第15章 轴对称图形与等腰三角形全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

第15章 轴对称图形与等腰三角形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 轴对称与成轴对称图形识别判断 题型2 找对称轴、数对称轴条数 题型3 利用轴对称性质求线段、角度 题型4 平面直角坐标系中点关于坐标轴的对称点坐标 题型5 画轴对称图形 题型6 线段垂直平分线判定与性质基础计算 题型7 垂直平分线、角平分线的应用 题型8 角平分线的判定与性质基础计算 题型9 等腰三角形的判定与性质基础计算 题型10 含 30°角直角三角形性质基础题 核心提升：重难题型归纳 题型1 折叠问题中的轴对称与边角计算 题型2 线段垂直平分线综合求周长、角度 题型3 等腰三角形三线合一综合证明 题型4 等边三角形的判定和性质综合 题型5 最短路径问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 轴对称与成轴对称图形识别判断 1．下面倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 2．下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据成轴对称的性质，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，只有选项B中的两个字母“F”关于镜面成轴对称，其它选项中的两个字母“F”的对应点连线与镜面不垂直，不成轴对称. 3．下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是两图形成轴对称的定义，解题关键是熟练掌握某两个图形沿着一条直线对折，能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线形成轴对称． 根据两图形成轴对称的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两图形大小不相等，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，能找到直线使两图形完全重合，符合定义，符合题意． 故选：． 4．下列图形中不是轴对称图形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形就是轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义逐项分析判断如下： A．不是轴对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． ◆题型2 找对称轴、数对称轴条数 1．下面图标中，不只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是轴对称图形，没有对称轴，不符合题意； B、有3条对称轴，符合题意； C、有1条对称轴，不符合题意； D、有1条对称轴，不符合题意． 2．下列四个图形中，对称轴数量最多的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念，分别找出各图形的对称轴条数，然后进行比较即可得出答案． 【详解】解：A、该图形是等边三角形结构，有条对称轴； B、该图形不是轴对称图形，有条对称轴； C、该图形是正五边形与五角星的组合，有条对称轴； D、该图形是圆与正六边形的组合，有条对称轴， 对称轴数量最多的是D． 3．下列图形中有且只有3条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，有条对称轴，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，有条对称轴，不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，有条对称轴，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，有条对称轴，符合题意． 4．如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴． 【详解】解：依据轴对称图形的意义，沿着对称轴所在的直线对折，对折后的两部分能够完全重合， 雪花有6条对称轴． 故选C． ◆题型3 利用轴对称性质求线段、角度 1．如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质得到，结合周长的计算即可求解． 【详解】解：∵、分别是P关于、的对称点， ∴， ∵的周长， ∴的周长 ． 2．如图：已知与关于直线成轴对称，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质得出，，利用三角形内角和求出的度数，再根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：与关于直线成轴对称， ∴, ，， 在中，， ， 是的外角， ． 3．如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 【答案】/115度 【分析】先由轴对称性质得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由轴对称性质得， ∵， ∴． 4．如图，四边形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴，，，则四边形的周长为_____． 【答案】11 【分析】根据轴对称图形的性质可得到、的长度，即可计算四边形的周长． 【详解】解：四边形是关于对角线对称， ，， 四边形的周长为． 13．如图，与关于直线成轴对称．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】首先，根据轴对称的性质得到，，再由，，三角形的内角和为即可得出的度数． 【详解】解：∵与关于直线成轴对称，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ◆题型4 平面直角坐标系中点关于坐标轴的对称点坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的的坐标为． 2．点与点B关于x 轴对称，则点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 3．若点关于轴的对称点是，则______________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求出的值. 【详解】解：点与点关于轴对称， . 4．若点关于x轴对称的点B在第二象限，且a为整数，则点A的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律得到点B的坐标，再结合第二象限点的坐标特征列不等式组，求出整数的值，代入计算得到点的坐标． 【详解】解：∵点关于轴对称的点B坐标为，且点B在第二象限，第二象限点横坐标小于，纵坐标大于， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴， ∵为整数， ∴， 将代入点的坐标，得横坐标，纵坐标， 因此点的坐标为． ◆题型5 画轴对称图形 1．如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 【答案】 解：如下图即为所求， 【分析】分别作出特殊点关于直线的对称点，顺次连接对应点得到的图形即为所求． 【详解】略 2．如图，在的正方形网格中，请在图中画出所给图形关于直线l对称的图形． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质作图即可． 【详解】略 3．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，按要求作图，并保留作图痕迹（提示：作图时，先用铅笔作图，确定不再修改后用签字笔描黑） (1)作图，在图中，作出，使得与关于直线l成轴对称； (2)求的面积 【答案】(1)如图，即为所求； (2)6.5 【分析】（1）分别作出点关于直线l对称的点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解． 【详解】（1）略 （2）解：的面积． 4．分别以图中直线l为对称轴，画出图形的另一半．先想一想，再画一画． · 【答案】如图所示： 【详解】略 ◆题型6 线段垂直平分线判定与性质基础计算 1．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点， ∴ ∵的周长为 ∴ ∴的周长为． 2．陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等． ∴观景台应建在三条边的垂直平分线的交点处． 3．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 【答案】4 【分析】根据画图过程可得垂直平分，则，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程得垂直平分， ， ∴． 4．如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长和的周长求出的长，进而求出的长． 【详解】解：是的垂直平分线 ， 的周长为厘米 ，即 的周长为厘米 ． 5．如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：． (2)若时，求的长． 【答案】(1)证明：点是的中点， ， ， ， ． (2)6 【分析】（1）由平行线的性质可得，再根据“”证明即可； （2）由垂直平分线的性质可得，结合全等的性质可知，再根据进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：点是的中点，， ， 由（1）得：， ， ． ◆题型7垂直平分线、角平分线的应用 1．校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到三面墙的距离都相等，请确定点的位置． 【答案】 点如图所示． 【分析】明确到角两边距离相等的点在角的平分线上，因为点P需要同时到的距离相等，所以点P在的角平分线上．因为点P还需要到的距离相等，所以点P也在的角平分线上．两个角平分线的交点即为满足条件的点P，通过尺规作图作出两个角的平分线，取交点即可． 【详解】解：作的角平分线，再作的角平分线， 两条角平分线在图中围成区域内的交点就是满足条件的点． 理由：∵点在的平分线上， ∴到、距离相等； 又∵点同时在的平分线上， ∴到、距离相等； ∴到、、距离相等； 最终就是点到三面墙的距离都相等，符合要求． 2．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据． 【答案】解：如图所示，作线段的垂直平分线，再作的角平分线交线段的垂直平分线于点P，则点P即为所求； 由线段垂直平分线的性质可得点P到两个城镇A，B的距离相等，由角平分线的性质可得点P到两条高速公路和的距离也相等． 【分析】点P到两个城镇A，B的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，点P到两条高速公路和的距离相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可． 【详解】略 3．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 【答案】(1)4 (2) 如图所示，、、、即为加油站的位置， (3)角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质，尺规作图-作角平分线等知识，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质即可得出结论； （2）利用角平分线的性质作出图形即可； （3）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）的平分线交点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个， 故答案为：4； （2）略 （3）解：作图的依据是角平分线的判定定理， 故答案为：角平分线的判定定 ◆题型8角平分线的判定与性质基础计算 1．如图，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证出是的角平分线，得出，再利用三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴是的角平分线，， ∴， ∴． 2．如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 【答案】A 【分析】利用角平分线的性质定理得出点到三角形三边的距离相等，将的面积转化为三个小三角形面积之和进行计算． 【详解】解：如图所示，作于点，作于点，连接， ∵点是的平分线的交点，于点，且， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 4．已知，如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N．求证：． 【答案】证明：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴． 【分析】先证明，得出，说明平分，根据角平分线性质得出即可． 【详解】略 ◆题型9等腰三角形判定与性质基础计算 1．如图，在中，，平分，交于点，交于点，若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质求出和的度数，利用角平分线和平行线的性质证明、、均为等腰三角形，进而用a，b表示出的各条边长，最后合并化简即可． 【详解】解： ∴， 平分 ， ，， ，， ， ， ， ， ∴， ， 的周长． 2．如图，在中，，，于点A，与边交于点D，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据等边对等角，求出，角的和差关系推出，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，再根据，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵于点A， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 3．如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 【答案】5 【分析】首先证明，得到，再利用，求解即可． 【详解】解：∵， ，， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．如图，，分别是线段，上的点，，，连接，，相交于点． (1)求证：． (2)连接，是等腰三角形吗？证明你的结论． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴． (2)解：是等腰三角形．理由如下， 如图，连接， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）根据“”直接证明即可； （2）先由得到，再由得到，根据角的和差关系即可得到，从而得到，即可得出是等腰三角形． 【详解】（1）证明：略 （2）解：是等腰三角形．证明略 ◆题型10 含 30° 角直角三角形性质基础题 1．如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】过作于，根据得到，再根据中线得到，最后根据计算即可． 【详解】解：过作于， ∵，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴． 2．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角的直角三角形的对边等于斜边的一半，解题关键是理解这些图形的性质． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， 即． 3．如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若，则线段的长度等于 _______ ． 【答案】 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而，在中，，则，由此即可求解． 【详解】解：连接， 垂直平分， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ， ． 4．如图，在等边中，于D，P、Q分别是、上的点，且，，，求的长． 【答案】 【分析】求出，，，然后利用含30度直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵在等边中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ◆题型1 折叠问题中的轴对称与边角计算 1．如图，中，，点D、E分别在、上，将沿折叠得到，点A对应点F，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠确定，，利用邻补角的关系求出，进而求出，的度数，再根据三角形外角的定义求出，又利用邻补角的关系求出，即得，问题随之得解． 【详解】解：由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．48 D．56 【答案】C 【分析】利用折叠的性质得到对应线段相等，将阴影部分周长中的线段等量代换，转化为长方形的周长，代入数值计算得到结果． 【详解】解：根据折叠的性质，得，，， ∴阴影部分图形的周长 ． 3．如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则_______． 【答案】/50度 【分析】根据平行线的性质求出的度数，再根据折叠的性质得出，最后利用平角的定义即可求解． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质可知， ． 4．如图，在中，，． (1)求的度数； (2)是线段上一点，连接，将沿折叠，点落在同一平面内的点处，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）由折叠可知，由平行线的性质可得，求出，再由折叠的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：由折叠可知．   ∵， ∴．   ∴．   由折叠可知． ◆题型2 线段垂直平分线综合求周长、角度 1．如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长． 2．如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，进而可得的周长为，即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 3．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，，，进而得到，结合三角形周长公式及线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， 垂直平分，， ，， 是线段的垂直平分线， ，， ， 的周长为38， ， ， ， ． 4．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； (3)结论：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， 即． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ◆题型3 等腰三角形三线合一综合证明 1．如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形的三线合一求出，再求出，继而根据三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由三角形中线的性质得出，从而可得，由等腰三角形的性质可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴． 3．如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 【答案】3 【分析】过P作于点D，则，从而得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的“三线合一”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴． 4．如图，中，，点在上，点在上，，． (1)若，求的长． (2)的度数为______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作交于点，通过证明得到，再利用等腰三角形三线合一得到，从而求得的长； （2）利用等腰三角形等边对等角以及第一问得到的角度关系，结合三角形内角和为计算出的度数． 【详解】（1）解：如图所示，过点作交于点． ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ． ，， ． （2）解：设的度数为， ， ， 又， ． ，， 为等腰直角三角形， ． 在中，根据三角形内角和为， ， 即， 解得， ． ◆题型4 等边三角形的判定和性质综合 1．如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，连接，利用邻补角定义求出的度数，结合判定为等边三角形，从而得出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 2．如图，是的中线，，，把沿直线折叠后，点落到的位置上，那么为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据中点的性质得．再根据折叠得，判定为等边三角形即可求． 【详解】解：∵，是的中线， ∴． 由折叠可得：，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 3．如图，在中，，是的中点，若，则的度数为________． 【答案】/75度 【分析】先证明是等边三角形，，然后求出的度数，再由三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴． 