第12章 函数与一次函数全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第12章函数与一次函数全章高频重点题型突破 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1变量间的关系表示 1.A 2.C 3.D 4.y=x2-2x(x>2) ◆题型2函数概念辨析 1.C 2.C 3.B 4.C ◆题型3函数自变量取值范围求解 1.B 2.D 3.C 4.y=5-x(0<x<5) ◆题型4根据解析式求函数值 1.A 2.A 3.5 4.4 ◆题型5函数三种表示方法 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.D 2.D 3.B 4.D ◆题型6一次函数、正比例函数概念判断 2.C 3.D 4.①③ ◆题型7根据一次函数定义求参数 1.B 2.C 3.±3 4.-2 ◆题型8一次函数图像的画法 3 【答案】(1) -5-4-3-2-1012入3.45x -2 --3 4 y=-2x+4 【详解】(1)解：令y=0,则x=2;令x=0,则y=4: “.直线y=-2x+4经过点(2,0)，点(0,4)， 画函数图象略： 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由图象知，当0<y≤2时，1≤x<2. 2 【答案】(1在坐标系中描出点(2，)，（山，-5），连接过这两点的直线，画图如下： 5 2 1 5-4-3-2-10 /2345六 -2 -3升 7-5 【详解】(1)解：，当x=2时，y=1;当x=-1时，y=-5, .点(2,1)，(1，-5)在一次函数y=x+b的图象上， 平面直角坐标系中画出函数的图象略. 2)点P(5,6)不在一次函数的图象上；理由如下： :点(2,1)，(-l,-5)在一次函数y=cx+b的图象上， 1=2k+b k=2 ·-5=k+b,解得： b=-3 ∴函数解析式为y=2x-3, 当x=5时，y=2×5-3=7≠6 即点P(5,6)不在一次函数的图象上： (3)解：当x=-2时，y=2×(-2)-3=-7； 当x=1时，y=2×1-3=-1. :一次函数中一次项系数2>0， ∴函数值随自变量的增大而增大， “-7≤y≤-1 3 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 3 1)432 1234 -3 -4 【详解】(1)解：对于一次函数y=2x+1, 当x=0时，y=1: 当x=1时，y=3； (2)解：对于一次函数y=2x+1, 当x=-1时，y=-1； 当x=2时，y=5； 结合函数图象，当-1<x<2时，y的取值范围为-1<y<5 ◆题型9根据k、b判断直线经过象限 1.B 2.一c 3.一、三、四 4.一、三、四 ◆题型10一次函数增减性判断 1.A 2.A 3.> 4.y2>片 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型11一次函数图像平移问题 1.A 2.A 3.y=-3x+3(答案不唯一) 4.ys- 37 44 ◆题型12一次函数图像与坐标轴的交点问题 1.B 2.c (0,3) 4.y=2x+5或y=2x-5 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1由函数图像读取实际情境信息 1.C 2.C 3.B 4.C ◆题型2两个一次函数图像交点求解 1.D 2.C [x=1 3.1 y=2 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=1 y=1 ◆题型3一次函数与一元一次方程关系应用 1.B 2.B 3.x=4 4.-4 ◆题型4一次函数与一元一次不等式关系应用 1.A 2.A 3.x>1 4.x≥1 ◆题型5一次函数图像与坐标轴围成三角形面积计算 1.A 2.A 3.4 4. 【详解】(1)解：设该一次函数的表达式为：y=a+b(k≠0)， [4k+b=4 将A(4,4),B(0,2)代入该一次函数的表达式，得1b=2· 1 k=- 解得了2 b=2 1 一该一次函数的解析式为：y=2x+2: (2)解：当y=0时，2x+2=0, 解得x=-4, 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C(-4,0). 0C=4, 1 1 .Sc=)0C-y=×4×4=8. 2 ◆题型6一次函数实际应用 【详解】(1)根据题意得：甲=9x(x≥3000) 设乙方案购买柑橘的总费用%（元）与购买柑橘数量x(千克)的函数解析式为片=：+b(k≠0)， 29000=3000k+b 将(6000,29000)'(5000,45000)代入2=c+b得：145000=5000k+b: k=8 解得： b=5000 z=8x+5000(x≥3000) (2)解：令m<z,则9x<8x+5000, 解得：x<5000 当3000≤x<5000时，选择甲方案更合算： 令ym=%,则9x=8x+5000, 解得：x=5000, ∴.当x=5000时，选择甲、乙两方案费用相同： 令ym>,则9x>8x+5000, 解得：x>5000, “当x>5000时，选择乙方案更合算. 当3000≤x<5000时，选择甲方案更合算；当x=5000时，选择甲、乙两方案费用相同；当x>5000时， 选择乙方案更合算. 2. 【详解】(1)解：甲种机器人的购买数量为x台，则乙种机器人的购买数量为(50-为台， 由题意得，y=60x+65(50-x)=-5x+3250」 7/15 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y关于x的函数表达式为y=-5x+3250 00 (2)由题意得，x≤250-)，解得x≤ 3· :x为正整数， ∴.x的最大值为33， 在y=-5x+3250中，-5<0， ∴y随x的增大而减小， 当x=33时，y取最小值，y最小值=-5×33+3250=3085 答：该公司购买甲种机器人33台时花费最少，最少费用为3085万元. 3.某【详解】(1)解：由图可知，男子组匀速跑所用的时间为100s, ,男子组匀速跑的速度为4.5m/s, ∴.男子组匀速跑的路程为100×4.5=450(m), .此次跑步训练的全程是450+50=500(m): (2)解：由图象可知，女子组y是关于x的一次函数， .设女子组y与x的函数关系式为y=x+b 且图象过点(0,80)，(120,500)， 所以把它们代入y=c+b中得， 80=b b=80 500=120k+b,解得1k=35 ∴女子组y与x的函数关系式为y=3.5x+80(0≤x≤120)： (3)解：由图象可知，男子组y也是关于x的一次函数， ∴.设男子组y与x的函数关系式为y=mr+n 且图象过点(0,50)，(100,500). 所以把它们代入y=m+n中得， [50=n n=50 500=100m+n,解得] m=4.5: ∴.男子组y与x的函数关系式为y=4.5x+50 y=3.5x+80 x=30 联立： y=4.5x+50, 解得1y=185 :.500-185=315(m). 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程为315m」 4. 【详解】(1)解：53-45.5=7.5cm,60.5-53=7.5cm,68-60.5=7.5cm,75.5-68=7.5cm 所以当6≤x≤10时，尾长x每增加lcm,则体长y增加7.5cm. (2)解：蛇的体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数， 设y=acx+b. 把x=6时，y=45.5；x=8时y=60.5, 6k+b=45.5 代入得18k+b=60.5’ k=7.5 解得1b=0.5’ y与x之间的关系式为y=7.5x+0.5 ◆题型7一次函数背景下的儿何综合 1.C 2.D 3.(6,2) 【详解】1)解：令y=0,得2x+3=0, 解得x=6, ∴点A的坐标为(6,0) 设直线AC的函数解析式为y=a+b(k≠0)， 6k+b=0 将A(6,0)C(0,-6)代入得1b=-6, [k=1 解得1b=6 ∴.直线AC的函数解析式为y=x-6. (2)解：设点D的坐标为(m,m-6),则点E的坐标为m,一2m+3 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在y=2x+3中，当x=0时，y=3, ∴点B的坐标为(0,3)」 A(6,0),B(0,3),C(0,6) .0A=6,OB=3,0C=6,则BC=0B+0C=9, :Sc=)BC-0A=)x9x6=27. 2 2 SAABD =9. SARCD=SAABC-SAABD=18, cm 2x9m=18, 1 解得m=4则2m+3=1, .点E的坐标为(4，) 题型专练 高频重难特训 1.C 2.C 3.A 4.D 5.D 6.y=-2x+1 x=-1 7.1y=2 8.y=-2x+35 9.-22 10.②③④ 11. 【详解】(1)解：：表格中销售额与售卖时长的比值为定值， 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .设y=k(k≠0). 将x=1,y=80代入， 得k=80 .y与x的变量关系式为y=80x(0≤x≤6.5)， (2)解：：y=80x中，80>0， ∴，销售额随售卖时长的增加而均匀增大，每增加1小时，销售额增加80元. (3)解：当x=6.5时， y=80×6.5=520 答：当日总销售额为520元. (4)解：当x=5时， 销售额为y=80×5=400(元)· 纯利润为400-150=250（元）. 答：售卖5小时的纯利润为250元. 12. 【胖解1a)解：无=1代入y+1,得y=, 设：，c引代入得解得3 马的解析式为：y=3x-3 (2)解：如图， y 4y7+l A 7C B E 1 令y=0则3x-3=0,得x=2:令x=0”y= 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=亏，OD、 2 ∴.SAACD=SAACE-SaME 1 1 2×1Exe2 AE×OD 15 151 =二×二×1- 22 222 .5 8: 85 (3)解：S△4cG= 2×2=1. 58 ∴设G(0,), 840o=2x-lx1=l1, :k-=2,解得1=3或t=-1, ∴G坐标为(0,3)或(0，-1). 13. 【详解】(1)解：设蜡烛熄灭前，y与1之间的函数解析式为y=+b,将(0,50)，(120,38)代入，得 50=b 38=120k+b' [k=0.1 解得1b=50· ∴蜡烛熄灭前，y与t之间的函数解析式为y=0.1t+50。 (2)解：当y=16时，16=0.11+50， 解得1=340 答：当蜡烛燃烧340s时，会因为氧气不足而熄灭. 14. 【详解】(1)解：由函数图象可知学校与博物馆相距120km: 120 120=40(km/h): (2)解：由函数图象可知，甲队的速度为了=24(km),乙队的速度为4 12/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：60÷40=1.5(h)」 答：乙队出发后1.5h追上甲队. 15.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=c+b的图象由函数y=2x的图象平移得到，且经过点A(,4) 5 3 2 -5-4-3-2-1912345六 -5 (1)求这个一次函数的解析式： (2)画出一次函数y=c+b的图象： (3)不等式0≤x+b<4的解集为： (4)函数y=c+b的图象与x轴交于点B,点C在x轴上.若△ABC的面积为2，求点C的坐标. 【答案】(1)y=2x+2 (2) 一次函数y=2x+2的图象如下： 5 4 -5-4-3210L12345x -21 3 4 (3)-1≤x<1 (4)点C的坐标为(0,0)或(-2,0) 【分析】(1)由函数的平移可得k=2,再将点A山4)代入求出b,即可求解； (2)根据列表、描点、连线，即可求解； 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)观察函数图象即可求解： (④先求出点g的坐标，再设Cm0):再用合m的式子表示出BC,录后根据S方8C,=2,列方 程即可求解。 【详解】(1)解：~一次函数y=+b的图象由函数y=2x的图象平移得到， k=2, 将点A(1,4)代入y=2x+b中得2x1+b=4, 解得b=2, 这个一次函数的解析式为y=2x+2, (2)解：列表： -2 -1 0 y=2x+2 2 0 2 描点、连线即可： (3)解：由图可知，当y=0时，x=-1,当y=4时，x=1, ∴.不等式0≤kc+b<4的解集为-l≤x<1: 3 5-4-3271912345 -21 -3 (4)解：令y=0,则0=2x+2, 解得x=-1, B(1,0), 点C在x轴上， :设C(m,0) :.BC=m-(-=m+1, 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ~△ABC的面积为2，点A(1,4), 1 ∴ Sinc =BC:yx m+1x4-2 解得m=0或m=-2, 点C的坐标为(0,0)或(-2,0) 15/15 第12章 函数与一次函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 变量间的关系表示 题型2 函数概念辨析 题型3 函数自变量取值范围求解 题型4 根据解析式求函数值 题型5 函数三种表示方法 题型6 一次函数、正比例函数概念判断 题型7 根据一次函数定义求参数 题型8 一次函数图像的画法 题型9 根据 k、b 判断直线经过象限 题型10 一次函数增减性判断 题型11 一次函数图像平移问题 题型12 一次函数图像与坐标轴的交点问题 核心提升：重难题型归纳 题型1 由函数图像读取实际情境信息 题型2 两个一次函数图像交点求解 题型3 一次函数与一元一次方程关系应用 题型4一次函数与一元一次不等式关系应用 题型5 一次函数图像与坐标轴围成三角形面积计算 题型6 一次函数实际应用 题型7 一次函数背景下的几何综合 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 变量间的关系表示 1．科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表） 温度/ 声速/ 下列说法错误的是（     ） A．声速随温度的增大而减小 B．温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，声速为 D．当空气温度为时，声速为 2．用长为的篱笆围成一个长方形场地，设这个长方形场地的一边长为，周长为，面积为．则其中的变量是（   ） A．a，L B．L，S C．a，S D．a，L，S 3．小亮同学骑自行车上学，刚开始以某一速度匀速行驶，途中因自行车发生故障停下修车，车修好后加快速度赶往学校．以下四个图象中（为离家的路程，为行驶时间），符合上述情况的是（     ）． A． B． C． D． 4．已知一个长方形的长为，宽比长少，设长方形的面积为，则与的变量关系式为________． ◆题型2 函数概念辨析 1．下列图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各曲线中表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 3．数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科．下列四个数学图象中，表示函数的是（     ） A． B． C． D． 4．下列各曲线中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． ◆题型3 函数自变量取值范围求解 1．函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．函数的自变量x的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 3．某辆摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量（单位：）与该摩托车行驶路程（单位：）之间的关系如图所示，则自变量的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．一个长方形的周长是，若一边长是，另一条边长是，则与的关系式是____________（写出自变量的取值范围）． ◆题型4 根据解析式求函数值 1．下列各点不在函数上的是（     ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象经过点，下列也在一次函数的图象上的点是（     ） A． B． C． D． 3．在函数中，当时，y的值为__________． 4．若点在函数的图象上，则的值是________． ◆题型5 函数三种表示方法 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 2．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 3．某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 4．已知矩形的周长是10，长y是宽x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x的函数关系图象的是（　　） A． B． C． D． ◆题型6 一次函数、正比例函数概念判断 1．下列是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各函数中表示是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 4．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是的一次函数的是______．（填序号） ◆题型7 根据一次函数定义求参数 1．已知函数为一次函数，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．已知：是关于的一次函数，则________． 4．当______时，函数是一次函数． ◆题型8 一次函数图像的画法 1．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (2)当时，直接写出的取值范围． 2．已知一次函数，当时，；当时，． (1)在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象． (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上，并说明理由． (3)当时，求y的取值范围． 3．已知一次函数，完成下列问题． (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，求的取值范围． ◆题型9 根据 k、b 判断直线经过象限 1．一次函数的图像不经过的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．直线经过一、二、三象限，那么经过______象限． 4．一次函数的图像经过第________象限． ◆题型10 一次函数增减性判断 1．已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．若点和点在直线上，则a与b的大小关系是（     ） A． B． C． D．与m的值有关 3．若函数上存在两点，，若，则______． 4．若点，都在函数的图象上，则与的大小关系是_________． ◆题型11 一次函数图像平移问题 1．直线沿轴向下平移2个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 2．一次函数的图象，可由正比例函数的图象（     ） A．向左平移1个单位长度而得到 B．向右平移2个单位长度而得到 C．向上平移1个单位长度而得到 D．向下平移2个单位长度而得到 3．将直线向右平移，且平移后不过第三象限，写出一个符合条件的平移后的直线解析式__________． 4．直线向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线______． ◆题型12 一次函数图像与坐标轴的交点问题 1．一次函数的图象与轴交点是（     ） A． B． C． D． 2．一条直线与x轴交于点，则该直线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．直线与轴的交点坐标为___，与轴的交点坐标为___． 4．直线与y轴交于点M，且点M到x轴的距离为5，则直线的解析式为_____． ◆题型1 由函数图像读取实际情境信息 1．如图1，小明做摆球实验，在水平操作台上方的位置由静止释放小球，小球左右摆动，最低位置为．一段时间内，小球距离操作台台面的高度（单位：）随时间（单位：）变化的图像如图2所示，则下列说法中错误的是（     ） A．释放小球的位置距离操作台台面的高度是 B．小球距离操作台台面的最低高度是 C．当时，小球在的右侧 D．当从增大到时，小球距离操作台台面的高度越来越大 2．化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法中错误的是（     ） A．在这个变化过程中，自变量是加入絮凝剂的体积 B．当加入絮凝剂的体积为时，净水率最高 C．未加入絮凝剂时，净水率为0 D．随着加入的絮凝剂的体积越大，净水率先增高再降低 3．如图，在我校女子800米比赛中，小莹和小珊所跑的路程（米）与所用时间（秒）之间的函数图像分别为线段和折线，下列说法正确的是（     ） A．小莹的速度随时间的增大而增大 B．在起跑后50秒时，小珊在小莹的前面 C．在起跑后180秒时，两人相遇 D．小珊的平均速度比小莹的平均速度大 4．硫酸钠（）是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度y（g）与温度t（）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．当温度为时，硫酸钠在水中不溶解 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 ◆题型2 两个一次函数图像交点求解 1．如图，直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知一次函数（）与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是___________． 4．如图，直线与交点的横坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为________． ◆题型3 一次函数与一元一次方程关系应用 1．在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 2．如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与直线的图象交于点，则方程的解为（     ） A． B． C． D． 3．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 4．如图，一次函数的图象分别与轴交于两点．若，，则关于的方程的解为_________． ◆题型4 一次函数与一元一次不等式关系应用 1．如图，一次函数的图象经过A、B两点，则的解集是（     ）． A． B． C． D． 2．如图，一次函数的图象与正比例函数的图象都经过点，当时，根据图象可知，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．如图所示，一次函数（，是常数，且）与正比例函数（是常数，且）的图象相交于点，根据图象可知，不等式的解集为_________． 4．如图，根据函数图象可得关于的不等式的解集是___________． ◆题型5 一次函数图像与坐标轴围成三角形面积计算 1．如图，直线与直线交于点A，两条直线分别交x轴于点B，点C，则 的面积为（     ） A． B．5 C． D．7 2．在平面直角坐标系中，将直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，直线分别与轴、轴交于点、，则的面积为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 3．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，且直线与x轴交于点C，则的面积为______． 4．如图，已知直线上两点的坐标分别为，，且直线与x轴交于点C，连接． (1)求直线所对应的一次函数的表达式． (2)求的面积． ◆题型6 一次函数实际应用 1．某果园基地销售优质柑橘，对购买柑橘数量在千克及以上的客户提供以下两种销售方案： 甲方案是客户免运费，柑橘单价是元/千克；乙方案是客户承担固定运费，购买柑橘的总费用（元）与购买柑橘数量（千克）的关系如图所示． (1)分别写出两种方案的总费用（元）关于购买柑橘数量（千克）的函数解析式； (2)若您是客户，您将选择哪种方案？请说明理由． 2．2026年上半年中国人形机器人全球出货量占比超97%，人工智能、机器人、创新药组成的“新新三样”，成为中国外贸最新名片．某公司计划采购甲、乙两种机器人共50台，已知甲种机器人的单价为60万元/台，乙种机器人的单价为65万元/台．设甲种机器人的购买数量为台，购买两种机器人的总花费为万元． (1)求关于的函数表达式； (2)若甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购买甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 3．某学校体育队开展跑步训练，体育老师将队员分成男、女两组．两组队员从同一地点同向先后出发，女子组跑了时，男子组恰好跑了．此后两组队员开始匀速跑，直到终点．已知男子组匀速跑的速度为．男、女两组队员跑步的路程（单位：）与匀速跑的时间（单位：）的图象如图所示． (1)此次跑步训练的全程是______； (2)求女子组与的函数关系式； (3)男子组追上女子组时，直接写出两组队员离终点的路程为______． 4．生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示， 尾长 6 7 8 9 10 体长 45.5 53 60.5 68 75.5 (1)当时，尾长x每增加，则体长y增加多少？ (2)已知x，y满足一次函数关系式，求y关于x的函数表达式． ◆题型7 一次函数背景下的几何综合 1．如图，一次函数的图象经过点，，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点在x轴上，过点作x轴的平行线l与正比例函数的图象相交于点A，连接，点P在直线l上且位于点A的右侧，连接，，则点P的坐标是________． 4．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，经过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点是线段上任意一点，连接，轴交直线于点，若的面积为9，求点的坐标． 1．下列图形中，不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 2．若点和点在函数（m为任意实数）的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能比较 3．下列关于一次函数的图像信息正确的是（     ） A．与直线平行 B．图像过原点 C．图像过二、三、四象限 D．与轴相交于点 4．某快递公司同城快递的收费标准见下表（寄送物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（     ） A．寄送物品的质量越重，快递费用就越高 B．当寄送物品的质量为时，快递费用为元 C．估计当寄送物品的质量为时，快递费用为元 D．寄送物品的质量每增加，快递费用增加元 5．如图，直线：和直线：（，为常数，且）相交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6．直线向下平移个单位长度得到的直线的解析式是_________． 7．已知一次函数（，为常数，且）与正比例函数的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是________． 8．在靠墙（墙足够长）的地方围建一个矩形养鸡场，另外三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为．设篱笆与墙平行一边的长为，与墙垂直一边的长为．则与的函数关系式为________． 9．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度b(千米)与此高度处气温的关系，根据表格中两个变量之间的关系：当时，气温________． 海拔高度b：(千米) 0 1 2 3 4 5 气温 20 14 8 2 10．一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②，且的值随着值的增大而减小；③当时，；④关于的方程的解是；其中正确的有_________．（只填写序号） 11．某水果店售卖草莓，售价固定，每日销售额随售卖时长变化而变化．设售卖时长为小时（自变量），销售额为元（因变量），部分售卖数据如下表： 售卖时长（小时） 1 2 3 4 销售额（元） 80 160 240 320 (1)根据表格数据，写出与的变量关系式； (2)分析销售额随售卖时长的变化趋势； (3)若当日草莓全部售完用时6.5小时，求当日总销售额； (4)若当日固定成本为150元，求售卖5小时的纯利润． 12．在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于，两点，直线过点，交轴于点，交直线于点，其中点的横坐标为1． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)点是轴上一点，且，写出点的坐标． 13．蜡烛在燃烧过程中会消耗氧气，因此，将蜡烛放在封闭容器中，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低．当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭．使用氧气含量检测仪器定时测量封闭容器中的氧气含量，得到封闭容器内的氧气含量（单位：）与蜡烛的燃烧时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)求蜡烛熄灭前，与之间的函数解析式； (2)当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 14．某中学组织八年级学生前往博物馆参加研学活动，学生分为甲、乙两队，两队相继从学校乘车出发，沿同一路线匀速前往博物馆．甲、乙两队离学校的距离与甲队出发的时间之间的函数关系如图所示．请根据图象解答下列问题： (1)学校与博物馆相距_______； (2)甲队的速度是_______，乙队的速度是_______； (3)乙队出发后几小时追上甲队？ 15．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出一次函数的图象； (3)不等式的解集为________； (4)函数的图象与轴交于点，点在轴上．若的面积为，求点的坐标． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 函数与一次函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 变量间的关系表示 题型2 函数概念辨析 题型3 函数自变量取值范围求解 题型4 根据解析式求函数值 题型5 函数三种表示方法 题型6 一次函数、正比例函数概念判断 题型7 根据一次函数定义求参数 题型8 一次函数图像的画法 题型9 根据 k、b 判断直线经过象限 题型10 一次函数增减性判断 题型11 一次函数图像平移问题 题型12 一次函数图像与坐标轴的交点问题 核心提升：重难题型归纳 题型1 由函数图像读取实际情境信息 题型2 两个一次函数图像交点求解 题型3 一次函数与一元一次方程关系应用 题型4一次函数与一元一次不等式关系应用 题型5 一次函数图像与坐标轴围成三角形面积计算 题型6 一次函数实际应用 题型7 一次函数背景下的几何综合 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 变量间的关系表示 1．科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表） 温度/ 声速/ 下列说法错误的是（     ） A．声速随温度的增大而减小 B．温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，声速为 D．当空气温度为时，声速为 【答案】A 【分析】先根据声速随温度的变化趋势判断A、B的正误，再验证对应温度下的声速判断C、D的正误． 【详解】解：∵由表格数据可知，温度升高时声速逐渐增大， ∴声速随温度的增大而增大，温度越高声速越快，A说法错误，符合题意；B说法正确，不符合题意． ∵由表格中对应数据可知，时声速为，声速为， ∴C、D说法均正确，不符合题意． 2．用长为的篱笆围成一个长方形场地，设这个长方形场地的一边长为，周长为，面积为．则其中的变量是（   ） A．a，L B．L，S C．a，S D．a，L，S 【答案】C 【详解】解：∵篱笆总长为， ∴，为常量； ∵长方形一边长为，则另一边得长为， ∴面积，可取不同数值，随的变化而变化，故变量为和． 3．小亮同学骑自行车上学，刚开始以某一速度匀速行驶，途中因自行车发生故障停下修车，车修好后加快速度赶往学校．以下四个图象中（为离家的路程，为行驶时间），符合上述情况的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实际运动情况分析离家的路程关于行驶时间的变化趋势，即可得到答案． 【详解】解：小亮刚开始匀速行驶：路程随时间增大，图像是倾斜上升直线，之后停下修车：时间增加，离家路程不变，图像是水平线段，最后加快速度：再次匀速，速度比原来大，直线倾斜程度比第一段更陡，逐一分析各选项： A选项：没有水平停车段，不满足题意； B选项：离家的路程出现下降（离家变近），不满足题意； C选项：离家的路程整体下降（离家越来越近），不满足题意； D选项：图象先斜向上，再水平停车，最后以更大的斜率的斜向上，满足题意． 故选：． 4．已知一个长方形的长为，宽比长少，设长方形的面积为，则与的变量关系式为________． 【答案】 【详解】解：长方形的长为，宽比长少， 宽为， ， 长方形的边长为正数， ，即， 与的变量关系式为． ◆题型2 函数概念辨析 1．下列图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义，利用垂线法判断图象与垂直于 轴的直线的交点个数. 【详解】解：根据函数的定义，对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应， 选项 A、B、D 的图象中，任意作垂直于 轴的直线，与图象均只有一个交点， ∴ 选项 A、B、D 中 是 的函数， ∵ 选项 C 的图象中，存在垂直于 轴的直线与图象有两个交点， ∴ 选项 C 中 不是 的函数. 2．下列各曲线中表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可． 【详解】解：观察图像可知，选项A、B、D，存在的值，有2个值与之对应，故不是的函数，即A、B、D不符合题意； 选项C，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意． 3．数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科．下列四个数学图象中，表示函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义，对于自变量的每一个确定的值，因变量都有唯一确定的值与其对应，利用垂直于轴的直线与图象的交点个数进行判断． 【详解】解：根据函数的定义，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应， A、C、D选项中，均存在垂直于轴的直线与图象有两个或多个交点，不符合题意； B选项中，任意垂直于轴的直线与图象只有一个交点，符合题意． 4．下列各曲线中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故A不符合题意； B、满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故B不符合题意； C、满足对于的每一个取值，有多个值与之对应关系，故C符合题意； D、满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故D不符合题意． ◆题型3 函数自变量取值范围求解 1．函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 要使函数有意义． ∴分母不能为0，即 ， 解得． 2．函数的自变量x的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题根据二次根式和分式的意义求自变量取值范围，需要满足被开方数非负，分母不为0，列出不等式组求解即可． 【详解】解：要使函数有意义， ∵二次根式的被开方数必须非负，分式的分母不能为0， ∴， ∴自变量的取值范围是且． 3．某辆摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量（单位：）与该摩托车行驶路程（单位：）之间的关系如图所示，则自变量的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象获取信息． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图形可知，自变量的取值范围是． 故选：C． 4．一个长方形的周长是，若一边长是，另一条边长是，则与的关系式是____________（写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】根据长方形的周长公式可得，的关系，再根据，即可确定自变量的取值范围． 【详解】解：根据长方形的周长公式可得：， ∴， ∴， ∵且，即且， ∴， 综上：． ◆题型4 根据解析式求函数值 1．下列各点不在函数上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入，得， ∴ 点不在函数图象上，故A选项符合题意； 将，，分别代入解析式，得对应值为，，，均与对应选项纵坐标一致， ∴ 选项B，C，D中的点均在函数图象上，均不符合题意． 2．已知一次函数的图象经过点，下列也在一次函数的图象上的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求参数确定函数解析式，再验证各选项的点是否满足解析式． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ，解得， 一次函数解析式为， 当时，，点在一次函数的图象上， 当时，，点不在一次函数的图象上， 当时，，点不在一次函数的图象上， 当时，，点不在一次函数的图象上． 3．在函数中，当时，y的值为__________． 【答案】5 【分析】将代入函数解析式计算即可得到的值. 【详解】解：把代入函数，得 . 4．若点在函数的图象上，则的值是________． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点的横坐标代入函数解析式即可求得的值． 【详解】∵点在函数的图象上， ∴将，代入得：． ◆题型5 函数三种表示方法 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键． 由表格中的数据，结合变量的相关概念，可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，由此可对A作出判断； 弹簧不挂重物时的长度，就是x为0是y的长度，结合表格中的数据即可判断B项； 从表中y的变化情况可得物体质量每增加1千克，弹簧增加的长度，再计算出物体质量为时，弹簧的长度，即可对C和D选项作出判断． 【详解】解：A、由表格可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，故A选项正确； B、弹簧不挂重物时长度为，故B选项正确； C、由表格可知物体质量增加时，弹簧长度增加，故C选项正确 D、所挂物体质量为时，弹簧长度为，故D选项不正确． 故选：D． 2．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列函数关系式，利用长方形面积等于长乘宽计算即可． 【详解】由题意得：长方形靠墙的一边长为，则平行墙的边长为， ∴面积， 故选：D． 3．某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．从而可得答案． 【详解】解：某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系，可选择的比较好的方法是图象法，有利于判断体温的变化情况， 故选B 4．已知矩形的周长是10，长y是宽x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x的函数关系图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的周长为10，得，整理得，根据矩形的长，宽都是正数，确定与坐标轴的交点都是空心点，解答即可． 本题考查了函数的表达式，图象的画法，熟练掌握表达式和画图象是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的周长为10， ∴， ∴， 根据矩形的长，宽都是正数， ∴与坐标轴的交点都是空心点， 故选：D． ◆题型6 一次函数、正比例函数概念判断 1．下列是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从自变量次数、解析式是否为整式两个角度逐项判断即可． 【详解】解：A．中的次数为2，不是一次函数，不符合题意； B．符合一次函数的定义，符合题意； C．为分式，不是一次函数，不符合题意； D．含二次根式，不是一次函数，不符合题意． 2．下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】形如（是常数）的函数叫做一次函数，据此解答即可； 【详解】解：①，③，⑤均为一次函数； ②中的次数为，不是一次函数；④中的最高次数为，不是一次函数；综上，一次函数共有3个； 3．下列各函数中表示是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，只需根据正比例函数的定义，逐一判断各选项函数的形式即可得到结果． 【详解】解：根据定义，形如（为常数，且）的函数叫做关于的正比例函数， ∵ 是一次函数，常数项不为，不符合正比例函数定义，排除A； ∵ 是二次函数，的次数为，不符合定义，排除B； ∵ 是反比例函数，不符合定义，排除C； ∵ 符合的形式，且，满足正比例函数定义； ∴ 选D． 4．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是的一次函数的是______．（填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查一次函数的定义．根据一次函数的定义：形如（，、为常数）的函数叫做一次函数，对给出的函数逐一判断即可. 【详解】解：①符合一次函数的定义，符合题意； ②不符合一次函数的定义，不符合题意； ③对整理得，符合一次函数的定义，符合题意； ④是反比例函数，不符合一次函数的定义，不符合题意； ⑤是二次函数，不符合一次函数的定义，不符合题意. 故填①③． ◆题型7 根据一次函数定义求参数 1．已知函数为一次函数，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据形如，其中为常数，的函数是一次函数；可知：． 2．若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数要求自变量的次数为，且一次项系数不为，据此列出条件计算即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解得 3．已知：是关于的一次函数，则________． 【答案】 【详解】解：由一次函数的定义得,解得． 4．当______时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，需满足自变量的次数为，且一次项系数不为，据此列关系式求解． 【详解】解：∵函数是一次函数 ∴且， 解方程，得或． 解不等式 ，得． 因此． ◆题型8 一次函数图像的画法 1．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过图象上两个点的坐标画出直线即可； （2）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：令，则；令，则； ∴直线经过点，点， 画函数图象略： （2）解：由图象知，当时，． 2．已知一次函数，当时，；当时，． (1)在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象． (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上，并说明理由． (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)在坐标系中描出点，连接过这两点的直线，画图如下； (2)点不在一次函数的图象上；理由如下： ∵点在一次函数的图象上， ∴，解得：， ∴函数解析式为， 当时，， 即点不在一次函数的图象上； (3) 【分析】（1）先确定点在一次函数的图象上，再描点连线即可解答； （2）先求得函数解析式为，再将点代入验证即可； （3）当、时的函数值，再利用函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：∵当时，；当时，， ∴点在一次函数的图象上， 平面直角坐标系中画出函数的图象略． （2）略 （3）解：当时，； 当时，； ∵一次函数中一次项系数， ∴函数值随自变量的增大而增大， ∴． 3．已知一次函数，完成下列问题． (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，； 当时，； 画出该函数的图象略； （2）解：对于一次函数， 当时，； 当时，； 结合函数图象，当时，的取值范围为． ◆题型9 根据 k、b 判断直线经过象限 1．一次函数的图像不经过的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据一次函数的、符号判断图像经过的象限． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 2．一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先确定一次函数解析式中、的符号，再判断图象经过的象限． 【详解】解：∵中，，， ∴该函数图象经过第一、二、四象限，如图所示： ∴该函数图象不经过第三象限． 3．直线经过一、二、三象限，那么经过______象限． 【答案】一、三、四 【分析】先根据直线经过的象限得到和的符号，再根据符号判断直线经过的象限. 【详解】解：∵直线经过一、二、三象限， ∴，且直线与轴交于正半轴，可得， 对于直线， ∵， ∴直线经过第一、三象限， ∵， ∴，即直线与轴交于负半轴， ∴直线经过一、三、四象限． 4．一次函数的图像经过第________象限． 【答案】 一、三、四 【分析】根据一次函数的性质，通过和的符号即可判断函数图象经过的象限． 【详解】解：一次函数中，， ， 一次函数的图象经过第一、三、四象限． ◆题型10 一次函数增减性判断 1．已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一次函数增减性比较函数值大小． 【详解】解：， 随的增大而减小． ， ． 2．若点和点在直线上，则a与b的大小关系是（     ） A． B． C． D．与m的值有关 【答案】A 【分析】根据一次函数一次项系数的符号判断函数增减性，再结合两点横坐标的大小即可比较纵坐标和的大小． 【详解】∵一次项系数， ∴随的增大而减小， ∵点，点，满足， ∴． 3．若函数上存在两点，，若，则______． 【答案】 【分析】根据一次函数的增减性，结合即可比较和的大小． 【详解】解：∵点 、在一次函数上，且函数的比例系数， ∴ 随的增大而减小； 又∵ ， ∴ ． 4．若点，都在函数的图象上，则与的大小关系是_________． 【答案】/ 【详解】解：由可得：， 一次函数中，y随的增大而减小，且， ∴． ◆题型11 一次函数图像平移问题 1．直线沿轴向下平移2个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将直线沿轴向下平移2个单位长度，得，即． 2．一次函数的图象，可由正比例函数的图象（     ） A．向左平移1个单位长度而得到 B．向右平移2个单位长度而得到 C．向上平移1个单位长度而得到 D．向下平移2个单位长度而得到 【答案】A 【分析】根据平移的规律：“左加右减，上加下减”即可判断. 【详解】解：正比例函数的图象向上平移2个单位后所得直线的解析式为：， 或正比例函数的图象向左平移1个单位后所得直线的解析式为：． 故选项A符合题意． 3．将直线向右平移，且平移后不过第三象限，写出一个符合条件的平移后的直线解析式__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】设平移的单位长度，根据平移法则得到平移后解析式，利用不过第三象限的条件得到平移范围，任取符合条件的值写出解析式即可. 【详解】解： 设直线向右平移个单位长度，其中 根据“左加右减”的平移法则， 可得平移后直线解析式为 ， 整理得 ， ∵平移后直线不过第三象限，且的系数 ， ∴ ， 解得 ， 取，得到符合条件的解析式为 . 4．直线向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线______． 【答案】 【分析】利用一次函数平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量，逐步计算即可得到平移后的直线解析式． 【详解】解：原直线解析式为 ， 将直线向下平移个单位，根据平移规律，常数项减，得：， 再向左平移个单位，根据平移规律，将替换为，得： 展开整理得： ∴平移后得到的直线为 ． ◆题型12 一次函数图像与坐标轴的交点问题 1．一次函数的图象与轴交点是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：令，得，解得， 故直线与轴的交点为. 2．一条直线与x轴交于点，则该直线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：∵直线过点， ∴， 解得， ∴直线表达式为， 令，得， 即直线与轴的交点坐标为． 3．直线与轴的交点坐标为___，与轴的交点坐标为___． 【答案】 【分析】令，求解关于的一元一次方程，可得直线与轴的交点坐标；将代入直线，求出可得直线与轴的交点坐标． 【详解】解：求直线与轴的交点坐标： 令，得， 解得， ∴直线与轴的交点坐标为； 求直线与轴的交点坐标： 将代入直线，得， ∴直线与轴的交点坐标为． 4．直线与y轴交于点M，且点M到x轴的距离为5，则直线的解析式为_____． 【答案】或 【分析】直线与y轴的交点的横坐标为0，则可得交点M的纵坐标为，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，据此求解的值即可得到直线解析式． 【详解】解：在中，当时，， ∴点的坐标为； ∵ 点到轴的距离为， ∴ ， 解得或， ∴该直线的解析式为或． ◆题型1 由函数图像读取实际情境信息 1．如图1，小明做摆球实验，在水平操作台上方的位置由静止释放小球，小球左右摆动，最低位置为．一段时间内，小球距离操作台台面的高度（单位：）随时间（单位：）变化的图像如图2所示，则下列说法中错误的是（     ） A．释放小球的位置距离操作台台面的高度是 B．小球距离操作台台面的最低高度是 C．当时，小球在的右侧 D．当从增大到时，小球距离操作台台面的高度越来越大 【答案】C 【分析】分析图2，原点纵坐标上对应点释放位置，而后小球开始摆动，在、处位于最低点，判断相应选项是否符合即可． 【详解】选项，由图2对照分析可知，释放小球的位置位于点处，此时距离操作台台面的高度是，选项正确； 选项，小球分别在、处位于最低点，此时高度为，选项正确； 选项，小球自释放开始，先向左摆动，经过后到达左侧的最高点，而后向右摆动，在处到达最低点，故当时，小球位于左侧，选项错误； 选项，小球在位于最低点，而后向右摆动至，即时间从至时，小球离操作台面的高度越来越大，选项正确； 故选择选项． 2．化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法中错误的是（     ） A．在这个变化过程中，自变量是加入絮凝剂的体积 B．当加入絮凝剂的体积为时，净水率最高 C．未加入絮凝剂时，净水率为0 D．随着加入的絮凝剂的体积越大，净水率先增高再降低 【答案】C 【详解】解：A、在这个变化过程中，自变量是加入絮凝剂的体积，故说法正确； B、当加入絮凝剂的体积为时，净水率为，综合图象，此时净水率最高，故说法正确； C、未加入絮凝剂时，净水率为，不为0，故说法错误； D、由图象可知，随着加入的絮凝剂的体积越大，净水率先增高再降低，故说法正确． 3．如图，在我校女子800米比赛中，小莹和小珊所跑的路程（米）与所用时间（秒）之间的函数图像分别为线段和折线，下列说法正确的是（     ） A．小莹的速度随时间的增大而增大 B．在起跑后50秒时，小珊在小莹的前面 C．在起跑后180秒时，两人相遇 D．小珊的平均速度比小莹的平均速度大 【答案】B 【分析】观察函数图像，明确横轴表示时间，纵轴表示路程，根据图像走势及关键点坐标逐项判断即可． 【详解】解：A.由图像可知，小莹的图像是线段，表示路程随时间均匀增加，即做匀速运动，速度保持不变，故A错误； B.由图像可知，当时，小珊的对应点B在小莹的对应点上方，即， 所以在起跑后50秒时，小珊在小莹的前面，故B正确； C.由图像可知，当时，小莹到达终点A（），小珊到达点C（），两人路程不相等，未相遇，故C错误 D.小莹跑完全程用时180秒，小珊跑完全程用时220秒，路程均为800米， ∵， ∴小莹的平均速度比小珊的大，故D错误． 4．硫酸钠（）是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度y（g）与温度t（）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．当温度为时，硫酸钠在水中不溶解 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【答案】C 【详解】解：由图象可知： A、当温度为时，硫酸钠在水中是溶解的，原说法错误； B、至时，硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大；在时，硫酸钠的溶解度随着温度的升高而减小，原说法错误； C、时，函数图象不是一条直线，则温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同，说法正确； D、要使硫酸钠的溶解度大于，温度可控制在接近至，原说法错误． ◆题型2 两个一次函数图像交点求解 1．如图，直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵直线与的图象交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程组的解即为两个一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：由图象可知，一次函数与的图象交点为， 则方程组的解为，即方程组的解为． 3．如图，已知一次函数（）与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是___________． 【答案】 【分析】先求出点P的坐标，然后根据图象法解方程组即可． 【详解】解：把代入得：， ∴点， ∴二元一次方程组的解是． 4．如图，直线与交点的横坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为________． 【答案】 【分析】先将横坐标为1代入解得两直线交点坐标，再结合图像得出关于，的方程组的解为． 【详解】解：直线与交点的横坐标为1， 纵坐标为， 两直线交点坐标， 关于，的方程组的解为． 故答案为：． ◆题型3 一次函数与一元一次方程关系应用 1．在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对方程变形，整理得；方程的解，就是直线与直线交点的横坐标，结合图象交点坐标即可求解． 【详解】解：对方程移项变形： ， 方程的几何意义：正比例函数与一次函数的函数值相等． 由图象可知，直线和的交点坐标为，交点横坐标为． 因此方程的解为． 2．如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与直线的图象交于点，则方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点、的坐标代入一次函数中，即可得到一次函数解析式；利用一次函数图象上点的坐标和一次函数与一元一次方程的关系进行分析判断． 【详解】解：将点、的坐标代入一次函数中， 得，解得， ∴一次函数的解析式为：， 将点，代入得，解得， ∴， 由图象得：方程的解为． 3．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 【答案】 【分析】方程的几何意义：求一次函数与正比例函数函数值相等时对应的自变量，也就是两条直线交点的横坐标．交点的横坐标即为方程的解． 【详解】解：方程等价于求时的取值，对应两个函数图像的交点横坐标． 由图可知，直线与的交点坐标为，该点横坐标为． 因此当时，成立，方程的解是． 4．如图，一次函数的图象分别与轴交于两点．若，，则关于的方程的解为_________． 【答案】 【分析】利用函数过，则有时函数值为0，则关于的方程的解为． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于，， ∴关于的方程的解为． ◆题型4 一次函数与一元一次不等式关系应用 1．如图，一次函数的图象经过A、B两点，则的解集是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象可得，一次函数的图象与轴交于点，从而即可得出结果． 【详解】解：由图象可得，一次函数的图象与轴交于点， 故的解集是． 2．如图，一次函数的图象与正比例函数的图象都经过点，当时，根据图象可知，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察函数图象，找出一次函数图象位于正比例函数图象下方时对应的自变量 的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，两函数图象交点的横坐标为 当 时，一次函数 的图象在正比例函数 的图象下方 不等式 的解集为． 3．如图所示，一次函数（，是常数，且）与正比例函数（是常数，且）的图象相交于点，根据图象可知，不等式的解集为_________． 【答案】 【详解】解：观察函数图象可得，当时，函数在的上方， 的解集为． 4．如图，根据函数图象可得关于的不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】将原不等式变形为，即寻找直线的图象在直线的图象上方（含交点）时对应的自变量的取值范围． 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为． 不等式可变形为， 即求直线在直线上方或相交时的取值范围． 观察图象可知， 当时，直线的图象在直线的图象上方或重合． 不等式的解集是． ◆题型5 一次函数图像与坐标轴围成三角形面积计算 1．如图，直线与直线交于点A，两条直线分别交x轴于点B，点C，则 的面积为（     ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】联立两个函数求出交点，然后分别求出，，结合图形求面积即可． 【详解】解：联立， 解得：， ∴交点； ， 当时，， ∴与x轴交于点， ，当时，， ∴与x轴交于点， ∴， ∴． 2．在平面直角坐标系中，将直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，直线分别与轴、轴交于点、，则的面积为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移及性质，熟练掌握一次函数的平移是解题的关键；由题意易得的解析式为，然后分别得出直线与x轴、y轴的交点坐标，进而问题可求解． 【详解】解：由直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，可知：的解析式为， ∴令时，则，解得：； 令时，则， ∴， ∴， ∴； 故选A． 3．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，且直线与x轴交于点C，则的面积为______． 【答案】4 【分析】此题考查一次函数与坐标轴的交点坐标的求法，两个一次函数交点的坐标的求法，理解方程及方程组与一次函数的关系是解题的关键．先根据函数解析式分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据的面积的面积的面积求出答案． 【详解】解：记直线与轴交于点， 在中，当时，， 解得， ∴， 在中，当时，， ∴， 解方程组，得， ∴， 过点B作轴，则， 在中，当，时，解得， ∴， ∴，, ∴ ． 故答案为:． 4．如图，已知直线上两点的坐标分别为，，且直线与x轴交于点C，连接． (1)求直线所对应的一次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由图形可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：设该一次函数的表达式为：， 将，代入该一次函数的表达式，得， 解得， ∴该一次函数的解析式为：； （2）解：当时，， 解得， ∴， ∴， ∴. ◆题型6 一次函数实际应用 1．某果园基地销售优质柑橘，对购买柑橘数量在千克及以上的客户提供以下两种销售方案： 甲方案是客户免运费，柑橘单价是元/千克；乙方案是客户承担固定运费，购买柑橘的总费用（元）与购买柑橘数量（千克）的关系如图所示． (1)分别写出两种方案的总费用（元）关于购买柑橘数量（千克）的函数解析式； (2)若您是客户，您将选择哪种方案？请说明理由． 【答案】(1)， (2)解：令，则， 解得：， ∴当时，选择甲方案更合算； 令，则， 解得：， ∴当时，选择甲、乙两方案费用相同； 令，则， 解得：， ∴当时，选择乙方案更合算． 当时，选择甲方案更合算；当时，选择甲、乙两方案费用相同；当时，选择乙方案更合算． 【分析】（1）甲方案，利用总价单价数量，可找出关于的函数解析式；乙方案，根据图中点的坐标，利用待定系数法，即可求出关于的函数解析式； （2）分，及三种情况，可求出的取值范围或的值，进而可得出结论． 【详解】（1）根据题意得：， 设乙方案购买柑橘的总费用（元）与购买柑橘数量（千克）的函数解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴． （2）略 2．2026年上半年中国人形机器人全球出货量占比超97%，人工智能、机器人、创新药组成的“新新三样”，成为中国外贸最新名片．某公司计划采购甲、乙两种机器人共50台，已知甲种机器人的单价为60万元/台，乙种机器人的单价为65万元/台．设甲种机器人的购买数量为台，购买两种机器人的总花费为万元． (1)求关于的函数表达式； (2)若甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购买甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 【答案】(1) (2)购买甲种机器人33台时花费最少，最少费用为3085万元 【分析】（1）根据题意，用字母表示出两种机器人的购买数量，再用成本数量单价进行表示即可． （2）根据题干列出不等式，求出自变量的取值范围，再结合一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：甲种机器人的购买数量为台，则乙种机器人的购买数量为台， 由题意得，， 关于的函数表达式为． （2）由题意得，，解得，     为正整数， 的最大值为33， 在中，， 随的增大而减小， 当时，取最小值，， 答：该公司购买甲种机器人33台时花费最少，最少费用为3085万元． 3．某学校体育队开展跑步训练，体育老师将队员分成男、女两组．两组队员从同一地点同向先后出发，女子组跑了时，男子组恰好跑了．此后两组队员开始匀速跑，直到终点．已知男子组匀速跑的速度为．男、女两组队员跑步的路程（单位：）与匀速跑的时间（单位：）的图象如图所示． (1)此次跑步训练的全程是______； (2)求女子组与的函数关系式； (3)男子组追上女子组时，直接写出两组队员离终点的路程为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用男子组的速度乘以匀速跑所用的时间再加上已经跑过的路程，进行求解即可； （2）由图象可知，女子组是关于的一次函数，所以设一次函数解析式，然后代点，解方程组即可； （3）求出男子组的函数关系式，联立两个解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，男子组匀速跑所用的时间为， ∵男子组匀速跑的速度为， ∴男子组匀速跑的路程为， ∴此次跑步训练的全程是； （2）解：由图象可知，女子组是关于的一次函数， ∴设女子组与的函数关系式为， 且图象过点， 所以把它们代入中得， ，解得， ∴女子组与的函数关系式为； （3）解：由图象可知，男子组也是关于的一次函数， ∴设男子组与的函数关系式为， 且图象过点， 所以把它们代入中得， ，解得， ∴男子组与的函数关系式为． 联立：，解得， ∴， ∴男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程为． 4．生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示， 尾长 6 7 8 9 10 体长 45.5 53 60.5 68 75.5 (1)当时，尾长x每增加，则体长y增加多少？ (2)已知x，y满足一次函数关系式，求y关于x的函数表达式． 【答案】(1)当时，尾长x每增加，则体长y增加7.5 (2) 【分析】（1）由表格可知，尾长x每增加，体长y增加7.5． （2）根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式． 【详解】（1）解：，，， 所以当时，尾长x每增加，则体长y增加． （2）解：∵蛇的体长是尾长的一次函数， 设， 把时， ；时，， 代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为． ◆题型7 一次函数背景下的几何综合 1．如图，一次函数的图象经过点，，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据函数解析式求出点，的坐标，再求出一次函数与轴交点的坐标，过点作轴，过点作轴，最后根据即可求出结果． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴一次函数与轴交点，如图所示： 过点作轴，过点作轴， ∴，，， ∴． 2．如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知求出点B的坐标，再将A、B的坐标代入直线， 分别求出对应的b的值，即可得解． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，，点的坐标为， ∴点的坐标为， 分别将点和点的坐标代入直线，得到和， 则的取值范围为． 故选：D． 3．如图，点在x轴上，过点作x轴的平行线l与正比例函数的图象相交于点A，连接，点P在直线l上且位于点A的右侧，连接，，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】点P在点A右侧，根据可知，设直线的解析式是，把点的坐标代入解析式求出直线的解析式，再根据直线上的点的纵坐标是求出点的横坐标． 【详解】解：如下图所示， ∵， ∴， 设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时， 可得：， 解得：， 点坐标是． 4．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，经过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点是线段上任意一点，连接，轴交直线于点，若的面积为9，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点的坐标为，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）设点的坐标为，则点的坐标为，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：令，得， 解得， 点的坐标为． 设直线的函数解析式为， 将、代入得， 解得， 直线的函数解析式为． （2）解：设点的坐标为，则点的坐标为． 在中，当时，， 点的坐标为． ，，， ，，，则， ． ， ， ， 解得，则， 点的坐标为． 1．下列图形中，不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念逐一判断图象即可． 【详解】解：根据函数的定义：当每取一个值时，都有一个值和一一对应． ∵A、B、D这三个选项中的图象当每取一个值时，都有一个值和一一对应， ∴这三个图象能表示为是的函数； ∵C选项中的图象当时，的取值会有两个与其对应， ∴此图不能表示为是的函数． 2．若点和点在函数（m为任意实数）的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能比较 【答案】C 【分析】根据一次项系数的符号确定函数增减性即可． 【详解】解：∵对任意实数m，， ∴， ∴函数中y随x的增大而增大， ∵， ∴． 3．下列关于一次函数的图像信息正确的是（     ） A．与直线平行 B．图像过原点 C．图像过二、三、四象限 D．与轴相交于点 【答案】A 【分析】利用一次函数的图像性质逐个判断选项：两个一次函数若k相同、b不同则互相平行；代入看y是否为0，判断是否过原点；根据，，确定直线经过一、二、三象限；令解方程求出与x轴交点横坐标，选出正确选项即可． 【详解】解：对于一次函数，得，， 直线与的值相等，值不相等， 两直线平行，A正确； 把代入，得，故图像不过原点，B错误； ，， 函数图像经过一、二、三象限，C错误； 令，得，解得，故函数与轴交于点，D错误． 4．某快递公司同城快递的收费标准见下表（寄送物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（     ） A．寄送物品的质量越重，快递费用就越高 B．当寄送物品的质量为时，快递费用为元 C．估计当寄送物品的质量为时，快递费用为元 D．寄送物品的质量每增加，快递费用增加元 【答案】D 【分析】先计算相邻质量对应的费用差值，得到费用增量规律，再判断各选项正误． 【详解】解：选项A：由表格数据可知，寄送物品质量越大，快递费用越高，A说法正确； 选项B：查表得，寄送物品质量为时，快递费用为元，B说法正确； 选项C：由表格规律，每增加，费用增加元，故估计质量为时，费用为元，C说法正确； 选项D：寄送物品质量每增加，快递费用增加元，不是元，D说法不正确． 5．如图，直线：和直线：（，为常数，且）相交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的表达式求出的值，观察函数图像得到在点的右边，直线：都在直线：的上方，据此求解． 【详解】解：直线：和直线：相交于点， 将点代入直线中，即当时，． 观察图像可知，不等式的解集为． 6．直线向下平移个单位长度得到的直线的解析式是_________． 【答案】 【分析】直线的平移遵循“上加下减，左加右减”，直线向下平移时只需改变解析式的常数项即可． 【详解】解：原直线解析式为，平移后可得： 因此平移后直线的解析式为． 7．已知一次函数（，为常数，且）与正比例函数的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，先求出交点的横坐标，即可得到方程组的解． 【详解】解：把代入，得， 解得， 点坐标为． 将原方程组变形可得， 该方程组的解就是两个一次函数图象交点的坐标，即原二元一次方程组的解为． 8．在靠墙（墙足够长）的地方围建一个矩形养鸡场，另外三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为．设篱笆与墙平行一边的长为，与墙垂直一边的长为．则与的函数关系式为________． 【答案】 【分析】设篱笆与墙平行一边的长为，与墙垂直一边的长为．三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为．据此即可列出函数关系式． 【详解】解：设篱笆与墙平行一边的长为，与墙垂直一边的长为． ∵在靠墙（墙足够长）的地方围建一个矩形养鸡场，另外三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为． ∴与的函数关系式为． 9．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度b(千米)与此高度处气温的关系，根据表格中两个变量之间的关系：当时，气温________． 海拔高度b：(千米) 0 1 2 3 4 5 气温 20 14 8 2 【答案】 【分析】整理表格数据后可得，海拔高度每增加千米，气温下降，根据规律计算即可得到结果. 【详解】解： 将表格数据按海拔高度从小到大排序后，可得海拔高度每增加千米，气温下降 时， 当时， 10．一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②，且的值随着值的增大而减小；③当时，；④关于的方程的解是；其中正确的有_________．（只填写序号） 【答案】②③④ 【分析】根据函数图象与轴的交点，图象所经过的象限可判定①错误，②正确，根据时，的图象在的图象下方，可判定③正确，根据两函数图象的交点的横坐标可判定④正确，综上即可得答案． 【详解】解：∵的图象与轴的交点在轴的负半轴， ∴，故①错误， ∵的图象经过一、二、四象限， ∴，且的值随着值的增大而减小，故②正确， ∵时，的图象在的图象下方， ∴当时，，故③正确， ∵两函数图象的交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是，故④正确， 综上所述：正确的有②③④． 11．某水果店售卖草莓，售价固定，每日销售额随售卖时长变化而变化．设售卖时长为小时（自变量），销售额为元（因变量），部分售卖数据如下表： 售卖时长（小时） 1 2 3 4 销售额（元） 80 160 240 320 (1)根据表格数据，写出与的变量关系式； (2)分析销售额随售卖时长的变化趋势； (3)若当日草莓全部售完用时6.5小时，求当日总销售额； (4)若当日固定成本为150元，求售卖5小时的纯利润． 【答案】(1) （）. (2) 销售额随售卖时长的增加而均匀增大，每增加1小时，销售额增加80元. (3) 当日总销售额为520元. (4) 售卖5小时的纯利润为250元. 【分析】（1）先判断变量关系类型，观察表格中x与y的比值是否为定值，因为售价固定，所以y与x成正比例函数关系，用待定系数法求函数关系式． （2）根据所得函数关系式的比例系数符号，如果比例系数为正，那么销售额随售卖时长增加而上升，直接分析变化趋势． （3）对于已知售卖时长求销售额的问题，将对应的x值代入已求得的函数关系式，计算得到y值即可． （4）计算纯利润时，先代入求得对应销售额，因为纯利润=销售额-固定成本，所以用所得销售额减去固定成本即可得到结果． 【详解】（1）解： ∵ 表格中销售额与售卖时长的比值为定值 ， ∴ 设（）． 将，代入， 得 ． ∴ 与的变量关系式为（）． （2） 解：∵ 中， ， ∴ 销售额随售卖时长的增加而均匀增大，每增加1小时，销售额增加80元． （3）解：当时 ， ． 答：当日总销售额为520元． （4）解：当时 ， 销售额为（元） ． 纯利润为（元） ． 答：售卖5小时的纯利润为250元． 12．在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于，两点，直线过点，交轴于点，交直线于点，其中点的横坐标为1． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)点是轴上一点，且，写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】首先求出，然后利用待定系数法解答即可； 先求出，，然后通过即可求解； 设，则，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 设，将代入得，解得， ∴的解析式为：； （2）解：如图， 令，则，得；令，； ∴，， ∴，， ∴ ； （3）解：∵， ∴设， ∴， ∴，解得或， ∴坐标为或． 13．蜡烛在燃烧过程中会消耗氧气，因此，将蜡烛放在封闭容器中，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低．当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭．使用氧气含量检测仪器定时测量封闭容器中的氧气含量，得到封闭容器内的氧气含量（单位：）与蜡烛的燃烧时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)求蜡烛熄灭前，与之间的函数解析式； (2)当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 【答案】(1) (2) 【分析】利用待定系数法求出一次函数解析式，再代入已知函数值求解对应的自变量即可． 【详解】（1）解：设蜡烛熄灭前，与之间的函数解析式为，将，代入，得， 解得， 蜡烛熄灭前，与之间的函数解析式为． （2）解：当时，， 解得． 答：当蜡烛燃烧时，会因为氧气不足而熄灭． 14．某中学组织八年级学生前往博物馆参加研学活动，学生分为甲、乙两队，两队相继从学校乘车出发，沿同一路线匀速前往博物馆．甲、乙两队离学校的距离与甲队出发的时间之间的函数关系如图所示．请根据图象解答下列问题： (1)学校与博物馆相距_______； (2)甲队的速度是_______，乙队的速度是_______； (3)乙队出发后几小时追上甲队？ 【答案】(1)120 (2)24，40 (3) 【分析】（1）根据函数图象可得答案； （2）根据速度路程时间可得答案； （3）由函数图象可知，乙队的路程为时，乙队追上甲队，根据速度路程时间可得答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知学校与博物馆相距； （2）解：由函数图象可知，甲队的速度为，乙队的速度为； （3）解：， 答：乙队出发后追上甲队． 15．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出一次函数的图象； (3)不等式的解集为________； (4)函数的图象与轴交于点，点在轴上．若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 一次函数的图象如下： (3) (4)点的坐标为或 【分析】（1）由函数的平移可得，再将点代入求出，即可求解； （2）根据列表、描点、连线，即可求解； （3）观察函数图象即可求解； （4）先求出点的坐标，再设，再用含的式子表示出，最后根据，列方程即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象由函数的图象平移得到， ， 将点代入中得， 解得， 这个一次函数的解析式为； （2）解：列表： 描点、连线即可； （3）解：由图可知，当时，，当时，， 不等式的解集为； （4）解：令，则， 解得， ， 点在轴上， 设， ， 的面积为，点， ， 解得或， 点的坐标为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $