专题05 圆、直线与圆的位置关系（期中真题汇编，山东专用）九年级数学上学期

专题05 圆、直线与圆的位置关系 8大高频考点概览 考点01 过三点的圆 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆周角 考点04 弧长和扇形面积 考点05 直线与圆相离、相切、相交 考点06 圆的切线 考点07 三角形的内切圆 考点08 正多边形与圆 考点01 过三点的圆 1．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了三角形外心的定义． 根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 【详解】 解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有A选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：A． 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）如图，在中，直径于点，连接．已知的半径为，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，先利用勾股定理求出，根据垂径定理求出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵直径于点， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）如图，AB为⊙O的直径，弦于点E，已知，则⊙O的半径为　　　　　　　　　　． 【答案】5 【详解】 解：设圆的半径为r，连接OC， 根据垂径定理可知CE=3，OE=r-1， ， 解得r=5． 故答案为5． 考点03 圆周角 1．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）如图，为的直径，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵为的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26学年九上·山东聊城东昌·期中）如图，是的直径，，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆周角定理;利用圆周角定理求出可得结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26学年九上·山东东营实验中学·期中）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，运用圆周角定理及圆内接四边形的性质求角的度数是解题关键，根据圆内接四边形的性质可求出的度数，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】 解：四边形是圆内接四边形， ， ， 是的直径， ， ； 故选：B． 4．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角是解题的关键．如图2，连接，则，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】 解：如图2，连接，     ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）如图，是的直径，是弦，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了垂径定理，圆周角定理． 先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理即可得到． 【详解】 解：连接． ∵是的直径，是弦，， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26学年九上·山东聊城东昌·期中）如图，OC是的半径，AB是弦，且OCAB，点P在上，∠APC=26，则∠BOC=　　　　　　度． 【答案】52 【分析】 由OC是的半径，AB是弦，且OCAB，根据垂径定理，即可求得：，又由圆周角定理，即可求得答案． 【详解】 解：∵OC是的半径，AB是弦，且OCAB， ∴， ∴∠BOC=2∠APC=226=52． 故答案为：52． 【点睛】 此题考查了垂径定理与圆周角定理，比较简单． 7．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据圆周角定理将转换到直角三角形中，利用勾股定理求出三角形各边长，即可求得的值． 【详解】 解：如图，设B点上方2个单位的格点为D， 连接AD、BD，根据圆周角定理可得， 每个小正方形的边长都是1，点A、B、D均 在网格交点上， ， 则， ， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理等知识点，将根据圆周角定理转换到直角三角形中是解题的关键． 8．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）如图，是的外接圆，延长到，作的平分线交于点，连接．试判断的数量关系，并证明你的结论． 【答案】解：，证明如下： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】 本题考查同弧所对圆周角相等，三角形外角的定义与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题点关键．由同弧所对圆周角相等可得，，，推出，再根据三角形外角的性质求出，结合角平分线的定义得到，从而得到，推出，即可得出结论． 【详解】 略 9．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）在中，为直径，的平分线交于点（如图1和图3）． （1）如图1，若直径为，弦为，则的形状为______，并求的长； （2）如图2，在平面直角坐标系中，经过原点和两点，与坐标轴分别交于点、（如图2），问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求其变化的范围． （3）如图3，若与直径交于点E，过D作的平行线，交于点，试判断线段之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）等腰直角三角形；     （2）的值不会发生变化，其值为     （3） 解：，理由如下： 如下图，过点A作并截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ．      【分析】 本题考查了圆的相关性质、坐标与图形、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）作，垂足为点H，先求出，进而得出是等腰直角三角形，求出，，，进而得出结论； （2）在x轴上取一点N，使，连接，先证明，得出，求出，进而求出结论； （3）过点A作并截取，连接，先证，再证，得出，根据得出结论． (1) 小问详解： 解：作，垂足为点H， 在中，为直径， ， 的平分线交于点， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； ∵直径为，弦为， ， ， 在中，， ， ， ， ， 在中， ， ； (2) 小问详解： 解：的值不会发生变化，其值为8，理由如下： 在x轴上取一点N，使，连接， ， ∴点到x轴、y轴距离相等，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的值不会发生变化，其值为8； (3) 小问详解： 略 10．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）已知点是半径为4的上两点，且，点是上一个动点，点是的中点，连接，则的最小值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，根据题意得出最短时，即为连接与的交点是解题的关键．由题意知弦的中点P在以为直径的上，连接与的交点为P，此时的值最小，利用特殊角的三角函数以及勾股定理即可求解． 【详解】 解：由题意知弦的中点P在以为直径的上，连接与的交点为P， 此时的值最小， 作于E，作于D，     ∵的半径为4， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ， ， 在中， ∴． 故答案为：． 11．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）阅读材料：“作圆”这种作辅助线的方法不经常用，但有时候用起来会把问题变得很简单，例如小明遇到的这道题目： 如图，已知，，，求的度数． 小明解决不了，去问学霸小刚，小刚说：“说明、、在以为圆心，为半径的圆上．以为圆心，为半径画个圆，再利用圆的知识就可以很轻松的解决这个问题”． （1）请你利用小刚的方法解答这道题目，写出完整的解题步骤． （2）请你用学到的方法解答下面的题目． 如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接、、，若，，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了圆内接四边形，30度角的直角三角形，垂径定理，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，则、、在以为圆心，为半径的圆上．运用圆周角定理得，因为，则，根据，则； （2）先理解题意，得点共圆，且是直径，为圆心，根据，得，过点作，则，故，，运用勾股定理算出，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴、、在以为圆心，为半径的圆上． 以为圆心，为半径画个圆，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 解：∵在四边形中，， ∴， ∴点共圆，且是直径， ∵为对角线的中点， ∴为圆心， 以点为圆心，为半径，画圆，如图所示： ∵， ∴， 过点作，如图所示： 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则． 12．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）（1）如图1，正方形网格中，的顶点均在网格上． ①以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出． ②作出关于坐标原点O成中心对称的． ③可由绕某点M旋转得到；请直接写出旋转中心M的坐标为______． （2）如图2，的顶点均落在格点上，以BC为直径的半圆与AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP＋PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q． 【答案】（1） ① 如图所示，即为所求； ② 如图所示，即为所求； ③     （2） 当BP＋PQ取得最小值时，点P，Q如图所示． 【分析】 （1）① 分别作出绕点顺时针旋转得到的对应点，再与点首尾顺次连接即可；② 分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；③ 作线段的垂直平分线，与线段的垂直平分线（即轴）的交点即为旋转中心，从而得出答案； （2）利用网格的特点，结合矩形的定义，找到点，连接GN,则GN平行线，连接并延长，与相交GN于点，则有BD=DM,连接CM交圆于点I,再连接BI与CD交与点P，根据直径所对应的圆周角是直角，可知BI和CD是△BCM的高,连接MP并延长交BC于点Q，则MQ垂直BC，再根据垂线段最短，得出最短，进而得出点． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 略 ③ 如图所示，可由绕点，顺时针旋转得到，其中点； 故答案为： (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了作图-旋转变换、矩形的定义、平行线间的距离处处相等、线段的垂直平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握旋转变换的定义和性质、线段的垂直平分线的性质、垂线段最短是解本题的关键． 13．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）如图，在正方形中，，点M、N分别是边、上的动点，且，连接、交于点E，点F是线段上的一个动点，连接、，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，推出点在以为直径的圆周上，设以为直径的圆的圆心为，作点关于直线的对称点，连接交于，则此时，的值最小，且等于的长度，过点作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆周上， 设以为直径的圆的圆心为， 作点关于直线的对称点，连接交于， 则此时，的值最小，且等于的长度， 过点作于， 则四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，轴对称的性质，勾股定理等知识．熟练相关知识是解题的关键． 考点04 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·山东东营实验中学·期中）如图用圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据扇形的周长等于圆锥的底面周长，得到圆锥的底面半径，然后用勾股定理即可求得圆锥的高． 【详解】 设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得：， 解得：， ∴圆锥的高 故选：D． 【点睛】 本题考查了勾股定理及求圆锥底面半径和高，熟练掌握扇形的周长等于圆锥的底面周长是解决问题的关键． 2．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）如图，在等腰三角形中，，以为直径作，与，分别相交于点，，点是上一点，，则的长度为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查圆周角定理（直径所对圆周角是直角、同弧所对圆周角相等、同弧所对圆心角是圆周角的倍 ）、等腰三角形三线合一的性质以及弧长公式．解题的关键在于通过圆周角定理和等腰三角形性质求出圆心角的度数，再代入弧长公式计算弧长．本题需要先利用圆周角定理求出圆心角的度数，再根据等腰三角形的性质得到相关角度关系，最后运用弧长公式计算弧长． 【详解】 解：连接, ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴也是的平分线，即． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴半径． ∴弧的长度． 故选：C 3．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）如图1，小明在综合实践课上用正方形纸板剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成如图2所示的一个圆锥，则圆锥的高是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了圆锥展开图以及勾股定理等知识．利用已知得出底面圆的半径为，周长为，进而得出母线长，即可得出答案． 【详解】 解：∵半径为的圆形， ∴底面圆的半径为2，周长为， 扇形弧长为：， ∴，即母线为， ∴圆锥的高为：． 故选：A． 4．（25-26学年九上·山东东营实验中学·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）写出外接圆圆心的坐标________； （2）将绕点A按逆时针方向旋转90度后得到，画出并写出此时点的坐标； （3）求（2）中线段扫过的面积（保留）． 【答案】（1）     （2） 如图，      （3）      【分析】 本题考查了求圆心，作旋转图形，扇形的面积公式，勾股定理． （1）作、的垂直平分线，交点即为外接圆圆心； （2）根据要求作图，进而写出此时点的坐标即可； （3）根据割补法计算即可； (1) 小问详解： 解：如图： 可知外接圆圆心的坐标． 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图， 可知扫过的面积， ∵，， ∴扫过的面积 ． 5．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）某小区有的护栏上有一块宣传版面（如图1所示），其形状是扇形的一部分．图2是其平面示意图，和都是半径的一部分，测得，，，则这块宣传版面的面积是　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，等边三角形的性质和判定， 延长交于点O，可得是等边三角形，进而得出，再作，即可根据勾股定理求出，接下来求出，最后用扇形的面积减去三角形面积得出答案． 【详解】 解：如图所示， 延长交于点O， 由题意，点O是圆弧所在的圆的圆心， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴． 过点O作于点H，则， ∴． ∵， ∴， 所以这块宣传板的面积为：． 故答案为：． 6．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）如图，在菱形中,，点O是对角线的中点，以点O为圆心,长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及扇形面积公式的应用，解题的关键是通过构造全等三角形，将不规则阴影部分的面积转化为扇形面积与规则三角形面积的差来计算． 先利用菱形性质得、，点为中点，故，进而得；构造等边，结合证，将转化为；再用勾股定理算、（即扇形半径）；最后用扇形面积公式算，减去得阴影面积． 【详解】 解：如图，连接，在上取点，使，连接， 在菱形中，，点O是对角线的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 考点05 直线与圆相离、相切、相交 1．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（       ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 【答案】C 【分析】 本题考查了直线与圆的关系，30度角的直角三角形的性质，先点C作，根据30度角的直角三角形的性质，得，再结合以点为圆心，以的长为半径作圆，进行分析，即可作答． 【详解】 解：过点C作，如图所示： ∵，， ∴在中，， ∵以点为圆心，以的长为半径作圆，且， ∴与的位置关系是相交， 故选：C． 考点06 圆的切线 1．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）如图，在中，是切线，切点是B，直线交于点D，A，点E为上的一点，连接，．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 考查切线的性质、直角三角形锐角互余、圆周角定理及推论，如图所示，连接，首先由切线得到，然后求出，最后利用圆周角定理求解即可． 【详解】 如图所示，连接， 是的切线，切点是 在中， 圆周角与圆心角所对的弧是， ． 故选：B． 2．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（       ） A. 2 B. 3 C.  D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查了切线的性质、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识． 根据一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出和的长，根据勾股定理求出，设与相切于点D，连接，设，根据列出关于x的方程，求出x即可求出答案． 【详解】 解：当时， 当时，， ∴， ∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴， ∴， 在中， ， 如图，设与相切于点D，连接，    ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 3．（25-26学年九上·山东聊城东昌·期中）如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，点E在圆O上，连结DE．若圆O的半径为5，且AB＝11．当∠ADE最大时，DE的长度为（       ） A. 5 B.  C.  D. 6 【答案】D 【分析】 当点E在圆O最外端时，即：DE与圆O相切时，∠ADE最大，再根据DE＝DF求出即可． 【详解】 连接OE、OF、OD、OM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝11，∠A＝90°， ∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切， ∴∠OMA＝∠OFA＝90°＝∠A， ∵OM＝OF， ∴四边形AFOM是正方形， ∴AM＝OM＝5， 当点E在圆O最外端时，即：DE与圆O相切时，∠ADE最大， ∵OE ＝OF，OD＝OD， ∴Rt△OFD≌Rt△OED， ∴DE＝DF＝AD –AF＝11－5＝6， 故选：D． 【点睛】 本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，关键是找到E点的位置． 4．（25-26学年九上·山东东营实验中学·期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为　　　　　　　 【答案】5 【详解】 试题分析：由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，易求得FH的长，然后设求半径为r，则OH=16﹣r，然后在Rt△OFH中，r2﹣（16﹣r）2=82，解此方程即可求得答案： 如答图，由题意，⊙O与BC相切，记切点为M，作直线OM，分别交AD、劣弧于点H、N，再连接OF， 在矩形ABCD中，AD∥BC，而MN⊥BC，∴MN⊥AD.∴在⊙O中，FH=EF=4. 设球半径为r，则OH=8﹣r， 在Rt△OFH中，由勾股定理得，r2﹣（8﹣r）2=42，解得r=5. 考点：1.垂径定理的应用；2.勾股定理；3.切线的性质；4.方程思想的应用． 5．（25-26学年九上·山东东营实验中学·期中）如图，P是外一点，分别和切于是弧上任意一点，过作的切线分别交于，若的周长为，则长为　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查切线长定理，知识点是“从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等”．解题方法是利用切线长定理将的周长转化为的长度关系；解题关键是识别相等的切线长，易错点是忽略切线长的等量转换．解题思路：根据切线长定理，将的周长转化为，结合求解． 【详解】 由切线长定理： ． 的周长为： 已知周长为，且，故，解得． 故答案为：8． 6．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）如图，已知点M在y轴正半轴上，与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于P、Q两点，点P在点Q的下方，且点P的坐标是，则的长为　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查切线的性质，坐标与图形，勾股定理，过点作轴，连接，设，在中，利用勾股定理进行求出半径，在中，利用勾股定理进行求出，最后根据垂径定理求解即可． 【详解】 解：过点作轴于点N，，连接，过点M作于点H， ∵， ∴，， ∵与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于P、Q两点， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴， 故答案为：3． 7．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）如图，的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线．有下列结论：①垂直平分；②；③．其中正确结论的序号是　　　　　　　　　　　． 【答案】① ③ 【分析】 本题主要考查了尺规作角平分线，内心的性质，切线长定理，正方形的判定与性质． 延长交于点H，连接，根据尺规作图的过程可知平分，再根据的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，可得，由等腰三角形三线合一可判断① ③ ；由直角三角形的性质可得，结合可判断② ． 【详解】 解：延长交于点H，连接， 由作图过程可知平分，则， ∵的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴垂直平分，即垂直平分，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，故③ 正确； ∵，， ∴，故② 错误； 则正确的结论有① ③ ． 故答案为：① ③ ． 8．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）如图，四边形内接于，是的直径，平分，作并交的延长线于点E． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）已知的半径为1，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 直线与相切，理由：连接，     平分， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 是的半径， 与相切；     （2）．      【分析】 （1）连接，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，，作并交于点F，证明是等边三角形，利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，，作并交于点F，     ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积． 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积公式．正确作出辅助线是解题的关键． 9．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，延长分别与、切线相交于、两点． （1）求证：是的切线； （2）为边上的中线，若，，求的值． 【答案】（1） 证明：连接， 是的切线， ， ， 在中，， ， ， ， ， 是的切线；      （2）      【分析】 本题考查的是切线的判定与性质、全等三角形判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题关键， （1）连接，根据切线性质得出，证明得出，即可证明结论； （2）在中，设半径，根据勾股定理求出半径，证明求出，再根据勾股定理求出结论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在中，， 设半径， ，， ， 解得：， 则， ，， ， ， ， 解得：， ∵为边上的中线， ， 在中， ． 10．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接并延长交于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， 是的切线；     （2）      【分析】 本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、扇形和三角形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的有关知识是解答的关键． （1）连接并延长交于点E，连接，先证明，，证明，得出，即可证明结论； （2）连接，是等边三角形，求出，求出，再根据求出结论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， 在中，， ， ， 是等边三角形， ， ∵，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ． 11．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若OB=10，CD=8，求BE的长． 【答案】（1）证明：连接OD， ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠1=∠2， ∵OB=OD， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OD∥BC， ∵∠C=90°， ∴∠ODA=90°， ∴AC为⊙O的切线； （2）12． 【分析】 （1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直角，即可得证； （2）过O作OG⊥BC，可得出四边形ODCG为矩形，在Rt△OBG中，利用勾股定理求出BG的长，由垂径定理可得BE＝2BG． 【详解】 （1）略 （2）解：过O作OG⊥BC，连接OE， ∵∠C=∠ODC=90°， ∴∠C=∠ODC=∠OGC=90°， ∴四边形ODCG为矩形， ∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8， 在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝6， ∵OG⊥BE，OB＝OE， ∴BE＝2BG＝12． 【点睛】 此题考查了切线的判定，矩形的判定和性质，勾股定理以及垂径定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键． 12．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可． 