角为直角模型计算（高频） 题型4. 90度的圆周角所对的弦是直径 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 垂径定理 ◆题型1垂径定理搭配勾股定理计算 1．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长度． 【详解】解：，， ，， ， 在中，， ． 2．如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】通过垂直弦这一条件想到垂径定理得到，再利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解： 连接， ∵，且， ∴， 设圆的半径为R， ∵， 则在中，有即， 解得，即， 故选项D符合题意． 3．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，故可得出答案． 【详解】解：过点作轴于点，连接， ，， ， 在中   ，       4．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 5．如图，在中，半径为5， (1)请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； (2)求的长． 【答案】(1) 解：如图所示： (2) 【分析】（1）根据题意作图，即可； （2）根据垂径定理可得，进而根据勾股定理，求得，再求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∵半径， ∴在中，， ∴． ◆题型2利用垂径定理求平行弦问题 1．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】由OD⊥BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位线，则可求得OD的长． 【详解】解：∵OD⊥BC， ∴CD＝BD， ∵OA＝OB，AC＝4 ∴OD＝AC＝2． 故选C． 【点睛】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 3．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =______． 【答案】 【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算． 【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 4．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____． 【答案】3 【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点O作OH⊥CD于H， 连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4， 在Rt△OCH中，OH＝＝3， 所以CD与AB之间的距离是3． 故答案为3． 【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键． 5．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． (2) 证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． ◆题型3利用垂径定理求同心圆问题 1．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 2．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于，两点，若，则两圆之间的圆环的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，连接，过点O作，得出，进而求出结论． 【详解】解：连接，过点O作， ， ，即， ， 由圆环的面积公式可得： ， 故选：D． 3．如图，在等腰直角三角形中，，，点是的中点，以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】/ 【分析】根据垂径定理可得，，由此求出，观察图形可得图形关于的轴对称图形，阴影部分面积等于. 【详解】解：∵，， ∴， ∵点是的中点，即， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积等于 ， 4．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点． (1)求证：AC＝BD； (2)连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长． 【答案】(1) 证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示： ∵OH⊥CD， ∴CH＝DH，AH＝BH， ∴AH﹣CH＝BH﹣DH， ∴AC＝BD； (2) 【分析】（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，即可得出结论； （2）过O作OH⊥CD于H，连接OD，由垂径定理得CH＝DH＝CD，再证△OCD是等边三角形，得CD＝OC＝4，则CH＝2，然后由勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示： 则CH＝DH＝CD， ∵OC＝OD，∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴CD＝OC＝4， ∴CH＝2， ∴OH＝＝＝2， ∴AH＝＝＝2， ∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2． 【点睛】本题考查垂径定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． ◆题型4垂径定理的推论 1．如图，内接于，，点在上，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，令的交点为，先求出，再利用垂径定理及三角形内角和定理得到，最后求出等腰三角形的底角的度数即可. 【详解】解：连接， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴即：， ∴， ∵， ∴. 2．如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过，，三点，则这条圆弧所在圆的半径长为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中圆弧所在圆的半径计算，解题核心是利用垂径定理的推论确定圆心，再结合勾股定理计算半径． 【详解】解：圆弧经过，，三点，连接，， 圆心在和垂直平分线的交点， 半径． 3．如图，的半径为5，弦的长为8，点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，则的长为________． 【答案】2 【分析】连接，根据垂径定理推论可得，，勾股定理求出，即可得． 【详解】解：连接， ∵点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，弦的长为8， ∴，， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 5．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，，求的半径．      【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，连接，由垂径定理的推论得，，设的半径长为m，则，，在中，由勾股定理得，解方程即可求解，掌握垂径定理的推论是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是弦的中点，， ∴，， 设的半径长为m，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径长为．    ◆题型5垂径定理实际应用（拱桥、管道截面） 1．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 2．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，交于点，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∴， 由勾股定理得， ∴． 3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 【答案】 【分析】由垂径定理可得的长，设的半径为，则可用含的式子表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：， 米， （米） ． 设的半径为米，则，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 4．如图为一条排水管的截面，若半径，水面宽，则排水管内水的最大深度为________； 【答案】4 【分析】过点作于点，延长交于点，利用垂径定理求出，再结合勾股定理求出，进而即可求出排水管内水的最大深度． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ， ， ， ， ， 即排水管内水的最大深度为4． 5．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 考点二 圆心角 ◆题型1 圆心角、弧、弦互推等量关系 1．如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，．求出的度数，利用弧长公式进行解答即可． 【详解】解：连接，． 点C是弧的中点， ， ． ， ， ， ∴弧的长． 2．如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先得到，然后求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，最后根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长求解即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 设圆锥的底面圆的半径为，则， 解得． 3．如图，的两弦、相交于点P，且，连接．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】连接，，，，根据圆周角定理得到，，，根据角的和差及等量代换，三角形外角的性质求出，最后利用等腰三角形的性质求解． 【详解】解：连接，，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 4．如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据题意，则，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵是的直径， 又∵点是的中点， ∴是整圆的，即， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）连接，根据垂径定理，以及弧、弦、圆心角之间的关系推出，再结合圆周角定理求解即可； （2）利用勾股定理推出，再结合垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：连接． ∵，且为的半径， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． ◆题型2 圆心角相关证明（证弧相等、弦相等） 1．如图，已知A，B，C，D是同一圆上的点，相交于点，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，圆心角，弧，弦之间的关系，先证明可判断A，B，再证明，可判断D，进一步记圆心为，连接，可判断C. 【详解】解：∵A，B，C，D是同一圆上的点，相交于点，， ∴， ∴，故A，B不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，故D不符合题意； 如图，记圆心为，连接， ∵不一定相等， ∴不一定相等；故C符合题意； 故选：C 2．如图，在中，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， 即， ， 和无法确定相等， 无法判断， 故选：D． 3．如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点作交于点，先根据垂径定理证明，，根据等弧所对的圆心角相等可得，再证，可得，进而推出． 【详解】解：过点作交于点，连接． ，， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 即， 故答案为：． 4．如图，在中，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的数量关系证明是等边三角形，再结合等边三角形性质即可证明． 【详解】略 5．如图，的弦与半径，相交于点，，，求证：． 【答案】证明：过点作，交于点，交于点，如图， ∴，． ， ． 又， ， ∴． ． ， ． 【分析】过点作，交于点，交于点，由垂径定理得到，，然后由三线合一得到，推出，进而证明即可． 【详解】略 ◆题型3 圆心角、弧、弦互推等量关系 1．如图，扇形中，，将扇形沿方向平移得到扇形，当恰好经过的中点，时，图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，求扇形面积，平移的性质，熟练掌握勾股定理和求扇形面积是解题的关键． 