专题06 特殊平行四边形（期中真题汇编，山东专用）九年级数学上学期

专题06 特殊平行四边形 考点01 矩形 考点02 菱形 考点03 正方形 考点01 矩形 1．D 2．C 3．B 4．A 5．【答案】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形；     （2）      【分析】 （）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，即得，由三角形中位线的性质可得，进而得到，即可求证； （）利用三角形中位线和矩形的性质可得四边形是平行四边形，，即得，得到，再根据角平分线的定义可得，即可得，由等腰三角形的性质得，利用勾股定理求出即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 6．【答案】 【分析】 本题考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，过作于，根据矩形的性质得到，推出四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理列方程即可得到答案，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：过作于，如图： 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， 将纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：． 7．【答案】（）； （）成立，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∴； （）最小值为． 【分析】 此题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先证明四边形和四边形均为矩形，则有，，，然后通过勾股定理即可求解； （）先证明四边形和四边形均为矩形，则有，，，然后通过勾股定理即可求解； （）过点作，过点作，与交于点，连接，证明四边形是矩形，同（）理，，从而可得当三点共线时，线段取得最小值，最小值为． 【详解】 解：（）四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∴； 故答案为：； （）略 （）如解图，过点作，过点作，与交于点，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是矩形外一点， ∴同（）理，， ∴， ∵，， ∴当三点共线时，线段取得最小值，最小值为． 8．【答案】（1），；（2）或；（3） 【分析】 （1）过点A作AF⊥BC于点F，然后由题意易得∠BAF=30°，AF=CF，则有，进而根据勾股定理可进行求解； （2）由三角形内角和及外角的性质可得，则可分三种情况进行分类讨论：① 当AE=BE时，② 当AB=BE时，③ 当AB=AE时，然后根据等腰三角形的性质可进行分类求解； （3）由题意画出图形，则由（2）可得，过点D作DH⊥PE于点H，并延长HD，交BC于点G，则有△PDH是等腰直角三角形，由题意易得，易证四边形HGCE是矩形，然后可得，最后根据等腰直角三角形的性质可进行求解． 【详解】 解：（1）过点A作AF⊥BC于点F，如图所示： ∵， ∴∠BAF=30°，△AFC是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，； 故答案为，； （2）在点从点运动到点A的过程中，可能是等腰三角形，理由如下： ∵，BD平分∠ABC， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当是等腰三角形时，可分： ① 当AB=BE时，则有点P与点D重合，且点E也与点D重合，故此情况不符合题意；舍去； ② 当AE=BE时，过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，过点P作PK⊥BC于点K，如图所示： ， ∴，， ∵BD平分∠ABC，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵PE∥BC， ∴， ∴四边形PENK是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ③ 当AB=AE时，如图所示： 由图可得此时点P与点A重合， ∴； 综上所述：当是等腰三角形时，或； （3）过点D作DH⊥PE于点H，并延长HD，交BC于点G，如图所示： 由（2）可得，，， ∴△DGC是等腰直角三角形，， ∴， ∵点是点关于的对称点， ∴， ∴， ∵PE∥BC， ∴，， ∴， ∴四边形HGCE是矩形， ∴， 在Rt△DHE中，∠HED=30°，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】 本题主要考查矩形的性质与判定、轴对称的性质、含30°直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、二次根式的运算及勾股定理，熟练掌握矩形的性质与判定、轴对称的性质、含30°直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、二次根式的运算及勾股定理是解题的关键． 9．【答案】 【分析】 题目主要考查平行四边形的性质及动点问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 首先证四边形是平行四边形，则当时，四边形是矩形，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】 解：四边形是菱形， ，，，， ， 动点、分别从点、同时出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动；同时，动点、也分别从点、出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动， ，， 在和中， ， ， ， 同理可证：， 四边形是平行四边形， 如图，连接，，过点作于，于， 当时，四边形是矩形， 即当时，四边形是矩形， ， ， ， ， 同理可求：，，， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．【答案】（1） 解：四边形是矩形，证明如下： ∵， ∴， ∴ ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形．     （2）      【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质以及相关已知条件可证明可得，易得四边形是平行四边形，再结合即可证明四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质、矩形的性质证明是等边三角形，再说明，最后运用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．【答案】② ③ ④ 【分析】 根据可进行判断；② 证即可进行判断；③ 延长交于，证即可进行判断；④ 证即可进行判断；⑤ 由“不一定等于”即可进行判断． 【详解】 解：① ∵ ∴， ∵O为的中点 ∴ ∴ 故① 错误； ② ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ 故② 正确； ③ 延长交于    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的中位线 ∴ ∵ ∴ 同理 ∴ ∴ 故③ 正确； ④ ∵是的中位线 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 故④ 正确； ⑤ ∵，不一定等于 ∴不一定等于 ∵ ∴不一定等于 故⑤ 错误． 