第四章 一次函数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦八年级上册一次函数，通过真实情境与梯度设计，覆盖概念、图像、应用，适配单元复习，提升数学眼光与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一次函数定义（第1题）、函数图像识别（第2题）|结合弹簧伸长（第3题）等现实情境，考查变量关系| |填空题|6/18|函数表达式（第13题蜡烛燃烧）、最值问题（第14题）|注水问题（第15题）体现动态变化，培养几何直观| |解答题|9/72|函数与几何综合（第24题运动路径）、新定义应用（第25题“等垂点”）|空气质量监测（第18题）、健身付费（第19题）强化模型意识，创新题型对接中考趋势|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第四章 一次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】形如（是常数）的函数叫做一次函数，据此解答即可； 【详解】解：①，③，⑤均为一次函数； ②中的次数为，不是一次函数；④中的最高次数为，不是一次函数；综上，一次函数共有3个； 2．下列图象中，表示是的函数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】作轴的垂线，若垂线与图象有且只有一个交点，则图象表示是的函数，否则不是，由此逐项判断即可． 【详解】解：作轴的垂线，如图所示： ， 由上述可知，垂线与图象有且只有一个交点的图象是第一、二个图象的，即题中图象表示是的函数只有个． 3．（25-26六年级下·山东淄博·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 下列说法不正确的是（     ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．所挂物体质量为时，弹簧长度为 C．弹簧不挂重物时的长度为 D．物体质量每增加，弹簧长度增加 【答案】C 【分析】根据变量与函数的基本概念，及题目中表格给出的数据，逐一分析各选项即可判断正误． 【详解】解： A. 与都是变量，的变化引起的变化，因此是自变量，是因变量，本选项正确，不符合题意； B. 由表格可知，当时，，因此所挂物体质量为时，弹簧长度为，本选项正确，不符合题意； C. 弹簧不挂重物时，即，由表格得此时，不是，本选项错误，符合题意； D. 由表格数据可得，，，以此类推，可知物体质量每增加，弹簧长度增加，本选项正确，不符合题意． 4．（25-26八年级下·广东·期末）已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一次函数增减性比较函数值大小． 【详解】解：， 随的增大而减小． ， ． 5．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．当时， B．图象与轴交于正半轴 C．图象经过第一、二、四象限 D．图象过点，，若，则 【答案】A 【分析】从一次函数的、符号出发，结合图象性质与不等式求解判断各选项． 【详解】解：对于一次函数，，； A选项：令，得，解得，即当时，，结论正确； B选项：令，得，图象与轴交于负半轴，结论错误； C选项：∵，， ∴图象经过第二、三、四象限，结论错误； D选项：∵， ∴若，则，结论错误． 6．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市春季某天气温随时间变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（     ） A．凌晨时气温最低为 B．时气温最高为 C．从时至时，气温随时间增加而上升 D．从时至时，气温随时间增加而下降 【答案】D 【详解】解：A、凌晨时气温最低为，原说法正确； B、时气温最高为，原说法正确； C、从时至时，气温随时间增加而上升，原说法正确； D、从时至时，气温随时间先增加后下降，原说法错误. 7．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．设线段，的中点分别为，，为上一动点，则当的值最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质，利用三点共线判断最小值为，根据点的中点坐标公式，求出和坐标，从而求出坐标，利用待定系数法求出直线解析式，根据点横坐标为0，即可求出点坐标． 【详解】解：作点关于轴对称点，连接和，如图所示， ， ， 三点共线时，为最小值． ，，线段，的中点分别为，， ，， ． 设直线解析式为，将和代入得， ， ， 在直线上，且在轴上， 令，则， ． 8．（25-26八年级下·甘肃张掖·期末）在平面直角坐标系中，一次函数是常数，的图象如图所示，则下列说法中错误的是（     ） A． B．若点在该一次函数图象上，则关于的方程的解为 C．将该一次函数图象向下平移个单位长度后，所得函数为正比例函数 D．若点和点是该一次函数图象上的点，则 【答案】D 【分析】根据一次函数图象在坐标系中的位置判断 、 的符号，利用一次函数的性质及图象平移规律逐一判断即可. 【详解】 解：由图象可知，直线过一，二，四象限， ，故A选项说法正确； 若点 在图象上，则当时，，即的解为，故B选项说法正确； 将向下平移个单位长度得，是正比例函数，故C选项说法正确； ， 随 的增大而减小， ， ，故D选项说法错误. 9．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图1，点是边上一定点，点是一动点，点从点出发，依次沿路线匀速运动，运动到点停止．设点运动路程为，线段的长为，且关于的函数图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点，则点的纵坐标的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点D分别作于E，于F，根据图2得：，，，点D到的距离为，点N的纵坐标表示点D到的距离，在和中，利用勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理逆定理可得，在中，利用勾股定理可得，然后根据，求出的长，即可． 【详解】解：如图1，连接，过点D分别作于E，于F， 根据图2得：，，，点D到的距离为，点N的纵坐标a表示点D到的距离的长度， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， 即点N的纵坐标a为． 10．（25-26八年级下·山东临沂·期末）甲骑电动车，乙骑自行车从郯国古城门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图②所示，下列说法错误的是（     ） A．甲的速度是，乙的速度是． B．乙出发时，甲追上乙． C．图②中，． D．甲乙两人相距时，乙出发时间为或． 【答案】D 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度；设甲出发小时后，甲、乙相遇，由此可得，解之再加上乙先出发的时间即可；由题意可知，当乙行驶了小时后，乙到达终点，此时甲，乙两人相距；由图②可知，前，甲，乙不能相距，设乙出发时，根据甲、乙两人路程差为可列出方程，解方程即可． 【详解】解∶由图可得， 甲的速度为：， 乙的速度为：，故A正确，不符合题意； 设甲出发小时后，甲、乙相遇， 由题可得，，解得， （小时），即乙出发时，甲追上乙，故B正确，不符合题意； 由图可得， ，，故C正确，不符合题意； 由题意可得， 前，乙行驶的路程为：， 则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后， 设乙出发时，甲、乙两人路程差为， ， 解得，， ，得； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为．故D错误，符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级下·上海·期末）一次函数的图象不经过第____________象限． 【答案】三 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，判断函数图象经过的象限，即可得到不经过的象限． 【详解】解：一次函数， ，， 一次函数的图象经过一、二、四象限， 即不经过第三象限． 12．（25-26八年级下·云南昆明·期末）点在的函数图像上，则代数式________． 【答案】 【分析】将点代入，得到与的关系式，整理得到的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：点在函数的图像上， ，即， ． 13．（25-26八年级下·上海金山·期末）一根蜡烛长，点燃后，匀速燃烧后剩余的长度恰为原来长度的一半，设匀速燃烧时间为，蜡烛的长度为．那么关于的函数表达式是________． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出蜡烛的燃烧速度，再根据剩余蜡烛长度等于原长度减去燃烧的长度，确定自变量的取值范围，即可得到关于的函数表达式． 【详解】解：由题意得，燃烧的蜡烛长度为， 则蜡烛燃烧的速度为， 燃烧的蜡烛长度为， 因此剩余蜡烛长度， 令，得， 解得， 又， 因此自变量取值范围为， 故关于的函数表达式为． 14．（25-26八年级下·湖北鄂州·期末）函数（m为常数），当时，y的最小值为6，m为__________． 【答案】11 【分析】根据一次函数图象的性质得到函数值随自变量的值的增大而减小，在中，当时y取得最小值6，代入计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴函数值随自变量的值的增大而减小， ∴在中，当时y取得最小值6， ∴， 解得， ． 15．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图1，将一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，24秒时注满水槽．水槽内水面的高度（厘米）与注水时间（秒）之间的函数图象如图2所示．注满水后，将正方体铁块取出，水槽内水位下降．若按原注水速度继续向水槽注水，再经过__________秒可将水槽重新注满． 【答案】 【分析】根据函数图象可得正方体铁块的棱长为，然后计算出无铁块时水面上升的速度，进而求出无铁块时水面上升所需的时间，两者之差即为取出铁块后需补充注水的时间． 【详解】解：由图象可得，正方体的棱长为， 没有铁块时，水面从上升到，所用的时间为 ∴水面上升的速度为， ∴若无铁块，水面上升所需时间为 ∴铁块占据的体积对应的注水时间为 ∴如果将正方体铁块取出，那么再经过18秒可将水槽注满． 16．（25-26八年级下·江西上饶·期末）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点为轴负半轴上一点，且点的坐标为，若以点为顶点的三角形为等腰三角形，则的值为___________． 【答案】或或 【分析】根据题意，可以求得点A和点的坐标，再根据勾股定理，可以得到的长，然后利用分类讨论的方法可以求得点的坐标． 【详解】解：一次函数， 当时，，当时，， 点A的坐标为，点的坐标为， ，， ， 当点在点下方时，此时， ， ∴； 当点在点的下方时，此时， ； 当时， ∴， 解得：， 综上：或或. 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求的面积． (3)若点C在直线上，且，求点C的坐标． 【答案】(1)； (2)1 (3)或. 【分析】（1）分别令，求出两点的坐标即可； （2）直接利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）设出点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，； ∴； （2）解：由（1）知：； ∴， ∴的面积； （3）解：∵点C在直线上， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴或. 18．为研究城区空气质量变化，某校环保社团对吉林市某日的空气状况进行连续监测，记录了10个小时城区浓度（单位：）与监测时间（单位：）的变化情况，函数图象如图所示． (1)当时，求关于的函数解析式． (2)当时，求的值． (3)当时，直接写出时的取值范围． 【答案】(1)（）； (2)60 (3)． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入，求解即可； （3）利用待定系数法求得时函数的解析式，求得时，的值，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为（）； （2）解：把代入，得； （3）解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为； 当时，或， 解得或， 观察图象，当时的取值范围是． 19．某社区健身场馆推出了两种健身付费的方式． 方式一：先购买会员卡（每张会员卡100元，只限本人使用），凭卡健身每次再付费5元． 方式二：不购买会员卡，每次健身付费8元． 小张计划到该场馆去健身，设他健身的次数为x（x为正整数），两种健身方式的费用分别为元，元． (1)分别写出，与x之间的函数关系式． (2)若小张计划健身的总费用为280元，则他选择哪种付费方式健身的次数比较多？ 【答案】(1) （为正整数）；（为正整数）. (2) 选择方式一付费健身的次数更多 【分析】（1）根据两种健身付费的方式列出对应的函数关系式即可； （2）求出两个函数的函数值为280时自变量的值，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得（为正整数），（为正整数）； （2）解：当时，则，解得， 当时，则，解得， ∵， ∴选择方式一健身的次数比较多； 答：他选择方式一付费健身的次数比较多． 20．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)求点A、C的坐标； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点D，求直线的解析式． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）直线与轴交点的纵坐标为，与轴交点的横坐标为，代入计算即可； （2）由题意可知的横坐标为，设，由折叠的性质可知，根据勾股定理得到，即，设直线解析式为，根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：令，得，解得，即； 令，得，即； （2）解：∵是长方形，在边上， ∴的横坐标为， 设， 由折叠的性质可知， ∵，， ∴， 即， 解得， 即， 设直线解析式为， 代入、得， 解得， 即直线解析式为． 21．如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 【答案】(1)、 (2)①；② 【分析】（1）分别将，代入中，分别求出，即可求得点的坐标． （2）①根据平移的性质可得，结合，可得面积为． ②由题意可得，轴，，结合，即可求得点坐标． 【详解】（1）解：将代入中，可得， 将代入中，可得， 解得：， ∴点的坐标为、， （2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线， ∴ ∵ ∴ ∴面积为． ②由题意可得，轴，， ∴， ∴点坐标为． 22．（25-26八年级下·河南安阳·期末）问题：探究函数 的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究． (1)在函数 中，自变量 可以是任意实数，下表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 … … 0 1 2 3 4 2 1 0 … ①表格中a的值为_____； ②若为该函数图象上的点，则 _____． (2)在如图的平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象． (3) 结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为_____． ②写出该函数的一条性质：_____． 【答案】(1)①3；② (2) (3)①4；②该函数图象关于 轴对称（答案不唯一） 【分析】（1）①代入x的值即可求出a；②把 代入求值，即可得出答案； （2）描点，连线即可； （3）①根据函数图象可知最大值；②根据图象得出函数性质即可． 【详解】（1）解：①把 代入 ，得 . ②把 代入 ，得 ， 解得 或10， （2）解：略； （3）解：根据函数图象可知： ①函数最大值为4； ②由图象可知该函数的一条性质：函数 的图象关于y轴对称（答案不唯一）； 23．如图，已知为等腰直角三角形，点、分别是边、上的点，，．建立如图所示的平面直角坐标系，设点的坐标为，解答下列问题： (1)求关于的函数关系式，以及函数自变量的取值范围； (2)求的面积关于的函数关系式； (3)如果的面积等于10，求点的坐标． 【答案】(1) ， (2) (3) 【分析】（1）过点作轴于点，根据点可知，，，因为是等腰直角三角形，所以即∠PAC=45°，故可得出，由可知，由此即可得出结论； （2）根据点可知，，直接根据三角形的面积公式求出与的关系式； （3）把代入（2）中的关系式求出的值，进而可得出的值，由此可得出点坐标． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ∵点， ∴，，． 是等腰直角三角形， ，即， ， ． ，即， ∴与的函数关系式为． （2）解：， 即． （3）解：当时， 即，解得， 此时， ∴此时点的坐标为． 24．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）平面直角坐标系中，点，将线段向上平移个单位得到线段，点与点对应，连接满足，点为线段中点，动点从出发，沿着折线以每秒钟1个单位长度的速度向终点运动，设点运动时间为秒，三角形的面积，解答下面问题： (1)点坐标为_____；点坐标为_____； (2)求点运动过程中的面积与运动时间之间的数量关系（用含有的式子表示S）； (3)当时，在轴上是否存在一点，使？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）根据非负数的性质求得的值，结合题意，即可得出的坐标； （2）根据在上时，分别根据三角形的面积公式，列出函数关系式； （3）根据确定点的坐标，进而分类讨论，根据三角形的面积公式，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， 解得；， ∴， ∵将线段向上平移个单位得到线段， ∴， ∵点为线段中点， ∴ （2）①当在上时，，则， ∴ 当在上时，， ∵点为线段中点，， ∴，此时 ∴ 综上所述，，； （3）解：当时，点在上，此时，则的纵坐标为 即 当时，由（2）可得 设 当在点的左侧时，如图， ∵ ∴ 解得： ∴ 当在点的右侧时，如图， ∵ ∴ 解得： ∴ 25．（25-26八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“等垂点”．例如：在三点中，因为，且，所以点为1的“等垂点”． (1)①点，，___________3的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，则点是4的“等垂点”，则点的坐标为___________； (2)如图2，，在轴上，在一次函数上，若一次函数上存在6的“等垂点”，求6的“等垂点”的坐标； (3)若在直线上存在无数个10的“等垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，点在内，，连接，设，则的面积关于的表达式为___________． 【答案】(1)①不是；②或 (2)或 (3) 【分析】（1）①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：点在点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求的高，根据，求出，根据三角形面积公式写出表达式即可． 【详解】（1）解：①∵点，，， ∴，，， ∴，， 则不是3的“等垂点”． ②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E， ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示： ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，， 当时，如图，过作轴于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵点在上， ∴， 解得， ∴． 当时，如图，∵与轴的交点坐标为，记为点， 此时，， ∴满足题意． 综上所述：或． （3）解：∵直线上存在无数个10的“等垂点”，如图， 过作轴于，设，，而， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴，即， ∴在直线上， ∴，， ∴， 如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第四章一次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） L下列函数天系式：①vx1@:图y=+Y=5,回v=05=3,一次函数看 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列图象中，表示y是x的函数的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(25-26六年级下山东淄博期末)弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度儿cm) 与所挂的物体的 x(kg) 质量 间有下面的关系： 0 3 4 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是() A.x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B.所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm C.弹簧不挂重物时的长度为0cm D.物体质量每增加lkg,弹簧长度y增加0.5cm 4.(2526人年级下广东期末)已知点(2小(）小(L)都在直线+b上.则， 1/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的值的大小关系是() y>y2> B <y2< C.为>为>y D.为>y>为 5.(25-26八年级下·内蒙古赤峰期末)对于一次函数y=-2x-1,下列结论正确的是（) A.当x>- 2时，y<0 B.图象与y轴交于正半轴 C.图象经过第一、二、四象限 D.图察过点1(），B(,）,若<5，则 <y2 6.(25-26八年级下·辽宁大连·期末)如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市春季某天气温 T随时间变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（) AT/℃ 4 14 24 t/时 A.凌晨4时气温最低为-3℃ B.14时气温最高为8℃ C.从4时至14时，气温随时间增加而上升 D.从4时至24时，气温随时间增加而下降 7.(25-26八年级下河北张家口期末)如图，一次函数"=c+b的图象与产轴、”轴分别交于点4(2,0)）， B(0,4) 设线段OA,MB的中点分别为C,D,P为OB上一动点，则当PC+PD的值最小时，点P的坐 标为() 219 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.(0) B.（-1,0) c.(0,2) D.（-2,0) 8.(25-26八年级下·甘肃张掖期末)在平面直角坐标系中，一次函数y=x+bkb是常数，k≠0)的图 象如图所示，则下列说法中错误的是() A.k<0,b>0 B.若点(2,0)在该一次函数图象上，则关于x的方程c+b=0的解为x=2 C.将该一次函数图象向下平移b个单位长度后，所得函数为正比例函数 D.若点1)和点2为)是该一次函数图象上的点，则<% 9.(25-26八年级下河南平顶山期末)如图1，点D是△ABC边AC上一定点，点P是一动点，点P从点 A出发，依次沿A→B→C路线匀速运动，运动到点C停止.设点P运动路程为x,线段DP的长为y, 且y关于x的函数图象如图2所示，其中M,N分别是两段曲线的最低点，则点N的纵坐标a的值为 () B 20 D 图1 图2 3/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 120 118 122 A.17 B.15 116 C. 117 D.15 10. (25-26八年级下·山东临沂期末)甲骑电动车，乙骑自行车从郯国古城门口出发沿同一路线匀速游玩， x(h 设乙行驶的时间为 ,甲、乙两人距出发点的路程、S关于x的函数图象如图O所示，甲、乙两人 之间的路程差V关于x的函数图象如图②所示，下列说法错误的是() S(km) ←y(km) 00.5 1.5 2.5xh) 00.5 6 2.5xh) 图① 图② A.甲的速度是25kmh,乙的速度是l0kmh。 5 B.乙出发。h时，甲追上乙. C.图②中a=10,b=1.5. 4 D.甲乙两人相距7-5km时，乙出发时间为3h或2h. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.(25-26八年级下·上海期末)一次函数y=-3x+5的图象不经过第. 象限 12.(2526八年级下云南昆明期末)点么6)在)=2x+1的西致图像上，则代数式2a-b+1 13.(25-26八年级下·上海金山期未)一根蜡烛长30cm,点燃后，匀速燃烧50min后剩余的长度恰为原 来长度的一半，设匀速燃烧时间为xmin,蜡烛的长度为ycm.那么y关于x的函数表达式是 14.(25-26八年级下·湖北鄂州期末)函数y=-x+m(为常数)，当-1≤x≤5时，y的最小值为6，m 为 15.(25-26七年级下山东济南期末)如图1，将一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度 往水槽中注水，24秒时注满水槽.水槽内水面的高度y(厘米)与注水时间x(秒)之间的函数图象如图 419 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2所示.注满水后，将正方体铁块取出，水槽内水位下降.若按原注水速度继续向水槽注水，再经过 秒可将水槽重新注满。 y(厘米) 14--- B 8 O624x(秒) 图1 图2 16.(25-26八年级下江西上饶期末)已知一次函数y=2x+2的图象与x轴、y轴分别交于点4，B,点 C为'轴负半轴上一点，且点C的坐标为 ,）,若以点4B,C为顶点的三角形为等腰三角形，则的值为 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B. VA A (1)求A,B两点的坐标 (2)求△AOB的面积. 3)若点C在直线AB上，且 S.BOC =4 ,求点C的坐标. 18.为研究城区空气质量变化，某校环保社团对吉林市某日的空气状况进行连续监测，记录了10个小时城 区PM2.5 浓度》（单位.嗯/m )与监测时间（单位：h)的变化情况，函数图象如图所示. 5/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Ay/ug/m3 80 50 40 4 10衣 (1)当0≤x≤4时，求y关于x的函数解析式。 (2)当x=2时，求y的值 (3)当0≤x≤10时，直接写出y≥60时x的取值范围. 19.某社区健身场馆推出了两种健身付费的方式. 方式一：先购买会员卡（每张会员卡100元，只限本人使用），凭卡健身每次再付费5元. 方式二：不购买会员卡，每次健身付费8元. 小张计划到该场馆去健身，设他健身的次数为x(x为正整数)，两种健身方式的费用分别为”元， 元 (1)分别写出， ，片与x之间的函数关系式。 (2)若小张计划健身的总费用为280元，则他选择哪种付费方式健身的次数比较多？ 20.如图①，已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C,以OA、OC为边在第一象限内作长方形 OABC B B D B 图① 图② (1)求点A、C的坐标： (2)如图②，将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D,求直线CD的解析式. 1:y=2x+4 21.如图，已知直线 十4，分别与轴，'轴交于点B 619 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 yA B h D 0 (1)求点AB的坐标. (2)将直线向右平移4个单位得到直线？， 线，与产精交于点C,以4B,4C为边作1CDB ①求口ACDB面积. ②根据图象，直接写出D点坐标 22.(25-26八年级下河南安阳期末)问题：探究函数 y=-x+4 的图象与性质。 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数)=-女+4 的图象与性质进行了探究. (1)在函 y=-x+4 中，自变量七可以是任意实数，下表是'与*的几组对应值. -3 2 0 2 4 0 2 ①表格中a的值为 b,-6) ②若 为该函数图象上的点，则b= (2)在如图的平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象. 4 3 3 (3) 6-4-3-2-1 2345 结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为 ②写出该函数的一条性质： 719 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 23.如图，己知aOAB为等腰直角三角形，点P、2分别是边AB、OA上的点，OA=OB=6,O0=4. 建立如图所示的平面直角坐标系，设点P的坐标为(x,),解答下列问题： ()求y关于x的函数关系式，以及函数自变量的取值范围； (2)求△OP№的面积S关于x的函数关系式： (3)如果△OPQ的面积等于10，求点P的坐标. 24,（25-26七年级下黑龙江牡丹江期未)平面直角坐标系中，点C么0 ,将线段0C向上平移“个单位 得到线段4B,点0与点A对应，连接BC,ab满足a-6+h-8=0,点D为线段4B中点，动点P从0出 发，沿着折线O-C-B以每秒钟1个单位长度的速度向终点B运动，设点P运动时间为秒，三角形DCP 的面积5(S>0) 解答下面问题： D B A A 备用图 (1)点B坐标为一：点D坐标为 (2)求点P运动过程中△DCP的面积S与运动时间t之间的数量关系（用含有t的式子表示S); 8)当=小时，在”轴上是否存在一点0，使5m=21, ？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若 8/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不存在，请说明理由. 25。(2526八年级下福建厦门期末)在平面直角坐标系中，有1m,0),80,川两点，若存在点C使得 ∠1BC=90,且4B=BC,则称点C为”的“等垂点”，例知：在4.0)，B(Q),C(-10三点中，因为 ∠ABC=90°，且AB=BC,所以点C为1的“等垂点”. y=3x-6 y=3x-6 3+B 0 0 6 0 6 图1 图2 备用图 10点43,0).B(0,2)C2,4) 3的“等垂点”（填“是”或“不是”）· ②如图1，若点1(40)，B(0,3) 则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 (2)如图2， 4(6,0,8在》轴上，C在-次函数y=3x-6上，若一次函数'=3x-6上存在6的“等垂点”， 求6的“等垂点”C的坐标： (3)若在直线 =c+6k>0)上存在无数个I0的“等垂点”，且直线”=红+bk>0)与*转交于点E,与 7轴交于点F.点M在我段F上，点P在△80F内.Br=8Or=6连接，设W=a,则PM M 内， 的面积$关于a的表达式为. 919可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第四章一次函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D A 0 A D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.三 12.0 13.y=30-0.3x(0≤x≤100) 14.11 15.18 16.1=-2或-2-25或=-3 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分，第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17 【详解】(1)解：·y=2x-2, 当y=2x-2=0时，x=1:当x=0时，y=-2: :4,0,B(0,-2） 2分 (2)解：由(1)知： A1,0),B(0,-2) .0A=1,OB=2」 A40B的面积=0M.0B=×2x1=l,…4分 (3)解：，点C在直线AB上， 设C(m,2m-2) 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.moc=4 ÷08m-=2m=4 1 2 ∴.m=±4 :C4,60)或c(4，-10) 6分 18. 【详解】(1)解：当0≤x≤4时，设y与x的函数解析式为 =kx+b(k≠0) b=40 将(0,40)和(4,80)代入，得4k+b=80, [k=10 解得b=40, 所以y与x的函数解析式为y=10x+40(0≤x≤4)；…2分 (2)解：把x=2代入y=10x+40,得y=10×2+40=60;4分 (3)解：当4<x≤10时，设y与x的函数解析式为y=mx+n, 10m+n=50 将(10,50)和(4,80)代入，得4m+n=80, 「m=-5 解得n=100, 所以y与x的函数解析式为y=-5x+100: 当y=60时，10x+40=60或-5x+100=60, 解得x=2或x=8, 观察图象，当y之60时x的取值范围是2≤x≤8.…6分 19. 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：由题意得 %=5+10产为正整数)，为=8x (为正整数)：3分 (2)解：当1=280 时，则5x+100=280 解得术=36 当5280 ，则8r=28 ,解得=35， .36>35, 选择方式一健身的次数比较多： 答：他选择方式一付费健身的次数比较多.6分 20. 【详解】(1)解：令y=0,得0=-2x+4,解得x=2,即A(2,0): 令x=0,得y=-2×0+4=4,即C0,4;2分 (2)解：：OABC是长方形，D在AB边上， .D的横坐标为2， 设D(2,d), 由折叠的性质可知AD=CD=d, .C0,4).D(2,d), CD2=(2-0)2+(d-4)2 d2=4+(d-4)2 即 解得d5 2 2 设直线CD解析式为y=ac+b, 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4=b 5 5 代入c0,4D2引得}2k+b, k3 4 解得b=4 即直线CD解析式为y=3x -4+4.6分 21. 【详解】（山解：将x=0代入：y=2x+ 中，可得少4 0代入y=2x+4 将少0 ，可得0=2x+4 解得：x=-2, 点4的标为4(-20、@).2分 (2)解：①：直线向右平移4个单位得到直线2， ∴.AC=BD=4 .B(0,4) .∴.B0=4 .ACDB面积为AC·B0=4×4=16.5分 ②白题意可得BD=4,BD∥不轴，为=4， :%=4=4 .D点坐标为 （(4,4) .8分 22. 【详解】（山）解：①把=1代入=-+4，得0=-1+4=3。 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②把=-6代入”=内+4，得6=-+4 解得b=10或10,2分 -r 3 (2)解： ;5分 ≠4-3-2-10八 1235 (3)解：根据函数图象可知： ①函数最大值为4： ②由图象可知该函数的一条性质：函数'=一+4 的图象关于y轴对称（答案不唯一）；8分 23 【详解】(1)解：如图，过点P作PC⊥x轴于点C, yA ”A P(x.y) 点 .OC=x,PC=y,∠PCA=90° :△AOB是等腰直角三角形， ∠0AB=45°，即∠PAC=45° ∠CPA=∠CAP=45°， ..PC=CA=y .0C+CA=6 x+y=6 ,即 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :y与的函数关系式为 =6-x(0≤x≤6) 3分 (2)解：S=)00-PC=)x4xy=2y=2(-x+6)=-2x+12. 2 2 即S=-2x+12(0≤x≤6).6分 (3)解：当S=10时， 即10=-2x+12,解得x=1, 此时y=-1+6=5, 此时点P的华标为.5).…8分 24. 【详解】(1)解：va-6+b-=0 ∴.a-6=0,b-8=0 解得；a=6,b=8 :c80) ,将线段OC向上平移6个单位得到线段AB, :B86 ,点D为线段AB中点， :D(4,6) 4分 (2)①当P在0C上时，0≤1<8，则PC=8-1, s=PCx01=8-小x6=24- 当P在BC上时，8<t≤14， 点D为线段AB中点，AB=8, .BD=4,此时CP=t-8 :s-iCPxDD=--8别x4=2-16 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述， S=24-3t(0≤t<8)S=2t-16(8<t≤14) :8分 (3)解：当=11时，点P在BC上，此时11-8=3，则P的纵坐标为3 即P(83) 当1=11时，由(2)可得S=2×11-16=6 设e(x0) 当Q在C点的左侧时，如图， D 备用图 S.DoP=S.cpe+S.roc-S.roc =×8-x6+68-刘x01-8) 8-x3+6 S.oo =21 “2×(8-xx3+6=21 1 解得：x=-2 g(-2,0) 当Q在C点的右侧时，如图， D S.DoP=S.coR-S.PRc-SxrOc 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =x0x-8x6-6-x-8x01-8) =×(x-83-6 ..5.oon=21 2×(x-8)x3-6=21 1 解得：x=26 .(26.0）…12分 25. 【详解】1)解：①：点130)，B(0,2).C2,4) :4B=V22+32=V13,BC=V(2-02+(4-2}2=22.4C=V2-3}+(4-0-V17 .AB+BC2≠AC2,AB≠BC, 则C(2,4利)不是3的“等垂点”.2分 ②当点C在点B上方时，过点C分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点F和点E, B FA (4,0)B(0,3 点 ,且点C是4的“等垂点”， .∠ABC=90°，OA=4,OB=3,AB=BC, .∠BEC=∠AOB=∠ABC=90°， ∴.∠CBE+∠BCE=∠CBE+∠ABO=90°， .∠BCE=∠ABO, AB=BC, 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、△ABO≌A△BCE(AAS) .BE=OA=4,CE=BO=3 ..CF=OE=OB+BE=3+4=7, c3,7) 当点C在点B下方时，过点B作x轴的平行线，过点C作CF⊥BF于点R,CH1y轴于点H,过点A作 AE⊥BF于点E,如图所示： :点140.B0,3) 且点C是4的“等垂点”， .∠ABC=90°，OA=4,OB=3,AB=BC, △ABE≌△BCF(AAS) 同理得： .'.BE=CF=OA=4,BF=AE=BO=3. .BH=CF=4,CH=BF=3. .OH=BH-OB=4-3=1, :c3-) …4分 (2)解：设 A(6,0)B(0,n) 当n>0时，如图，过C作CE1y轴于点E, 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=3x-6 CE1y轴， ∴∠CEB=∠AOB=90°， .∠CBA=90°， ∴.∠CBE=90°-∠ABO=∠BAO, AB=BC, 、△CBE≌ABAO(AAS) 46,0),B(0,m) .'.CE=OB=n,BE=AO=6. C(n,n+6) 即 点C在y=3x-6上， ∴.n+6=3n-6, 解得n=6, .C(6,12) 当n≤0时，如图，y=3x-6与'销的交点坐标为0-0)，记为点C, 此时∠AOC=90°=∠ABC,AB=BC=6, 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 /y=3x-6 O(B) A .C(06) 满足题意。 综上所述：(6,12)或0,0 8分 (3)解：：直线y=x+bk>0)上存在无数个10的“等垂点”，如图， 过C作7Ly轴于T,设Cx).B0,网，而400)， A △ABO≌ABCT(AAS) 同理可得： .BO=CT,OA=BT, .x=ny-n=10 .y-x=10,即y=x+10, C在直线y=x+10上， 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :E(-10.0）F(0,10) :EF=i0+102=10N2 如图，过点P分别作P№Lx轴于点O,PHLy轴于点H,PN⊥EF交EF于点N, F N M∠ 、B A EP=8,OP=6,OE=10. .EP2+OP2=OE2, .△EPO为直角三角形， .PE.PO-TOE.PQ, . :P0=EP0P-24 oi=5,00=VOp2-pg=18 PH=O0=18 5, :.S.wo-S.wo+S.m+S.mo-EO-PQ+1EF-PN+1FO-PH. 2 x0x10x10P2EFPN+x10PH 1 PN=4 解得： 5, .= sEM-PN=ax4V2=2√2 20X .12分 12/12………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第四章 一次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列图象中，表示是的函数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26六年级下·山东淄博·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 下列说法不正确的是（     ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．所挂物体质量为时，弹簧长度为 C．弹簧不挂重物时的长度为 D．物体质量每增加，弹簧长度增加 4．（25-26八年级下·广东·期末）已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．当时， B．图象与轴交于正半轴 C．图象经过第一、二、四象限 D．图象过点，，若，则 6．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市春季某天气温随时间变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（     ） A．凌晨时气温最低为 B．时气温最高为 C．从时至时，气温随时间增加而上升 D．从时至时，气温随时间增加而下降 7．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．设线段，的中点分别为，，为上一动点，则当的值最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·甘肃张掖·期末）在平面直角坐标系中，一次函数是常数，的图象如图所示，则下列说法中错误的是（     ） A． B．若点在该一次函数图象上，则关于的方程的解为 C．将该一次函数图象向下平移个单位长度后，所得函数为正比例函数 D．若点和点是该一次函数图象上的点，则 9．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图1，点是边上一定点，点是一动点，点从点出发，依次沿路线匀速运动，运动到点停止．设点运动路程为，线段的长为，且关于的函数图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点，则点的纵坐标的值为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·山东临沂·期末）甲骑电动车，乙骑自行车从郯国古城门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图②所示，下列说法错误的是（     ） A．甲的速度是，乙的速度是． B．乙出发时，甲追上乙． C．图②中，． D．甲乙两人相距时，乙出发时间为或． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级下·上海·期末）一次函数的图象不经过第____________象限． 12．（25-26八年级下·云南昆明·期末）点在的函数图像上，则代数式________． 13．（25-26八年级下·上海金山·期末）一根蜡烛长，点燃后，匀速燃烧后剩余的长度恰为原来长度的一半，设匀速燃烧时间为，蜡烛的长度为．那么关于的函数表达式是________． 14．（25-26八年级下·湖北鄂州·期末）函数（m为常数），当时，y的最小值为6，m为__________． 15．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图1，将一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，24秒时注满水槽．水槽内水面的高度（厘米）与注水时间（秒）之间的函数图象如图2所示．注满水后，将正方体铁块取出，水槽内水位下降．若按原注水速度继续向水槽注水，再经过__________秒可将水槽重新注满． 16．（25-26八年级下·江西上饶·期末）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点为轴负半轴上一点，且点的坐标为，若以点为顶点的三角形为等腰三角形，则的值为___________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求的面积． (3)若点C在直线上，且，求点C的坐标． 18．为研究城区空气质量变化，某校环保社团对吉林市某日的空气状况进行连续监测，记录了10个小时城区浓度（单位：）与监测时间（单位：）的变化情况，函数图象如图所示． (1)当时，求关于的函数解析式． (2)当时，求的值． (3)当时，直接写出时的取值范围． 19．某社区健身场馆推出了两种健身付费的方式． 方式一：先购买会员卡（每张会员卡100元，只限本人使用），凭卡健身每次再付费5元． 方式二：不购买会员卡，每次健身付费8元． 小张计划到该场馆去健身，设他健身的次数为x（x为正整数），两种健身方式的费用分别为元，元． (1)分别写出，与x之间的函数关系式． (2)若小张计划健身的总费用为280元，则他选择哪种付费方式健身的次数比较多？ 20．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)求点A、C的坐标； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点D，求直线的解析式． 21．如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 22．（25-26八年级下·河南安阳·期末）问题：探究函数 的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究． (1)在函数 中，自变量 可以是任意实数，下表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 … … 0 1 2 3 4 2 1 0 … ①表格中a的值为_____； ②若为该函数图象上的点，则 _____． (2)在如图的平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象． (3) 结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为_____． ②写出该函数的一条性质：_____． 23．如图，已知为等腰直角三角形，点、分别是边、上的点，，．建立如图所示的平面直角坐标系，设点的坐标为，解答下列问题： (1)求关于的函数关系式，以及函数自变量的取值范围； (2)求的面积关于的函数关系式； (3)如果的面积等于10，求点的坐标． 24．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）平面直角坐标系中，点，将线段向上平移个单位得到线段，点与点对应，连接满足，点为线段中点，动点从出发，沿着折线以每秒钟1个单位长度的速度向终点运动，设点运动时间为秒，三角形的面积，解答下面问题： (1)点坐标为_____；点坐标为_____； (2)求点运动过程中的面积与运动时间之间的数量关系（用含有的式子表示S）； (3)当时，在轴上是否存在一点，使？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（25-26八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“等垂点”．例如：在三点中，因为，且，所以点为1的“等垂点”． (1)①点，，___________3的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，则点是4的“等垂点”，则点的坐标为___________； (2)如图2，，在轴上，在一次函数上，若一次函数上存在6的“等垂点”，求6的“等垂点”的坐标； (3)若在直线上存在无数个10的“等垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，点在内，，连接，设，则的面积关于的表达式为___________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $