第23章解直角三角形巩固训练 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦解直角三角形核心知识，通过基础辨析、综合计算及情境建模题型，构建从概念到应用的递进训练体系，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-8题、填空11-13题|三角函数定义辨析、特殊角值计算|从锐角三角函数定义到特殊角值记忆，夯实概念理解| |计算应用|选择9题、填空14-15题、解答19-20题|直角三角形边角关系应用|结合勾股定理，训练已知边/角求未知量的推理能力| |实际建模|选择10题、填空16题、解答21-23题|航海/测量/实际情境建模|将现实问题抽象为直角三角形模型，发展应用意识与空间观念|

第23章解直角三角形巩固训练2026-2027学年 沪科版九年级上册 一、选择题 1.如图，在Rt△ABC中，∠C-90°，AB-3,AC-2,则s1nB的值为() 2 2W5 √5 A.3 B.3 c.5 D.3 【答案】B. 2.计算cos30°- 2的值( ) B. 3 A.0 2 C.1 D.5 【答案】A 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2,AB=3,那么下列各式中，正确的是( A.sinB= 2 B.tanB C.cosB D.tanB= 3 3 3 2 【答案】C 3 sinA= 4.在Rt△ABC中，∠C=90°， 5,则AB=25,则BC-=() A.24 B.20 C.16 D.15 【答案】D 5.已知实数a=tan30°，b=sin45°，c=cos60°，则下列说法正确的是() A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b 【答案】A. 6.在Rt△ABC中，∠C-90°，BC-1,AC-√3，那么∠B的度数是() A.15° B.45° C.30° D.60° 【答案】D. 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都缩小5倍，则sinA的值( ) A.放大5倍 B.缩小5倍 C.不变 D.无法确定 【答案】C 8.a为锐角，且关于的一元二次方程-2V2s1na·+1=0有两个相等的实数根， 则a=() A.30° B.45 C.30°或150° D.60° 【答案】B 9.如图，在坡角为a的斜坡上要栽两棵树，它们之间的水平距离AC为l5m,tana= 3 则这两树间的坡面AB的长为() B a C A.5m B.45m c.5/10m D.10V5m 【答案】C 10.如图，一艘渔船以32mi1e/h的速度向正北方向航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏 东30°方向，半小时后航行到B处，看到灯塔S在渔船的北偏东60°方向.若渔船继 续向正北方向航行到灯塔S的正西方向的C处，此时灯塔S与渔船的距离CS为() 北 609 309 A A.16nmile B.18nmile C.8nmile D.83nmile 【答案】D 二、填空题 & 11.在Rt△ABC中，∠C-90°，00sB=7,如果AB=14,那么AC=一· 【答案】4W6. 12在△ABC中， tan4=1' cos B=1 2, 则∠C的度数是 【答案】75°/75度 3 13.己知2 <cosA<sin70°，则锐角A的取值范围是 【答案】20°<∠A<30°. 14.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A B、C三点都在格点上，则sin∠ABC= V2 【答案】 2 15.如图，在△ABC中，点F为其重心，连接AF、BF并延长分别交BC、AC于点DE, 且AB=AC=13,CD=5,则Cos∠EBC=一· D 【答案】 5V415V41 41741 16.如图，大树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB-15°，他沿CB方向 走了30米，到达D处，测得∠ADB=30°，则树高AB为米. 7 【答案】15. 三、解答题 17.求下列各式的值 (1)2sin30°-cos45°： (2)sin45°+tan30°·sin60°；(3)sin30° +c0s30°. 1W2 【答案】解：(1)原式=2×2-2 2 =1-2: 2√3√3 (2)原式=2+3·2 √23 =2+6 21 =2+2 1+W2 =2； 13 (3)原式=2+2 1+W3 =2. 18.如图，在Rt△ABC中，∠C-90°，AC=3,BC=4,求sinA,cosA,tanA的值. C ⊙ 【答案】解：：∠C=90°，AC=3,BC=4, .4B-VBC2+AC2 =V32+42 =5, BC4 ∴sinA=AB=5, AC 3 COSA=AB=5, BC4 tan4=AC=3」 19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE LAB于点E,AC=12,BC=5. (1)求cOs∠ADE的值； (2)当DB=DC时，求AD的长. D 【答案】解：(1)，DE L AB, ∴.∠DBA=90°， ∴.∠什∠ADE=90°， ∠ACB-90°， .∠什∠B=90°， .∠ADB=-∠B, 在Rt△ABC中，，AC=12,BC-5, .AB=13, BC5 .cosB-AB-13 :cos∠ADE=c0sB 5 13: (2)由(1)得c0s∠ADE= DE5 AD13, 设AD为x, DE-DC=5 ,AC=AD外CD=12, 5 :13x+x=12 26 解得3， AD-26 3. 2D在△ADC中，AB=6,∠B为能角且sB-号，amC=3R5, B C (1)求∠B的度数. (2)求BC的长. (3)求△ABC的面积. 【答案】(1)∠B=60°（②）BC=4(3)△ABC的面积为6V3 1 【详解】(1)：∠B为锐角且cosB= ∠B=60°： (2)过点A作AH⊥BC于H, .'cos B=1 2 BH1 AB2' AB=6, .BH=3, 在Rt△ABH中，AH=VAB2-BH=V62-32=3V3, .'tan C=33. AH=33, ·CH 33-33 即 解得CH=1, ∴，BC=BH+CH=3+1=4: H C 3)Sam号BCAH-3x4×33=65 A B H 21如图：已知一次函数图像与x轴、y轴分别交于点4点a.OB=3,an∠BA0= 2 B (1)求直线AB的解析式： (2)若点C在x轴上方的直线AB上，△AOC的面积为15，求tan∠BOC. 1 【答案】（①y=2X+3 4 (2 【详解】(1)解：.OB=3,点B在y轴正半轴上， .B0,3 :tan∠BA0= 2' .OA=_ OB 36 tan∠BAO 2 ,点A在x轴的负半轴上， ∴.A-6,0 设直线AB的解析式为y=kx+b,将A-6,0,B0,3代入，得： b 解得乙， 1 .直线AB的解析式为y=x+3, (2)解：如图，过点C作CH⊥x轴于点H则CH‖OB, ACH .CH=2Sg-2×15=5, OA 6 ∴.点C的纵坐标为5， 1 点C在直线y=2x+3上，将y=5代入，得2x+3=5, 解得X=4 .点C的横坐标为4，即OH=4, ∴.tan∠OCH= OH 4 CH 5' CH‖OB, ∴.∠OCH=∠BOC, .tan∠BoC=tan∠OCH=4, 22.铁塔位于某市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文 物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封 铁塔AB的高度，如图，在地面BC上取E、G两点，分别竖立高为2m的标杆EF和GH, 两标杆间隔27m,并且开封铁塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退 2m到D处，从D处观察A点，AFD三点成一线，从标杆GH走3m到C处，从C处观 察A点，A、H、C三点也成一线，请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的 高度 G 【答案】开封铁塔的高度为56m。 【分析】本题考查了锐角三角函数的实际应用. 分别在不同直角三角形中求∠ADB和∠C的正切值表达式，进而求出BD,BC的长度表达 式，列方程求解即可. 【详解】解：设塔的高度为x米， 由题得an∠ADB=EF=AB ED BD' 2 x 即2D HG AB .:tan∠ACB= CGBC· 即5BC, 3 BC=2, 3 EG=BC-BE-CG=BC-BD+ED-CG-x-x+2-3=27, 1 即2=28， 解得x=56, ∴开封铁塔的高度为56m 23.图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架AH、DM、 MN、HL、NE、LF组成，其中A、B两点是墙面固定点，点D可以在线段BC上自由移 动，活动角∠AGD随着D点的移动而变化，晾衣架也随着整体前后移动.图2中AG、DG、 EF和中间两个全等的菱形边长都相等（宽度忽略不计）· E D B 图1 图2 (1)若∠AGD=120°，AG=18cm.求此时最远端点E到墙壁的距离； (②)若点D从C移动到B,活动角∠AGD变化范围为40°~144°，最远端点E到墙壁的最大 距离可达112.8cm,求AB的长（结果保留整数）.（参考数据：sinl8°≈0.31， cos18°≈0.95，sin70°≈0.94，c0s70°≈0.34). 【答案】(1)最远端点E到墙壁的距离为54cm(2)AB的长为38cm 【详解】(1)解：如图，连接AM, D B :∠AGD=120°，AG=18.AG、DG、EF和中间两个全等的菱形边长都相等， :.∠AGM=180°-∠AGD=180°-120°=60°， ∠GaD=0s0-∠4GD)=×1s0P-1209）=30. ∠LFN=∠LKN=∠MKH=∠MGH=∠AGD=I20° ,∠GMK=180°-∠MGH=180°-120°=60°=∠KLF, ∠MKL=180°-∠MKH=180°-120°=60°=∠LFE, AG=GM=MK KL=LF=EF, ∴△AGM,△MKL,△LFE都是等边三角形， .AM=AG=MK=ML=KL=LF=LE=18, ∠GAM=∠AMG=∠KML=∠KLM=∠FLE=60° ∴.∠GMA+∠GMK+∠KML=60°+60°+60°=180°， ∠KLM+∠KLF+∠FLE=60°+60°+60°=180°， 即点A、M、L、E共线， ∠GAD+∠GAM=30°+60°=90°， .AE⊥AB, AM+ML+LE=18+18+18=54(cm), 答：最远端点E到墙壁的距离为54cm; (2)由(1)可知：点A、M、L、E共线，AE⊥AB,且点A与点M的距离、点M与 点L、点L与点E的距离相等， 当点D在点C处时，最远端离墙壁最远，即此时点E到墙壁的距离为l12.8cm, 此时∠AGC=40°，AM=112.8÷3=37.6. ∠AGC=40°， ∴.∠AGM=180°-∠AGC=180°-40°=140°， 连接AM,过点G作GP⊥AM于点P, M E B .AG=GM &4P=4n-x76=188,4GP- ∠AGM=70°， 2 在Rt△AGP中，∠APG=90°， AP AG= 18.8≈18.8=20 sin∠4GP sin70°0.94 当D在点B处时，此时∠AGB=144°， 过点G作G0LAM于点2， B ..AG=GB ÷∠B4G=∠1BG=2080-乙AGB)-X80-14)=18,4B=240 在Rt△AG0中，∠AQG=90°， A0=AG-cos∠GA0=AGxcos18°≈20x0.95=19 .AB=2A0≈2×19=38(cm). 答：AB的长为38cm 第23章解直角三角形巩固训练2026-2027学年 沪科版九年级上册 一、选择题 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 2．计算的值（    ） A．0 B． C．1 D． 3.在中，，，，那么下列各式中，正确的是(   ) A． B． C． D． 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则AB＝25，则BC＝（　　） A．24 B．20 C．16 D．15 5．已知实数a＝tan30°，b＝sin45°，c＝cos60°，则下列说法正确的是（　　） A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（　　） A．15° B．45° C．30° D．60° 7.在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（    ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 8.α为锐角，且关于x的一元二次方程x2－sin α·x＋1＝0有两个相等的实数根，则α＝（　　） A．30° B．45° C．30°或150° D．60° 9．如图，在坡角为α的斜坡上要栽两棵树，它们之间的水平距离AC为15m，tanα，则这两树间的坡面AB的长为（　　） A．5m B．45m C． D． 10.如图，一艘渔船以32nmile/h的速度向正北方向航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°方向，半小时后航行到B处，看到灯塔S在渔船的北偏东60°方向．若渔船继续向正北方向航行到灯塔S的正西方向的C处，此时灯塔S与渔船的距离CS为（　　） A．16nmile B．18nmile C．8nmile D． 二、填空题 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，如果AB＝14，那么AC＝　 　． 12.在中，，，则的度数是 ． 13.已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是　 　． 14.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则 ．    15.如图，在中，点F为其重心，连接、并延长分别交、于点D、E，且，，则 ． 16．如图，大树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了30米，到达D处，测得∠ADB＝30°，则树高AB为　 　 米． 三、解答题 17．求下列各式的值 （1）2sin30°﹣cos45°； （2）sin45°+tan30°•sin60°； （3）sin30°+cos30°． 18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求sinA，cosA，tanA的值． 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5． （1）求cos∠ADE的值； （2）当DE＝DC时，求AD的长． 20.在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． (3)求的面积． 21.如图：已知一次函数图像与x轴、y轴分别交于点A、点B．，．    (1)求直线的解析式； (2)若点C在x轴上方的直线上，的面积为15，求． 22．铁塔位于某市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，三点成一线，从标杆走到处，从处观察点，三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 23．图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架、、、、、组成，其中、两点是墙面固定点，点可以在线段上自由移动，活动角随着点的移动而变化，晾衣架也随着整体前后移动．图2中、、和中间两个全等的菱形边长都相等（宽度忽略不计）． (1)若，．求此时最远端点到墙壁的距离； (2)若点从移动到，活动角变化范围为，最远端点到墙壁的最大距离可达．求的长（结果保留整数）．（参考数据：，，，）． 学科网（北京）股份有限公司 $