第29章 三角初步（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材沪教版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册第29章三角初步，以能力提升为目标，通过无人机测量、折叠椅设计等真实情境与“分角正弦比”等创新题型，考查三角函数应用及综合几何能力，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/18|解直角三角形基础应用|结合折叠、俯角等几何情境，如折叠椅到地面距离计算| |填空题|12/24|新定义与生活实践|引入“分角正弦比”，融入打印机结构、淋浴器安装等真实问题| |解答题|8/58|综合几何与函数|折叠矩形证明、抛物线拱桥观测等题，突出逻辑推理与模型意识|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第29章 三角初步·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图，中，，，，D为的中点，E为上一点，F为的中点，若，则的长度为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由，根据勾股定理求得，因为D为的中点，E为上一点，F为的中点，所以，，，则，而，则，所以，由，求得，则． 【详解】解：连接， ∵中，，，， ∴， ∵D为的中点，E为上一点，F为的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图是一款折叠椅打开时侧面示意图，椅面平行地面，椅脚，，，则到地面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ． 3．如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题的核心在于利用折叠的性质（全等）和等腰直角三角形的角度特征，通过角度转换证明，从而将求转化为求．接着，通过设未知数，在中利用勾股定理建立方程求出线段的长度，最后代入三角函数定义求解． 【详解】∵是等腰直角三角形，， ∴，． ∵D为的中点， ∴． 根据折叠的性质可知，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴． 在中，，即， 解得， ∴． ∴． 4．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度（     ） A．160米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】过B作于点N，因为，均垂直，所以四边形是矩形，可得．在中，因为已知，结合米，利用勾股定理求出的长度．在中，因为仰角为，，利用角的正切值求出的长度．因为，代入对应长度即可得到的表达式． 【详解】 解：∵， ∴A处俯角等于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 过作于， 则四边形是矩形， ∴，． 在中，，， ∴． ∴． ∴米． 5．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质和勾股定理，圆内接四边形，求正切值，过点作于点，设，然后根据正方形的性质求出，然后利用勾股定理求出，，，，利用面积法求出，，从而求出，最后求出，从而求出的正弦值，然后证明，，，四点共圆，从而得到，求出答案即可，解题关键是添加辅助线改造直角三角形，熟练掌握利用面积法求线段的长． 【详解】解：如图所示：过点作于点， 设， 为边的中点， ， 四边形是正方形， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 的面积， ， ， ， 的面积， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，，，四点共圆， ， ， 故选：B． 6．如图，在中，，高交于点F，已知，，则长为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据，，，求解即可； 【详解】解：，高交于点F， ，， ，， ，， , 故； 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．对于一个不大于的角，从顶点出发在角的内部有一条线把这个角分成两个角，我们把这两个角的正弦值的比叫做“分角正弦比”．（如图的“分角正弦比”为）．在矩形中，，被分的“分角正弦比”为，则矩形的面积为___________ 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的定义和题目中提到的“分角正弦比”的定义，计算长方形的长宽之比，根据勾股定理计算长方形的长和宽，最后根据长方形的面积公式计算面积即可． 【详解】解：由题意得， ，即， 设，则， 在中，，即， 解得，或（舍去） ， ． 8．如图，点是正方形外一点，，，分别交于点，，且，则的长为______． 【答案】 【分析】连接、，交于点，连接，根据正方形的性质得出，，，点为正方形的外接圆的圆心，为的直径，，根据圆周角定理得出点在上，，根据角平分线的性质得出点到、的距离相等，根据，利用三角形的面积得出，根据直角三角形两锐角互余得出，得出，即可求出，，利用勾股定理即可得答案． 【详解】解：如图，连接、，交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵点为、的交点， ∴点为正方形的外接圆的圆心，为的直径，， ∵， ∴， ∴点在上，， ∴， ∴点到、的距离相等， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 9．小明在一个广场上测量旗杆的高度，他在水平面上以旗杆的底部点为圆心，用软尺画得一个半径为（单位：米）的圆，小明站在圆上测得旗杆的仰角为，然后将圆的半径扩大到（单位：米），此时站在圆上测得旗杆的仰角为，小明的眼睛距离地面的高度为米，则旗杆的高度为_____米．（请直接用无理数表示） 【答案】 【分析】解直角三角形得出米，米，从而得出，求出r的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：米，米， 在中，，即米， 在中，，即米， ∴， 解得：， ∴米， ∴旗杆的高度为米． 10．小孟家有一款浴室淋浴器（如图1）．上弯管部分由线段AB（A为圆形花洒喷头圆心位置）和弧BC组成，下直管为线段CD（D为阀门位置），AB切弧BC所在的于点B，CD切于点C（如图2所示）．淋浴器安装后，地面于点E，中与AB在同一平面的直径平行于地面时，．身高174的小孟垂直地面站立于点N，转动花洒喷头，PQ旋转得，当时，头顶M与点，C恰好在同一直线上，已知点C到地面距离，C，A两点到地面的距离差与B，C两点到地面的距离差之比为1：2，，，则的半径为____cm，小孟离CD的距离NE=________cm． 【答案】 20 60+38 【分析】作出如图所示的辅助线，根据题意求得AF、BF以及BI 、IF的长，在Rt△BIO中，根据特殊角的三角函数值可求得⊙O半径的长；在Rt△KA中，求得AK、K的长，利用矩形的性质和线段的和差关系求得、CL、CR的长，利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】分别过A、B作DC的垂线，交DC及DC的延长线于H、G，过C作DC的垂线，交AB于J，过B作AH的垂线，分别交AH、CJ于点F、I，如图所示： ∴四边形BGCI和四边形ICHF都是矩形， 根据题意知∠BAF=∠BJI=60，AB=30cm， ∴∠BJI=∠BAF=60， ∴AF=AB=15，BF=AB=15(cm)， 由题意：C，A两点到地面的距离差与B，C两点到地面的距离差之比为1：2， ∴BI=2IF，则BI=BF=10(cm)，IF=BF=5(cm)， 连接OB， ∵AB是⊙O的切线， ∴∠JBO=90， ∴∠JOB=90-60=30， 在Rt△BIO中， BO=2BI=20(cm)，(cm)； 过作AH的垂线，垂足为K，过作DC的垂线，交DC于L，过作DC的垂线，交DC于R，如图所示： ∴四边形KHL和四边形MNER都是矩形， 在Rt△KA中，∠KA=60，A=14cm， ∴AK=A=7，K=A=7(cm)， ∴=KH=AF-AK+FH=AF-AK+IC= AF-AK+IO+OC=15-7+30+20=38+20(cm)， CL=CH+HL=IF+ K=5+7=12(cm)， CR=210-174=36(cm)， ∵∥MR， ∴， ∴(cm)， ∴小孟离CD的距离NE=(cm)， 故答案为：20；． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 11．如图1是某激光黑白A4纸张打印机的机身，其侧面示意图如图2，，．出纸盘下方为一段以为圆心的圆弧，与上部面板线段相接于点，与相切于点．测得，．进纸盘可以随调节扣向右平移，，．当向右移动至时，点，，在同一直线上，则的长度为______．若点到的距离为，，连结，线段恰好过的中点．若，则点到直线的距离为______． 【答案】 34 32 【分析】过F′作FG⊥AB于G交CD于M，由，，可证四边形BGF′H′是矩形，由DM∥AG，可证△DMF′∽△AGF′，可得，可求cm，连结OD，PD，ED交OP于N，过E作EJ⊥AB于J，EK⊥OD于K， 过P作PR⊥BH于R，交OD延长线于L，OD⊥CD，AB∥CD，可得EJ∥OD，EK⊥JE，由tanA=4，JE=16cm，可求可求EK=12cm，，KD =8cm，由PO过中点，利用垂径定理，PE=PD=，由勾股定理ED，可得ND=EN=2，可证△EKD∽△OND，可求OD=13，由tan∠POL=tan∠DEK=，设PL=2m，OL=3m，构造方程，解之即可． 【详解】解：过F′作FG⊥AB于G交CD于M， ∵，， ∴∠GBH′=∠BH′F′=∠F′GB=90°， ∴四边形BGF′H′是矩形， ∴GF′=BH′，F′H′=FH=MC=GB=2cm， ∵DM∥AG， ∴∠F′DM=∠F′AG，∠F′GA=∠F′MD， ∴△DMF′∽△AGF′， ∴， ∵cm， ，cm，DM=DC-CM=18-2=16cm， ∴， ∴cm， ∴AB=AG+BG=32+2=34cm， 连结OD，PD，ED交OP于N，过E作EJ⊥AB于J，EK⊥OD于K， 过P作PR⊥BH于R，交OD延长线于L， ∵OD⊥CD，AB∥CD， ∴EJ∥OD，EK⊥JE， ∵tanA=4，JE=16cm， ∴， ∵EK=AB-AJ-CD=34-4-18=12cm，KD=BC-JE=24-16=8cm， ∵PO过中点，DE为弦 ∴OP⊥ED，且EN=DN， ∴OP为DE垂直平分线， ∴PE=PD= 在Rt△EKD中，由勾股定理ED=， ∴ND=EN=2， ∵EK⊥OD，ON⊥ED， ∴∠EKD=∠OND=90°， ∴∠EDK=∠ODN， ∴△EKD∽△OND， ∴即， ∴OD=13， ∵tan∠POL=tan∠DEK=， ∴设PL=2m，OL=3m， ∴DL=OL-OD=3m-13， 在Rt△PDL中，由勾股定理得：PD2=DL2+PL2， 即 整理得， 解得m=7，或m=-1(舍去) ∴PL=2m=2×7=14cm， ∵PR⊥BH，DC⊥BH，OL⊥CD， ∴∠LDC=∠DCR=∠LRC=90°， ∴四边形DCRL是矩形， ∴LR=CD=18cm， ∴PR=PL+LR=14+18=32cm． 故答案为：34，32． 【点睛】本题考查矩形判定与性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，垂径定理，勾股定理，一元二次方程解法，掌握以上知识、灵活应用数形结合的思想是解题关键． 12．如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点B的对应点为点G，连接，，当最小时，的值为___________． 【答案】 【分析】连接EB、EG，根据折叠得出，得出EG=EB，故点G在以点E为圆心，EG为半径的一段弧上，当点G在AC上时，AG最小，画出图形，过点F作FH⊥AC，先证明，得出，解得，，根据，得出． 【详解】解：连接EB、EG，如图所示： 根据折叠可知，BD=GD，∠BDE=∠GDE，DE=DE， ∴（SAS）， ∴EG=EB， ∵EB的长固定不变， ∴EG的长固定不变， ∴点G在以点E为圆心，EG为半径的一段弧上， ∴当点G在AC上时，AG最小，过点F作FH⊥AC，如图所示： 根据折叠可知，CE=EF=1，GF=BC=，∠GFE=∠BCE=90°， ∴， ，， ∴， ， 即， 解得：，， ∴， ， ∵EF=EC， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数的定义，根据题意得出点G在以点E为圆心，EG为半径的一段弧上，当点G在AC上时，AG最小，是解题的关键． 13．如图，在中，，点是的重心，连结，如果，那么的正切值为___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，过G作于G，延长交于点，证明，结合G为的重心，可得，根据，得，进而根据勾股定理求出，最后根据正切的定义即可求解． 【详解】解：过G作于G，延长交于点，如图： ∵ ， ∴ ，， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ G为的重心， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 则在直角三角形中，， 故答案为：． 14．如图，平面直角坐标系中，点A，点B在x轴上，点C，点D在y轴上，且，，E、F分别是和的中点，当最大时，的长为________． 【答案】 【分析】连接，过O作于H，根据直角三角形斜边中线的性质求出，，在中，，当最大时，最大，而在中，，则的最大值为，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，过O作于H， ∵，，E、F分别是和的中点， ∴，， 在中，， ∴当最大时，最大， 在中，， ∴当H、E重合时，取最大值，最大值为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，平面直角坐标系，正弦，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 15．新定义  如图，图中提供了一种求的方法．作，使，，再延长到点D，使，连接，即可得．如果设，则可得，则．用以上方法，则________． 【答案】 【分析】如图所示，作，使，，再延长到点D，使，连接，可证，设，则，，，再由进行求解即可．本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，等边对等角，正确理解题意构造的角是解题的关键． 【详解】解：如图，作，使，，再延长到点D，使，连接， 则， 又， ， 设，则，， ， ， 在中，． 16．在矩形中，，从中点射出的光线到达边的点经反射到达边上的点，再经反射到达边上的点，最后经反射到达边上的点，若，则_________． 【答案】或 【分析】考虑两种情况，即当点在点右侧时或当点在点左侧时，画出图形，可得，设，列方程即可解答． 【详解】当点在点右侧时，如图， 根据反射角等于入射角，可得， 在矩形中，， ， ， 为的中点， ， 设，则, ， ，即 ， ， ， ， ， ， ， 解得， ； 当点在点左侧时，如图， 同理可得， ， ， ， 解得， ； 综上，或． 17．如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将B角折起，使点B落在边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是． 如图1，当时，； 如图2，当时，； 如图3，当时，； …… 依此类推，当时， _____． 【答案】 【分析】根据题意可得规律当时，，据此规律可得答案． 【详解】解：当时，； 如图2，当时，； 如图3，当时，； ……， 以此类推，可知当时，； ∴当时，． 18．将摇晃中的“不倒翁”（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）的主视图简化为如图所示的轴对称图形，，分别与所在圆相切于点A，B，点N始终是该圆与地面水平线的切点．已知圆的半径是5，正方形边的中点与优弧的中点距离为2，，将边的中点与点B连线，长度为_________． 【答案】 【分析】设圆心为，的中点为，先建立平面直角坐标系，再分别求出点和点的坐标，根据两点间距离公式即可求解． 【详解】由题意知，所求长度不随“不倒翁”的摇晃而变化，故取下图位置进行求解． 如图，设圆心为，的中点为，连接，以为原点，地面水平线为轴，对称轴为轴建立平面直角坐标系． 与圆相切 ， 图形轴对称，， ， ， 作于点， 在中，，圆的半径是5， ，， ， 由题意 ∴ ． 三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19．如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点P，Q分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿PQ折叠，使点B落在AD边上的点E处，点C落在点F处，EF交CD于点G，连结BE交PQ于点H． （1）求证：∠APE=∠GQF； （2）求证：PQ= BH； （3）若sin∠GQF=，PQ=，求FG的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）FG= 【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余和矩形沿折叠即可得到证明； （2）作于，于，利用对折证明，，从而，即可得到答案； （3），设，，则，，，在中，可求出，从而可求出，再根据，求出，即可得到答案． 【详解】解：（1）在矩形中，． ， 由折叠的性质，得， ， ， ，， ， ； （2）作于，于，如图： 于， ，，， 矩形沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）如图示， ， ， 设，，则， ，， ， ， 在中，， ， 或（舍去）， ，，，， ， ， ，， ， ，即， ，经检验：符合题意， ． 【点睛】本题考查矩形性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，三角函数，解一元二次方程等知识，熟悉相关知识点，并能灵活应用是解题的关键． 20．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，BD是AC边中线，DG平分∠BDC，且BG⊥DG于点G，交BC于点F． (1)求∠ABD的正弦值； (2)求BG的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点D作DE⊥AB于点E，根据勾股定理得出AB=2和BD=5，由cosA==，进而求出AE的长，再利用勾股定理求出DE的长，进而求出∠ABD的正弦值； （2）过点F作FP⊥BD于点P，根据角平分线的性质得，CF=FP，根据HL证Rt△CDF≌Rt△PDF得CD=DP，根据△BPF∽△BCD，求出BF，再根据△BFG∽△DFC，求出BG的长． 【详解】（1）解：过点D作DE⊥AB于点E， ∵AC＝6，BD是AC边中线， ∴CD=AD=3， ∵∠C＝90°，BC＝4， ∴BD===5， AB===2， ∵cos∠A==， ∴=， 解得AE=， ∴DE===， ∴sin∠ABD==． （2）过点F作FP⊥BD于点P， ∵∠C＝90°， 又DG平分∠BDC， ∴CF=FP， 又∠DPF=90°，DF=DF， ∴Rt△CDF≌Rt△PDF（HL） ∴CD=DP， 又CD=3，BD=5， ∴DP=3，BP=2， ∵∠C=∠BPF=90°，∠DBC为公共角， ∴△BPF∽△BCD， ∴=， ∴=， 解得BF=2.5， ∴CF=BC-BF=4-2.5=1.5， ∵∠C=∠G=90°，∠DFC=∠BFG ∴△BFG∽△DFC， ∴=， 又DF===， ∴=， 解得BG=． 【点睛】本题考查角平分线的性质，勾股定理求三角形的边长，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及锐角三角函数的求解，熟练掌握以上内容并熟练运用是解决问题的关键． 21．如图，在四边形中，，，． (1)求的值； (2)点为边上异于点的动点，关于对称的图形为． ①当点落在四边形内部（含边界）时，求长的取值范围； ②关于对称的图形为，连接，．当时，求的周长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）过点作于点，可得四边形是矩形，再由矩形的性质以及正弦的定义求解即可； （2）①先求出，然后找出两个临界位置，即点落在边和上，再求出此时的长即可； ②连接，延长交于点，过点作于点，连接，先解直角三角形求解，然后利用勾股定理求解，即可求解，再证明即可求解，即可求解的周长． 【详解】（1）解：过点作于点，则， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ∴， ∴在中，； （2）解：由对称可得，，，， 由（1）知 ∴， ∴， 当点落在边上时，则 ∴， ∴此时点P与点E重合， ∴, 当点落在边上时， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得， ∴此时 ∴当点落在四边形内部（含边界）时，长的取值范围为； ②连接，延长交于点，过点作于点，连接， 由对称可得，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴的周长． 22．定义：在等腰三角形中，对于顶角的每一个确定的值，其底边与腰的比值都是唯一确定的，这个比值是顶角的正对函数.例如：图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对函数记作sadA，sadA＝或sadA＝. （1）在图①中，若∠B＝60°，则sadA＝ . （2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，若∠BAC＝120°，求sad∠BAC． （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，直接写出三个内角的正对函数值. 【答案】（1）1（2）（3），，． 【详解】试题分析： (1) 由题意可知△ABC为等边三角形. 等边三角形三边相等，由正对函数的定义知∠A的正对函数值为1. (2) 要求∠BAC的正对函数值，就是要求线段BC与线段AB或AC的比. 由于题目中没有给出线段长度的具体数值，所以可以将线段AB或AC的长设为2a (其中a>0). 利用BC边上的高AD，通过解Rt△ABD的方式求得线段BD的长. 利用线段BD的长容易得到线段BC的长，进而求得∠BAC的正对函数值. (3) 要求该直角三角形三个内角的正对函数值，应该以每一个内角为顶角依次构造等腰三角形，求解所构造的等腰三角形的底边和腰的长度，最后根据正对函数的定义得到要求的值. 在构造等腰三角形时，可以在原直角三角形的基础上，通过在适当的边上截取相应的边长即可构造出三个符合要求的等腰三角形. 试题解析： (1) ∵在△ABC中，AB=AC， 又∵∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC. ∴. 故本题应填写：1. (2) 如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D. 设AB=AC=2a (a>0). ∵∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC， ∴在等腰三角形ABC中，BD=CD，∠B=∠C=30°. ∴在Rt△ADB中，. ∴CD=BD=， ∴， ∴. (3) ，，. 具体求解过程如下. 根据题意画出如图①所示的Rt△ABC. 设AB=5a (a>0)，则根据可知，BC=4a，AC=3a，. 下面求解∠C的正对函数值. 如图②，在线段CB上截取CD=CA，则△ACD是以∠C为顶角的等腰三角形. ∵∠C=90°，CD=CA=3a， ∴在Rt△ACD中，. ∴. 下面求解∠A的正对函数值. 如图③，在线段AB上截取AE=AC，则△ACE是以∠A为顶角的等腰三角形. 过点E作EF⊥AC，垂足为F. ∵EF⊥AC，AE=AC=3a， ∴在Rt△AFE中，，. ∴， ∴在Rt△CFE中，， ∴. 下面求解∠B的正对函数值. 如图④，在线段AB上截取BG=BC，则△BCG是以∠B为顶角的等腰三角形. 过点G作GH⊥AC，垂足为H. ∵BG=BC=4a，AB=5a， ∴AG=AB-BG=5a-4a=a. ∵GH⊥AC，AG=a， ∴在Rt△AHG中，，. ∴， ∴在Rt△CHG中，， ∴. 点睛： 本题综合考查了锐角三角函数和解直角三角形的相关知识. 解决本题的关键在于深入理解新定义的含义并将题目中利用新定义进行的表述转化为常见的表达方式予以求解. 本题的一个难点在于等腰三角形的构造. 只有得到合适的等腰三角形才能在其中应用新定义解决问题. 23．在中，点在线段上，，，， (1)若，求的长． (2)若，延长到，连接，此时，求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，得出，证明，得出，即可解答； （2）过点作于点，由，推出，由，推出，在中，因为，可得，再证明，在中利用勾股定理即可解决问题； 【详解】（1）解：过点作交的延长线于点． ∵， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∵， ， ， ． （2）解：过点作于点． ， ， ， ， ， ， 在中，∵， ， ， ， ， ， ， 在中，． 24．如图，在中，，，将边绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接． (1)如图1，若于点，求点A到的距离； (2)如图2，证明：； (3)如图3，若点在平面内运动，取中点，连接，直接写出线段的最大值． 【答案】(1)点A到的距离为2 (2) 证明：在上截取，延长至点P，使，连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴；    (3) 【分析】（1）延长，交于点N，过点A作于点M，易得，，根据旋转的性质得出，，进而得出，则，，过点D作于点F，易得，则，根据，即可求解； （2）在上截取，延长至点P，使，连接，通过证明为等边三角形，得出，再证明，得出，根据中位线定理得出，即可求证； （3）以为边，构造等边三角形，根据，，得出点A、G、B、D四点共圆，令外心为点O，则当经过点O时，取最大值，过点O作于点K，作于点H，求出，，进而得出，，根据勾股定理求出，即可得出． 【详解】（1）解：延长，交于点N，过点A作于点M， ∵，，， ∴，， ∵边绕点逆时针旋转得到，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴点A到的距离为2；    （2）略 （3）解：如图，以为边，构造等边三角形， ∴， ∵， ∴点A、G、B、D四点共圆， 令外心为点O， 当经过点O时，取最大值， 过点O作于点K，作于点H， ∵点O为外心，为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵点F是中点， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 即线段的最大值为．    【点睛】本题考查了解直角三角形，等三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 25．如图1，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接，． (1)求二次函数的解析式； (2)求的值； (3)如图2，动点在线段上，过点作的垂线，与二次函数在第二象限的图象交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）过点作于点，先由勾股定理求解，然后运用等积法求解，再由勾股定理求解，即可求解； （3）过点作轴交、轴于点，可得，为等腰直角三角形，设，则，设，则，表示出，将点代入，整理得，那么得到，整理得，，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴将点代入，则 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：过点作于点 对于，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴对称轴为直线 ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴在中，； （3）解：过点作轴交、轴于点， 由（2）知， ∵ ∴， ∴，为等腰直角三角形 ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ 设，则， 同理设，则 ∴ ∴， 将点代入， 则， 整理得，， ∵ ∴ 整理得， 设抛物线顶点为点，对称轴与线段的交点为点， ∵ ∴， 同理可得为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴当点与点重合时，则点Q与抛物线顶点重合，则点D为抛物线对称轴与线段的交点， ∴， ∵ ∴当时，取得最大值， ∴最大值为． 26．如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是的中点且，．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为，已知山顶F到点A的水平距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)一个人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且． ①请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F，并说明理由； ②下列结论中，正确的有 ． （a）在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等； （b）在拱桥的段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近； （d）人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近． 【答案】(1) (2)解：①人眼在点Q处能直接看到山顶F.理由如下： 如图，连接， ∵点P到点A的水平距离为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵山高为，山顶F到点A的水平距离为． ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴ ， ∴人眼在点Q处能直接看到山顶F. ②（a） 【分析】（1）如图，以为轴，为轴，建立坐标系，设抛物线为，再利用待定系数法求解即可； （2）①连接，求解，，，求解直线为，计算，进一步结合配方法可得答案； ②（a）如图，连接，过作于，求解，如图，若存在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等，即，设，则，可得，可得（a）符合题意；（b）不符合题意；当在段，可得，计算，，时的值，可得（c）（d）都不符合题意. 【详解】（1）解：如图，以为轴，为轴，建立坐标系， ∵，， ∴，，， 设抛物线为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：. （2）解：①略 ②（a）如图，连接，过作于， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 如图，若存在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等，即， 设，则，即， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：，（与重合）， ∴（a）符合题意； （b）由（a）可得在拱桥的段不存在一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）（d）当在段， ∵，， ∴ 当时， ， 当时， ， 当时， ； ∴（c）（d）都不符合题意. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第29章 三角初步·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图，中，，，，D为的中点，E为上一点，F为的中点，若，则的长度为（     ） A．1 B． C． D． 2．如图是一款折叠椅打开时侧面示意图，椅面平行地面，椅脚，，，则到地面的距离为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度（     ） A．160米 B．米 C．米 D．米 5．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，高交于点F，已知，，则长为（     ） A． B． C．2 D．3 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．对于一个不大于的角，从顶点出发在角的内部有一条线把这个角分成两个角，我们把这两个角的正弦值的比叫做“分角正弦比”．（如图的“分角正弦比”为）．在矩形中，，被分的“分角正弦比”为，则矩形的面积为___________ 8．如图，点是正方形外一点，，，分别交于点，，且，则的长为______． 9．小明在一个广场上测量旗杆的高度，他在水平面上以旗杆的底部点为圆心，用软尺画得一个半径为（单位：米）的圆，小明站在圆上测得旗杆的仰角为，然后将圆的半径扩大到（单位：米），此时站在圆上测得旗杆的仰角为，小明的眼睛距离地面的高度为米，则旗杆的高度为_____米．（请直接用无理数表示） 10．小孟家有一款浴室淋浴器（如图1）．上弯管部分由线段AB（A为圆形花洒喷头圆心位置）和弧BC组成，下直管为线段CD（D为阀门位置），AB切弧BC所在的于点B，CD切于点C（如图2所示）．淋浴器安装后，地面于点E，中与AB在同一平面的直径平行于地面时，．身高174的小孟垂直地面站立于点N，转动花洒喷头，PQ旋转得，当时，头顶M与点，C恰好在同一直线上，已知点C到地面距离，C，A两点到地面的距离差与B，C两点到地面的距离差之比为1：2，，，则的半径为____cm，小孟离CD的距离NE=________cm． 11．如图1是某激光黑白A4纸张打印机的机身，其侧面示意图如图2，，．出纸盘下方为一段以为圆心的圆弧，与上部面板线段相接于点，与相切于点．测得，．进纸盘可以随调节扣向右平移，，．当向右移动至时，点，，在同一直线上，则的长度为______．若点到的距离为，，连结，线段恰好过的中点．若，则点到直线的距离为______． 12．如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点B的对应点为点G，连接，，当最小时，的值为___________． 13．如图，在中，，点是的重心，连结，如果，那么的正切值为___________． 14．如图，平面直角坐标系中，点A，点B在x轴上，点C，点D在y轴上，且，，E、F分别是和的中点，当最大时，的长为________． 15．新定义  如图，图中提供了一种求的方法．作，使，，再延长到点D，使，连接，即可得．如果设，则可得，则．用以上方法，则________． 16．在矩形中，，从中点射出的光线到达边的点经反射到达边上的点，再经反射到达边上的点，最后经反射到达边上的点，若，则_________． 17．如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将B角折起，使点B落在边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是． 如图1，当时，； 如图2，当时，； 如图3，当时，； …… 依此类推，当时， _____． 18．将摇晃中的“不倒翁”（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）的主视图简化为如图所示的轴对称图形，，分别与所在圆相切于点A，B，点N始终是该圆与地面水平线的切点．已知圆的半径是5，正方形边的中点与优弧的中点距离为2，，将边的中点与点B连线，长度为_________．    三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19．如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点P，Q分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿PQ折叠，使点B落在AD边上的点E处，点C落在点F处，EF交CD于点G，连结BE交PQ于点H． （1）求证：∠APE=∠GQF； （2）求证：PQ= BH； （3）若sin∠GQF=，PQ=，求FG的长． 20．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，BD是AC边中线，DG平分∠BDC，且BG⊥DG于点G，交BC于点F． (1)求∠ABD的正弦值； (2)求BG的长． 21．如图，在四边形中，，，． (1)求的值； (2)点为边上异于点的动点，关于对称的图形为． ①当点落在四边形内部（含边界）时，求长的取值范围； ②关于对称的图形为，连接，．当时，求的周长． 22．定义：在等腰三角形中，对于顶角的每一个确定的值，其底边与腰的比值都是唯一确定的，这个比值是顶角的正对函数.例如：图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对函数记作sadA，sadA＝或sadA＝. （1）在图①中，若∠B＝60°，则sadA＝ . （2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，若∠BAC＝120°，求sad∠BAC． （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，直接写出三个内角的正对函数值. 23．在中，点在线段上，，，， (1)若，求的长． (2)若，延长到，连接，此时，求的长． 24．如图，在中，，，将边绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接． (1)如图1，若于点，求点A到的距离； (2)如图2，证明：； (3)如图3，若点在平面内运动，取中点，连接，直接写出线段的最大值． 25．如图1，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接，． (1)求二次函数的解析式； (2)求的值； (3)如图2，动点在线段上，过点作的垂线，与二次函数在第二象限的图象交于点，求的最大值． 26．如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是的中点且，．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为，已知山顶F到点A的水平距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)一个人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且． ①请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F，并说明理由； ②下列结论中，正确的有 ． （a）在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等； （b）在拱桥的段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近； （d）人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第29章 三角初步·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图，中，，，，D为的中点，E为上一点，F为的中点，若，则的长度为（     ） A．1 B． C． D． 2．如图是一款折叠椅打开时侧面示意图，椅面平行地面，椅脚，，，则到地面的距离为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度（     ） A．160米 B．米 C．米 D．米 5．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，高交于点F，已知，，则长为（     ） A． B． C．2 D．3 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．对于一个不大于的角，从顶点出发在角的内部有一条线把这个角分成两个角，我们把这两个角的正弦值的比叫做“分角正弦比”．（如图的“分角正弦比”为）．在矩形中，，被分的“分角正弦比”为，则矩形的面积为___________ 8．如图，点是正方形外一点，，，分别交于点，，且，则的长为______． 9．小明在一个广场上测量旗杆的高度，他在水平面上以旗杆的底部点为圆心，用软尺画得一个半径为（单位：米）的圆，小明站在圆上测得旗杆的仰角为，然后将圆的半径扩大到（单位：米），此时站在圆上测得旗杆的仰角为，小明的眼睛距离地面的高度为米，则旗杆的高度为_____米．（请直接用无理数表示） 10．小孟家有一款浴室淋浴器（如图1）．上弯管部分由线段AB（A为圆形花洒喷头圆心位置）和弧BC组成，下直管为线段CD（D为阀门位置），AB切弧BC所在的于点B，CD切于点C（如图2所示）．淋浴器安装后，地面于点E，中与AB在同一平面的直径平行于地面时，．身高174的小孟垂直地面站立于点N，转动花洒喷头，PQ旋转得，当时，头顶M与点，C恰好在同一直线上，已知点C到地面距离，C，A两点到地面的距离差与B，C两点到地面的距离差之比为1：2，，，则的半径为____cm，小孟离CD的距离NE=________cm． 11．如图1是某激光黑白A4纸张打印机的机身，其侧面示意图如图2，，．出纸盘下方为一段以为圆心的圆弧，与上部面板线段相接于点，与相切于点．测得，．进纸盘可以随调节扣向右平移，，．当向右移动至时，点，，在同一直线上，则的长度为______．若点到的距离为，，连结，线段恰好过的中点．若，则点到直线的距离为______． 12．如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点B的对应点为点G，连接，，当最小时，的值为___________． 13．如图，在中，，点是的重心，连结，如果，那么的正切值为___________． 14．如图，平面直角坐标系中，点A，点B在x轴上，点C，点D在y轴上，且，，E、F分别是和的中点，当最大时，的长为________． 15．新定义  如图，图中提供了一种求的方法．作，使，，再延长到点D，使，连接，即可得．如果设，则可得，则．用以上方法，则________． 16．在矩形中，，从中点射出的光线到达边的点经反射到达边上的点，再经反射到达边上的点，最后经反射到达边上的点，若，则_________． 17．如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将B角折起，使点B落在边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是． 如图1，当时，； 如图2，当时，； 如图3，当时，； …… 依此类推，当时， _____． 18．将摇晃中的“不倒翁”（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）的主视图简化为如图所示的轴对称图形，，分别与所在圆相切于点A，B，点N始终是该圆与地面水平线的切点．已知圆的半径是5，正方形边的中点与优弧的中点距离为2，，将边的中点与点B连线，长度为_________．    三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19．如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点P，Q分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿PQ折叠，使点B落在AD边上的点E处，点C落在点F处，EF交CD于点G，连结BE交PQ于点H． （1）求证：∠APE=∠GQF； （2）求证：PQ= BH； （3）若sin∠GQF=，PQ=，求FG的长． 20．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，BD是AC边中线，DG平分∠BDC，且BG⊥DG于点G，交BC于点F． (1)求∠ABD的正弦值； (2)求BG的长． 21．如图，在四边形中，，，． (1)求的值； (2)点为边上异于点的动点，关于对称的图形为． ①当点落在四边形内部（含边界）时，求长的取值范围； ②关于对称的图形为，连接，．当时，求的周长． 22．定义：在等腰三角形中，对于顶角的每一个确定的值，其底边与腰的比值都是唯一确定的，这个比值是顶角的正对函数.例如：图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对函数记作sadA，sadA＝或sadA＝. （1）在图①中，若∠B＝60°，则sadA＝ . （2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，若∠BAC＝120°，求sad∠BAC． （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，直接写出三个内角的正对函数值. 23．在中，点在线段上，，，， (1)若，求的长． (2)若，延长到，连接，此时，求的长． 24．如图，在中，，，将边绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接． (1)如图1，若于点，求点A到的距离； (2)如图2，证明：； (3)如图3，若点在平面内运动，取中点，连接，直接写出线段的最大值． 25．如图1，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接，． (1)求二次函数的解析式； (2)求的值； (3)如图2，动点在线段上，过点作的垂线，与二次函数在第二象限的图象交于点，求的最大值． 26．如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是的中点且，．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为，已知山顶F到点A的水平距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)一个人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且． ①请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F，并说明理由； ②下列结论中，正确的有 ． （a）在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等； （b）在拱桥的段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近； （d）人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第29章三角初步·能力提升 (参考答案) 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 题号 1 23 4 6 6 答案 A B B B A 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7. 25V5 835 9.(6+33 10. 203 60+38V3 11 34 32 √10 12.4 5 2 14.3 15.V2+1 26 16.3或7 13 17.84 18.7 三、解答题（本大题共8小题，第1925每小题7分，第26题9分，共58分） 19.【详解】解：(1)在矩形ABCD中，∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°， 1/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠AEP+∠APE=90°， 由折叠的性质，得∠PEF=∠ABC=90°， .∠AEP+LDEG=90°， .LDEG=LAPE, ∠F=∠C=LD=90,∠DGE=∠FG0, ∴.∠DEG=LGQF LAPE=∠G0F:…2分 (2)作QM⊥AB于M,HN⊥AB于N,如图： 分 D G E 于， PN M B'QM⊥ABM ∴.QM=BC,∠PQM+∠QPM=90°，AE/IHN1IBC, ·矩形ABCD沿PO折叠，使点B落在AD边上的点E处，点C落在点F处， PO⊥BE,EH=BH=BE 2 1 ∴.AN=BN=5AB 2, .AB=2BC, 1 BC-74B ∴.OM=BC=BN ·.·∠POM+∠OPB=90°∠HBP+∠OPB=90° ∴.∠POM=∠HBP :LQMP=∠BWH=90° .∴.△PQM≥△HBN(ASA .∴.PQ=BH …2分 (3)如图示， 2/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G O E PN M B·∠APE=LGQF sin∠APE=sin LGOF=3 5, 设EA=3k,EP=5k,则AP=4k, .BP=EP=5k AB=AP+BP=9k P0=3V10 ∴.BE=2BH=2PQ=6N10 在RtAABE中，AE2+AB2=BE2, .(3k2+(9k)=(610)2 ·k=2或k=-2（舍去)， ∴.EA=6,EP=10,AP=8,AB=18 AD=9」 .DE AD-EA=3, ∠A=∠D,LDEG=∠APE, .△EAP∽△GDE, AP EP 810 :DEGE,即3GE, ..GE=15 ,经检验：符合题意， .FG=EF-GE=9_15_21 44· ….3分 20. 【详解】(1)解：过点D作DELAB于点E, AC=6,BD是AC边中线， .CD=AD=3. 3/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 LC=90°，BC=4, BD-CD+BC+4-5. AB-AC+BC6+423 AC AE .cos/A=AB AD 6 AE 2=3, 9V13 解得AE=13, 32 9V13 ∴DE= 6√13 AD-AE? 13 13 DE 6V13 'sinLABD-DB=65 3分 E D B G (2)过点F作FP1BD于点P, 2C=90°， 又DG平分∠BDC, .CF-=FP. 又∠DPF=90°，DF=DF, 'Rt△CDF≌Rt△PDF(HL) :CD=DP, 又CD=3,BD=5, 4/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DP-3,BP=2, LC=LBPF=90°，∠DBC为公共角， △BPF△BCD, BP BF BC BD' 2 BF 45, 解得B-2.5, CF=BC-BF-4-2.5=1.5, LC=LG=90°，∠DFC=LBFG △BFG∽△DFC, BF BG DF-DC 35 又DF=VCD2+FC2=V32+1.5=2, 2.5 35=BG, 23 解得8cV5 ….4分 D 21. 【详解】(1)解：过点A作AE⊥BC于点E,则∠AEB=∠AEC=90° 5/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y D n B E ∠C=∠D=90° .∠C=∠D=∠AEC=90°， 四边形ADCE是矩形， AD=CD=4 ∴.AD=CD=AE=CE=4, 在RA1BE中，sinB=15=4 AB5行…3分 (2)解：由对称可得，AB=A0=5,∠APB=∠AP9,BP=P0, 由(1)知AE=4,∠AEB=90° BE=AB2-AE7=3 .BC=BE+CE=3+4=7, 当点Q落在边BC上时，则∠APB+∠APQ=180° B E .∠APB=∠APQ=90° ∴，此时点P与点E重合， ..BP=BE=3, 当点Q落在边CD上时， 6/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 0 EP C 设BP=PO=x,则CP=BC-BP=7-x .∠D=90°， :D0=VA02-AD=3 .C0=CD-D0=4-3=1, ∠C=90° PO=CP+CO r2=(7-x)2+1 解得x2 , …此时BP= 25 7…2分 :当点0落在四边形ABCD内部（合边泉）时，BP长的取值范国为3≤BP≤ 7; ②连接AM,延长QP交AM于点K,过点A作AG⊥DM于点G,连接KG, D B PE M 由对称可得，AB=A0=MQ=5,∠B=∠AQP,QK⊥AM .KA=KM, 7/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AM=2AK=2A0:sin∠A0P=2x5×4=-8 DMI‖AB .∠ADG+∠BAD=180° ∠C=∠D=90° .∠C+∠D=180° ADI‖BC .∠B+∠BAD=180° ∴.∠B=∠ADG, 416 .AG=AD.sin∠ADG=4x4 5 DG=AD-AG-5 MG-VAM-AG-821 DM=DG+MG=12+821 5, :∠B=∠ADG,B=∠AQP ∠AQP=∠ADG ∠AGD=∠AKQ=90° .△AGD△AKQ,∠KAQ=∠GAD AG AD ·AKA0,∠KAG=∠0AD' AG AK ·.ADAg △KAG∽△QAD ∠AGM=90°，KA=KM 8/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..KA=KG OA=OD=5 .△DMg的周长 DM+0D+QM=12+82I+5+5-2+82 5 5 …2分 22. 【详解】 (I)在△ABC中，AB=AC, 又：∠B=60°， △ABC是等边三角形， .AB=AC=BC. :sad4-BC=BC=1 AC AB 故本题应填写：1.2分 (2) C 如图，过点A作AD1BC,垂足为D. 设AB=AC=2a(>0). ∠BAC=120°，AB=AC,AD1BC, ∴.在等腰三角形ABC中，BD=CD,∠B=LC-30° ∴在Rt△ADB中， BD=AB.cos.∠B=AB.cos30°=V3a CD-BD=a BC=BD+CD=3a+3a=2v3a sad∠BAC= BCBC_2Ba= AC AB 2a 2分 9/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③)sad/C=v2,sadz4=25 sad∠B= 5·具体求解过程如下 y D ① ② ③ ④ 根据题意画出如图①所示的Rt△ABC. 设4B5ao0,则根据sinA=5可知，BC4a,AC3a,cosA 4 5 下面求解∠C的正对函数值 如图②，在线段CB上截取CDCA,则△ACD是以∠C为顶角的等腰三角形 LC=90°，CD=CA=3a, ∴在Rt△MCD中，AD=VCD2+C=V3a}+(3a=3V2a adc=”0-3@-2 CA CD 3a 下面求解∠A的正对函数值， 如图③，在线段AB上截取AE=AC,则△ACE是以∠A为顶角的等腰三角形 过点E作EFLAC,垂足为F .EFLAC,AE=AC=3a, 412 ∴.在Rt△AFE中，EF=AE·sinA=3ax4= 39 aAF=AE.cos A=3a×2= 55“, .FC=AC-AF=3a-9a=6 5a=5a, 5 12 6)2 6N5 ∴在Rt△CFE中， CE=EF2+FC2 ÷sad∠A= CECE 25 AC AE 5. 下面求解∠B的正对函数值 10/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图④，在线段AB上截取BG一BC,则△BCG是以∠B为顶角的等腰三角形 过点G作GHLAC,垂足为H. .BG=BC=4a,AB-5a, .AG=AB-BG=5a-4aa. .GHLAC,AG-a, 六在AG中，G=4Gn4-0,4h=4GosA=3 :HC=AC-AH =3a- 3.12 5as 5a, CG=GH2+HC2 42122 4V10 ∴，在Rt△CHG中， +5a s a Asad∠B=CC-CGVo BC BG 5 3分 23 【详解】(I)解：过点C作CH∥AB交AD的延长线于点H, B D 图1 .CH∥AB ∠H=∠BAD=75°， ∠ACH=180°-∠CAD-∠H=180°-75°-30°=75°， .∠ACH=∠H, :.AC=AH, CH∥AB,BD=2DC .△ABD∽△HCD AD_BD-2. :DH CD 11/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AD=2DH AD=2, .DH=1, .AH=AD+DH=3. ∴.AC=AH=3 3分 2)解：过点C作CF⊥DE于点F. B 图2 '∠BAD=∠CFD=90° AB∥CF, △ADBAFDC, AD BD AB DF DC CF ≥2， AD=2, .DF=1,AF=3 ,2分 在Rt△ACF中，.∠CAF=30°， .CF=AF.tan∠CAF=√5，AC=2CF=2√3 ∠ACE=75°， ∴∠AEC=180-30°-75°=75°， ∴.∠ACE=∠AEC, ..AE=AC=23 :AB=2CF=23 在Rt△ABE中，BE=VAB2+AE=2V6 2分 24. 12/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：延长CD,交AB于点N,过点A作AM⊥BC于点M, ∠BAD=60°，BD=2,AD⊥BD, AB BD 245 sin∠BAD sin60°=3，∠ABD=30°， ,边BD绕点D逆时针旋转120°得到DC,, ∠BDC=120°，CD=BD=2, .∠BDN=60°，∠DBC=30°， ∴.∠BND=90°， .DN=BD.sin∠ABD=2sin30°=1， ∴CN=CD+DN=3, 过点D作DF⊥BC于点F, BF=BD.cos∠DBC=2cos30°=V5 BC=2BF=23 .AB.CN=BC·AM, 4w 2×3=2V3AM 即3 解得：AM=2, 点A到BC的距离为2：2分 2分 (2)略 (3)解：如图，以BD为边，构造等边三角形BDG, .∠G=60°， 13/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAD=60°， 点A、G、B、D四点共圆， 令aBDG外心为点O, 当AF经过点O时，AF取最大值， 过点O作OK⊥BD于点K,作OH⊥BC于点H, :点O为△BDG外心，△BDG为等边三角形， <08K=0队-8c=l, 0B=BK.c0s30°=2V3∠0BH=60° :01=0B=25 3,BH=OB:cos∠OBH=3,OH=OB.sin∠OBH=1 点F是BC中点， .h HF=BF-BH= 3, 根据勾股定理可得： OF-JO+H 3, :4F=0A+0F=23+27 3 2√5+√21 即线段AF的最大值为3 .3分 G D B 14/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25」 【详解】(1)解：二次函数y=-+r+ 的图象经过点 A(-3,0) 将点 -30)代入y=-r+x+3,则9-36+3=0 解得b=-2 =-x2-2x+3 二次函数的解析式为 .2分 (2)解：过点C作CT⊥AB于点T 对于少-2-2x+3 ，少3 当t=0 B(03) .OB=3, 1(-3,0) 0A=3, :AB=V042+0B2=3V2 y=-x2-2x+3=-(x+12+4 ∴对称轴为直线x=-1 C(-L0) 0C=1 AC=-1-（-3)=2 BC=JOC2+08=10 CT⊥AB 15/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABxCT-ACxOB C7=2x3 35 BT=VBC2-CT=2√2 os∠ABC=B7=22_2V5 ∴.在RtaBCT中， BC 10 .2分 (3)解：过点D作E1x轴交AB、x轴于点D,E, E CO 图2 由(2)知OA=OB=3. ∠AOB=90° .∠A=45°， .∠ADE=∠QDP=45°，△ADE为等腰直角三角形 QP⊥AB ·△QDP为等腰直角三角形，OP=DP .OD=OP+DP2=DP 设P见=PD=m,QD=V2m “,则 同理设DE=1E=n,则D=V21 ..OE=OA-AE=3-n :n-3,n+2mj 16/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将点n-3n+V2m 代入y=-x2-2x+3 则-(n-3)-2n-3)+3=n+V2m 整理得， .BP=AB-AP=3V2-Vn-m .BP+2P0=3W2-2m-m+2m=3V5-2n-2+3 n 2 BP+2PO=-2, n+3v2 整理得， 2 设抛物线顶点为点F,对称轴与线段AB的交点为点G, y=-(x+1)2+4 :F(-L4) 同理可得△ACG为等腰直角三角形， ∴CA=CG=2, G-12) BF2+BG2=(-1-0)2+(4-3)}+(-1-0)2+(3-2)}=4FG2=(4-2)2=4 BF2+BG2=FG2 BF⊥AB ,当点P与点B重合时，则点Q与抛物线顶点F重合，则点D为抛物线对称轴与线段AB的交点G, .0<n≤2， 0 2 17/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 1 n=- .当 2× 2 取得最大值， 2 BP+2PO V2 1)2 21 最大值为 2 2 +32=252 2 8 3分 26. 【详解】(1)解：如图，以AB为x轴，CD为y轴，建立坐标系， .AC=CB=10m,CD=10m, :1(-10,0).B(I0,0)D(0,10) 设抛物线为'=ar2+10 .100a+10=0, 解得：a=0,】 ∴抛物线为：y=一 0r2+l0(-0≤x0）ee3分 (2)解：①略.3分 ②(a)如图，连接F,过P作H1EF于H, G ----H A C B E .(8,5.2) 18/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H(354,5.2) EF=331,AE=364, .0H=362,FH=331-5.2=325.8, ∴.tan∠FQH 325.8=0.9 362 如图，若存在拱桥的AD段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等，即MG, .G1=354-x, x2+319.4 10 12+319.4 .tan∠FoH=tan∠FGl=l 354-x =0.9, (x+1)(x+8)=0 整理得： x=-1x2=-8 解得： (与P重合)， .(a)符合题意： (b)由(a)可得在拱桥的BD段不存在一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； (c)(d)当MG在BD段， F354,331) 6r=6-5q+0r416-3到） =-354+(0-194 (-354+0r+3194 19/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x=0时， GF2=3542+319.42=227332.36 当x=5时， GF2=3492+321.92=225420.61 当x=10时， GF2=3442+329.42=226840.36 .(C)(都不符合题意3分 20/20