【详解】 解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则，    ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·山东聊城东昌·期中）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的垂线，垂足为，延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 与相切； 理由：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，证明OD∥AC，根据平行线的性质得到OD⊥DE，根据切线的判定定理证明； （2）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到CD＝BD＝BC＝3，根据勾股定理得：，根据三角形的面积公式即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查的是直线与圆的位置关系、圆周角定理，三角形的面积公式，掌握切线的判定定理、直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 考点07 三角形的内切圆 1．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（       ） A. 2r， B. 0， C. 2r， D. 0， 【答案】D 【分析】 如图，连接．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可． 【详解】 解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】 本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 考点08 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据正多边形内角和公式求出，根据切线的定义得出，进而可得，再根据圆周角定理可得． 【详解】 解：五边形是正五边形， ， 切，于点M，N， ， 又五边形的内角和为， ， ， 故选C． 【点睛】 本题考查正多边形内角和问题，圆周角定理，解题的关键是掌握多边形内角和公式． 2．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】正方形如图所示： 【分析】 此题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握作图的方法． 过点A作于点O，以O为圆心，为半径画弧交直线l于点B，D，交直线于点C，连接，，，，正方形即为所求． 【详解】 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆、直线与圆的位置关系 考点01 过三点的圆 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆周角 考点04 弧长和扇形面积 考点05 直线与圆相离、相切、相交 考点06 圆的切线 考点07 三角形的内切圆 考点08 正多边形与圆 考点01 过三点的圆 1．A 考点02 垂直于弦的直径 1．【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，先利用勾股定理求出，根据垂径定理求出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵直径于点， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．【答案】5 【详解】 解：设圆的半径为r，连接OC， 根据垂径定理可知CE=3，OE=r-1， ， 解得r=5． 故答案为5． 考点03 圆周角 1．C 2．C 3．B 4．D 5．C 6．【答案】52 【分析】 由OC是的半径，AB是弦，且OCAB，根据垂径定理，即可求得：，又由圆周角定理，即可求得答案． 【详解】 解：∵OC是的半径，AB是弦，且OCAB， ∴， ∴∠BOC=2∠APC=226=52． 故答案为：52． 【点睛】 此题考查了垂径定理与圆周角定理，比较简单． 7．【答案】 【分析】 根据圆周角定理将转换到直角三角形中，利用勾股定理求出三角形各边长，即可求得的值． 【详解】 解：如图，设B点上方2个单位的格点为D， 连接AD、BD，根据圆周角定理可得， 每个小正方形的边长都是1，点A、B、D均 在网格交点上， ， 则， ， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理等知识点，将根据圆周角定理转换到直角三角形中是解题的关键． 8．【答案】解：，证明如下： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】 本题考查同弧所对圆周角相等，三角形外角的定义与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题点关键．由同弧所对圆周角相等可得，，，推出，再根据三角形外角的性质求出，结合角平分线的定义得到，从而得到，推出，即可得出结论． 【详解】 略 9．【答案】（1）等腰直角三角形；     （2）的值不会发生变化，其值为     （3） 解：，理由如下： 如下图，过点A作并截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ．      【分析】 本题考查了圆的相关性质、坐标与图形、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）作，垂足为点H，先求出，进而得出是等腰直角三角形，求出，，，进而得出结论； （2）在x轴上取一点N，使，连接，先证明，得出，求出，进而求出结论； （3）过点A作并截取，连接，先证，再证，得出，根据得出结论． (1) 小问详解： 解：作，垂足为点H， 在中，为直径， ， 的平分线交于点， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； ∵直径为，弦为， ， ， 在中，， ， ， ， ， 在中， ， ； (2) 小问详解： 解：的值不会发生变化，其值为8，理由如下： 在x轴上取一点N，使，连接， ， ∴点到x轴、y轴距离相等，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的值不会发生变化，其值为8； (3) 小问详解： 略 10．【答案】 【分析】 本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，根据题意得出最短时，即为连接与的交点是解题的关键．由题意知弦的中点P在以为直径的上，连接与的交点为P，此时的值最小，利用特殊角的三角函数以及勾股定理即可求解． 【详解】 解：由题意知弦的中点P在以为直径的上，连接与的交点为P， 此时的值最小， 作于E，作于D，     ∵的半径为4， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ， ， 在中， ∴． 故答案为：． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了圆内接四边形，30度角的直角三角形，垂径定理，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，则、、在以为圆心，为半径的圆上．运用圆周角定理得，因为，则，根据，则； （2）先理解题意，得点共圆，且是直径，为圆心，根据，得，过点作，则，故，，运用勾股定理算出，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴、、在以为圆心，为半径的圆上． 以为圆心，为半径画个圆，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 解：∵在四边形中，， ∴， ∴点共圆，且是直径， ∵为对角线的中点， ∴为圆心， 以点为圆心，为半径，画圆，如图所示： ∵， ∴， 过点作，如图所示： 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则． 12．【答案】（1） ① 如图所示，即为所求； ② 如图所示，即为所求； ③     （2） 当BP＋PQ取得最小值时，点P，Q如图所示． 【分析】 （1）① 分别作出绕点顺时针旋转得到的对应点，再与点首尾顺次连接即可；② 分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；③ 作线段的垂直平分线，与线段的垂直平分线（即轴）的交点即为旋转中心，从而得出答案； （2）利用网格的特点，结合矩形的定义，找到点，连接GN,则GN平行线，连接并延长，与相交GN于点，则有BD=DM,连接CM交圆于点I,再连接BI与CD交与点P，根据直径所对应的圆周角是直角，可知BI和CD是△BCM的高,连接MP并延长交BC于点Q，则MQ垂直BC，再根据垂线段最短，得出最短，进而得出点． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 略 ③ 如图所示，可由绕点，顺时针旋转得到，其中点； 故答案为： (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了作图-旋转变换、矩形的定义、平行线间的距离处处相等、线段的垂直平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握旋转变换的定义和性质、线段的垂直平分线的性质、垂线段最短是解本题的关键． 13．【答案】 【分析】 根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，推出点在以为直径的圆周上，设以为直径的圆的圆心为，作点关于直线的对称点，连接交于，则此时，的值最小，且等于的长度，过点作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆周上， 设以为直径的圆的圆心为， 作点关于直线的对称点，连接交于， 则此时，的值最小，且等于的长度， 过点作于， 则四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，轴对称的性质，勾股定理等知识．熟练相关知识是解题的关键． 考点04 弧长和扇形面积 1．D 2．C 3．A 4．【答案】（1）     （2） 如图，      （3）      【分析】 本题考查了求圆心，作旋转图形，扇形的面积公式，勾股定理． （1）作、的垂直平分线，交点即为外接圆圆心； （2）根据要求作图，进而写出此时点的坐标即可； （3）根据割补法计算即可； (1) 小问详解： 解：如图： 可知外接圆圆心的坐标． 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图， 可知扫过的面积， ∵，， ∴扫过的面积 ． 5．【答案】 【分析】 本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，等边三角形的性质和判定， 延长交于点O，可得是等边三角形，进而得出，再作，即可根据勾股定理求出，接下来求出，最后用扇形的面积减去三角形面积得出答案． 【详解】 解：如图所示， 延长交于点O， 由题意，点O是圆弧所在的圆的圆心， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴． 过点O作于点H，则， ∴． ∵， ∴， 所以这块宣传板的面积为：． 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及扇形面积公式的应用，解题的关键是通过构造全等三角形，将不规则阴影部分的面积转化为扇形面积与规则三角形面积的差来计算． 先利用菱形性质得、，点为中点，故，进而得；构造等边，结合证，将转化为；再用勾股定理算、（即扇形半径）；最后用扇形面积公式算，减去得阴影面积． 【详解】 解：如图，连接，在上取点，使，连接， 在菱形中，，点O是对角线的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 考点05 直线与圆相离、相切、相交 1．C 考点06 圆的切线 1．B 2．A 3．D 4．【答案】5 【详解】 试题分析：由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，易求得FH的长，然后设求半径为r，则OH=16﹣r，然后在Rt△OFH中，r2﹣（16﹣r）2=82，解此方程即可求得答案： 如答图，由题意，⊙O与BC相切，记切点为M，作直线OM，分别交AD、劣弧于点H、N，再连接OF， 在矩形ABCD中，AD∥BC，而MN⊥BC，∴MN⊥AD.∴在⊙O中，FH=EF=4. 设球半径为r，则OH=8﹣r， 在Rt△OFH中，由勾股定理得，r2﹣（8﹣r）2=42，解得r=5. 考点：1.垂径定理的应用；2.勾股定理；3.切线的性质；4.方程思想的应用． 5．【答案】8 【分析】 本题考查切线长定理，知识点是“从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等”．解题方法是利用切线长定理将的周长转化为的长度关系；解题关键是识别相等的切线长，易错点是忽略切线长的等量转换．解题思路：根据切线长定理，将的周长转化为，结合求解． 【详解】 由切线长定理： ． 的周长为： 已知周长为，且，故，解得． 故答案为：8． 6．【答案】3 【分析】 本题考查切线的性质，坐标与图形，勾股定理，过点作轴，连接，设，在中，利用勾股定理进行求出半径，在中，利用勾股定理进行求出，最后根据垂径定理求解即可． 【详解】 解：过点作轴于点N，，连接，过点M作于点H， ∵， ∴，， ∵与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于P、Q两点， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴， 故答案为：3． 7．【答案】① ③ 【分析】 本题主要考查了尺规作角平分线，内心的性质，切线长定理，正方形的判定与性质． 延长交于点H，连接，根据尺规作图的过程可知平分，再根据的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，可得，由等腰三角形三线合一可判断① ③ ；由直角三角形的性质可得，结合可判断② ． 【详解】 解：延长交于点H，连接， 由作图过程可知平分，则， ∵的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴垂直平分，即垂直平分，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，故③ 正确； ∵，， ∴，故② 错误； 则正确的结论有① ③ ． 故答案为：① ③ ． 8．【答案】（1） 直线与相切，理由：连接，     平分， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 是的半径， 与相切；     （2）．      【分析】 （1）连接，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，，作并交于点F，证明是等边三角形，利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，，作并交于点F，     ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积． 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积公式．正确作出辅助线是解题的关键． 9．【答案】（1） 证明：连接， 是的切线， ， ， 在中，， ， ， ， ， 是的切线；      （2）      【分析】 本题考查的是切线的判定与性质、全等三角形判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题关键， （1）连接，根据切线性质得出，证明得出，即可证明结论； （2）在中，设半径，根据勾股定理求出半径，证明求出，再根据勾股定理求出结论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在中，， 设半径， ，， ， 解得：， 则， ，， ， ， ， 解得：， ∵为边上的中线， ， 在中， ． 10．【答案】（1） 证明：连接并延长交于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， 是的切线；     （2）      【分析】 本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、扇形和三角形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的有关知识是解答的关键． （1）连接并延长交于点E，连接，先证明，，证明，得出，即可证明结论； （2）连接，是等边三角形，求出，求出，再根据求出结论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， 在中，， ， ， 是等边三角形， ， ∵，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ． 11．【答案】（1）证明：连接OD， ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠1=∠2， ∵OB=OD， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OD∥BC， ∵∠C=90°， ∴∠ODA=90°， ∴AC为⊙O的切线； （2）12． 【分析】 （1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直角，即可得证； （2）过O作OG⊥BC，可得出四边形ODCG为矩形，在Rt△OBG中，利用勾股定理求出BG的长，由垂径定理可得BE＝2BG． 【详解】 （1）略 （2）解：过O作OG⊥BC，连接OE， ∵∠C=∠ODC=90°， ∴∠C=∠ODC=∠OGC=90°， ∴四边形ODCG为矩形， ∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8， 在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝6， ∵OG⊥BE，OB＝OE， ∴BE＝2BG＝12． 【点睛】 此题考查了切线的判定，矩形的判定和性质，勾股定理以及垂径定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键． 12．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可． 【详解】 解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则，    ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 13．【答案】（1） 与相切； 理由：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，证明OD∥AC，根据平行线的性质得到OD⊥DE，根据切线的判定定理证明； （2）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到CD＝BD＝BC＝3，根据勾股定理得：，根据三角形的面积公式即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查的是直线与圆的位置关系、圆周角定理，三角形的面积公式，掌握切线的判定定理、直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 考点07 三角形的内切圆 1．D 考点08 正多边形与圆 1．C 2．【答案】正方形如图所示： 【分析】 此题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握作图的方法． 过点A作于点O，以O为圆心，为半径画弧交直线l于点B，D，交直线于点C，连接，，，，正方形即为所求． 【详解】 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆、直线与圆的位置关系 8大高频考点概览 考点01 过三点的圆 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆周角 考点04 弧长和扇形面积 考点05 直线与圆相离、相切、相交 考点06 圆的切线 考点07 三角形的内切圆 考点08 正多边形与圆 考点01 过三点的圆 1．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（       ） A.  B.  C.  D.  考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）如图，在中，直径于点，连接．已知的半径为，则的长为　　　　　　　　　　　． 2．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）如图，AB为⊙O的直径，弦于点E，已知，则⊙O的半径为　　　　　　　　　　． 考点03 圆周角 1．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）如图，为的直径，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山东聊城东昌·期中）如图，是的直径，，则（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山东东营实验中学·期中）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）如图，是的直径，是弦，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·山东聊城东昌·期中）如图，OC是的半径，AB是弦，且OCAB，点P在上，∠APC=26，则∠BOC=　　　　　　度． 7．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是　　　　　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）如图，是的外接圆，延长到，作的平分线交于点，连接．试判断的数量关系，并证明你的结论． 9．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）在中，为直径，的平分线交于点（如图1和图3）． （1）如图1，若直径为，弦为，则的形状为______，并求的长； （2）如图2，在平面直角坐标系中，经过原点和两点，与坐标轴分别交于点、（如图2），问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求其变化的范围． （3）如图3，若与直径交于点E，过D作的平行线，交于点，试判断线段之间满足的等量关系，并说明理由． 10．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）已知点是半径为4的上两点，且，点是上一个动点，点是的中点，连接，则的最小值是　　　　　　． 11．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）阅读材料：“作圆”这种作辅助线的方法不经常用，但有时候用起来会把问题变得很简单，例如小明遇到的这道题目： 如图，已知，，，求的度数． 小明解决不了，去问学霸小刚，小刚说：“说明、、在以为圆心，为半径的圆上．以为圆心，为半径画个圆，再利用圆的知识就可以很轻松的解决这个问题”． （1）请你利用小刚的方法解答这道题目，写出完整的解题步骤． （2）请你用学到的方法解答下面的题目． 如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接、、，若，，求的值． 12．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）（1）如图1，正方形网格中，的顶点均在网格上． ①以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出． ②作出关于坐标原点O成中心对称的． ③可由绕某点M旋转得到；请直接写出旋转中心M的坐标为______． （2）如图2，的顶点均落在格点上，以BC为直径的半圆与AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP＋PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q． 13．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）如图，在正方形中，，点M、N分别是边、上的动点，且，连接、交于点E，点F是线段上的一个动点，连接、，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　　． 考点04 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·山东东营实验中学·期中）如图用圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）如图，在等腰三角形中，，以为直径作，与，分别相交于点，，点是上一点，，则的长度为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）如图1，小明在综合实践课上用正方形纸板剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成如图2所示的一个圆锥，则圆锥的高是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山东东营实验中学·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）写出外接圆圆心的坐标________； （2）将绕点A按逆时针方向旋转90度后得到，画出并写出此时点的坐标； （3）求（2）中线段扫过的面积（保留）． 5．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）某小区有的护栏上有一块宣传版面（如图1所示），其形状是扇形的一部分．图2是其平面示意图，和都是半径的一部分，测得，，，则这块宣传版面的面积是　　　　　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）如图，在菱形中,，点O是对角线的中点，以点O为圆心,长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　　　． 考点05 直线与圆相离、相切、相交 1．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（       ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 考点06 圆的切线 1．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）如图，在中，是切线，切点是B，直线交于点D，A，点E为上的一点，连接，．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（       ） A. 2 B. 3 C.  D. 4 3．（25-26学年九上·山东聊城东昌·期中）如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，点E在圆O上，连结DE．若圆O的半径为5，且AB＝11．当∠ADE最大时，DE的长度为（       ） A. 5 B.  C.  D. 6 4．（25-26学年九上·山东东营实验中学·期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为　　　　　　　 5．（25-26学年九上·山东东营实验中学·期中）如图，P是外一点，分别和切于是弧上任意一点，过作的切线分别交于，若的周长为，则长为　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）如图，已知点M在y轴正半轴上，与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于P、Q两点，点P在点Q的下方，且点P的坐标是，则的长为　　　　　． 7．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）如图，的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线．有下列结论：①垂直平分；②；③．其中正确结论的序号是　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）如图，四边形内接于，是的直径，平分，作并交的延长线于点E． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）已知的半径为1，，求图中阴影部分的面积． 9．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，延长分别与、切线相交于、两点． （1）求证：是的切线； （2）为边上的中线，若，，求的值． 10．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求图中阴影部分的面积． 11．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若OB=10，CD=8，求BE的长． 12．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·山东聊城东昌·期中）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的垂线，垂足为，延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）如果，，求的长． 考点07 三角形的内切圆 1．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（       ） A. 2r， B. 0， C. 2r， D. 0， 考点08 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为(     ) A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $