专题13 等腰三角形（专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 以“性质-判定-特殊应用”为主线，系统整合等腰三角形核心方法，通过9类精准题型实现从基础到综合的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|36题|等边对等角、三线合一性质应用；等角对等边判定（证等腰、证边等、求边长）；直线上等腰三角形存在性分析；等边三角形判定；含30°角直角三角形性质|从性质（等边对等角、三线合一）到判定（等角对等边），延伸至特殊三角形（等边、含30°角直角三角形），形成“性质应用-判定推理-特殊拓展”的逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|14题|结合几何直观的动态问题求解；跨知识点综合证明（角平分线、垂直平分线）|通过实际情境（如测平架）和综合题，发展推理能力与创新意识，衔接中考命题趋势|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题13等腰三角形 常考题型精准突破 。考点一等腰三角形●一 ◆题型1等边对等角 1.90° 【详解】解：：点D是AB的中点。CD=) .AD=BD =CD. .∠A=∠ACD,∠B=∠BCD. :∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°， .∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°， 即∠ACB=90° 2.20°/20度 【详解】解：依题意，设LB=∠C=x,∠ADE=∠AED=y, ∠EDC+x=y①， ∠EDC+y=x+40°②， 由①+②得2LEDC=40°， .∠EDC=20° 3. ∠C=80°，∠A=20° 【详解】解：：AB=AC, .∠C=∠B, ∠B=80° ∴.∠C=80°， ,三角形三个内角的和为180°， .∠A=180°-∠B-∠C=180°-80°-80°=20° 4.证明：AE‖DC, .∠C=∠AEB, 1/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=AE, .∠B=∠AEB, .∠B=∠C ◆题型2三线合一 5.3 【详解】解：如图，过P作PD⊥OB于点D, A 力 0∠60° MDN B .∠PD0=90°， .∠POD=60° :.∠OPD=90°-∠POD=30° 在RtPOD中，OD=0P=)x8=4, 1 2 ·PM=PN,PD⊥MN,MN=2, :.MD-ND-1MN-1, .OM=OD-MD=4-1=3 6.BC正好处于水平位置，理由如下： :在三角测平架中，AB=AC,D是BC的中点， .AD⊥BC(三线合一)， 又，AD自然下垂，即AD与水平线垂直， .BC处于水平位置， 7.证明：在△ABD和△ACD中， .AB=AC,DB=DC,AD=AD. .△ABD≌aACD(SSS), .∠BAE=∠CAE, .BE=CE. 2/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(1)90° (2)60° 【详解】(1)解：：AB=AC,点D是边BC上的中点， .AD⊥BC, LADC=90°： (2)解：AB=AC,∠B=30°， .∠C=∠B=30°. .∠BAC=180°-∠B-∠C=120°， :AB=AC,点D是边BC上的中点， 4-B4C=60 ◆题型3根据等角对等边证明等腰三角形 9.证明：：BD与CE是△ABC的高， .∠BEC=∠BDC=90°， 在△OBE和aOCD中， [∠BOE=∠COD ∠BEC=∠BDC=90° OE=OD .△OBE≌aOCD(AAS). .'BE=CD. 在RtABCE和Rt△CBD中， BE=CD BC=BC' .RtABCERtACBD(HL). .∠ABC=∠ACB, .AB=AC, ∴.△ABC是等腰三角形 【详解】略 10.证明：：BD平分角∠ABC, .∠ABD=∠CBD :∠BAC=∠AEB, 3/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，∠BAC=∠BAE+∠CAE」 ∠AEB=∠C+∠CAE, ∠BAE=∠C, .∠ADB=∠CBD+∠C, ∠AHD=∠ABD+∠BAE, .∠ADB=∠AHD, .AH=AD 【详解】略 11. 证明：在△ABC和△BAD中， (BC=AD, AC=BD, AB=BA, .∴AABC≌△BAD(SSS) .∠ABC=∠BAD ∴.OA=OB. 【详解】略 12.△ABC是等腰三角形，见解析 【详解】解：△ABC是等腰三角形，证明如下： DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠DEB=∠DFC=90° 在RIADEB和RtADFC中： .BD=CD,BE=CF ..RtDEBRtADFC(HL), ∴.∠B=∠C, .AB=AC, .△ABC是等腰三角形 ◆题型4根据等角对等边证明边相等 13. 证明：~在△ABC中，三角形内角和为180°，∠A=40°，∠B=70°， 4/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-70°=70°， ∴.∠C=∠B, .AB=AC 【详解】略. 14.证明：：∠ACD=∠ADC, .AC=AD .∠B=∠E=90°， ∴.△ABC和△AED都是直角三角形. 在Rt△ABC和Rt△AED中， 「BC=DE AC=AD' :.RtAABC≌RteAED(HL) ∴.∠ADE=∠ACB 15.证明：，∠ABC=∠ACB .AB=AC. :CE⊥AC, .∠ACE=90°， .∠BAC=90°， ∴，在RtABD和Rt△CAE中， AB=CA BD=AE' .Rt△ABD≌RtCAE(HL), .CE=AD 16.(1)i证明：：AD=BC,∠DAB=∠CBA,AB=BA, .△ABC≌△BAD(SAS): (2)证明：，△ABC≌aBAD ∴.∠BAC=∠DBA, ∴.EA=EB ◆题型5根据等角对等边求边长 17.C 5/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：，AB=AC, ∠B=∠C, :EP⊥BC, .∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°， ∴.∠E=∠BFP, 又∠BFP=∠AFE, ,,∠E=∠AFE, .AF=AE=2, .BF=AB-AF=5-2=3 18.2 【详解】解：，AB=AD=6、∠BAD=60°， .△ABD是等边三角形， .∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°， AB=AD,BC=DC. ∴.AC是线段BD的垂直平分线， .AG⊥BD .∠BAC=∠DAC=30°. ,CE∥AB, :.∠ACE=∠BAC=∠DAC=30°，· ∴.AE=CE=4, ∴.DE=AD-AE=6-4=2, .EF∥AB ∴.∠EFD=∠ABD=60°，∠FED=∠BAD=60°， ∴.△DEF是等边三角形， ∴.EF=DE=2. 19.5 【详解】解：BI平分∠ABC, .∠CBI=∠ABI, ,DE∥BC, .∠DIB=∠CBI, .∠ABI=∠DIB, 6/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.DB=DI=8cm, CI平分∠ACF, .∠ACI=∠FCI, ,DE∥BC, ∴.∠EIC=∠FCI, ∴∠ACI=∠EIC, .CE EI=DI-DE=8-3=5cm. 20.14 【详解】解：根据题意可知CE为∠BCD平分线， .∠BCE=∠DCE, 延长CE与DA的延长线交于点F,如图， A D E O米 B M开 C .ADII BC, ∴.∠AFE=∠BCE, ∠DCE=∠AFE, .DF=DC. ,点E是AB的中点， ∴.AE=BE, ,∠AEF=∠BEC, 在△AEF和△BEC中， ∠AFE=∠BCE ∠AEF=∠BEC AE=BE △AEF≌△BEC(AAS). ∴AF=BC, .AD=6,BC=8,DF=AD+AF, .DF=6+8=14, 7/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DC=14 ◆题型6直线上与已知两点组成等腰三角形的点 21.B 【详解】解：以O为顶角顶点，OA为腰的等腰三角形OAP有2个， 以A为顶角顶点，OA为腰的等腰三角形OAP有1个， 以OA为底边的等腰三角形OAP有1个， 6 -43-2-1 1234、 符合条件的点P共有4个. 22.B 【详解】解：，△PAB为等腰三角形， ∴.当PA=PB时，此时点P为AB的垂直平分线和x轴的交点，有1个； 当AP=AB时，以点A为圆心，AB为半径画弧，与x轴有两个交点，故此时点P有2个： 当BA=BP时，以点B为圆心，AB为半径画弧，与x轴有两个交点，其中一个交点与A,B共线，围不成 三角形，应舍去，故此时点P有1个： 综上所述，满足条件的点P共有4个. 23.A 【详解】解：如图所示，当0<α<90°(a≠60)满足条件的点有4个 8/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 人a a入 C 当a=90°，满足条件的点有2个 A B a=90° ad P入 P 当a=60°，满足条件的点有2个 A 46=30° 60 B=60° a=60 0a=607 B=30 C 24. 【详解】解：分三种情况讨论： ①当AB为等腰三角形的腰，且A为顶点时，以A为圆心，AB长为半径作弧，与直线I最多有2个交点， 这2个交点均符合条件： ②当AB为等腰三角形的腰，且B为顶点时，以B为圆心，BA长为半径作弧，与直线I最多有2个交点， 这2个交点均符合条件： ③当AB为等腰三角形的底边时，作AB的垂直平分线，与直线最多有1个交点，该交点符合条件： 综上，符合条件的点C最多有2+2+1=5个 ◆题型7等腰三角形的性质和判定 25.解：△DEF是等腰直角三角形，理由如下： :等腰Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， 9/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠B=∠C=180°-∠BAC)=45」 2 :AB=AC,点D是BC的中点， ADC ZBD-ZCAD-BC .∠ADB=∠ADC=90°，∠B=∠CAD、 ∠BAD=∠B=45°， ∴.BD=AD ,在△BDF和△ADE中， BD=AD ∠B=∠DAE, BF=AE .△BDF≌△ADE(SAS), .DF=DE,∠I=∠2， :∠1+∠3=∠ADB=90°， .∠2+∠3=90°， 即∠FDE=90°， ∴.△DEF是等腰直角三角形. 26.(1)证明：：∠ADF是△ABD的外角， .∠ADF=∠1+∠4， ∠DAF=∠2+∠3，∠1=∠2，∠3=∠4， .∠ADF=∠DAF, :AF =DF, ∴△ADF是等腰三角形， (2)证明：由(1)得AF=DF, EF⊥AD, .AE=DE. 27.(1)△ABC是等腰三角形；△BOC是等腰三角形； (2)BD=CD.∠BAD=∠CAD,OD⊥BC,∠BOD=∠COD 【详解】(1)解：：∠ABC=∠ACB, .AB=AC, 10/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABC是等腰三角形： :B0平分∠ABC,CO平分∠ACB, &208c-48c,20c8=4ca, ∴.∠OBC=∠OCB. ..OB=OC, .△BOC是等腰三角形： (2)解：如图所示， :AB=AC,AD⊥BC, D .BD=CD,∠BAD=∠CAD. 又OB=OC, .OD⊥BC,∠BOD=∠COD. 28.D 【详解】解：如图，过点P作PM⊥OA于M,PN⊥OB于N, N 平分 OP ∠AOB .PM=PN,∠PMO=90°，∠PNO=90°， .∠MPN=360°-∠AOB-∠PMO-∠PNO=60°. ∴，此时，aPMN是等边三角形. 当M向MO方向移动，N向NB方向移动，且∠MPM,=∠NPN. .∠M,PN,=∠M,PN+∠NPN,=∠M,PN+∠MPM,=∠MPN=6O° 在aMPM1和△NPN1中， ∠PMM=∠PNN PM=PN ∠MPM,=∠NPN 11/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.aMPM1≌△NPN(ASA. .PM=PN .△PM,N是等边三角形. ∴.当M向MO方向移动，N向NB方向移动时，且∠MPM,=∠NPN, .△PM,N是等边三角形. 同理：当M向MA方向移动，N向NO方向移动时，且∠MPM,=∠NPNn, ∴.PM.N是等边三角形 综上：满足条件的△PMN有无数个 ◆题型8等边三角形的判定 29.解：AB=AC, ∠B=∠C, DE⊥BC, ∴∠DEB=∠FEC=90°， 在Rt△DEB中，∠B+∠BDE=90°： 在RtAFEC中，∠C+∠F=90°， 又∠B=∠C, .∠BDE=∠F ∠BDE=∠ADF, ∴.∠ADF=∠F, ∴△ADF是等腰三角形. 30.证明：，AD是中线， ABD=CD-BC,即BC=2BD 2 .BC=2AB .AB=BD=CD. 如图，在CB的延长线上截取BE=AB,连接AE, .BE=DC,∠E=∠BAE, 12/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE+BD=DC+BD,∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E,即ED=BC, .∠B=2∠C, ∠E=∠C, .AE=AC, .△AED≌△ACB(SAS), .AD=AB, .AD=AB=BD, ∴.△ABD是等边三角形 31.证明：，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， ,DE垂直平分AB, .D为AB的中点， D8 :AD=AC, ∴△ADC是等边三角形. 32.(1)证明：在△ABC中，AB=AC,，∠BAC=120°，AD⊥BC于点G, :∠BAD=∠DAF=∠BAC=60°， 2 AD=AB, ,.△ABD是等边三角形， (2)BE的长为3 【详解】(1)略： (2)解：AB=AC=11,CF=8, ∴.AF=AC-CF=3, 由(1)可知：△ABD是等边三角形，∠DAF=60°， .BD=AD,∠DBE=60°， ∴.∠DBE=∠DAF, 在△BDE和△ADF中， 13/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DBE=∠DAF BD=AD ∠BDE=∠ADF ∴.aBDE≌aADF(ASA). ∴BE=AF=3, 即BE的长为3. ◆题型9含30度角的直角三角形 33.B 【详解】解：过A作AE⊥BC于E, C ,AB=4,∠B=30°」 :A6=)AB=2, 2 :AD是BC边上的中线，BC=12, ..BD= BC=6, 1 1 .SA8D=5AEBD=5×2×6=6 34.A 【详解】DE是BC的垂直平分线， .EC=EB,LEDB=90° ∠B=30°，ED=3cm, .'EB=2ED=6cm, 即EC=6cm. 35.AB=4 【详解】解：AD⊥BC, .∠ADC=90° .PQ∥AD .∠P2C=∠ADC=90°， ,在等边△ABC中，∠C=60°，AD⊥BC, 14/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CP2=30°，BD=CD,AB=BC, .PC=2CQ=1, .∠PDQ=30° .∠DPC=90° .CD=2PC=2, .BC=2CD=4. .AB=BC=4 36.(1)CD=3 (2)证明：，AD平分∠BAC, .∠CAD=∠EAD .DE⊥AB,∠ACB=90° .∠ACD=∠AED=90°. AD=AD, .△ACD≌△AED(AAS). .AC=AE,CD=DE. ∴，点A、D在线段CE的垂直平分线上， ∴.AD所在直线是线段CE的垂直平分线 【详解】(1)解：·在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， .∠BAC=90°-30°=60°， AD平分∠BAC, .∠CAD=∠EAD=三∠BAC=30° 2 ∴.∠BAD=∠B, .AD=BD=6, .∠ACD=90°，∠CAD=30°， c00=3, (2)略 综合攻坚知能拔高 15/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.B 2.C 3.C 4.A 5.B 6.B 二、填空题 8.30 三、解答题 9.【答案】 证明：，DE∥AC, ∴.∠D=∠BAC, ∠D=∠B, .∠BAC=∠B, .AC=BC, △ABC是等腰三角形， ∠ACB=60°， ∴.△ABC是等边三角形， 10. 【答案】证明：如图，在BC边上取点E,使EC=AC,连接DE, A D E :CD平分∠ACB, ∴.∠ACD=∠ECD, 在△ACD和△ECD中， 16/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC=EC ∠ACD=∠ECD DC=DC .△ACD≌△ECD(SAS). .CE=AC,AD=DE,∠A=∠DEC, .∠A=2∠B,∠DEC=∠B+∠BDE, ∴.∠B=∠BDE, ∴.BE=DE=AD, .BC=BE+CE=AD+AC. 11. 【详解】(1)解：：∠C=90°， ∴DC⊥AC DE⊥AB,且CD=DE, 根据到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，.点D在∠CAB的平分线上， ·AD平分∠CAB (2)解：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°. ∴∠CAB=90°-30°=60°， :AD平分∠CAB, EAD=)∠CAB=30 ∠EAD=∠B=30°， .AD=BD」 DE⊥AB, 根据等腰三角形性质，有DE垂直平分AB, .AE=BE 连接CE,在△ABC中，∠C=90°， :AB=BE,CE=BE=)AB(直角三角形斜边中线等于斜边的一 2 半)， .BE=CE 根据垂直平分线性质，点E在BC的垂直平分线上. 17/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 12. 【答案】(1)证明：①∠BAC=a,a=120°，AD平分∠BAC, ∠BAE=LEAC= 1∠BAC=60°， ·AB=BE, ∴.△ABE是等边三角形， ∠E=60° ,∠E=∠EAC, BE∥AC: ②如图，在AE上取一点H,使AH=AB,连接BH, E 图2 由(1)知∠BAE=60°， .△ABH是等边三角形， .BH=BA=AH,∠BHA=6O° .∠BHE=180°-∠BHA=120°=∠BAC, ∠BDE=∠ADC,∠EBC=∠EAC=60° .180°-∠BDE-∠EBC=180°-∠ADC-∠EAC, 即LE=∠C, 在△BHE和△BAC中， ∠BHE=∠BAC ∠E=∠C BH=BA △BHE≌aBAC(AAS) ∴.HE=AC, 18/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=AH+HE=AB+AC; 19 2 【详解】(1)①略.②略。 (2)解：如图，连接AC',作AM⊥BF于点M,AN⊥FC交FC的延长线于点N, B M C 点 与关于射线 对称， N 图3 C C' AD 4C=AC,FC'=FC=3'∠FAC'=∠FAC= 2∠CC,Sc=Sc=7 IFC'.AM=IFC.AN=7, . 2 AM-AN=2S.cL.=2x7_14 FC33 .AB=AC,AC'=AC, .AC'=AB. AM⊥BF, :MC=MB'∠MAC=∠MAB=)∠BAC. 2 AUC FAC-BCCCBC45 ∴△AMF是等腰直角三角形， AM=MF=14 3， MC'-MF-FC'-14_ 5 33 3, SB-MC BF=BM+MF=514_19 333· 19/19 专题13 等腰三角形 常考题型·精准突破 考点一 等腰三角形 题型1 等边对等角 题型2三线合一（重） 题型3根据等角对等边证明等腰三角形 题型4根据等角对等边证明边相等 题型5根据等角对等边求边长 题型6直线上与已知两点组成等腰三角形的点 题型7等腰三角形的性质和判定 题型8等边三角形的判定 题型9含30度角的直角三角形（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 等腰三角形 ◆题型1 等边对等角 1．如图，在中，点D是的中点，，则_______． 2．如图，在中，，，，则________． 3．在中，已知．求和的度数． 4．如图，点在上，，．求证：． ◆题型2三线合一 5．如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 6．在如图所示的三角测平架中，，在边的中点D处挂一个重锤，自然下垂．调整架身，使点A恰好在重锤线上．试问：此时是否正好处于水平位置？为什么？ 7．如图，在中，的延长线交于点E．求证：． 8．如图，在中，，点D是边上的中点，． (1)求的度数； (2)求的度数． ◆题型3根据等角对等边证明等腰三角形 9．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点．求证：是等腰三角形． 10．如图，在中，点在边上，连接，，的角平分线交于点，交于点，求证：． 11．已知：如图，相交于点O，，． 求证：． 12．中，D 是中点，，垂足 E、F．判断 形状并证明． ◆题型4根据等角对等边证明边相等 13．如图，在中，已知．求证：． 14．如图，，，．求证：． 15．如图，在中，，，点D在边上，连接，过点C作，连接，且，求证：． 16．如图，在和中，与相交于点E，． (1)求证：； (2)求证：． ◆题型5根据等角对等边求边长 17．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 19．如图，在中，，分别平分，交于点，过点作交于点，交于点．若，，则等于_______． 20．如图，梯形中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，点恰好是的中点，若，则的长是_________． ◆题型6直线上与已知两点组成等腰三角形的点 21．如图，已知在直角坐标系中，点，点P在y轴上，若三角形为等腰三角形，则符合条件的点P共有（     ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 22．如图，直角坐标系中，点、，点P在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 23．如图，点是直线上一点，线段与直线的夹角为，点在直线上，若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．2个或4个 B．3个或4个 C．4个 D．2个或3个或4个 24．点，在直线同侧，若是直线上的点，且是等腰三角形，则这样的点最多有______个． ◆题型7等腰三角形的性质和判定 25．如图，在等腰中，，点D是的中点，且，试判断的形状． 26．如图，在中，点D、C在上，连接、，，，过点F作于E． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 27．在中，，平分，平分． (1)你能得到什么结论呢？ (2)过点A作于D，你能得到什么结论？ 28．如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（     ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 ◆题型8等边三角形的判定 29．已知，D是上一点，于E，的延长线交的延长线于F，试说明是等腰三角形的理由． 30．如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 31．如图，在中，．点、分别为、上的点，连接，，若，垂直平分，求证：是等边三角形． 32．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． ◆题型9含30度角的直角三角形 33．如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 34．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 35．如图，在等边中，于D，P、Q分别是、上的点，且，，，求的长． 36．如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 2．已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 3．已知．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 5．如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 6．如图，在中，，在坐标轴上取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 7．如图，内部有一定点，射线和上分别有动点，，使得周长最小，当时，的度数为__________． 8．如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为__________ ． 三、解答题 9．如图，在中，．点是边延长线上一点，，且．求证：是等边三角形． 10．如图，在中，平分交于点D，且，求证：． 11．如图，在中，，，点在上，于点，且． (1)求证：平分； (2)求证：点在的垂直平分线上． 12．已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题13等腰三角形 内容概览 目常考题型精准突破 考点一等腰三角形 题型1等边对等角 题型2三线合一（重） 题型3根据等角对等边证明等腰三角形 题型4根据等角对等边证明边相等 题型5根据等角对等边求边长 题型6直线上与已知两点组成等腰三角形的点 题型7等腰三角形的性质和判定 题型8等边三角形的判定 题型9含30度角的直角三角形（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ●考点一等腰三角形 ◆题型1等边对等角 1.如图，在。ABC中，点D是AB的中点，CD=24B,则∠ACB二 B D 【答案】90 【详解】解：：点D是4B的中点，CD 2B, .'AD=BD=CD 1/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A=∠ACD,∠B=∠BCD. :∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°， ·.∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°， 即∠ACB=90° 2.如图，在△ABC中，AB=AC,AD=AE,∠BAD=40°，则∠EDC= 【答案】20°120度 【详解】解：依题意，设∠B=∠C=x,∠ADE=∠AED=y, ∠EDC+x=y①， ∠EDC+y=x+40°②， 由①+②得2LEDC=40°， .∠EDC=20° 3.在△ABC中，已知AB=AC,∠B=80°.求∠C和∠A的度数. 【答案】 ∠C=80°，∠A=20° 【详解】解：，AB=AC, ,∠C=∠B :∠B=80°， ∠C=80°， ,三角形三个内角的和为180°， .∠A=180°-∠B-∠C=180°-80°-80°=20° 4.如图，点E在BC上，AE‖DC,AB=AE.求证：∠B=∠C A B E 【答案】证明：，AE I DC, 2/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠C=∠AEB, ..AB=AE, ∠B=∠AEB, .∠B=∠C 【详解】证明：略 ◆题型2三线合一 5.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8,点M,N在边OB上，PM=PN.若MN=2,则 OM的长是— A 060 M N B 【答案】3 【详解】解：如图，过P作PD⊥OB于点D, A 0460 MDN B ∴.∠PD0=90°， ,∠POD=60°， .∠OPD=90°-∠POD=30°. :在RuPOD市，0D0P 2×8=4, :PM=PN,PD⊥MN,MN=2, MD=ND=-MN=1. ∴.OM=OD-MD=4-1=3 6.在如图所示的三角测平架中，AB=AC,在边BC的中点D处挂一个重锤，自然下垂.调整架身，使点 3/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A恰好在重锤线上.试问：此时BC是否正好处于水平位置？为什么？ B 【答案】BC正好处于水平位置，理由如下： :在三角测平架中，AB=AC,D是BC的中点， .AD⊥BC(三线合一)， 又，AD自然下垂，即AD与水平线垂直， :BC处于水平位置. 【详解】解：略 7.如图，在△ABC中，AB=AC,DB=DC,AD的延长线交BC于点E.求证：∠BAE=∠CAE,BE=CE 【答案】证明：在△ABD和△ACD中， .AB=AC,DB=DC,AD=AD. .△ABD≌aACD(SSS), ∴.∠BAE=∠CAE, ∴.BE=CE 【详解】证明：略 8.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是边BC上的中点，∠B=30° A 2 D (1)求∠ADC的度数： (2)求∠1的度数， 4/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)90° (2)60° 【详解】(1)解：：AB=AC,点D是边BC上的中点， AD⊥BC, .∠ADC=90°： (2)解：AB=AC,∠B=30°， .∠C=∠B=30° .∠BAC=180°-∠B-∠C=120°， :AB=AC,点D是边BC上的中点， 2∠BAC=600 1= ◆题型3根据等角对等边证明等腰三角形 9.如图，△ABC的高BD与CE相交于点O,OD=OE,AO的延长线交BC于点M.求证：△ABC是等腰 三角形。 D B M 【答案】证明：：BD与CE是△ABC的高， ∴∠BEC=LBDC=90°， 在△OBE和aOCD中， ∠BOE=∠COD ∠BEC=∠BDC=90° OE=OD ·.△OBE≌aOCD(AMS), .BE=CD 在Rt△BCE和Rt△CBD中， BE=CD BC=BC· .RtaBCERtACBD(HL). .∠ABC=∠ACB 5/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC, ∴△ABC是等腰三角形 【详解】略 10.如图，在△ABC中，点E在边BC上，连接AE,∠BAC=∠AEB,△ABC的角平分线BD交AE于点H, 交AC于点D,求证：AH=AD. D H B 【答案】证明：：BD平分角∠ABC, ·∠ABD=∠CBD, ,∠BAC=∠AEB. 又，∠BAC=∠BAE+∠CAE, ∠AEB=∠C+∠CAE. ·∠BAE=∠C, :∠ADB=∠CBD+∠C, ∠AHD=∠ABD+∠BAE, ∴.∠ADB=∠AHD, ∴.AH=AD 【详解】略 11.己知：如图，AD、BC相交于点O,AD=BC,AC=BD 求证：OA=OB 【答案】 证明：在△ABC和△BAD中， BC=AD, AC=BD, AB=BA, 6/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABC≌△BAD(SSS)」 .∠ABC=∠BAD ∴.OA=OB 【详解】略 12.△ABC中，D是BC中点，BE=CF,DE⊥AB,DF上AC,垂足E、F.判断△ABC形状并证明. A B D 【答案】△ABC是等腰三角形，见解析 【详解】解：△ABC是等腰三角形，证明如下： ,DE⊥AB,DF⊥AC ∴.∠DEB=∠DFC=90° 在RtADEB和RtADFC中： ..BD=CD,BE=CF ..RtaDEBRtADFC(HL), ∴∠B=∠C, .AB=AC, ∴.△ABC是等腰三角形 ◆题型4根据等角对等边证明边相等 13.如图，在△ABC中，己知∠A=40°，∠B=70°.求证：AB=AC 409 B470 【答案】 证明：在△4BC中，三角形内角和为180°，∠A=40°，∠B=70° 7/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-70°=70°， ∠C=∠B, .AB=AC 【详解】略. 14.如图，∠ACD=∠ADC,∠B=∠E=90°，BC=DE.求证：∠ADE=∠ACB A 【答案】证明：：∠ACD=∠ADC, .AC=AD :∠B=∠E=90°， 、.△ABC和△AED都是直角三角形. 在Rt△ABC和Rt△AED中， BC=DE AC=AD' .Rt△ABC≌Rt△AED(HL), .∠ADE=∠ACB 【详解】略 15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB,点D在边AC上，连接BD,过点C作CE⊥AC, 连接AE,且AE=BD,求证：CE=AD. B E A D 【答案】证明：：∠ABC=∠ACB, ·AB=AC, CE⊥AC, .∠ACE=90°， :∠BAC=90°， 8/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，在RtAABD和Rt△CAE中， AB=CA BD=AE' :.RtAABDS≌Rt△CAE(HL), ∴CE=AD 【详解】证明：略： 16.如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E,AD=BC,∠DAB=∠CBA D (1)求证：△ABC≌△BAD: (2)求证：EA=EB. 【答案】(1)证明：：AD=BC,∠DAB=∠CBA,AB=BA, 、△ABC≌△BAD(SAS): (2)证明：：△ABC≌△BAD, ∴.∠BAC=∠DBA, .'EA=EB. 【详解】(1)略 (2)略 ◆题型5根据等角对等边求边长 17.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在CA的延长线上，EP⊥BC于点P,EP交AB于点F,若 AB=5,AE=2,则BF的长为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 9135 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：，AB=AC, ∴∠B=∠C, :EP⊥BC .∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°， .∠E=∠BFP, 又，∠BFP=∠AFE, ∴.∠E=∠AFE, ∴.AF=AE=2, ∴BF=AB-AF=5-2=3 18.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6,BC=DC,∠BAD=60°，连接AC、BD相交于点G,点 E在边AD上，连接CE交BD于点F,CE‖AB.若CE=4,则EF的长为 【答案】2 【详解】解：AB=AD=6、∠BAD=60°， ∴，△ABD是等边三角形， ∴∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°， AB=AD,BC=DC, ∴AC是线段BD的垂直平分线， .AG⊥BD .∠BAC=∠DAC=30°， .CEI∥AB, :.∠ACE=∠BAC=∠DAC=30°， .AE=CE=4, .DE=AD-AE=6-4=2, ,EF∥AB ∴.∠EFD=∠ABD=60°，∠FED=∠BAD=60°. “△DEF是等边三角形， 10/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'EF DE =2. 19.如图，在△ABC中，BI,CI分别平分∠ABC,∠ACF交于点I,过点I作DI∥BC交AB于点D,交 AC于点E.若BD=8cm,DE=3cm,则CE等于 A D 【答案】5 【详解】解：BI平分∠ABC, .∠CBI=∠ABI, DE∥BC, ∴.∠DIB=∠CBI, ∠ABI=∠DIB, ∴.DB=DI=8cm, :CI平分∠ACF, ∴∠ACI=∠FCI, :DE∥BC, :∠EIC=∠FCI, ∴.∠ACI=∠EIC, .CE=EI DI-DE =8-3=5cm 20.如图，梯形ABCD中，AD‖BC,以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC、CD于点M、N, 再分别以M、N为圆心，大于2MW的长为半径画弧，两弧交于点O,作射线CO:交4B于点E,点E恰 好是AB的中点，若AD=6,BC=8则CD的长是 A D E 【答案】14 【详解】解：根据题意可知CE为∠BCD平分线， 11/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BCE=∠DCE, 延长CE与DA的延长线交于点F,如图， E N B M C AD BC .∠AFE=∠BCE, ∠DCE=∠AFE, .DF=DC, ,点E是AB的中点， .'AE=BE, :∠AEF=∠BEC, 在△AEF和△BEC中， ∠AFE=∠BCE ∠AEF=∠BEC AE=BE △AEF≌△BEC(AAS), ∴AF=BC, .AD=6,BC=8,DF=AD+AF, .DF=6+8=14. ∴DC=14 ◆题型6直线上与已知两点组成等腰三角形的点 21.如图，己知在直角坐标系xOy中，点A(2,3),点P在y轴上，若三角形0AP为等腰三角形，则符合条 件的点P共有()个 12/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【详解】解：以O为顶角顶点，OA为腰的等腰三角形OAP有2个， 以A为顶角顶点，OA为腰的等腰三角形OAP有1个， 以OA为底边的等腰三角形OAP有1个， 3 符合条件的点P共有4个。 22.如图，直角坐标系中，点A(-2,2)、B(O,),点P在x轴上，且APAB为等腰三角形，则满足条件的点 P共有()个 P 衣 A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【详解】解：，△PAB为等腰三角形， ∴.当PA=PB时，此时点P为AB的垂直平分线和x轴的交点，有1个； 当AP=AB时，以点A为圆心，AB为半径画弧，与x轴有两个交点，故此时点P有2个： 当BA=BP时，以点B为圆心，AB为半径画弧，与x轴有两个交点，其中一个交点与A,B共线，围不成 三角形，应舍去，故此时点P有1个： 综上所述，满足条件的点P共有4个， 13/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.如图，点P是直线1上一点，线段AP与直线1的夹角为(0°<α≤90)，点C在直线1上，若以A,P, C为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C共有() A A.2个或4个 B.3个或4个 C.4个 D.2个或3个或4个 【答案】A 【详解】解：如图所示，当0<<90°(a≠60)满足条件的点有4个 a C a入 C P 当：=90°，满足条件的点有2个 4 B B 0a=909 当a=60°，满足条件的点有2个 A 46=30° 60 B=60 a=609 a=602 方 p=30 C 24.点A,B在直线I同侧，若C是直线I上的点，且△ABC是等腰三角形，则这样的点C最多有一个 【答案】 5 14/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：分三种情况讨论： ①当AB为等腰三角形的腰，且A为顶点时，以A为圆心，AB长为半径作弧，与直线最多有2个交点， 这2个交点均符合条件： ②当AB为等腰三角形的腰，且B为顶点时，以B为圆心，BA长为半径作弧，与直线I最多有2个交点， 这2个交点均符合条件： ③当AB为等腰三角形的底边时，作AB的垂直平分线，与直线最多有1个交点，该交点符合条件： 综上，符合条件的点C最多有2+2+1=5个. ◆题型7等腰三角形的性质和判定 25.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，且AE=BF,试判断△DEF的形状. 【答案】解：△DEF是等腰直角三角形，理由如下： ,等腰Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， :∠B=∠C=1180°-∠BAC)=450, :AB=AC,点D是BC的中点， AD1BC,∠BD=∠CAD-号BAC-90=45, ∴.∠ADB=∠ADC=90°，∠B=∠CAD, ∠BAD=∠B=45°， ∴.BD=AD ,在△BDF和△ADE中， BD=AD ∠B=∠DAE, BF=AE △BDF≌aADE(SAS), .DF=DE,∠I=∠2， ,∠1+∠3=∠ADB=90°， .∠2+∠3=90° 即∠FDE=90°， 15/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△DEF是等腰直角三角形. 【详解】略 26.如图，在△ABF中，点D、C在BF上，连接AD、AC,∠I=∠2，∠3=∠4，过点F作EF⊥AD于 E E D (1)求证：△ADF是等腰三角形； (2)求证：AE=DE 【答案】(1)证明：：∠ADF是△ABD的外角， ∴.∠ADF=∠1+∠4， ∠DAF=∠2+∠3，∠1=∠2，∠3=∠4 .∠ADF=∠DAF, ∴AF=DF, ∴△ADF是等腰三角形 (2)证明：由(1)得AF=DF, :EF⊥AD .AE=DE. 【详解】(1)略 (2)略 27.在△ABC中，∠ABC=∠ACB,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB (1)你能得到什么结论呢？ (2)过点A作AD⊥BC于D,你能得到什么结论？ 【答案】(1)△ABC是等腰三角形；△BOC是等腰三角形： (2)BD=CD,∠BAD=∠CAD,OD⊥BC,∠BOD=∠COD 【详解】(1)解：：∠ABC=∠ACB, 16/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=AC, 、△ABC是等腰三角形： :BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, .ZOBC= 2 ABC.Z0CB∠ACB .∠OBC=∠OCB, .OB=OC, :.△BOC是等腰三角形： (2)解：如图所示， ,AB=AC,AD⊥BC D ·BD=CD,∠BAD=∠CAD, 又：OB=OC, ∴.OD⊥BC,∠BOD=∠COD 28.如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上，且△PMN为等 边三角形，则满足上述条件的△PMN有() A.1个 B.2个 C.4个 D.无数个 【答案】D 【详解】解：如图，过点P作PM⊥OA于M,PV⊥OB于N, M 平分 OP ∠AOB .PM=PN,∠PMO=90°，∠PWO=90°. 17/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠MPN=360°-∠AOB-∠PMO-∠PNO=60° ∴此时，△PMN是等边三角形. 当M向MO方向移动，N向NB方向移动，且∠MPM1=∠NPN」 .∠M,PN,=∠M,PN+∠NPN=∠M,PW+∠MPM,=∠MPN=6O° 在△MPM1和△NPN中， [∠PMM,=∠PNN PM=PN ∠MPM,=∠NPN ∴△MPM1≌△NPN(ASA). ..PM PN :△PM,N是等边三角形. ∴当M向MO方向移动，N向NB方向移动时，且∠MPM1=∠NPN, :△PM,N是等边三角形. 同理：当M向MA方向移动，N向NO方向移动时，且∠MPM。=∠NPNn, “.△OM.N.是等边三角形. 综上：满足条件的△PMN有无数个. ◆题型8等边三角形的判定 29.己知AB=AC,D是AB上一点，DE⊥BC于E,ED的延长线交CA的延长线于F,试说明△ADF是 等腰三角形的理由. E B 【答案】解：：AB=AC, ∠B=∠C, DE⊥BC, ∴.∠DEB=∠FEC=90°， 18/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△DEB中，∠B+∠BDE=90°： 在RtAFEC中，∠C+∠F=90°， 又∠B=∠C, ∠BDE=∠F, ∠BDE=∠ADF, ∠ADF=∠F, ∴△ADF是等腰三角形 【详解】略 30.如图，己知在△ABC中，∠B=2∠C,BC=2AB,AD是中线，求证：△ABD是等边三角形. B D 【答案】证明：：AD是中线， :BD=CD=号BC,即BC-2BD 2 .BC=2AB. .'AB=BD=CD 如图，在CB的延长线上截取BE=AB,连接AE, E B BE=DC,∠E=∠BAE, ∴.BE+BD=DC+BD,∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E,即ED=BC, :∠B=2∠C, ∴LE=∠C, ·AE=AC, 、△AED≌aACB(SAS), .'AD=AB, .'AD=AB=BD, ∴，△ABD是等边三角形 【详解】略 19/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 31.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.点D、E分别为AB、BC上的点，连接DE,CD,若 ∠B=30°，DE垂直平分AB,求证：△ADC是等边三角形 D B E 【答案】证明：，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， 1 ∠A=60°，4C=7AB, DE垂直平分AB, ∴D为AB的中点， :AD-号8. .AD=AC, :.△ADC是等边三角形. 【详解】略 32.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点G,且AD=AB,E,F分别是边AB AC上的点，且∠BDE=∠ADF. (1)求证：△ABD是等边三角形： (2)若AB=AC=11,CF=8,求BE的长 【答案】(1)证明：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点G, ∠BAD=∠DAF=∠BAC=60°， 2 AD=AB, .△ABD是等边三角形， (2)BE的长为3 【详解】(1)略： 20/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：AB=AC=11,CF=8, .AF=AC-CF=3, 由(1)可知：△ABD是等边三角形，∠DAF=60°， ∴BD=AD,∠DBE=60°， .∠DBE=∠DAF, 在△BDE和△ADF中， 「∠DBE=∠DAF BD=AD ∠BDE=∠ADF ABDE≌aADF(ASA), :BE AF=3, 即BE的长为3 ◆题型9含30度角的直角三角形 33.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=4,BC=12,∠B=30°，则△ABD的面积是 () 30° D C A.4 B.6 C.12 D.24 【答案】B 【详解】解：过A作AE⊥BC于E, 30°1 D AB=4,∠B=30°. aE=对8=2， ,AD是BC边上的中线，BC=12, :.BD-IBC=6. Γ2 1 SABD)AE:BD=)×2x6=6 21/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 34.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，,垂足为D,若ED=3cm,则EC的长 为() D A.6cm B.5cm C.3cm D.8cm 【答案】A 【详解】：DE是BC的垂直平分线， ·EC=EB,∠EDB=90° :∠B=30°，ED=3cm, .'EB=2ED =6cm, 即EC=6cm」 35.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D,卫、O分别是AC、BC上的点，且PO∥AD,∠PD0=30° CQ=0.5,求AB的长. D 【答案】AB=4 【详解】解：AD⊥BC, ∴∠ADC=90°， :PQ∥AD .∠POC=∠ADC=90°， ,在等边△ABC中，∠C=60°，AD⊥BC, ./CPO=30,BD=CD,AB=BC, .PC=2C0=1, ·∠PD0=30°. .∠DPC=90°， .CD=2PC=2, 22/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BC=2CD=4, .AB=BC=4 36.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交CB于点D,DE⊥AB于点E,CE与AD相交于 点F B (1)若∠B=30°，BD=6,求CD的长： (2)求证：AD所在直线是线段CE的垂直平分线. 【答案】(1)CD=3 (2)证明：：AD平分∠BAC, ∴∠CAD=∠EAD, DE⊥AB,∠ACB=90° ∠ACD=∠AED=90°， .AD=AD, .△ACD≌aAED(AAS). .AC=AE,CD=DE. ∴点A、D在线段CE的垂直平分线上， ∴AD所在直线是线段CE的垂直平分线。 【详解】(1)解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， .∠BAC=90°-30°=60°， :AD平分∠BAC, :∠CAD=∠EAD=)∠BAC=30°， 2 ∠BAD=∠B, .AD=BD=6, ∠ACD=90°，∠CAD=30°， :CD=)AD=3, 2 23/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)略 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC(如图2)，若 AB=AC=26,AD⊥BC于点D,∠ABC=30°，则AD的长为() 图1 图2 A.12 B.13 C.14 D.15 【答案】B 【详解】解：：AB=26,AD⊥BC,∠ABC=30°， 在Rt4BD中，AD=2AB=13 2 2.已知△ABC的三边a、b、c满足(a-b+b-=0,则△ABC的形状是() A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 【答案】C 【分析】利用平方和绝对值的非负性推导三边的关系，即可判断三角形形状. 【详解】解：：(a-b)+b-d=0, ∴.a-b=0,b-c=0 .a=b,b=c,即a=b=c, .△ABC是等边三角形 3.己知△AEC≌△ADB.若∠A=50°，∠ABD=45°，则∠I的度数为() A.40° B.25° c.20° D.15° 24/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【分析】由全等三角形性质可得AB=AC,由等腰三角形性质可求∠ABC的度数，结合角的和差关系即可 求解 【详解】解：，△AEC≌△ADB :.AB=AC, ∠46c=∠4cB=80-∠40=5080-50）=6， ,∠ABD=45°， .∠1=∠ABC-∠ABD=65°-45°=20° 4.如图，等腰△ABC的底边BC长为6.面积是24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F. 若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值是() A.11 B.12 C.13 D.14 【答案】A 【分析】连接AD,AM,由题意得△BDM的周长为BD+BM+DM,其中DB为定值，要使△BDM的周 长最小，则BM+DM的值最小，AB的垂直平分线为EF,得到A,B关于EF对称，得到 BM+DM=AM+DM≥AD,当A,M,D三点共线时，BM+DM=AD最小，进行求解即可. 【详解】解：，△BDM的周长为BD+BM+DM,且DB为定值， ∴当BM+DM的值最小时，△BDM的周长最小， 如图，连接AD,AM, E 由题意可得A,B关于EF对称， .BM+DM=AM+DM≥AD, 25/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴当A,M,D三点共线时，BM+DM=AD, 在等腰△ABC中，点D为底边BC的中点， ÷MD1BC,BD-C=3, S.c=BC.AD-x6AD=24, 2 AD=8」 ∴.△BDM的周长的最小值为BD+BM+DM=3+8=11. 5.如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠ADC=2∠B.若AC=5,BC=6,则△ACD的周长为() D A.10 B.11 C.15 D.16 【答案】B 【分析】先根据三角形的外角的性质得∠BAD=∠B,再根据等腰三角形的判定可得AD=BD,然后根据 △ACD的周长=AC+BC得出答案. 【详解】解：，∠ADC是△ABD的外角， ·∠ADC=∠B+∠BAD. ,∠ADC=2∠B ∠B+∠BAD=2∠B, 即∠BAD=∠B, ∴，AD=BD ,AC=5,BC=6」 ∴.△ACD的周长为AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=5+6=11, 6.如图，在△AB0中，∠A0B=90°，∠BA0=30°，在坐标轴上取一点P,使得△PAB是等腰三角形，则符 合条件的P有() 26/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 【答案】B 【分析】本题主要运用等腰三角形的性质，通过分别以三角形的两个顶点为圆心，以三角形的一边为半径 作圆，以及作三角形一边的垂直平分线，找出与坐标轴的交点，从而确定等腰三角形的个数.其关键是根 据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解 【详解】解：以A为圆心，以AB为半径作圆；以B为圆心，以AB为半径作圆，连接两圆的交点， F ,以B为圆心，以AB为半径作圆，与x轴交点D、H(除B点外，与y轴交点F(除A点外)： ∴BA=BD=BF=BH,即点DF、H是符合条件的点P, ∴有3个交点，使得△PAB是等腰三角形， 同理以A为圆心，以AB为半径作圆，与x轴交D(除B点外)、与'轴交GE(除A点外)， 其中与x轴的交点D,与前一个圆与x轴的交点重合， 即点G、E是符合条件的点P, ∴有2个交点，使得△PAB是等腰三角形， :连接两圆的交点CD,即AB的垂直平分线，与x轴交点D、与y轴交点H, 其中与x轴的交点D与前两个圆与x轴的交点重合： 即点H是符合条件的点P, ∴，有1个交点，使得△PAB是等腰三角形， 故共有等腰三角形的个数为：3+2+1=6（个） 故选：B 二、填空题 7.如图，∠BAC内部有一定点D,射线AB和AC上分别有动点E,F,使得aDEF周长最小，当 ∠EDF=&时，∠BAC的度数为 27/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 【答案】 90°、1 【分析】作点D关于AB的对称点D,作点D关于AC的对称点D,连接DD,交AB、AC于点E、E、 连接DE、DF,此时△DE,的周长最小，根据对称的性质和三角形的角之间的关系求出∠BAC的度数即 可 【详解】解：如下图所示，作点D关于AB的对称点D,关于AC的对称点D,连接DD交AB、AC于 点E、F、连接DE、DF, ∴.ED=E,D,FD=FD2,∠AMD=∠AND=90°， aDEF的周长=DE+DF+EF=DE+D,F+EF=DD, 两点之间线段最短， △DEF的周长最小 '∠BAC+∠AMD+∠AND+∠MDN=360°， .∠BAC=360°-90°-90°-∠MDN=180°-∠MDN. .ED=ED.FD=FD, ∴.∠DDE=∠DDE,∠FDD=∠DDE, 在△DFD2中，∠DFD+∠EDD,+∠FD,D=180°， ∠DFD2+∠DFE,=180° ∴∠DFE1=∠DDF+∠FDD=2∠DDE, 在△DED中，∠DED+∠DDE+∠DD,E,=180°， ∠DEE+∠D,E,D=180°. ∴.∠DEE=∠DD,E+∠DDE=2∠DDE, 在△DE,E中，∠DE,E+∠DFE+∠EDE=180° 28/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EDE=180°-∠DEE-∠DFE,=180°-2∠DDF-2∠D,DE, ∠EDE=a, .∠EDE=180°-2∠D2DF-2∠DDE,=a, 2D0+∠D0E=90-0. ∴.∠MDN=∠D,DE,+∠DDF+∠EDF=∠D,DE,+∠DDF+180°-2∠DDF-2∠D,DE=180°-∠D,DE,-∠DDF ∴.∠MDN=180°-S ac=1s0-4DN=18r-(+-w-0 D B E 8.如图，△ABC中，AB=AC,BC=6,AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点，若点D 为BC的中点，点M为线段EF上一动点，当aCDM周长取得最小值为13时，△ABC的面积为. 【答案】30 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可知，AM=CM,，△CDM周长转化为AM+DM+CD,当A,M, D三点共线时，△CDM周长取得最小值，从而解得AD,即可求解△ABC的面积. 【详解】解：连接AD,AM, 29/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EF是AC的垂直平分线， .AM =CM, :点D为BC的中点， .AD⊥BC, △CDM周长=CM+DM+CD=AM+DM+CD≥AD+CD, 当A,M,D三点共线时，△CDM周长取得最小值， 此时，△CDM周长最小值=AD+CD=AD+3=13, 解得AD=10 △ABC的面积=24D.BC=)×10x6=30 2 三、解答题 9.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，点D是边BA延长线上一点，DE∥AC,且∠D=∠B.求证： △ABC是等边三角形. A B 【答案】 证明：，DE∥AC, ∠D=∠BAC, :∠D=∠B, .∠BAC=∠B, .AC=BC, :.△ABC是等腰三角形， ∠ACB=60°， ∴.△ABC是等边三角形 【分析】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，首先由DE∥AC得到 30/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠D=∠BAC,然后等量代换得到∠BAC=∠B,推出AC=BC,然后结合∠ACB=6O°即可证明△ABC是 等边三角形. 【详解】略 10.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D,且∠A=2LB,求证：BC=AD+AC D B 【答案】证明：如图，在BC边上取点E,使EC=AC,连接DE, BE ,CD平分∠ACB, ∠ACD=∠ECD, 在△ACD和△ECD中， AC=EC ∠ACD=∠ECD DC=DC ·.△ACD≌aECD(SAS). .CE=AC,AD=DE,∠A=∠DEC, :∠A=2∠B,∠DEC=∠B+∠BDE, .∠B=∠BDE, .'BE DE AD, ∴.BC=BE+CE=AD+AC 【分析】在BC边上取点E,使EC=AC,连接DE,由角平分线的定义可得∠ACD=∠ECD,再利用 SAS证明△ACD≌△ECD,可得CE=AC,AD=DE,∠A=∠DEC,再结合三角形外角的定义及性质得出 ∠B=∠BDE,推出BE=DE=AD,即可得证. 【详解】略。 11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D在BC上，DE⊥AB于点E,且CD=DE 31/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：AD平分∠CAB (2)求证：点E在BC的垂直平分线上. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)利用角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上，由DC⊥AC、 DE⊥AB且CD=DE可证： (2)根据直角三角形两锐角互余求出∠CAB,结合角平分线得∠EAD=30°，再利用直角三角形性质证 EB=EC,由垂直平分线判定定理可证， 【详解】(1)解：：∠C=90°， .DC⊥AC, DE⊥AB,且CD=DE, 根据到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，、.点D在∠CAB的平分线上， ∴.AD平分∠CAB (2)解：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=90°-30°=60°， AD平分∠CAB, <EAD=∠CAB=30 .∠EAD=∠B=30°， ∴AD=BD, DE⊥AB, 根据等腰三角形性质，有DE垂直平分AB, ∴AE=BE, 连接CE,在△ABC中，∠C=90°， :AE=BE,:CE=BE=)AB(直角三角形斜边中线等于斜边的 半)， 32/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE=CE, 根据垂直平分线性质，·点E在BC的垂直平分线上， B 12.已知△ABC中，∠BAC=O,点D在BC上，连接AD E 图1 图2 图3 (1)设a=120°，AD平分∠BAC,点E在射线AD上，连接BE. ①如图1，若AB=BE,试说明BE∥AC: ②如图2，若∠EBC=60°，试说明AE=AB+AC: (2如图3，若C=90°，AB=AC,作点C关于射线AD的对称点C',连接BC'并延长交射线AD于点F, 连接CF,若CF=3,△ACF的面积为7，求BF的长. 【答案】(1)证明：①∠BAC=C,a=120°，AD平分∠BAC, ∠BAE=∠EAC=∠BAC=60°， 2 AB=BE, ∴，△ABE是等边三角形， .∠E=60°， ∴.∠E=∠EAC, .BE∥AC: ②如图，在AE上取一点H,使AH=AB,连接BH, E 图2 33/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)知∠BAE=60°， ∴，△ABH是等边三角形， ∴.BH=BA=AH,∠BHA=60°， .∠BHE=180°-∠BHA=120°=∠BAC, ∠BDE=∠ADC,∠EBC=∠EAC=6O°， .180°-∠BDE-∠EBC=180°-∠ADC-∠EAC. 即∠E=∠C, 在△BHE和△BAC中， [∠BHE=∠BAC ∠E=∠C BH=BA △BHE≌aBAC(AAS), .HE=AC, .AE=AH+HE=AB+AC. 19 213 【分析】)①根据角平分线的定义利∠B=∠EAC=B1C=60,结合B=BE证明。1BE是等边 三角形，推出∠E=60°=∠EAC,即可证明BE∥AC:②在AE上取一点H,使AH=AB,连接BH,构 造等边△ABH,再证△BHE≌△BAC(AAS),推出HE=AC,可得AE=AH+HE=AB+AC: (2)连接AC',作AM⊥BF于点M,AN⊥FC交FC的延长线于点N,由轴对称的性质得AC'=AC, FC-FC-3∠FAC=∠FAC=∠C4C,Sc=Sc=7,根据三角形面积公式计算出 FC-了，根据等腰三角形三线合-推出MC=MB·∠M1C'=∠MMB=)∠BAC,进面证 AM AN 2S.4CE=14 AMF是等腰直角三角形，推出AM=MF=14 明 ，即可求解. 【详解】(1)①略.②略. (2)解：如图，连接AC',作AM⊥BF于点M,AW⊥FC交FC的延长线于点N 34/35 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M D 点与关于射线 对称， N 图3 CC AD AC=AC.FC=EC=3 ZFAC-ZFAC-ZCAC S.RG =SRe=1 C.AM=FC.AN=7. 2 2 AM=AN=29g=2x714 FC33 ·AB=AC,AC=AC, .AC'=AB, AM⊥BF, MC=MB'∠MAC=∠MAB=)∠BAC ∠Mc+∠4C-B4c+C4c-Bc-x0=4s, 2 .△AMF是等腰直角三角形， AM=MF=14 Γ3 MC'=MF-FC'-14_ 5 3= 3 3 MB=MC-3 BF=BM+MF=514_19 333· 35/35