4．如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明：∵、都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵， ∴，， ∵分别是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）首先结合等边三角形的性质证明，进一步可得，然后利用“”证明即可； （2）首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型5 最短路径问题 1．如图，在中，，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F．在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到的长度的最小值是解题的关键．由垂直平分，得到点关于直线对称，于是得到的长度的最小值，即可得到结论． 【详解】∵，D是的中点， ∴， ∵垂直平分， ∴， 如图，当P为与的交点时，取最小值， 此时， ∴的最小值为， 故选：B． 2．如图，等腰中，是的中点，分别是和上的动点，能使的值最小，这个最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形面积计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．连接，过点C作于点G，根据题意得出所在直线是等腰的对称轴，根据两点之间线段最短和垂线段最短，得出的最小值为的长，根据三角形面积，求出结果即可． 【详解】解：连接，过点C作于点G， 是的中点， 所在直线是等腰的对称轴， ， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， 的最小值为的长， ， ∴． 故答案为：． 3．如图，四边形的对角线、相交于点E，，，，． (1)求证：垂直平分； (2)求的长； (3)若点F为的中点，请在上找出一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【答案】(1) 解： ， 点在线段的垂直平分线上； ， 点在线段的垂直平分线上， 垂直平分； (2) (3)的最小值为3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等； （1）由线段垂直平分线的判定定理得点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，即可得证； （2）结合等边三角形的性质及直角三角形的特征得，，即可求解； （3）连接，由线段垂直平分线的性质得，可得，由等边三角形的性质即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：，垂直平分，， ，， ， ， ， ，， ； （3）解：连接交于点，则点即为所求； 连接， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ， 即的最小值为3． 4．综合与实践： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让李明想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 可以转化为数学模型：如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 已知：如图2，点A是锐角内部任意一点， 在的两边，上各取一点B，C，组成三角形，使的周长最小． (1)借助直角三角板在图2中找出符合条件的点B和C； (2)若（1）中的，，求的最小周长． 【答案】(1) 点B和C即为所求： (2)10 【分析】本题考查轴对称的最短路径问题，掌握作对称点构造将军饮马模型是解题的关键． （1）作点关于、的对称点，，连接交相交于，则点B，C即为所求； （2）根据对称性可得，，即可得到为等边三角形，然后根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）连接 ． 由对称性可知是的垂直平分线， ∴，   ∴为等腰三角形，， 同理可证得：是的垂直平分线，是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 连接，则， ∴， 由两点之间，线段最短可知，此时最小， ∴的周长最小值为． 1．近年来，人工智能发展迅速，开始走进千家万户，为我们的日常生活增添更多便利．下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、它不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、它是轴对称图形，故本选项符合题意； C、它不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、它不是轴对称图形，故本选项不合题意． 2．如图，成轴对称的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折后能够完全重合，这样的图形称为轴对称图形，根据此定义判断即可． 【详解】解：图②、③成轴对称． 故选B． 3．如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵是的边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长是：． 4．如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，可知平分，即，根据三角形外角的性质求出的值即可． 【详解】解：如图，作于，于，于， ∵， ∴平分， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 5．在下图的三角形中，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形性质得出底角相等，结合平角定义求出 的度数，再利用三角形外角性质求解． 【详解】解：， ， ， ， 是的外角，是的外角， ， ． 6．在平面直角坐标系中，点A与点关于x轴对称，点A与点关于y轴对称，已知点的坐标为，则点的坐标为_____________ 【答案】 【分析】关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据规律先求点的坐标，再求点的坐标即可． 【详解】解：点与点关于轴对称，已知点， 点的坐标为， 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 7．如图，将一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，，结合平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，最后利用平行线的性质求出的度数. 【详解】解：如图， 由折叠的性质可得，， 四边形是长方形， ， ， ， ， ， ， ， ， . 8．如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】连接，由垂直平分线的性质得，推出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，P，C三点共线时，取得最小值，即的长度， ∵， ∴的最小值是． 9．如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，根据的面积为，求出，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求出． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， ， ， ， ， 是的平分线，， ． 10．如图，中，G、D两点分别在、上，为的中垂线，为的角平分线，若，则__ ． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义可得，结合线段垂直平分线的性质可推出，然后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， ∵为的中垂线， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，，且的内角和为， ∴， ∴，， ∴． 11．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标； (2)请在轴上画出点的位置，使得最短（保留作图痕迹，不写画法），并直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对称的性质即可作出图形； （2）根据对称的性质可知，当且仅当三点共线时，最小来求解． 【详解】（1）略； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ， ， 当三点共线时最短， ， 结合图形，得． 12．如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据垂直平分线的性质得出，，即可证明，得出，，根据平行线的性质得出，，，根据平角的定义即可求出的度数； （2）根据的周长为，结合得出，根据的周长为得出，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵垂直平分， ∴，， 在与中，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为，， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 13．如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】连接,作的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即为加油站的位置． 【详解】以点O为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点G，作射线；连接，再分别以点C、D为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线，直线与射线交于点P，点P 即为所作， 作图见答案． 简单证明：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，即有点P到、的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到这条线段两个端点的距离相等，即有，问题得证． 14．如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可得； （2）利用面积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵平分，于点，于点，且， ∴． （2）解：∵， ， ∴， 又∵是的高， ∴， 即， 解得． 15．如图， 是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的．已知过点，交于点． (1)求的大小． (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) 证明：∵是等边三角形，是的中点， ∴，，即， ∵，垂足为， ∴，即为直角三角形； ∵是由沿方向平移得到的，且过点， ∴， ， ∴即， 在和中， ∴， ∴； ∴在中， ∵中有， 由（1）得， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质，可得，又因为，可得，再根据即可求解； （2）由等边三角形与三线合一性质可得，，由线段平移可得，又因为同旁内角互补可得，再有公共边，由得，全等三角形对应角相等得，再由三角形内角和定理可得，根据等边三角形的判定定理即可求解． 【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，是的中点， ∴为的高线、中线和角平分线， 即，，， ∵，垂足为， ∴， 又∵， ∴ ． （2）略． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 轴对称图形与等腰三角形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 轴对称与成轴对称图形识别判断 题型2 找对称轴、数对称轴条数 题型3 利用轴对称性质求线段、角度 题型4 平面直角坐标系中点关于坐标轴的对称点坐标 题型5 画轴对称图形 题型6 线段垂直平分线判定与性质基础计算 题型7 垂直平分线、角平分线的应用 题型8 角平分线的判定与性质基础计算 题型9 等腰三角形的判定与性质基础计算 题型10 含 30°角直角三角形性质基础题 核心提升：重难题型归纳 题型1 折叠问题中的轴对称与边角计算 题型2 线段垂直平分线综合求周长、角度 题型3 等腰三角形三线合一综合证明 题型4 等边三角形的判定和性质综合 题型5 最短路径问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 轴对称与成轴对称图形识别判断 1．下面倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C． D． 3．下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 4．下列图形中不是轴对称图形的是（     ）． A． B． C． D． ◆题型2 找对称轴、数对称轴条数 1．下面图标中，不只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 2．下列四个图形中，对称轴数量最多的是（     ） A． B． C． D． 3．下列图形中有且只有3条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 ◆题型3 利用轴对称性质求线段、角度 1．如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 2．如图：已知与关于直线成轴对称，，则（     ） A． B． C． D． 3．如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 4．如图，四边形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴，，，则四边形的周长为_____． 13．如图，与关于直线成轴对称．已知，，求的度数． ◆题型4 平面直角坐标系中点关于坐标轴的对称点坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的坐标为（      ） A． B． C． D． 2．点与点B关于x 轴对称，则点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．若点关于轴的对称点是，则______________． 4．若点关于x轴对称的点B在第二象限，且a为整数，则点A的坐标为_________． ◆题型5 画轴对称图形 1．如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 2．如图，在的正方形网格中，请在图中画出所给图形关于直线l对称的图形． 3．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，按要求作图，并保留作图痕迹（提示：作图时，先用铅笔作图，确定不再修改后用签字笔描黑） (1)作图，在图中，作出，使得与关于直线l成轴对称； (2)求的面积 4．分别以图中直线l为对称轴，画出图形的另一半．先想一想，再画一画． · ◆题型6 线段垂直平分线判定与性质基础计算 1．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 3．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 4．如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 5．如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：． (2)若时，求的长． ◆题型7垂直平分线、角平分线的应用 1．校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到三面墙的距离都相等，请确定点的位置． 2．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据． 3．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． ◆题型8角平分线的判定与性质基础计算 1．如图，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 3．已知，如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N．求证：． ◆题型9等腰三角形判定与性质基础计算 1．如图，在中，，平分，交于点，交于点，若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，于点A，与边交于点D，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 4．如图，，分别是线段，上的点，，，连接，，相交于点． (1)求证：． (2)连接，是等腰三角形吗？证明你的结论． ◆题型10 含 30° 角直角三角形性质基础题 1．如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 2．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若，则线段的长度等于 _______ ． 4．如图，在等边中，于D，P、Q分别是、上的点，且，，，求的长． ◆题型1 折叠问题中的轴对称与边角计算 1．如图，中，，点D、E分别在、上，将沿折叠得到，点A对应点F，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．48 D．56 3．如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则_______． 4．如图，在中，，． (1)求的度数； (2)是线段上一点，连接，将沿折叠，点落在同一平面内的点处，且，求的度数． ◆题型2 线段垂直平分线综合求周长、角度 1．如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 4．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． ◆题型3 等腰三角形三线合一综合证明 1．如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 4．如图，中，，点在上，点在上，，． (1)若，求的长． (2)的度数为______． ◆题型4 等边三角形的判定和性质综合 1．如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的中线，，，把沿直线折叠后，点落到的位置上，那么为（     ） A．1 B． C．3 D． 3．如图，在中，，是的中点，若，则的度数为________． 4．如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． ◆题型5 最短路径问题 1．如图，在中，，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F．在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（   ） A．9 B． C． D． 2．如图，等腰中，是的中点，分别是和上的动点，能使的值最小，这个最小值为________． 3．如图，四边形的对角线、相交于点E，，，，． (1)求证：垂直平分； (2)求的长； (3)若点F为的中点，请在上找出一点P，使的值最小，并求出的最小值． 4．综合与实践： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让李明想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 可以转化为数学模型：如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 已知：如图2，点A是锐角内部任意一点， 在的两边，上各取一点B，C，组成三角形，使的周长最小． (1)借助直角三角板在图2中找出符合条件的点B和C； (2)若（1）中的，，求的最小周长． 1．近年来，人工智能发展迅速，开始走进千家万户，为我们的日常生活增添更多便利．下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（     ） A． B．C． D． 2．如图，成轴对称的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 3．如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 4．如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．在下图的三角形中，，，，则（     ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，点A与点关于x轴对称，点A与点关于y轴对称，已知点的坐标为，则点的坐标为_____________ 7．如图，将一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为_________． 8．如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____________． 9．如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______． 10．如图，中，G、D两点分别在、上，为的中垂线，为的角平分线，若，则__ ． 11．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标； (2)请在轴上画出点的位置，使得最短（保留作图痕迹，不写画法），并直接写出点的坐标． 12．如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 13．如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 14．如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 15．如图， 是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的．已知过点，交于点． (1)求的大小． (2)求证：是等边三角形． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第15章轴对称图形与等腰三角形全章高频重点题型突破 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1轴对称与成轴对称图形识别判断 1.B 2.B 3.D 4.下A ◆题型2找对称轴、数对称轴条数 1.B 2.D 3.D 4.C ◆题型3利用轴对称性质求线段、角度 1.B 2.B 3.115° 4.11 13.70° ◆题型4平面直角坐标系中点关于坐标轴的对称点坐标 1.C 2.C 3.-5 4.（-1,-3) 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5画轴对称图形 1. 【答案】 解：如下图即为所求， M 【答案】 3.如 【答案】(1)如图，△AB'C'即为所求： B (2)解：A4BC的面积=3x5-x2x3- 2x3-1x1x5=6.5 2 4. 【答案】如图所示： 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型6线段垂直平分线判定与性质基础计算 1.C 2.C 3.4 4.2.5 5. (1)证明：：点D是BC的中点， :BD=CD BF∥AC, ∴∠F=∠DEC,∠FBD=∠C, ∴△BFD≌ACED(AAS) (2)解：~点D是BC的中点，AD⊥BC, .AC=AB=8. 由(1)得：△BFD≌△CED」 ∴CE=BF=2, ∴.AE=AC-CE=8-2=6 ◆题型7垂直平分线、角平分线的应用 1. 【答案】 点P如图所示 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【详解】解：作∠ABC的角平分线，再作∠BCD的角平分线， 两条角平分线在图中围成区域内的交点就是满足条件的点P, 理由：点P在∠ABC的平分线上， .P到AB、BC距离相等： 又，点P同时在∠BCD的平分线上， ∴.P到BC、CD距离相等： .P到AB、BC、CD距离相等： 最终就是点P到三面墙的距离都相等，符合要求。 2. 】解：如图所示，作线段AB的垂直平分线，再作∠MON的角平分线交线段AB的垂直平分线于点P,则 点P即为所求： M ●A 由线段垂直平分线的性质可得点P到两个城镇A,B的距离相等，由角平分线的性质可得点P到两条高速 公路OM和ON的距离也相等。 【详解】(1)解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组） 的平分线交点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个， 故答案为：4： (2) 如图所示，？、、、？即为加油站的位置， 4/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：作图的依据是角平分线的判定定理， 故答案为：角平分线的判定定 ◆题型8角平分线的判定与性质基础计算 1.B 2.A 3. 【答案】证明：，BD是∠ABC的平分线， ·∠ABD=∠CBD AB=BC,BD=BD, .△ABD≌aCBD(SAS), .∠ADB=∠CDB, DB平分∠ADC, PM⊥AD,PN⊥CD, .PM=PN ◆题型9等腰三角形判定与性质基础计算 1.B 2.B 3.5 4. 【答案】(1)证明：在aOAC和△OBD中， 5/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OC=OD ∠AOC=∠BOD OA=OB ·aOAC≌aOBD(SAS) (2)解：△EDC是等腰三角形.理由如下， 如图，连接CD B D C OC=OD .∠OCD=LODC, 由(1)知，△OAC2△OBD, ∴.∠OCA=∠ODB, ∴.∠OCD-∠OCA=∠ODC-∠ODB,即∠ECD=∠EDC, .EC=ED :.△EDC是等腰三角形 ◆题型10含30°角直角三角形性质基础题 1.B 2.A 3.16 4. 【详解】解：AD⊥BC, ∠ADC=90°， :PQ∥AD .∠PQC=∠ADC=90° 6/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,在等边△ABC中，∠C=60°，AD⊥BC, .∠CP2=30°，BD=CD,AB=BC, .PC=2C9=1 .∠PD0=30°. .∠DPC=90°， .CD=2PC=2, .BC=2CD=4, .'AB=BC=4 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1折叠问题中的轴对称与边角计算 1.C 2.C 3.50° 4. 【详解】(1)解：：∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=50°，∠B=28°， ∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-28°=102°： (2)解：由折叠可知∠A=∠A=50°. A'D∥BC, ·∠A'CB=∠=50° :.∠ACA=∠ACB-∠ACB=102°-50°=52° 由折叠可知∠ACD=∠ACD=!∠ACA=26° ◆题型2线段垂直平分线综合求周长、角度 1.D 2.C 3.12 4. 7/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)证明：：AD∥BC, ∴.∠EAD=∠F,∠D=∠ECF. 又E为CD的中点， .DE=CE, 「∠EAD=∠F 在 和 中 ∠D=∠ECF, △ADE△FCE DE=CE .△ADE≌aFCE(AAS), ∴.AD=FC (2)i证明：，△ADE≌aFCE, ∴AE=FE, 又，BE⊥AE, ∴.BE是AF的垂直平分线： (3)结论：AB=BC+AD,理由如下： 在△AEB和△FEB中， AE=FE ∠AEB=∠FEB=90° BE=BE :△AEB≌△FEB(SAS), ∴AB=FB, 由(1)可知FC=AD, .AB=FB=BC+FC=BC+AD 即AB=BC+AD ◆题型3等腰三角形三线合一综合证明 1.B 2.C 3.3 4. 【详解】(1)解：如图所示，过点E作EF⊥AD交AD于点F, 8/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B C .∴.∠EFD=90° :∠DEF+∠EDF=90°」 又：∠BDE=90°， ∴.∠EDF+∠BDC=180°-∠BDE=90°， ∴∠DEF=∠BDC, 在△DEF和△BDC中， I∠DEF=∠BDC ∠EFD=∠C DE=BD .∴ADEF≌ABDC(AAS). ∴.DF=BC=5 EA=ED,EF⊥AD, ..AD=2DF=10 (2)解：设∠A的度数为x, EA=ED, .∠EDF=∠A=x, 又aDEF≌ABDC, ∴.∠DBC=∠EDF=x DB=DE,∠BDE=90°， :∴△BDE为等腰直角三角形， ∴.∠EBD=45°. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°， ∠A+∠EBD+∠DBC+∠C=1I80° 即x+45°+x+90°=180°， 解得x=22.5°， 9/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=22.5° ◆题型4等边三角形的判定和性质综合 1.c 2.C 3.75° 4. (1)证明：：△ABC、△DCE都是等边三角形， ∴BC=AC,CD=CE,∠BCA=∠DCE=60° :∠BCA+∠ACD=∠ACD+∠DCE,即∠BCD=∠ACE, 在△BCD和△ACE中， BC=AC ∠BCD=∠ACE CD=CE △BCD≌aACE(SAS): (2)证明：：△BCD2△ACE, ∴BD=AE,∠CBD=∠CAE, :M、N分别是线段AE、BD的中点， ÷BN=)BD=)AE=AM, 2 2 在△BCN和△ACM中， BC=AC ∠CBD=∠CAE BN=AM :△BCN≌aACM(SAS)」 :.CN=CM,∠BCN=∠ACM ∴.∠BCA+∠ACN=∠ACN+∠NCM, .∠NCM=∠BCA=60°， :.aCMN是等边三角形. 10/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5最短路径问题 1.B 2.4.8 3. 【答案】(1) 解：AD=DC, ∴点D在线段AC的垂直平分线上： BA=BC, ∴点B在线段AC的垂直平分线上， ∴.BD垂直平分AC: (2)解：BA=BC,BD垂直平分AC,，∠CBD=30°， ∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ABD+∠BAE=90°， AD⊥AB, ∴.∠DAE+∠BAE=90° ∴.∠DAE=∠ABD=30° AD=2, .BD=4,ED=1, ∴.BE=BD-ED=4-1=3: (3)解：连接AF交BD于点P,则点P即为所求： 连接PC, D 垂直平分 .BD AC ∴.PC=PA ∴.PC+PF=PA+PF=AF」 .BA=BC=CA,BF=CF, AF⊥BC, 11/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :SA C=BC.AF AC.BE, ∴.AF=BE=3, 即PC+PF的最小值为3. 4. 【答案】(1) 点B和C即为所求： A M (2)连接OA,OA,OA" A M 由对称性可知OM是AA'的垂直平分线， 0A=0A A01为等腰三角形，∠40M=∠OM-40。 同理可证得：ON是AA”的垂直平分线，OA=OA,OA=OA',aAOA是等腰三角形， .∠A'OA"=∠AOA'+∠AOA=2∠AOM+2∠AON, ∴.∠AOM+∠AON=∠MON=30°， ∴.∠AOA"=2∠MON=60°， :OA'=OA”, ∴.△A'OA"为等边三角形， .A'A"=OA=OA”=OA=10. 连接AB,AC,则AB=AB,AC=AC, .'C.ABC AB+BC+AC=A'B+BC+A"C=A'A" 12/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由两点之间，线段最短可知，此时AA”最小， .△ABC的周长最小值为10 题型专练 高频重难特训 1.B 2.B 3.B 4.B 5.B 6.（-山，-2) 7.94 8.6 9.7 10.62° 11. 【答案】(1)4(2,4) y 3 2 B对 5-4-3-2-19 3 2 2(-3,0) 13117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B PA 5-4-3-2-1123 45x 20 (2)解：如图，作点C关于x轴的对称点C2,连接BC2交x轴于点P, 个y 2 B、P, 4-32-10 123 4 5.x 2 23 4 ∴.CP=C,P :.PB+PC=BP+C,P 当B、PC2三点共线时PB+PC最短， :.(PB+PC)nin=BP+CP=BC2, 结合图形， 得P(-3,0) 12 【详解】(1)解：如图，过点D作DH∥BC, DG H BD垂直平分AE, ∴AB=BE,AD=DE, AB=BE 在 与 中， AD=DE △ABD△EBD BD=BD 14/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△ABD≌△EBD(SSS)」 .∠ABC=30° 、∠ABD=∠EBD=)∠ABC=IS°，ADB=∠EDB :DH∥BC,∠C=50°， .∠ADH=∠C=50°，∠BDH=∠EBD=15°. :.∠ADB=∠EDB=∠ADH+∠BDH=50°+15°=65°. .∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=180°-65°-65°=50° (2)解：，△DEC的周长为10，AD=DE, .CD+DE+CE=CD+AD+CE=AC+CE=10. △ABC的周长为30， ∴，AB+BC+AC=30,即AB+BE+CE+AC=30, ∴.AB+BE=30-10=20 AB=BE, .AB=10 13. A 【答案】 F D M B 【详解】以点O为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交OA、OB于点E、F,再分别以点E、F为圆心， 以大于2EF的长度为半径画弧，两弧交于点G,作射线OG:连接CD:再分别以点C、D为圆心，以大 于2CD的长度为半径画弧，两弧分别交于点MN,作直线MN,直线M与射线OG交于点P,点P即 为所作， 作图见答案 简单证明：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，即有点P到OA、OB的距离相等：线段垂直平分线 上任意一点，到这条线段两个端点的距离相等，即有PC=PD,问题得证. 14. 15/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,且DE=3, .DF=DE=3 (2)解：SAm=)AB-DE=)x6x3=9, 8cor-×8x3=2. S.ABC=S.ABD+S.BCD=9+12=21. 又：AG是△ABC的高， ∴.SABC= 8c46=21. 即2×84G=21, 解得AG~2 4· 15. 【详解】(1)解：：△ABC是等边三角形，D是AB的中点， ·CD为△ABC的高线、中线和角平分线， 即∠A=∠B=90·AD=BD∠4cD=∠DAcB=30, 21 :CE⊥BC,垂足为C, ∴.∠BCE=90°， 又，∠ACE=∠BCE-∠ACB=90°-60°=30° .∠DCE=∠ACD+∠ACE=30°+30°=60°. 证明：：△ABC是等边三角形，D是AB的中点， .AB=BC,CD⊥AB,即∠CDA=90°， ,CE⊥BC,垂足为C, .∠BCE=90°，即△CBE为直角三角形： ,EF是由CD沿CE方向平移得到的，且EF过点A, .EF∥CD,CD⊥AB, ∴.EF⊥AB即∠BAE=90°， 在Rt△ABE和Rt△CBE中， BA=BC BE=BE 16/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.△ABE≌aCBE(HL). ∴∠ABE=∠CBE=4BC=30: ∴.在Rt△CBE中∠BEC=90°-∠CBE=90°-30°=60°， △CEG中有LCGE+∠GCE+LCEG=180°， 由(1)得∠DCE=60°， .∠CGE=180°-60°-60°=60°， :.△CEG是等边三角形， 17117