先求出，再推出，求解即可． 【详解】解：连接， ∵经过的中点， ∴， ∴， 由勾股定理得， 即， 则， ∴， 故选：B． 2．如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，可得，，都是等边三角形，从而得弓形的面积弓形的面积，进而得阴影部分的面积的面积，进而即可求解． 【详解】连接，，， 是等边三角形， ，， ， ，，，都是等边三角形， ， 弓形的面积弓形的面积， 阴影部分的面积的面积， ， 是等边三角形，边长为， 过点作于点，则，， 的面积， 阴影部分的面积． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧与圆心角的关系，圆的对称性，得出阴影部分的面积等于的面积是解题的关键． 3．如图，半圆的直径，、是半圆的3等分点，则阴影部分面积等于______．（保留） 【答案】 【分析】连接，由知，从而可得，根据C、D是半圆的3等分点且知，利用扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， 则， ∵C、D是半圆的3等分点，且， ∴， 则． 4．如图，直径，弦，且C、D是半圆的三等分点，则弦、、弧所围成的阴影部分的面积等于_________． 【答案】 【分析】根据半圆弧的三等分点，可得的度数，再根据平行线的性质得出，进而将问题转化为即可． 【详解】解：如图，连接，， 点，点是半圆弧的三等分点， ， ∵直径， ∴， ∵， ， ． 考点三 圆周角 ◆题型1圆周角定理 1．如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．如图，点均在上，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形性质求出圆心角，再利用圆周角定理求解． 【详解】解：， ， ， 与是同弧所对的圆周角与圆心角， ． 3．如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． 【答案】 【分析】连接，设，的半径为，根据弧长公式得到，由圆周角定理和已知条件推出，据此由弧长公式可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，设，的半径为， ∵的长度为， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴的长度是． 4．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 【答案】/45度 【分析】连接，，根据弧长公式求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：如图，连接，， 设， ∵的长为， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，点，，，在中，若， (1)求证：； (2)若，半径为1，则______． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，弧与弦的关系，弧长公式等知识点． （1）由弧与弦的关系证明即可； （2）连接，则由圆周角定理可得，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． ◆题2同弧、等弧所对圆周角相等倒角计算 1．如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同弧对等角和对顶角相等推出和的度数，最后根据内角和定理即可求出度数． 【详解】解：由图可知，，， ，， ，， ． 2．如图，等腰内接于，点为左侧圆周上一点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，最后根据同弧所对的圆周角相等即可得到的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 3．如图，的直径弦，垂足为点，，则______． 【答案】 【分析】根据垂径定理得，继而得到，可得答案． 【详解】解：∵的直径弦，， ∴， ∴． 4．如图，在中，，，以为直径作半圆O，分别交，于点D，E．若D是的中点，则的长为___________． 【答案】 【分析】连接，，由圆周角定理得，求出，再由题意得出，从而可得，求出，最后由弧长公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，． 为直径， ， ． D是的中点， ， ， ． ， ， ， 的长为． 5．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得，根据三角形外角性质求解即可； （2）过点O作于点E，则，根据垂径定理以及三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到， ∵，， ∴； （2）解：过点O作于点E，则圆心O到的距离，， ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． ◆题型3直径所对圆周角为直角模型计算 1．如图，是的直径，是上一点，若，，则的长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先利用直径所对的圆周角为直角确定为直角三角形，再结合角的性质与勾股定理计算的长度． 【详解】解：∵是的直径，点C在上， ∴，即是直角三角形． 在中，， ∴， ∴． 2．如图，，，是的直径，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和求出，再根据直径得到，求出，根据圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 4．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，由等边对等角得到，则可求出，再由可得． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 5．如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，则，根据角平分线的定义可得，由，推出，即可得证； （2）由题意可得，，则，根据得到，推出，证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 四边形是矩形， ． ◆题型4 90度的圆周角所对的弦是直径 1．如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角确定四点共圆，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵与所对的弧为， ∴． 2．如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，通过弧相等，得出对应圆周角相等，即可推断出的大小． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∴， ∵优弧所对圆周角为， ∴， 又∵点为弧的中点， ∴， ∴． 3．以为中心点的量角器与直角三角板按如图的方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么__________度． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理及平角的定义. 根据量角器读数确定圆心角的度数，利用互补关系求出，再根据圆周角定理计算的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ，为的直径 点在上 由题意得： 与分别是所对的圆周角和圆心角 ． 4．数学活动课上，同学们用如图所示直径为的圆形材料加工成一种扇形模具部件，已知扇形的圆心角，则扇形部件的面积为________．（结果保留） 【答案】 【分析】先确定扇形的半径，再根据扇形面积公式进行面积计算． 【详解】解：连接， ∵， ∴是圆的直径，即． 在中，，根据勾股定理， ∴，解得：，即扇形半径． ∴． 5．四边形中，． (1)如图1，经过、、三点作，求证：点在上； (2)如图2，连结、，若，求证：． 【答案】(1)证明：连接， ，且经过、、三点， 为直径， ， 点在上． (2)证明：取中点O，连接，， ∵， ∴ ， 垂直平分 ． 【分析】（1）连接，由，且经过、、三点，得到为直径，再根据，得到点在上． （2）取中点O，连接，，由直角三角形斜边中线得到，即可得到垂直平分，得到． 【详解】（1）略 （2）略 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长度． 【详解】解：，， ，， ， 在中，， ． 2．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 3．如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据弧，弦，圆心角的关系，易得，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点B是的中点， ， ， ， ， ． 4．如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 5．如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明为等腰直角三角形．设，则，根据勾股定理求得的值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ． 又， ， 为等腰直角三角形． 设，则， 根据题意得：， 即， 解得：，(不符合题意，舍去)， ∴． 6．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 【答案】30° 【分析】由“圆内接四边形对角互补”得到，由“直径所对的圆周角等于”得到，最后． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ，（圆内接四边形对角互补） 又， ． 是的直径， ， ． 7．如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】先根据圆的半径相等得到，利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数，再根据旋转的性质得到，利用在同圆中相等的弦所对的圆心角相等即可求解． 【详解】解：在中，， ， ． 弦绕圆心顺时针旋转得到弦， ， ． 8．如图，是的直径，已知，，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，由圆心角的性质可得，进而可判断是等边三角形，因此． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 9．如图，线段是的直径，弦，如果，那么________． 【答案】 【分析】由垂径定理可知，根据同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半即可解答． 【详解】解：是的直径，弦， ， ． 10．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 11．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴． 又∵于点， ∴． ∵是的半径，， ∴， ∴， ∴； (2)的半径是． 【分析】（1）根据等角对等边得到，根据三线合一得到，根据垂径定理得到，可知； （2）连接，根据垂径定理得到，，设的半径是，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， ∵，为的弦， ∴，， ∴， 设的半径是， ∴， 解得． ∴的半径是． 12．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)∵是的直径， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴． ∴． (2)10 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角与，得垂直于，根据垂径定理可得平分弧，进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为；由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， ∵， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 在中，由勾股定理， 代入得 ， 解得． 因此，的半径为． 13．如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)BE＝ 【分析】本题考查了圆的相关性质和等腰三角形的性质． （1）由垂直关系得出，再由为的中点得出，从而，故； （2）由结合，可得出的长． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 为的中点， ， ，‘ ， ； （2）解：为的中点，， ， ． ，由（1）知， 在中，． 在中，由等面积法，得， ， ． 14．如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)解：连接． 是的高， ． ． ， ， ， 在与中， ， ． (2) 【分析】（1）连接，先根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理推导出，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）连接．先利用圆周角定理可得，进而可证明为等边三角形得到，结合全等三角形的性质可得，最后利用圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ， ． ， 为等边三角形， ． ， ， ， ． 15．如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题01 圆的基本性质综合题型归纳 常考题型·精准突破 考点1：垂径定理 题型1. 垂径定理搭配勾股定理计算（高频） 题型2.利用垂径定理求平行弦问题 题型3.利用垂径定理求同心圆问题 题型4.垂径定理的推论（重） 题型5. 垂径定理实际应用 考点2：圆心角 题型1. 圆心角、弧、弦互推等量关系（高频） 题型2. 圆心角相关证明（证弧相等、弦相等） 题型3. 圆心角与扇形面积综合题型 考点3：圆周角 题型1.圆周角定理 题型2. 同弧、等弧所对圆周角相等倒角计算（重） 题型3. 直径所对圆周角为直角模型计算（高频） 题型4. 90度的圆周角所对的弦是直径 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 垂径定理 ◆题型1垂径定理搭配勾股定理计算 1．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 2．如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 4．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 5．如图，在中，半径为5， (1)请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； (2)求的长． ◆题型2利用垂径定理求平行弦问题 1．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 3．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =______． 4．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____． 5．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． ◆题型3利用垂径定理求同心圆问题 1．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 2．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于，两点，若，则两圆之间的圆环的面积是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在等腰直角三角形中，，，点是的中点，以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 4．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点． (1)求证：AC＝BD； (2)连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长． ◆题型4垂径定理的推论 1．如图，内接于，，点在上，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过，，三点，则这条圆弧所在圆的半径长为（     ） A． B． C．2 D． 3．如图，的半径为5，弦的长为8，点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，则的长为________． 4．如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 5．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，，求的半径．      ◆题型5垂径定理实际应用（拱桥、管道截面） 1．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 2．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为（     ） A． B． C． D． 3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 4．如图为一条排水管的截面，若半径，水面宽，则排水管内水的最大深度为________； 5．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 考点二 圆心角 ◆题型1 圆心角、弧、弦互推等量关系 1．如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 3．如图，的两弦、相交于点P，且，连接．若，则的度数为______． 4．如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 5．如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． ◆题型2 圆心角相关证明（证弧相等、弦相等） 1．如图，已知A，B，C，D是同一圆上的点，相交于点，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则_______．（填“”“”或“”） 4．如图，在中，，．求证：． 5．如图，的弦与半径，相交于点，，，求证：． ◆题型3 圆心角、弧、弦互推等量关系 1．如图，扇形中，，将扇形沿方向平移得到扇形，当恰好经过的中点，时，图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 3．如图，半圆的直径，、是半圆的3等分点，则阴影部分面积等于______．（保留） 4．如图，直径，弦，且C、D是半圆的三等分点，则弦、、弧所围成的阴影部分的面积等于_________． 考点三 圆周角 ◆题型1圆周角定理 1．如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，点均在上，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 3．如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． 4．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 5．如图，点，，，在中，若， (1)求证：； (2)若，半径为1，则______． ◆题2同弧、等弧所对圆周角相等倒角计算 1．如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（     ）    A． B． C． D． 2．如图，等腰内接于，点为左侧圆周上一点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，的直径弦，垂足为点，，则______． 4．如图，在中，，，以为直径作半圆O，分别交，于点D，E．若D是的中点，则的长为___________． 5．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． ◆题型3直径所对圆周角为直角模型计算 1．如图，是的直径，是上一点，若，，则的长为（     ） A．2 B．4 C． D． 2．如图，，，是的直径，则等于（     ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 4．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 5．如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． ◆题型4 90度的圆周角所对的弦是直径 1．如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 3．以为中心点的量角器与直角三角板按如图的方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么__________度． 4．数学活动课上，同学们用如图所示直径为的圆形材料加工成一种扇形模具部件，已知扇形的圆心角，则扇形部件的面积为________．（结果保留） 5．四边形中，． (1)如图1，经过、、三点作，求证：点在上； (2)如图2，连结、，若，求证：． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 2．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 3．如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 5．如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则(     ) A． B． C． D． 6．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 7．如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为_____． 8．如图，是的直径，已知，，，则的长为______． 9．如图，线段是的直径，弦，如果，那么________． 10．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 11．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 12．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 13．如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 15．如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优专题01圆的基本性质综合题型归纳 常考题型：精准突破 。考点一垂径定理●一 ◆题型1垂径定理搭配勾股定理计算 1.C 2.D 3.(3,2) 4 29 5. 【详解】(1) 解：如图所示： (2),OC⊥AB. .AC=CB-1AB-3, 2 ∠AC0=90° 半径OA=5, ∴.在Rt△AC0中，0C=VOA2-AC2=V52-32=4, .CD=OD-OC=5-4=1 ◆题型2利用垂径定理求平行弦问题 1.A 2.C 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.2 4.3 5. (1) 证明：如图，连接EO, E B o 过点，为 的中点， C D EO O E AB ∴.EO⊥AB (2) 证明：延长EO交CD于F. E A B C D .EO⊥ABAB∥CD ∴.EF⊥CD EF过点O, ..CF=DF, .EF垂直平分CD ∴.EC=ED ◆题型3利用垂径定理求同心圆问题 1.D 2.D 9π 3.16 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 【详解】(1)证明：过O作OH⊥CD于H,如图1所示： H D 7B 图1 ..OHLCD, ∴.CH=DH,AH=BH, ..AH-CH=BH-DH, ∴.AC=BD: (2)解：过O作OH⊥CD于H,连接OD,如图2所示： 图2 则CH=DH=2CD, OC=OD,∠OCD=60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴.CD=OC=4, ∴.CH=2, ∴.OH=V0C2-CH2=√42-22=2V3, .AH=N0-0m=V62-(2W3)2=26, ∴.AC=AH-CH=2V6-2. 【点睛】本题考查垂径定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识：熟练掌握垂径定理和勾股定 3/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理是解题的关键。 ◆题型4垂径定理的推论 1.C 2.B 3.2 4.5 5. 【详解】解：如图，连接OA, ,C是弦AB的中点，AB=2m, OC L AB' 设⊙0的半径长为rm,则OA=OD=m, CD=3m. ..OC=CD-OD=(3-r)m. 在Rt△ACO中，AC2+OC2=OA, 1P+3-r2=r2, 解翻多 5 o0的半径长为3m. D ◆题型5垂径定理实际应用（拱桥、管道截面） 1.B 2.A 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.5 4.4 5. 【详解】(1)解：连接OA, 由题意得：D=21B=30米，0D=(-18)米， 在RtsADO0中，有r2=302+(-18)2,解得r=34米： (2)解：连接OA'. OE=OP-PE=30米， ∴在Rt△AE0中，AE=VA'O-OE2=16(米)， .AB=32米 AB=32>30 ∴.不需要采取紧急措施。 ●考点二圆心角● ◆题型1圆心角、弧、弦互推等量关系 1.B 2.B 3.44° 4.65 5. 【详解】(1)解：连接OB 5/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :OA L BC,且OA为O0的半径， .BE=EC,AB=AC. .∠A0C=58°， ∴.∠B0A=∠AOC=58°. ∠ADB= 2<B01=29 (2)解：OB=OA=5,OE=3, BE=VOB2-0E2=V52-32=4, ∴BC=2BE=8 ◆题型2圆心角相关证明（证弧相等、弦相等） 1.c 2.D 3.> 4. 证明：AB=AC, .AB=AC. ,∠ACB=60°， “.△ABC是等边三角形 .AB=BC=CA, .∠AOB=∠BOC=∠AOC 5. 证明：过点O作OM⊥AB,交AB于点M,交⊙O于点N,如图， 6116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B F ∴AM=BM,AN=BN」 AC=BD. :CM=DM. 又OM⊥CD, ∴.OC=OD. ∴.∠EON=∠FON .EN =FN :AN-EN BN-FN, ..AE=BF. ◆题型3圆心角、弧、弦互推等量关系 1.B 2.A 25 3.6 4. 6 ●考点三圆周角。一 ◆题型1圆周角定理 1.C 2.C 3.4π 4.45° 5. 【(1) 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：，BC=AD, ∴.BC=AD .BC+AB=AD+AB. .AC=BD .AC=BD: (2)解：连接OA,OB, B D ,∠ACB=30°， :.∠AOB=2∠ACB=60°， 60π×1_π AB的长为：180=3， 故答案为：3 ◆题2同弧、等弧所对圆周角相等倒角计算 1.A 2.B 3.29° 4 5. 【详解】(1)解：根据同弧所对的圆周角相等可得到∠CAB=∠CDB=40°， :∠APD=66°，∠APD=∠B+∠CDB, .∠B=66°-40°=26°， (2)解：过点O作OE⊥BD于点E,则圆心O到BD的距离OE=4,BE=DE, 8116 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B P D O是AB的中点， .OE是△ABD的中位线， .AD=2OE=8」 ◆题型3直径所对圆周角为直角模型计算 1.C 2.B 3.14 4.B=2a-90° 5. (1)证明：~BD是⊙O的直径， .∠BAD=90°， .∠ABO+∠ADB=90°， DA平分∠BDE, .∠ADB=∠ADE, :AE⊥CD ∴.∠AED=90°， .∠EAD+∠ADE=90°， .∠ABO=∠EAD; (2)EH=5 (2)解：由题意可得，OB=OA=5, ∴.∠ABO=∠BAO. ∠ABO=∠EAD, .∠BAO=∠EAD, ·∠BAD=90° 9/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BA0+∠OAD=90° .∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°， AE⊥CD,OH⊥CD, ∴四边形AOHE是矩形， ∴.EH=OA=5 ◆题型490度的圆周角所对的弦是直径 1.C 2.A 3.65 1 4.8a 5. (1)证明：连接AC, D ,且经过、、三点， 图1 .∠ABC=90° ⊙OABC .AC为⊙0直径， :∠ADC=90°， 点D在O0上 (2)证明：取AC中点O,连接OB,OD, D B C ∠ABC=∠ADC=90° ∴OB=0D= 10/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AC⊥BD ∴·AC垂直平分BD .AB=AD 综合攻坚知能拔高 1.C 2.C 3.B 4.A 5.A 6.30° 7.110° 8.3 9.34° 11. (1)证明：：∠A=∠B, ..OA=OB 又：OE⊥AB于点F, .AF =BF. :OE是⊙O的半径，OE⊥AB, ..CF=DF, .AF-CF BF-DF, .AC=BD; (2)解：如图，连接OC, 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E :OE⊥AB,CD为⊙O的弦， CF=2CD=4,∠0FC=90, .C02=CF2+0F2, 设⊙0的半径是r, 2=42+0-3, 25 解得'=6· 25 “00的半径是6： 12. (1)AB是⊙0的直径， ∠ADB=90°， 又OC BD, ∴∠AEO=∠ADB=90°， 即OC⊥AD .AC=CD」 :.∠AOC=∠COD (2)解：设⊙0的半径为'， CE=4, ..OE=OC-CE=r-4 AD=16,由(1)知，OC⊥AD, :E-号4D=8 在Rt△AOE中，由勾股定理AE2+OE2=OA2, 代入得82+(r-4)2=r2, 12/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得r=10 因此，⊙0的半径为10 13. 【详解】(1)证明：“4C是⊙0的直径， .∠ABC=90°， ∴.∠A=90°-∠ACB BE⊥AC, ∠CEB=90°， ∴∠EBC=90°-∠ACB, ∴.∠EBC=∠A」 :B为CD的中点， .BD=BC, ∴∠DCB=∠A, .∠EBC=∠DCB, .BF=CF (2)解：B为CD的中点，BD=2, .BD=BC, ..BC=BD=2 :AB=4,由(1)知∠ABC=90° :在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=V4?+2=25 在Rt△ABC中，由等面积法，得Sc=ACBE=)BBC, X2J5BE- 二×4×2. .2 BE=45 5 14. (1)解：连接BG 13/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E B C 是 的高， .AD、BE△ABC ∴.∠AEH=∠BDH=90° ∠AHE=∠BHD ∠DBH=∠EAH, ∠CBG=∠CAG, ∴.∠HBD=∠GBD, 在△BDH与△BDG中， [∠HBD=∠GBD BD=BD ∠BDH=∠BDG=90° ∴△BDH≌△BDG(ASA) ∴.DH=DG (2)解：连接OB、OG :∠BAD=30° ∴∠B0G=2∠BAG=60°， .OB=OG. ∴△OBG为等边三角形， ..BG=OB=OG △BHD≌△BGD, .BH=BG=4. ∴.0B=0G=4, 14/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .S=42π=16π. 15. 【详解】(1)解：“AC为O0的直径， ∴∠ABC=90°， AB=BC, 2Bac=∠B8CA=080-∠4Bc)=×080-909)=45. :在⊙O中，BC所对的圆周角为∠BAC、∠BDC, 、∠BDC=∠BAC=45°： (2)解：如图，过点C作CK⊥BD于点K, C AE⊥BD, .∠CKD=∠BKC=∠AEB=90°， 由(1)知：∠ABC=90°，∠BDC=45°， .∠CBK=90°-LABE=∠BAE, ∠DCK=90°-∠BDC=90°-45°=45°=∠BDC, ..DK =CK, 在△BCK和△ABE中， ∠CBK=∠BAE ∠BKC=∠AEB, BC=AB .△BCK≌△ABE(AAS), 、CK=BE=2, .DK=CK=2, 在R△CDK中，CD=DK+CK=2+(2=2, 即CD的长为2 15/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16/16