综上所述：② ③ ④ 正确 故答案为：② ③ ④ 【点睛】 本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，角平分线的定义等知识点．掌握相关图形的性质定理是解题关键． 考点02 菱形 1．C 2．【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，二次根式的化简，熟练掌握该知识点是解题的关键．不妨设，那么,然后利用求得，即可得出答案． 【详解】 解：不妨设， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 菱形的周长为． 3．【答案】解：∵AE⊥BC，， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∴． 【分析】 根据直接可证明结论． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查菱形的性质，熟知菱形的性质以及平行四边形面积公式是解题的关键． 4．【答案】（1） 证明：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形；     （2）      【分析】 本题主要考查菱形的性质与判定，含角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据，等特殊角作出正确的垂线是解题关键． （1）先证明，可得，可得到四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）过点A作于点G，根据四边形是菱形，可得，，，从而得到，可得到，，再由，可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点G， 由（1）知四边形是菱形，又，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 5．【答案】5 【分析】 本题考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，面积法，能够将两线段和的最小值用一条线段的长表示是解题的关键． 连接，过点B作于点H，推出的最小值是，再证是等边三角形，用面积法求出即可． 【详解】 解：连接，过点B作于点H， ∵是菱形的对角线， ∴， ∴， ∴的最小值是的长， 连接交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴， 是等边三角形， ， ， ， 则的最小值是5． 故答案为：5． 6．【答案】（1） 证明：，， ， ， 四边形是平行四边形；     （2）① 证明：如图1，    是的中点，是的中点， 是的中位线， ； ②．      【分析】 （1）由两组对边相等的四边形是平行四边形即可得出结论； （2）① 证是的中位线，即可得出结论； ② 连接、，先证平行四边形是菱形，得出垂直平分，则，推出当点、、三点共线时，的值最小，其最小值为的长，再证是等边三角形，得出，然后由等边三角形的性质得出，，最后由勾股定理即可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 解：如图2，连接、，    由（1）得：四边形是平行四边形， ，， 、分别是、的中点，， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是菱形， 垂直平分， ， ， 当点、、三点共线时，的值最小，其最小值为的长， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 是等边三角形， ， 为的中点， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值为． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形中位线定理、垂直平分线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键． 考点03 正方形 1．A 2．A 3．D 4．A 5．B 6．【答案】（1） 证明：在和中， ；     （2） ， 证明：， 四边形是平行四边形 平行四边形是菱形 ， 又 菱形是正方形．      【分析】 本题考查全等三角形的性质与判定、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法进行证明即可； （2）根据平行线的性质得到两组对边互相平行，证得四边形是平行四边形，根据的性质证得平行四边形是菱形，要使菱形是正方形，需要有一个角是，当时，时等腰直角三角形，进而证得，则四边形是正方形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 7．【答案】解：作图，如图 ∴正方形，使点在直线上，且． 理由如下： ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴ 【分析】 本题考查尺规作图--垂直平分线，过一点作已知直线的垂线，作线段等于已知线段，掌握知识点是解题的关键． 先作出交于点C，再作出垂直平分线段，以O为圆心，线段为半径作圆，与的交点即为B，D． 【详解】 略 8．【答案】 【分析】 本题考查平行四边形性质、直角三角形圆周角性质、三角形中位线定理，涉及知识点：直径所对圆周角为直角、中位线平行且等于第三边的一半、勾股定理。解题方法是确定点E的轨迹（以为直径的圆），利用中位线将转化为的一半，通过构造直角三角形求的最小值；解题关键是找到的轨迹圆心，计算圆心到的距离，易错点是忽略E的轨迹范围。解题思路：先确定E在以为直径的圆上，求圆心到的距离，得最小值，再由中位线得最小值。 【详解】 解：连接，如图， ∵的中点为， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． ∵点是内一动点，且， ∴点的运动轨迹为以为直径的半圆， 设的中点为，连接， ∴当三点共线时，此时最小，如图， ∵， ∴， 过点作，交的延长线于点，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 特殊平行四边形 3大高频考点概览 考点01 矩形 考点02 菱形 考点03 正方形 考点01 矩形 1．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）如图，是矩形的对角线，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E，F，直线交于点M，交于点N，若，，则边的长为（       ） A. 6 B. 10 C.  D.  【答案】D 【分析】 如图，连接CM，利用垂直平分线与勾股定理即可解决问题． 【详解】 解：如图，连接CM． 由作图可知，MN垂直平分线段AC， ∴MA＝MC＝8， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°， ∴CD＝， ∴AB=CD=， 故选D． 【点睛】 本题考查作图−基本作图，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）如图，在矩形中，点的坐标是，连接，则的长是（　　） A. 5 B. 6 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查矩形的性质，直角坐标系，勾股定理．连接，根据勾股定理求出，根据矩形的性质可得． 【详解】 解：如图，连接， 点的坐标是， ， 四边形是矩形， ， 故选：C． 3．（25-26学年九上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，两条对角线相交于点是延长线上一点，且，则的长为（　　） A. 2 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．先根据矩形性质求出，，进而求出，得到，根据勾股定理求出，即可求出． 【详解】 解：∵四边形为矩形， ∴相等且互相平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 4．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了矩形的性质和面积公式，平行四边形的性质和面积公式，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键． 根据题意可得D点的纵坐标是C点纵坐标的一半，，过D点作轴，交轴于点，用勾股定理求出长即可． 【详解】 解：过D点作轴，交轴于点，如图： 与矩形周长相等，， ， 的面积是矩形面积的一半，， ， 由勾股定理得：， 点D的坐标为． 故选：A． 5．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）如图，在中，，点分别是的中点．延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若平分，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形；     （2）      【分析】 （）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，即得，由三角形中位线的性质可得，进而得到，即可求证； （）利用三角形中位线和矩形的性质可得四边形是平行四边形，，即得，得到，再根据角平分线的定义可得，即可得，由等腰三角形的性质得，利用勾股定理求出即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 6．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）如图，在矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，，折痕与分别交、于点、，则线段的长是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，过作于，根据矩形的性质得到，推出四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理列方程即可得到答案，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：过作于，如图： 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， 将纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）问题提出 （1）如图，已知是矩形内一点，过点作，分别交于点，则______；（填“”“”或“”） 问题探究 （2）如图，已知是矩形外一点，过点作，分别交的反向延长线于点，则（）中的结论还成立吗？请说明理由； 问题解决 （3）如图，在中，，是外一点，若，，，求线段的最小值． 【答案】（）； （）成立，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∴； （）最小值为． 【分析】 此题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先证明四边形和四边形均为矩形，则有，，，然后通过勾股定理即可求解； （）先证明四边形和四边形均为矩形，则有，，，然后通过勾股定理即可求解； （）过点作，过点作，与交于点，连接，证明四边形是矩形，同（）理，，从而可得当三点共线时，线段取得最小值，最小值为． 【详解】 解：（）四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∴； 故答案为：； （）略 （）如解图，过点作，过点作，与交于点，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是矩形外一点， ∴同（）理，， ∴， ∵，， ∴当三点共线时，线段取得最小值，最小值为． 8．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，中，的平分线交于点，点是线段上一个动点，交射线于点，连接，点是点关于的对称点． （1）线段_______，_________． （2）在点从点运动到点的过程中，是否有可能是等腰三角形？若有可能，求出当是等腰三角形时，所有可能的长；若不可能，请说明理由． （3）当点恰好落在线段上时，_________________． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【分析】 （1）过点A作AF⊥BC于点F，然后由题意易得∠BAF=30°，AF=CF，则有，进而根据勾股定理可进行求解； （2）由三角形内角和及外角的性质可得，则可分三种情况进行分类讨论：① 当AE=BE时，② 当AB=BE时，③ 当AB=AE时，然后根据等腰三角形的性质可进行分类求解； （3）由题意画出图形，则由（2）可得，过点D作DH⊥PE于点H，并延长HD，交BC于点G，则有△PDH是等腰直角三角形，由题意易得，易证四边形HGCE是矩形，然后可得，最后根据等腰直角三角形的性质可进行求解． 【详解】 解：（1）过点A作AF⊥BC于点F，如图所示： ∵， ∴∠BAF=30°，△AFC是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，； 故答案为，； （2）在点从点运动到点A的过程中，可能是等腰三角形，理由如下： ∵，BD平分∠ABC， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当是等腰三角形时，可分： ① 当AB=BE时，则有点P与点D重合，且点E也与点D重合，故此情况不符合题意；舍去； ② 当AE=BE时，过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，过点P作PK⊥BC于点K，如图所示： ， ∴，， ∵BD平分∠ABC，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵PE∥BC， ∴， ∴四边形PENK是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ③ 当AB=AE时，如图所示： 由图可得此时点P与点A重合， ∴； 综上所述：当是等腰三角形时，或； （3）过点D作DH⊥PE于点H，并延长HD，交BC于点G，如图所示： 由（2）可得，，， ∴△DGC是等腰直角三角形，， ∴， ∵点是点关于的对称点， ∴， ∴， ∵PE∥BC， ∴，， ∴， ∴四边形HGCE是矩形， ∴， 在Rt△DHE中，∠HED=30°，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】 本题主要考查矩形的性质与判定、轴对称的性质、含30°直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、二次根式的运算及勾股定理，熟练掌握矩形的性质与判定、轴对称的性质、含30°直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、二次根式的运算及勾股定理是解题的关键． 9．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，在菱形中，对角线，，动点、分别从点、同时出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动；同时，动点、也分别从点、出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动，顺次连接、、、．设运动的时间为，若四边形是矩形，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 题目主要考查平行四边形的性质及动点问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 首先证四边形是平行四边形，则当时，四边形是矩形，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】 解：四边形是菱形， ，，，， ， 动点、分别从点、同时出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动；同时，动点、也分别从点、出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动， ，， 在和中， ， ， ， 同理可证：， 四边形是平行四边形， 如图，连接，，过点作于，于， 当时，四边形是矩形， 即当时，四边形是矩形， ， ， ， ， 同理可求：，，， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·山东青岛·期中）如图，在中，对角线，为的中点，分别延长和，两线相交于点，连接． （1）试判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：四边形是矩形，证明如下： ∵， ∴， ∴ ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形．     （2）      【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质以及相关已知条件可证明可得，易得四边形是平行四边形，再结合即可证明四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质、矩形的性质证明是等边三角形，再说明，最后运用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）如图，四边形，对角线，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取中点F，连接．则以下结论：；；③；④连接，则四边形是平行四边形；．其中正确的是　　　　　　　　　． 【答案】② ③ ④ 【分析】 根据可进行判断；② 证即可进行判断；③ 延长交于，证即可进行判断；④ 证即可进行判断；⑤ 由“不一定等于”即可进行判断． 【详解】 解：① ∵ ∴， ∵O为的中点 ∴ ∴ 故① 错误； ② ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ 故② 正确； ③ 延长交于    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的中位线 ∴ ∵ ∴ 同理 ∴ ∴ 故③ 正确； ④ ∵是的中位线 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 故④ 正确； ⑤ ∵，不一定等于 ∴不一定等于 ∵ ∴不一定等于 故⑤ 错误． 综上所述：② ③ ④ 正确 故答案为：② ③ ④ 【点睛】 本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，角平分线的定义等知识点．掌握相关图形的性质定理是解题关键． 考点02 菱形 1．（25-26学年九上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 根据菱形的性质证明是等边三角形，即可得到． 【详解】 解：∵菱形 ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 2．（25-26学年九上·山东淄博博山区第六中学·期中）如图所示，在菱形中，于点，，，求菱形的周长． 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，二次根式的化简，熟练掌握该知识点是解题的关键．不妨设，那么,然后利用求得，即可得出答案． 【详解】 解：不妨设， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 菱形的周长为． 3．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC，,垂足分别为E、F．求证：AE＝AF． 【答案】解：∵AE⊥BC，， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∴． 【分析】 根据直接可证明结论． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查菱形的性质，熟知菱形的性质以及平行四边形面积公式是解题的关键． 4．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）如图，已知在中，点D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交的延长线于点F，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形；     （2）      【分析】 本题主要考查菱形的性质与判定，含角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据，等特殊角作出正确的垂线是解题关键． （1）先证明，可得，可得到四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）过点A作于点G，根据四边形是菱形，可得，，，从而得到，可得到，，再由，可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点G， 由（1）知四边形是菱形，又，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 5．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）如图，已知菱形，连接，若，点F在上，点E在上，连接，则的最小值是　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，面积法，能够将两线段和的最小值用一条线段的长表示是解题的关键． 连接，过点B作于点H，推出的最小值是，再证是等边三角形，用面积法求出即可． 【详解】 解：连接，过点B作于点H， ∵是菱形的对角线， ∴， ∴， ∴的最小值是的长， 连接交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴， 是等边三角形， ， ， ， 则的最小值是5． 故答案为：5． 6．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，四边形中，，，、分别是、的中点，．    （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，为的中点，点是线段上一动点． ①当点M是线段的中点时，连结，求证：； ②若，试求出的最小值． 【答案】（1） 证明：，， ， ， 四边形是平行四边形；     （2）① 证明：如图1，    是的中点，是的中点， 是的中位线， ； ②．      【分析】 （1）由两组对边相等的四边形是平行四边形即可得出结论； （2）① 证是的中位线，即可得出结论； ② 连接、，先证平行四边形是菱形，得出垂直平分，则，推出当点、、三点共线时，的值最小，其最小值为的长，再证是等边三角形，得出，然后由等边三角形的性质得出，，最后由勾股定理即可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 解：如图2，连接、，    由（1）得：四边形是平行四边形， ，， 、分别是、的中点，， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是菱形， 垂直平分， ， ， 当点、、三点共线时，的值最小，其最小值为的长， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 是等边三角形， ， 为的中点， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值为． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形中位线定理、垂直平分线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键． 考点03 正方形 1．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】A 【分析】 本题考查正方形与菱形面积，涉及含直角三角形的三边关系，熟记正方形与菱形面积公式是解决问题的关键． 过作于，如图所示，设正方形边长为，求出，利用含直角三角形的三边关系，在中得到，从而，两个面积作比即可得到答案． 【详解】 解：过作于，如图所示： 设正方形边长为， ， ， 在中，，，则， ， ，， 菱形与正方形ABCD的面积之比是， 故选：A． 2．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）下列语句中，不正确的是（     ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 有一个内角是直角的菱形是正方形 【答案】A 【分析】 根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】 解：A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，原说法错误，符合题意； B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法正确，不符合题意； C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法正确，不符合题意； D. 有一个内角是直角的菱形是正方形，说法正确，不符合题意； 故选：A． 3．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形，则下列四边形中是垂等四边形的是（     ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】D 【分析】 本题考查了正方形、矩形、菱形的性质，平行四边形的性质，准确理解新定义的垂等四边形的性质是解题的关键． 垂等四边形的定义是对角线互相垂直且相等，根据各四边形的性质，正方形对角线互相垂直且相等，满足定义． 【详解】 解：A．平行四边形的对角线互相平分但不垂直且不相等，故不是垂等四边形； B．矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形； C．菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形； D．正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形； 故选：D． 4．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，正方形中，以对角线为一边作菱形，则等于(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了正方形的性质，菱形的性质；根据正方形的性质求出，再根据菱形的性质，即可解决问题． 【详解】 解：四边形是正方形， ， 四边形是菱形， ， 故选：A． 5．（25-26学年九上·山东青岛·期中）如图，在正方形中，，对角线与相交于点，为边上一点，连接，交于点是的中点．若，则的长为（　　） A.  B.  C.  D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查正方形的性质，中位线的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行线间线段成比例，掌握知识点是解题的关键． 作的中点P，连接，得到，推导出，，， 则，，推导出，得到，，则，推导出，即可解答． 【详解】 解：作的中点P，连接，如图 ∴， 在正方形中， ，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∵M是的中点，， ∴． 故选B． 6．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）如图，在与中，，，，相交于点．过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，，相交于点． （1）求证：； （2）满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：在和中， ；     （2） ， 证明：， 四边形是平行四边形 平行四边形是菱形 ， 又 菱形是正方形．      【分析】 本题考查全等三角形的性质与判定、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法进行证明即可； （2）根据平行线的性质得到两组对边互相平行，证得四边形是平行四边形，根据的性质证得平行四边形是菱形，要使菱形是正方形，需要有一个角是，当时，时等腰直角三角形，进而证得，则四边形是正方形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 7．（25-26学年九上·山东青岛·期中）已知：如图，直线和直线外一点． 求作：正方形，使点在直线上，且． 【答案】解：作图，如图 ∴正方形，使点在直线上，且． 理由如下： ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴ 【分析】 本题考查尺规作图--垂直平分线，过一点作已知直线的垂线，作线段等于已知线段，掌握知识点是解题的关键． 先作出交于点C，再作出垂直平分线段，以O为圆心，线段为半径作圆，与的交点即为B，D． 【详解】 略 8．（25-26学年九上·山东东营实验中学·期中）如图，点E是内一动点，且，，，连接，分别取的中点，连接．若，则线段长度的最小值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平行四边形性质、直角三角形圆周角性质、三角形中位线定理，涉及知识点：直径所对圆周角为直角、中位线平行且等于第三边的一半、勾股定理。解题方法是确定点E的轨迹（以为直径的圆），利用中位线将转化为的一半，通过构造直角三角形求的最小值；解题关键是找到的轨迹圆心，计算圆心到的距离，易错点是忽略E的轨迹范围。解题思路：先确定E在以为直径的圆上，求圆心到的距离，得最小值，再由中位线得最小值。 【详解】 解：连接，如图， ∵的中点为， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． ∵点是内一动点，且， ∴点的运动轨迹为以为直径的半圆， 设的中点为，连接， ∴当三点共线时，此时最小，如图， ∵， ∴， 过点作，交的延长线于点，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 特殊平行四边形 3大高频考点概览 考点01 矩形 考点02 菱形 考点03 正方形 考点01 矩形 1．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）如图，是矩形的对角线，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E，F，直线交于点M，交于点N，若，，则边的长为（       ） A. 6 B. 10 C.  D.  2．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）如图，在矩形中，点的坐标是，连接，则的长是（　　） A. 5 B. 6 C.  D.  3．（25-26学年九上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，两条对角线相交于点是延长线上一点，且，则的长为（　　） A. 2 B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）如图，在中，，点分别是的中点．延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若平分，，求四边形的面积． 6．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）如图，在矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，，折痕与分别交、于点、，则线段的长是　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）问题提出 （1）如图，已知是矩形内一点，过点作，分别交于点，则______；（填“”“”或“”） 问题探究 （2）如图，已知是矩形外一点，过点作，分别交的反向延长线于点，则（）中的结论还成立吗？请说明理由； 问题解决 （3）如图，在中，，是外一点，若，，，求线段的最小值． 8．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，中，的平分线交于点，点是线段上一个动点，交射线于点，连接，点是点关于的对称点． （1）线段_______，_________． （2）在点从点运动到点的过程中，是否有可能是等腰三角形？若有可能，求出当是等腰三角形时，所有可能的长；若不可能，请说明理由． （3）当点恰好落在线段上时，_________________． 9．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，在菱形中，对角线，，动点、分别从点、同时出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动；同时，动点、也分别从点、出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动，顺次连接、、、．设运动的时间为，若四边形是矩形，则的值为　　　　　　． 10．（25-26学年九上·山东青岛·期中）如图，在中，对角线，为的中点，分别延长和，两线相交于点，连接． （1）试判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 11．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）如图，四边形，对角线，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取中点F，连接．则以下结论：；；③；④连接，则四边形是平行四边形；．其中正确的是　　　　　　　　　． 考点02 菱形 1．（25-26学年九上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山东淄博博山区第六中学·期中）如图所示，在菱形中，于点，，，求菱形的周长． 3．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC，,垂足分别为E、F．求证：AE＝AF． 4．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）如图，已知在中，点D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交的延长线于点F，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 5．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）如图，已知菱形，连接，若，点F在上，点E在上，连接，则的最小值是　　　　　　． 6．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，四边形中，，，、分别是、的中点，．    （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，为的中点，点是线段上一动点． ①当点M是线段的中点时，连结，求证：； ②若，试求出的最小值． 考点03 正方形 1．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（       ） A.  B.  C.  D. 1 2．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）下列语句中，不正确的是（     ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 有一个内角是直角的菱形是正方形 3．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形，则下列四边形中是垂等四边形的是（     ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 4．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，正方形中，以对角线为一边作菱形，则等于(　　) A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·山东青岛·期中）如图，在正方形中，，对角线与相交于点，为边上一点，连接，交于点是的中点．若，则的长为（　　） A.  B.  C.  D. 2 6．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）如图，在与中，，，，相交于点．过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，，相交于点． （1）求证：； （2）满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 7．（25-26学年九上·山东青岛·期中）已知：如图，直线和直线外一点． 求作：正方形，使点在直线上，且． 8．（25-26学年九上·山东东营实验中学·期中）如图，点E是内一动点，且，，，连接，分别取的中点，连接．若，则线段长度的最小值为　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $