专题02 二次函数（期中真题汇编，山东专用）九年级数学上学期

专题02 二次函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．B 2．A 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．C 2．B 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．B 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D 7．A 8．C 9．【答案】 【分析】 先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=-1，然后比较三个点离直线x=-1的远近得到、、的大小关系． 【详解】 解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线x=-1， 由A（-2，）、B（1，）、C（2，）可知点C离直线x=-1最远，点A离直线x=-1最近， 抛物线开口向下， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．对于二次函数 (a，h，k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是(h，k)，对称轴为直线x=h． 10．【答案】 【分析】 本题考查比较二次函数的函数值大小，将点的坐标代入函数解析式，求出，进行判断即可． 【详解】 解：当时，； 当时，； ∴； 故答案为：． 11．【答案】1 【分析】先由y轴上点的横坐标为0求出A点坐标为（0，1），再将y=1代入y=4x2，求出x的值，得出B、C两点的坐标，进而求出BC的长度． 【详解】∵抛物线y=ax2+1与y轴交于点A， ∴A点坐标为（0，1）． 当y=1时，4x2=1， 解得x=±， ∴B点坐标为（﹣，1），C点坐标为（，1）， ∴BC=﹣（﹣）=1， 故答案为1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，两函数交点坐标的求法以及平行于x轴上的两点之间的距离的知识，解答本题的关键是求出点A的坐标，此题难度不大． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．D 2．D 3．D 4．B 5．D 6．B 7．A 8．B 9．D 10．C 11．D 12．C 13．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 通过计算各点对应的函数值，直接比较大小即可． 【详解】 解：由函数，分别计算各点的纵坐标： 当时，， 当时，， 当时，， 比较得：，即， 故答案为：． 14．【答案】3 【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，把代入二次函数解析式中求出c的值即可． 【详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 故答案为：3． 15．【答案】 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；由抛物线与y轴交于点可求出c的值；直线过点C且平行于x轴，故可求得直线与抛物线的另一交点D的坐标，代入抛物线方程可求出b的值，从而求得抛物线的解析式． 【详解】 解：∵抛物线与y轴交于点， ∴当时，，即， 即， ∵过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为， ∴, 即， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， 故抛物线解析式为． 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了把二次函数的解析式转化为顶点式，根据顶点式写出抛物线的顶点坐标即可． 【详解】 解： 抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题主要考查待定系数法求函数解析式，由抛物线开口向下得，，经过点可得，取，可得抛物线解析式为． 【详解】 解：设二次函数的表达式为， 由题意可知，图象开口向下，故， ∵图象经过点，可得， ∴二次函数的表达式为（其中）， 取，可得二次函数的表达式为． 故答案为： 18．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的对称性．掌握二次函数的图像关于对称轴对称是解题的关键． 根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为，结合表格中所给数据可得出答案． 【详解】 解：由表中数据知，二次函数上的点和对称， 对称轴为， ∴点的对称点为， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为：． 19．【答案】且 【分析】 根据分式有意义，二次根式有意义解答即可． 【详解】 解：由题意得beginarrayltextitx-1geq0-2neq0endarray.， 解得：且， 故答案为且． 【点睛】 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 20．【答案】 【分析】 此题主要考查了二次函数的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题首先根据表格确定二次函数的对称轴及顶点坐标，然后结合表格即可求解． 【详解】 解：根据表格知二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，结合表格可得的取值范围是． 21．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移，代数式求值，将抛物线向上平移后得到新解析式，代入给定点坐标得到关于、的方程，再变形目标代数式求值． 【详解】 解：抛物线向上平移3个单位长度后，解析式为． 该抛物线经过点，代入得： 则，代入得： 故答案为：． 22．【答案】8 【分析】 本题考查二次函数的综合应用，根据题意，将阴影部分的面积转化为平行四边形的面积进行求解即可． 【详解】 解：∵抛物线与的形状相同，顶点分别为和， ∴，，与轴平行， ∴图中阴影部分的面积可以转化为底为2，高为4的平行四边形的面积， ∴图中阴影部分的面积为； 故答案为：8． 23．【答案】（1）     （2）72m     （3） 不会，理由如下： ， 当时，汽车停下，行驶了， ， 该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车．      【分析】 本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． 利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式； 将代入中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； 求出中函数的最大值，与比较，即可解决问题． (1) 小问详解： 设，将，，代入， 得 ，解得 ， 关于t的函数解析式为：； (2) 小问详解： 当时，， 答：汽车刹车后，行驶了； (3) 小问详解： 略 24．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把，分别代入，得出，即可作答． （2）先整理，故图象的对称轴为直线，结合．故当时，最小，当时，，列式，即可作答． （3）进行分类讨论，即① 若，则函数图象开口向上．② 若，则函数图象开口向下，再结合二次函数的图象性质，进行分析列式，即可作答． (1) 小问详解： 解： ， 当时，， ， ． 该函数的解析式为． (2) 小问详解： 解：依题意，， 图象的对称轴为直线． 又． 当时，最小， ∵ ∴当时，， ∴． ． ； (3) 小问详解： 解：① 若，则函数图象开口向上． 又对称轴为直线， 当时，随的增大而增大． ∴点在对称轴的右侧． 又对于，都有， ， ． ② 若，则函数图象开口向下， ∴点在对称轴的左侧． 对称轴为直线 当或时函数值相等． 又对于，都有， ， ． 综上：或． 25．【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案． 【详解】 解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向上，即， ∵二次函数的顶点在y轴正半轴上， ∴，即，， ∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键． 26．【答案】（1）7     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）由于二次函数开口向下，有最大值，通过顶点公式求最大值； （2）在给定内，求函数的值，通过计算端点和顶点值即可得解． (1) 小问详解： 解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，有最大值，顶点坐标为； ∴函数最大值为7； (2) 小问详解： 解：当时， 当时，； 当时，； 顶点在内，． ∵抛物线开口向下， ∴在内，最小值为，最大值为； ∴y的取值范围为． 27．【答案】（1）抛物线解析式为；     （2）的面积为时，点的横坐标为或；     （3）点的坐标为或．      【分析】 （）利用待定系数法求解即可； （）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，，则，然后利用三角形的面积公式并解方程即可求解； （）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到 ，，，利用勾股定理当和，时，列出关于的方程，解答即可得到满足条件的点坐标． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为， 将点，点的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， 根据题意得的面积为10， ∴ ， 解得：，， ∴的面积为时，点的横坐标为或； (3) 小问详解： 解：点的坐标为，，，，理由如下: ∵抛物线， ∴对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，，， ∵以为直角边的直角三角形， ∴如图，当，    ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 如图，当， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 综上可得：点的坐标为或． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的性质，二次函数的应用——面积问题，线段周长问题，求抛物线与轴的交点坐标，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 28．【答案】 【分析】 本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件， 根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得，求出解集即可． 【详解】 解：∵函数有意义， ∴分母，且被开方数，但分母不为零，故， 即， 解得． 故答案为：． 29．【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数的最值，二次函数的对称轴，根据图象开口方向，与轴交点及对称轴可判断① ；由时，函数有最大值可判断② ；由图象与轴的另一个交点在与之间，由此判断③ ；由对称轴得到，代入，得到，由此可判断④ ；由二次函数的图象与x轴有两个交点可判断⑤ ，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】 解：由图象得，， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∴，故① 正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当时，函数有最大值，即最大值为， ∴当时，， 即，故② 错误； ∵抛物线的对称轴为直线，图象与轴的一个交点在与之间， ∴图象与轴另一个交点在与之间， ∴当时， 即，故③ 正确； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ∴， ∵当时，， ∴， ∴，故④ 正确； 由图象知，二次函数的图象与轴有两个交点， ∴， 故⑤ 错误； 综上，正确结论的序号有① ③ ④ ， 故答案为：① ③ ④ ． 30．【答案】（1）     （2）； 画出函数图象，如图，      （3）或      【分析】 本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． (1) 小问详解： 解：把点代入得： ， 解得： ， ∴二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为； (3) 小问详解： 解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 31．【答案】（1），，     （2）抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为；     （3）      【分析】 （1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可； （3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得． (1) 小问详解： 解：∵矩形的边，， ∴，，，， ∴，，； (2) 小问详解： 解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入， 解得； 则抛物线的表达式为； (3) 小问详解： 解：∵装置整体图案为轴对称图形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∵是矩形， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：或（在对称轴右侧，舍）， ∴， 由抛物线对称性可得． 【点睛】 本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 32．【答案】① ② ④ 【分析】 由抛物线的开口方向判断与0的关系，然后再根据对称轴判定与0的关系，得到；当时，；然后由图像确定当取何值时，． 【详解】 ∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1 ∴ ∴ ∴， 故②正确； ∵a≠0 ∴，故①正确； ∵与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间 结合题意，当时， ∴ 故③错误； ∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，且与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间 设点A坐标为 当时， 故⑤错误； 将代入a+b≥m（am+b） ∴ ∴ ∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下 ∴ ∴ ∵恒成立 ∴a+b≥m（am+b）成立，故④正确； 故答案为：① ② ④ 【点睛】 本题考查了二次函数、不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解． 33．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：① 当时，② 当时，建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； (3) 小问详解： 解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得： ， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ① 当时，， ∴， 解得：， ∴； ② 当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】 本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 34．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）将、代入化简，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）代入化简可得，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出，然后代入进行求解即可． (1) 小问详解： 解：当、时，二次函数可化为：， ∴此函数图象的对称轴为． (2) 小问详解： 解：当时，二次函数可化为：， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口方向向上， ∵在时，y随的增大而减小； ∴， ∵在时，随的增大而增大； ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：∵若点，，均在该函数的图象上， ∴， ， ∴ ； ； ∵， ∴，整理得： ∵，为两个不相等的实数， ∴， ∴，解得：． 35．【答案】（1）     （2）能，或     （3）点的坐标为，，，      【分析】 （1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就看得到对应的点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，当时，当时，然后分别解关于的方程，从而可得到满足条件的点坐标． (1) 小问详解： 解：将，代入， 得： ， 解得 ， 则抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：能． 将代入中， 得：， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴，， 当时，， 即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 当时，， 即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 综上所述，当点的坐标为或时，直线能否把分成面积之比为的两部分； (3) 小问详解： 解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵，， ∴，，， 当时，为直角三角形，， 即， 解得，此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得，此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得，，此时点的坐标为或； 综上所述，满足条件的点的坐标为，，，． 【点睛】 本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 36．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与区间最值问题，由抛物线解析式可得对称轴为直线，根据当时y随x的增大而减小，可知抛物线开口向下，即；再根据当时y的最大值为10，由于区间在对称轴左侧且开口向下，最大值在处取得，代入解析式求解方程，结合 确定m的值． 【详解】 解：将抛物线配方得，故对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小，说明抛物线开口向下，因此， 当时，由于对称轴，区间在对称轴左侧，且开口向下，y随x的增大而增大，最大值在处取得， 代入，得， 设， 即，解得或， ∵， ∴舍去，符合条件， 故答案为：． 37．【答案】（1）直线     （2）或     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，求对称轴，含字母的绝对值的问题，直接开平方法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合点，都在抛物线上，则对称轴为直线，即可作答． （2）先分析得函数的开口方向向上，离对称轴越近的自变量所对应的函数值越小，再求出，以及对称轴为，因为当自变量的值满足时，函数的最小值等于2，所以进行分类讨论，结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． （3）当时，则的开口方向向上，离对称轴越近的自变量所对应的函数值越小，根据点，在抛物线上．得对称轴为直线，又因为点，在抛物线上．且，得，再解出的取值范围，即可作答． (1) 小问详解： 解：点，在抛物线上，且当时， ∴点，都在抛物线上， 则抛物线的对称轴为直线， (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 此时函数的开口方向向上，离对称轴越近的自变量所对应的函数值越小， ∵点在抛物线上． ∴， ∴， 即， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当自变量的值满足时，函数的最小值等于2， ∴当时，即， 此时离对称轴近，离对称轴远， 则时，， 故把，代入， 得， 解得； ∴当时，即， 此时在对称轴处取得最小值， 故把，代入， 得， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴； ∴当时，即， 此时离对称轴远，离对称轴近， 则时，， 故把，代入， 得， 解得； ∵ ∴舍去， 综上：满足题意的b的值为或； (3) 小问详解： 解：当时，则的开口方向向上，离对称轴越近的自变量所对应的函数值越小， ∵点在抛物线上． ∴， ∴， ∴， ∵点，在抛物线上． ∴对称轴为直线 ∵点，在抛物线上．且， ∴，且 ∴，且 解得． 38．【答案】（1）     （2）①；②，      【分析】 （1）将，两点代入抛物线的解析式，解方程即可； （2）① 设直线交x轴于E，可推出为直角三角形，进而求得点坐标，从而求出的解析式，将其与抛物线的解析式联立，化为一元二次方程，从而求得结果； ② 可推出四边形是菱形，从而得出，分别表示出和，从而列出方程，进一步求得结果． (1) 小问详解： 解：由题意得， ， ∴ ， ∴抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：① 如图1， 设直线交x轴于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∴直线的解析式为：， 由得， ∴，（舍去）， 即点P的横坐标为； ② 如图2， 令， 解得，， ∴， 直线过、两点， 直线的解析式为：， 设点， 分以下两种情况： 点P在第三象限时，作轴于F， ∵点E与关于对称， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴为菱形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（舍去），， ∴； 当点P在第二象限时， 同理可得：， ∴（舍去），， ∴； 综上所述：点P的坐标为或． 【点睛】 本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量． 39．【答案】（1）或     （2）     （3）      【分析】 （1）根据函数图象点的坐标特征将点代入，然后求解即可； （2）根据，两点的纵坐标相同，可确定该抛物线的对称轴为直线，再利用二次函数的对称轴公式得，可得，继而得到，再根据二次函数的最值可得结论； （3）由（2）知：二次函数解析式为，对称轴为直线，且当时，取得最小值，当时，，然后分三种情况：当时；当时； 当时，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数图象经过点， ∴， ∴或， ∴的值为或； (2) 小问详解： ∵二次函数图象经过，两点，且这两点的对称轴相同， ∴对称轴为直线， 又∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为； (3) 小问详解： 由（2）知：，则二次函数解析式为，对称轴为直线， 当时，取得最小值，最小值为：， 当时，， ∵当时，的取值范围是，且， 当时，则，的取值范围是， ∴， ∴，矛盾； 当时，则， ∴， 当时，得：， 解得：或， ∴； 当时，的取值范围是，不符合题意； 综上所述，的取值范围是． 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的增减性等知识点，掌握二次函数的图象与性质、利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 40．【答案】（1），对称轴为直线     （2）     （3）或     （4）存在，点M的坐标为，，，      【分析】 （1）根据点A与点B的坐标将抛物线解析式设为交点式，再将点C的坐标代入抛物线解析式，求出未知参数，写出抛物线的解析式，再求对称轴即可． （2）根据抛物线解析式求出直线l的解析式，点A与点B关于直线l对称，连接交直线l于点P，此时的值最小，求出所在直线的解析式，求出直线BC与直线l的交点即可． （3）设，根据列方程求出，结合的顶点坐标为取，代入函数解析式求出x的值即可； （4）设点，分类讨论：①，②，③，分别用含m的式子表示出，再分别根据：①，②，③列方程求出m的值即可． (1) 小问详解： 设抛物线解析式为， 将点C坐标代入解析式得：， 解得， ， 抛物线对称轴为直线． (2) 小问详解： ∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点B，P，C共线时，的值最小． 设直线解析式为， 将点B的坐标代入直线解析式可得： ， ， ，        令， ． (3) 小问详解： ∵， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴或； (4) 小问详解： 存在，理由如下： 作垂直于直线l交直线l于点H，则， 设， 则， ， ， ①若，则， ， 解得：， ∴点M的坐标为； ②若，则， ， 解得： ， ∴点M的坐标为，； ③若，则， ，        解得：或6， 设直线解析式为， 将点A坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点M在直线上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去， ， 点M的坐标为． 综上，符合条件的点M的坐标为：，，， ． 【点睛】 本题为二次函数综合题，主要考查二次函数解析式的求解、轴对称以及等腰三角形的性质，本题关键在于：①设抛物线解析式为交点式求解更为快捷；②要求两线段之和最小，一般可以结合轴对称分析；③分类讨论，将两边长相等转化为两边长的平方相等求解更为简便，需要注意的是要对所求的m值验证，进行取舍． 41．【答案】（1）③     （2）；     （3）或      【分析】 （1）根据新定义判断即可． （2）根据对称轴，结合抛物线的顶点坐标，等边三角形的性质，确定点，代入解析式解答即可． （3）根据函数是“函数”，且过点，得出对称轴是直线，且，求出函数解析式， 得到对称轴是中线，且，确定函数解析式为，结合，分类讨论最大值和最小值，解答即可． (1) 小问详解： 解：是一次函数，随的增大而增大，故不存在两个不同的点关于直线（为任意实数）对称； 是反比例函数，分别在第一、三象限内，随的增大而减小，故不存在两个不同的点关于直线（为任意实数）对称； 是二次函数，关于直线对称，故是“函数”， 故答案为：③ ． (2) 小问详解： 解： 函数是“函数”， ∴函数图象上至少存在两个不同的点关于直线（轴）对称， ∴结合二次函数的对称性可知，其图象关于直线对称， ， 该函数的解析式为， ． 函数的图象与直线相交于，两点，如图，设直线与轴交于点． 设，． 该函数图象关于直线对称， ，， ， 是等边三角形， 点到的距离为， ，即． ， ． ， 解得，（舍去）． ； (3) 小问详解： 解：函数是“函数”，且过点， 对称轴是直线，且， 解得，， 函数解析式为， 当时，， 当时，． 抛物线开口向下， 距离对称轴越远的点的函数值越小，且当时，函数取得最大值，最大值为5， ， ① 当时，即，在对称轴的右边， ，， 根据题意，得， 解得； ② 当时，在对称轴的左侧， ，， 根据题意，得， 解得； 取和关于对称轴的中点，，， ③ 当时，，， ∴， 解得（舍去）． ④ 当时，，， ， 解得（舍去）． 综上所述，或函数的最大值与最小值的差为2． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、三角函数、解一元二次方程等，分类求解是解题的关键． 42．【答案】（1）（5，4）；（2）x=1；（3）或或． 【详解】 分析：（1）根据直线与轴、轴交于、．即可求出（，0），（0，4），根据点的平移即可求出点的坐标； （2）根据抛物线过（，），代入即可求得，根据抛物线的对称轴方程即可求出抛物线的对称轴； （3）分① 当抛物线过点时．② 当抛物线过点时．③ 当抛物线顶点在上时．三种情况进行讨论即可. 详解：（1）解：∵直线与轴、轴交于、． ∴（，0），（0，4） ∴（5，4） （2）解：抛物线过（，） ∴． ∴ ∴对称轴为． （3）解：① 当抛物线过点时． ，解得． ② 当抛物线过点时． ，解得． ③ 当抛物线顶点在上时． 此时顶点为（1，4） ∴，解得． ∴综上所述或或． 点睛：属于二次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题，注意分类讨论思想在解题中的应用. 43．【答案】（1）     （2）有最大值为，点坐标为     （3）      【分析】 （1）将，代入中，列出关于的二元一次方程组，求出的值即可； （2）设与交于点，过作轴的平行线与相交于点，由两点坐标可得所在直线表达式，求得点坐标，则，由，可得，，设，则，，根据二次函数性质求解即可． （3）设与轴交于点，根据轴可知，，，即，由此推断为等腰三角形，设，则，所以，由勾股定理得，解出点的坐标，用待定系数法确定出的函数解析式即可； (1) 小问详解： 由题意可得： 解得： ， ∴二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 如图所示： 设与交于点．过作轴的平行线与相交于点． 由两点坐标分别为， 可得表达式为 ∴点坐标为， 由，可得， 设，则， ∴当时，有最大值，此时点坐标为． (3) 小问详解： 如图所示： 设与y轴交于点E， ∵轴， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 解得， ， 设直线表达式为 解得 ∴直线的表达式为． 【点睛】 本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．C 2．A 3．D 4．B 5．【答案】 【分析】 本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据表格数据可得答案． 【详解】 解：由表格得：当时，， 当时，， 的近似根是，即他要选择的范围是之间． 故答案为：． 6．【答案】2或3个3或2个 【分析】 先令y=0，得出关于x的一元二次方程，由△＞0得方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有两个不同的交点，与y轴有一个交点． 【详解】 解：当k=0时， ∵抛物线y=2x2+2（k-1）x-k（k为常数）， ∴当y=0时，0=2x2+2（k-1）x-k， ∴△=[2（k-1）]2-4×2×（-k）=4k2+4＞0， ∴0=2x2+2（k-1）x-k有两个不相等的实数根， ∴抛物线y=2x2+2（k-1）x-k（k为常数）与x轴有两个交点， ∴抛物线y=2x2+2（k-1）x-k（k为常数）与y轴有一个交点， 所以，抛物线（为常数）与坐标轴交点有3个， 当k=0时，抛物线经过原点，只有2个交点， 故答案为：2或3． 【点睛】 本题考查抛物线与x、y轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 7．【答案】或0 【分析】 本题主要考查函数与x轴的交点问题，题目中没有说一定是二次函数，所有要进行分类讨论，分和讨论，注意二次函数要把交点问题转化为一元二次方程的判别式解决． 【详解】 解：① 当函数为二次函数时， ∵（a为常数）的图象与x轴只有一个交点， ∴， ∴， ② 当函数为一次函数时，， 此时与x轴只有一个交点． 综上所述，a的值为或0． 故答案为：或0． 8．【答案】3 【分析】 根据题意可知当图象顶点在点M时，点A的横坐标的最小值为，然后利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，然后由题意可知当图象顶点在N点时，点B的横坐标最大，从而写出此时抛物线的解析式，即可求出结论． 【详解】 当图象顶点在时，点A的横坐标的最小值为， 则可设此时抛物线的解析式为：， 将点A的坐标代入得：，解得． 当图像顶点在时，点B的横坐标最大，此时抛物线的解析式为：， 令，则，解得， 即点B横坐标的最大值为3． 故答案为：3． 【点睛】 此题考查的是二次函数的图象及性质和求抛物线的解析式，解题关键是当图象顶点在点M时，点A的横坐标最大；当图象顶点在点N时，点B的横坐标最大． 9．【答案】10 【分析】 本题考查已知函数值求自变量的值，解一元二次方程．把代入关系式，得到关于的一元二次方程，解方程并取正值解即可． 【详解】 解：当时，， 解得，（不合题意，舍去）． 故这辆汽车行驶需要的时间是． 故答案为：10． 10．【答案】 【分析】 根据表中点的坐标得出函数的对称轴，设二次函数的表达式是，把点的坐标代入求出该二次函数的表达式是；再画出图象，即可利用图象法求解． 【详解】 解：根据表中可知：点和点关于对称轴对称， 即对称轴是直线， 设二次函数的表达式是， 把点和点代入得： ， 解得：，， ， 所以该二次函数的表达式是； 函数图象如图所示， 由图象可得∶当时， ， 故答案为∶ ． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出二次函数的解析式是解此题的关键． 11．【答案】（1）     （2）或；；     （3） 函数图象如下：      （4）      【分析】 （1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式； （2）将二次函数解析式化为交点式得抛物线与轴交点坐标，把代入解析式得抛物线与轴的交点，按 “上加下减常数项，左加右减自变量” 的规律平移即可得出所求函数的解析式； （3）利用描点法画出二次函数图象； （4）利用二次函数的图象求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 由二次函数知，抛物线与轴的交点为或；当时，，故抛物线与轴的交点为，平移后的解析式为； (3) 小问详解： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， (4) 小问详解： 观察函数图象知，当时，的取值范围是：． 【点睛】 本题考查了二次函数顶点式，画二次函数的图象，二次函数图像的平移，利用函数图像求取值范围，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 12．【答案】（1），二次函数的对称轴为直线     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出的值以及二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得出对称轴； （2）由平移的性质可得平移后的二次函数的解析式为，再由题意可得，计算即可得解． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式， ∵， ∴二次函数的对称轴为直线； (2) 小问详解： 解；把该函数图象向上平移个单位长度后得到的二次函数的解析式为， ∵平移后的解析式与轴恰好只有一个交点， ∴， 解得：． 13．【答案】（1）点的坐标是，点的坐标是；     （2）；     （3）当点的坐标是，的面积有最大值，最大值是．      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与几何的综合． 解方程，即可求出抛物线与轴交点的坐标； 分别求出点、、的坐标，根据点的坐标可得、，根据三角形的面积公式求解即可； 过点作轴，交于点，利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标是，根据，可得，根据二次函数的性质求出点的坐标和面积的最大值． (1) 小问详解： 解：解方程， 可得：，， 点在点的左侧， 点的坐标是，点的坐标是； (2) 小问详解： 解：当时， 可得：， 点的坐标是， ， 点的坐标是，点的坐标是， ， ； (3) 小问详解： 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式是， 把点和点代入， 可得： ， 解得： ， 直线的解析式是， 设点的坐标是，则点的坐标是， ， ， ， 整理得：， 当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 点的坐标是， 当点的坐标是，的面积有最大值，最大值是． 考点06 实际问题与二次函数 1．B 2．D 3．D 4．A 5．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设二次函数的解析式为，再将点代入可得的值，然后将代入二次函数的解析式，由此即可得． 【详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设二次函数的解析式为， 将点代入得：， 解得， 则二次函数的解析式为， 将代入得：， 即， 所以大棚与墙的交点到原点的距离为， 故答案为：． 6．【答案】（1）     （2）当为米，围成的菜地面积最大．      【分析】 本题考查了列代数式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米，进行列式化简，即可作答． （2）结合长方形的面积等于长乘宽，则，再根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米， ∴（米） (2) 小问详解： 解：设围成的菜地面积为， 依题意， ， ∵， ∴在时， 此时（米），取得最大值，且为平方米， ∴当为米，围成的菜地面积最大． 7．【答案】（1）y＝－5x＋2200；300≤x≤350     （2）售价定为320元/台时，可获得最大利润为72000元．      【分析】 （1）根据题中条件可得y＝－5x＋2200，若销售价每降低10元，月销售量就可多售出50千克，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值． （2）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w. (1) 小问详解： 依题意得： y＝200＋50×． 化简得：y＝－5x＋2200． 依题意有： ∵ ， 解得300≤x≤350． (2) 小问详解： 由(1)得：w＝(－5x＋2200)(x－200) ＝－5x2＋3200x－440000 ＝－5(x－320)2＋72000． ∵x＝320在300≤x≤350内， ∴当x＝320时，w最大为72000． 即售价定为320元/台时，可获得最大利润为72000元． 【点睛】 本题考查了利润率问题的数量关系的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 8．【答案】（1）每件产品的成本为30元；     （2）或时有最大利润，每天的利润最大．      【分析】 本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． （1）设B原料单价为m元，则A原料单价为元，由题意列出方程，求解即可得出答案； （2）设产品的销售单价为x元，利润为，则，根据二次函数的性质即可得出答案． (1) 小问详解： 解：设B原料单价为m元，则A原料单价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴， ∴每件产品的成本为（元）； (2) 小问详解： 解：设产品的销售单价为x元，利润为， ∴ ，                                                   ∵， ∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为， ∵取整数， ∴或时有最大利润． 9．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面上升了多少． 【详解】 解：以拱桥的最高点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设抛物线的解析式为， 由题意，点在抛物线上，代入解析式，得，解得， ∴； 当水面宽度减少1米时，此时水面宽度变为米； ∴当时，， ∴水面上升了米； 故答案为：． 10．【答案】（1）与的函数解析式为；     （2）销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．      【分析】 本题主要考查了一次函数，二次函数在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）依据题意，运用待定系数法求解即可； （）依据题意，根据与的函数解析式为，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． (1) 小问详解： 解：设该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， 由图可得： ，解得： ， ∴该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， ∵销售单价不低于成本价，且不高于元销售， ∴， ∴每天的销售利润为， ∴与的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：由（）得与的函数解析式为， ∴， ∵，， ∴当时，每天获得的利润最大，最大利润是元， 答：销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 11．【答案】（1）     （2）故这根材料的长度够用      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）求出A点坐标，代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出的纵坐标，进而求出的长，进行判断即可． (1) 小问详解： 解：设抛物线的表达式为：， 由条件可得， ∴， 由条件可得：， ， ； (2) 小问详解： 解：， ∴，关于y轴对称， 当时，， , ， 故这根材料的长度够用． 12．【答案】（1）     （2） 解：中间隔离带，货车宽， 货车右侧到轴的距离为， 把代入得 ， ， 货车能安全通过．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意建立二次函数模型并利用其性质求解． （1）根据抛物线的顶点坐标设出顶点式，再代入已知点坐标求出表达式； （2）根据货车的宽度和隔离带宽度确定横坐标，代入抛物线表达式求出纵坐标，与货车高度比较判断能否通过． (1) 小问详解： 解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为 设抛物线的表达式为， 把代入表达式得， 即， ， 解得， 抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 略 13．【答案】（1）     （2）     （3）销售单价为100元，最大利润为1600元      【分析】 本题目是一道二次函数的综合题目，第一问求一次函数的表达式，通常用待定系数法求解；第二问构造利润的二次函数；第三问较简单，通过列不等式确定自变量的取值范围，求最值，解题的关键是读懂题意，正确列出函数表达式． （1）用待定系数法求一次函数的表达式，设y=kx+b，用两组数据代入，得二元一次方程组，求解即可； （2）根据利润等于单位数量的利润乘以销售量，即可得出函数解析式； （3）根据题意列出不等式组，确定，再由（2）中二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：由该种绿茶的销售量y(千克)与销售单价x(元)满足一次函数关系，设， ∵时，；时，， 得 ， 解得 ， ∴y与x的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：该种绿茶的销售利润为（元）， 则． 即利润（元）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式为； (3) 小问详解： 解：根据题意得： ， 解得：， 由（2）得：， 二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，w取得最大值为， 即销售单价为100元，最大利润为1600元． 14．【答案】（1）     （2）该男生在此项考试不能得满分， 理由如下， 根据题意，令，且， ∴，解方程得，，（舍去）， ∵， ∴不能得满分．      【分析】 本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键． （1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解； （2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意设关于的函数表达式为， 把代入解析式得，，解得，， ∴关于的函数表达式为，即：； (2) 小问详解： 略 15．【答案】（1）     （2）     （3）当这种糖果每千克的售价是元时，每天获得的总利润最大，最大总利润是元      【分析】 （1）根据给定数据，利用待定系数法，即可求出与之间的函数关系式； （2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． (1) 小问详解： 解：观察给定数据，可知：与之间满足一次函数关系， 设与之间的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得： ， ∴与之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这种糖果每千克的售价是元； (3) 小问详解： 根据题意得：， 即， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为：， ∴当这种糖果每千克的售价是元时，每天获得的总利润最大，最大总利润是元． 【点睛】 本题考查一次函数的应用、二次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据给定的数据，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，找出随的函数关系式． 16．【答案】（1）     （2）降价10元时，书店可获得最大利润，最大利润为800元      【分析】 本题考查了求二次函数解析式，二次函数求最值，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据总利润=每套利润×数量，即可得到y关于x的函数表达式； （2）将二次函数配方后求最值即可． (1) 小问详解： 解：设书店一天可获利润y元，每套书降价x元时， 则， ∴． (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴当时，y有最大值为800， 即当每套书降价10元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为800元． 17．【答案】（1）     （2）的长为     （3）当的长是米时，围成的花圃的面积最大是      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是正确列出函数解析式． （1）根据矩形的面积即可写出函数关系式； （2）根据（1）中所得函数关系式当S为45时，列出一元二次方程即可求出的长； （3）根据（1）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积． (1) 小问详解： 解：根据题意，得， ， ． 答：S与x的函数关系式为； (2) 小问详解： 根据题意，当时，， 整理，得， 解得， 当时，不成立， 当时，成立． 答：的长为； (3) 小问详解： ，对称轴是直线，开口向下， 当时，花圃的面积最大，最大面积是． 答：当的长是米时，围成的花圃的面积最大是． 18．【答案】（1）     （2），销售单价定为87元时，商店可获得最大利润，最大利润是891元      【分析】 本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据利润=（售价－成本）×销售量列出函数关系式，并配方成顶点式即可得解． (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数关系式为， 则 ， 解这个方程得： ， ， (2) 小问详解： 由题意可得：， 即， ， 成本为每个60元的排球，规定试销期间每个排球获利不低于，即售价不低于：（元），且获利不得高于，即售价不高于（元）， ， ，且二次项系数， 当时，W随x的增大而增大， 时，W有最大值，其最大值， 所以当销售单价定为87元时，商店可获得最大利润，最大利润是891元． 19．【答案】（1）窗户框架的宽为； （2）该窗户框架的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 【分析】 此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值． （1）依据题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，由“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，则，结合长宽之比为，可得，再将代入得，进而计算可以得解； （2）依据题意，设窗户框架的长为，则宽为，则，即，从而要使窗户框架的面积最大，则，进而可以判断得解． 【详解】 解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为， ∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为， ∴． ∵长宽之比为， ∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：． 将代入得，． ∴． 答：窗户框架的宽为． （2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为， ∴，即， ∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为． ∴当时，最大值为． ∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 20．【答案】厘米 【分析】 本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以为原点，点所在直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，把直线向下平移个单位可得：， 当与抛物线有1个交点时，两直线之间的距离为最大深度，记平移后的直线与轴交于点，过作平移后的直线于，再利用勾股定理即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图，以为原点，点所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，记与轴的交点为， 则点的坐标为，则抛物线的表达式为， ∵碗口宽，此时面汤最大深度， ∴， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴旋转前与水平方向夹角为， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 把直线向下平移个单位可得：， 当与抛物线有1个交点时，两直线之间的距离为最大深度， ∴，即， ∴， 解得：， ∴平移后的直线为：， 如图，记平移后的直线与轴交于点，过作平移后的直线于， 同理可得：，， ∴，， ∴碗中液体最大深度为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·山东威海·期中）下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（   ） A.  B.  C. （其中m是常数） D. （其中a是常数） 2．（25-26学年九上·山东淄博高新区·期中）下列关于的函数中，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·山东威海·期中）二次函数的图象一定经过的点是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）如图，分别过点作轴的垂线，交的图像于点，交直线于点，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·山东济宁·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（       ）. A. ； B. ； C. ； D. . 2．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山东威海秋城里中学·期中）已知抛物线，将抛物线平移得到抛物线，如果两条抛物线，关于直线对称，那么下列说法正确的是(     ) A. 将抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线 B. 将抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线 C. 将抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线 D. 将抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线 4．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）已知抛物线为常数，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·山东威海·期中）将抛物线向上平移2个单位，向左平移2个单位得到新抛物线的解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·山东淄博博山区第六中学·期中）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）对于抛物线，下列的说法错误的是（　　） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 当时，y随x的减小而增大 D. 当时，y随x的增大而增大 9．（25-26学年九上·山东威海秋城里中学·期中）设A（－2，），B（1，），C（2，）是抛物线上的三点，则，，的大小关系　　　　　　　（用<符号连接） 10．（25-26学年九上·山东济宁·期中）点是二次函数 图象上的两个点，则　　　　　　 (填“”，“”或“”)． 11．（25-26学年九上·山东济宁·期中）如图，抛物线y=ax2+1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于点B、C，则线段BC的长为　　　． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·山东济宁·期中）抛物线的对称轴是（    ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 2．（25-26学年九上·山东威海秋城里中学·期中）在直角坐标系中，抛物线上部分点的横、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 2.5 3 4 … … 0 … 则下列结论中正确的是（       ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 当时，随的增大而减小 D. 抛物线必经过点 3．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山东淄博博山区第一中学·期中）在同一平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，得到新图象的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·山东淄博高新区·期中）在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·山东淄博博山区第六中学·期中）如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线分别交两条抛物线于两点，且分别为顶点．则下列结论①；②；③是等腰直角三角形；④当时，其中正确的结论是（       ） A. ①③④ B. ①③ C. ①②④ D. ② 7．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（       ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9．（25-26学年九上·山东济宁·期中）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是．其中所有正确结论的序号是（     ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 10．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）已知二次函数的图象如图所示，则（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·山东东营实验中学·期中）如图是抛物线的图象，则下列结论不正确的是（     ） A.  B.  C.  D. （的实数） 12．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）对于函数，下列说法正确的是（       ） ①图象关于y轴对称； ②有最小值； ③当方程有两个不相等的实数根时，； ④直线与的图象有三个交点时， A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 13．（25-26学年九上·山东淄博高新区·期中）点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）若二次函数的图象经过点，则c的值是　　　　　　． 15．（25-26学年九上·山东威海·期中）抛物线与轴交于点，过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为，则此抛物线的解析式为　　　　　　． 16．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　． 17．（25-26学年九上·山东济宁·期中）一个二次函数的图象开口向下，经过点，那么这个二次函数的表达式可以是　　　　　．（写出一个即可） 18．（25-26学年九上·山东淄博高新区·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 则当时，x的取值范围是　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·山东淄博博山区第六中学·期中）函数 中自变量x的取值范围是　　　　　． 20．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）二次函数的部分对应值如表所示，若时，则的取值范围是　　　　　　　． x … 0 1 3 5 … y … 7 … 21．（25-26学年九上·山东威海秋城里中学·期中）将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是　　　　　． 22．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）如图，已知抛物线与的形状相同，顶点分别为和，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·山东威海·期中）综合与实践． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 24．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）已知关于x的二次函数 （1）若时，求该函数的解析式； （2）当时，该函数的最大值与最小值的差为18，求a的值； （3）若是该函数图象上的两点，且对于都有，求a的取值范围． 25．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·山东济宁·期中）已知二次函数． （1）求该函数的最大值； （2）当时，求的取值范围． 27．（25-26学年九上·山东济宁·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接．连接，当的面积为10时，求点的横坐标； （3）若为抛物线对称轴上一动点，使得以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标． 28．（25-26学年九上·山东淄博高新区·期中）函数中，自变量的取值范围是　　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·山东淄博博山区第六中学·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的序号有　　　　　　． 30．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 31．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出，，三点的坐标； （2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 32．（25-26学年九上·山东威海秋城里中学·期中）如图是二次函数，，是常数，图像的一部分，与轴的交点在和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④为实数）；⑤当时，．其中正确的是　　．（填序号） 33．（25-26学年九上·山东威海秋城里中学·期中）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 34．（25-26学年九上·山东威海秋城里中学·期中）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． （1）当、时，求此函数图象的对称轴； （2）当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； （3）若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 35．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． （3）若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 36．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）已知抛物线（m为常数，且），当时，y随x的增大而减小，当时，y的最大值为10，则m的值是　　　　　　． 37．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）当时，求抛物线的对称轴； （2）若，当自变量的值满足时，函数的最小值等于2，求b的值； （3）当时，点，在抛物线上．若，请直接写出的取值范围． 38．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）已知抛物线与x轴交于点点B两点，与y轴交于点， （1）求此抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接； ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的横坐标； ②如图2，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，直接写出点P的坐标． 39．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）已知二次函数． （1）若函数图象经过点，求的值； （2）若该二次函数图象经过，两点，求的最小值； （3）在第（2）问的条件下，当时，的取值范围是，且，求的取值范围． 40．（25-26学年九上·山东淄博博山区第一中学·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式及其对称轴． （2）设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． （3）在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． （4）在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 41．（25-26学年九上·山东淄博高新区·期中）定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在两个不同的点关于直线（为任意实数）对称，则称该函数为“函数” （1）下列函数：①；②；③．其中是“函数”的是________（填序号）． （2）若关于的函数是“函数”，且图象与直线相交于，两点（点在点的左侧），函数图象的顶点为点，当时，求，的值． （3）若关于的函数是“函数”，且过点，当时，函数的最大值与最小值的差为2，求的值． 42．（25-26学年九上·山东淄博博山区第六中学·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 43．（25-26学年九上·山东东营实验中学·期中）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接，交于点，过点作轴于点． （1）求二次函数的表达式； （2）判断：是否有最大值？如有请求出最大值及此时点的坐标，如没有请说明理由； （3）连接，当时，求直线的表达式． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（     ） 20 22.5 25 26.25 27.5 28.78 30 0 31.25 75 101.5625 131.25 164.0625 200 A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）抛物线经过，，三点，且该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山东威海秋城里中学·期中）二次函数的图象如图所示，若有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山东淄博博山区第一中学·期中）抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5．（25-26学年九上·山东威海·期中）下列表格是小江对方程的一个解进行近似计算所列的表格，若小江要进一步精确估算，则他要选择的范围是　　　　　　　　　　　　　　之间． 0 0.5 1 1.5 2 10 5.625 1.75 6．（25-26学年九上·山东淄博博山区第六中学·期中）抛物线（为常数）与坐标轴交点的个数是　　　　　　． 7．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）若函数（为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么那么的值是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，一条形状一定的抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段上移动．若点M、N的坐标分别为，点A的横坐标的最小值为，则点B横坐标的最大值为　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·山东青岛·期中）某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，那么这辆汽车行驶需要的时间是　　　　　　　s． 10．（25-26学年九上·山东淄博博山区第一中学·期中）若二次函数（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 2 1 0 1 2 … y … 0 2 2 0 4 … 则当 时，y的取值范围为 　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·山东淄博高新区·期中）已知二次函数． （1）用配方法将二次函数的表达式化为的形式； （2）抛物线与轴的交点为：__________，与轴的交点为：__________，将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的函数表达式为__________． （3）在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （4）当时，结合图象求的取值范围． 12．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）已知二次函数的图象经过点． （1）求的值和二次函数的对称轴． （2）若把该函数图象向上平移个单位长度后与轴恰好只有一个交点，求的值． 13．（25-26学年九上·山东淄博博山区第一中学·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点． （1）求点、点的坐标； （2）求的面积； （3）为第二象限抛物线上的一个动点，当的坐标是什么时，面积有最大值，是多少？ 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）如图，质量为的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（    ） A. 小球从刚接触弹簧就开始减速 B. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C. 当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D. 当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 3．（25-26学年九上·山东淄博博山区第六中学·期中）如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）如图，在矩形中，，，与交于点O，M是的中点．P，Q两点分别沿着和方向从点B，点M同时出发，且都以的速度运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积随时间变化的图象最接近的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）如图，某蔬菜大棚的截面图可以近似看成二次函数的图象抛物线，其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为　　　　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·山东济宁·期中）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） （1）设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，围成的菜地面积最大？ 7．（25-26学年九上·山东威海秋城里中学·期中）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，共进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务， （1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式，并求出售价x的范围： （2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ 8．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）在“乡村振兴”行动中，某企业用A，B两种农作物为主要原料开发了一款有机产品，A原料的单价是B的倍，用相同资金9000元收购A原料比B原料少．生产1件产品需A原料和B原料，每件还需其他成本9元．市场调查发现：产品每件售价是60元时，每天可销售500件；每降价1元，每天多销售20件． （1）求每件产品的成本； （2）设产品的销售单价为x元（整数元），当x为多少元，每天的利润最大． 9．（25-26学年九上·山东威海·期中）如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水面宽度减少1米时，水位上升　　　　　　　　　　米． 10．（25-26学年九上·山东威海·期中）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． （1）请求出与的函数解析式； （2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 11．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1.去学校档案馆查阅框架结构的图纸；2.准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下：1.大门形状为矩形（矩形）；2.底部跨度（的长）为10m；3.立柱的长为2m，且，垂足为，． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．借助二次函数的相关知识，来解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）现有一根长度为2m的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 12．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如图所示的坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）该隧道内设双行道，中间隔离带，一辆货车高，宽，能否安全通过，为什么？ 13．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）某超市经销一种绿茶，每千克成本为60元，经过市场调查发现，在一段时间内，该种绿茶的销售量（千克）与销售单价（元）满足一次函数关系，其变化如下表所示： 销售单价（元） 65 70 75 80 销售量（千克） 110 100 90 80 （1）求与的函数解析式； （2）求利润（元）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式； （3）若绿茶的销售单价不超过120元，且进货成本不超过2400元，要想获得最大利润，试求此时这种绿茶的销售单价，并求出最大利润． 14．（25-26学年九上·山东济宁·期中）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 15．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）某糖果经销商销售某种糖果，成本为每千克元，规定糖果每千克的售价不低于成本，且不高于元试销期间发现该糖果每天的销售量（千克）与每千克的售价（元）之间的函数关系如下表： x/元 y/千克 （1）求与之间的函数关系式． （2）当每天获得的总利润是元时，这种糖果每千克的售价是多少元？ （3）设每天获得的总利润是（元）．当这种糖果每千克的售价是多少元时，每天获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 16．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． （1）求y关于x的函数表达式． （2）当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润为多少元？ 17．（25-26学年九上·山东淄博博山区第一中学·期中）如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？ （3）当的长是多少米时，围成的花圃的面积最大是多少？ 18．（25-26学年九上·山东淄博博山区第六中学·期中）某体育用品商店试销一款成本为60元的排球，规定试销期间每个排球获利不低于，且获利不得高于．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）试确定y与x之间的函数关系式； （2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润W元，试写出利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？ 19．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 20．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液体最大深度为　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·山东威海·期中）下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（   ） A.  B.  C. （其中m是常数） D. （其中a是常数） 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：A、，为一次函数，故此选项不符合题意； B、，为二次函数，故此选项符合题意； C、，为一次函数，故此选项不符合题意； D、，当时，，此时不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26学年九上·山东淄博高新区·期中）下列关于的函数中，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的定义，掌握定义是解决问题的关键．根据二次函数定义进行分析即可． 【详解】 解：A、是二次函数，故此选项符合题意； B、中x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、中x的次数为，故此选项不符合题意； D、，x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·山东威海·期中）二次函数的图象一定经过的点是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 通过将每个点的坐标代入函数，计算对应的值，并与点的坐标比较，即可判断点是否在函数图象上． 【详解】 选项中， 时，，则点不在图象上； 选项中，时，，则点不在图象上； 选项中，时，，与点的纵坐标相等，则点在函数的图象上； 选项中，时，，则点不在图象上。 因此，一定经过的点是． 故选． 2．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）如图，分别过点作轴的垂线，交的图像于点，交直线于点，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键． 根据的纵坐标与纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】 解：根据题意得：， ∴， ∴ ． 故选：B． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·山东济宁·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（       ）. A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】B 【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式. 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键. 2．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．                                  抛物线方程为顶点形式，直接读取顶点坐标． 【详解】 解：∵是顶点形式， ∴顶点坐标为， 故选：B． 3．（25-26学年九上·山东威海秋城里中学·期中）已知抛物线，将抛物线平移得到抛物线，如果两条抛物线，关于直线对称，那么下列说法正确的是(     ) A. 将抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线 B. 将抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线 C. 将抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线 D. 将抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移．通过求抛物线的对称轴，并利用关于对称的性质，确定的对称轴，从而得出平移距离． 【详解】 解：∵抛物线：， ∴对称轴为． ∵与关于直线对称， ∴的对称轴为． ∴需将向右平移个单位． 故选：B． 4．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）已知抛物线为常数，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质．先根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线，然后结合二次函数的性质和A点、B点和C点离对称轴的远近进行判断． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以到直线的距离为5，到直线的距离为1，到直线的距离为2， 所以． 故选：C． 5．（25-26学年九上·山东威海·期中）将抛物线向上平移2个单位，向左平移2个单位得到新抛物线的解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，遵循“左加右减，上加下减”的规则． 根据二次函数图象的平移法则求解即可． 【详解】 将抛物线向上平移2个单位长度，向左平移2个单位长度， 得到新抛物线的解析式是：，即． 故选：A． 6．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】 解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为 故选D． 【点睛】 本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 7．（25-26学年九上·山东淄博博山区第六中学·期中）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的平移，根据二次函数图象平移规则，“左加右减，上加下减”，直接计算平移后的解析式即可． 【详解】 解：∵抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， ∴平移后解析式为， 故选：A． 8．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）对于抛物线，下列的说法错误的是（　　） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 当时，y随x的减小而增大 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】 根据二次函数解析式可得抛物线开口方向，抛物线与轴交点个数及二次函数的最值，从而判断A，B，D选项，把代入函数解析式可判断C选项． 【详解】 解：， 抛物线开口向上，顶点坐标为，抛物线与轴有2个交点，时随增大而增大，当时有最小值为， 选项A，B，D正确， 时，随的减小而增大， 选项C错误． 故选：C． 【点睛】 本题考查二次函数的图象性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，二次函数的增减性，顶点坐标． 9．（25-26学年九上·山东威海秋城里中学·期中）设A（－2，），B（1，），C（2，）是抛物线上的三点，则，，的大小关系　　　　　　　（用<符号连接） 【答案】 【分析】 先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=-1，然后比较三个点离直线x=-1的远近得到、、的大小关系． 【详解】 解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线x=-1， 由A（-2，）、B（1，）、C（2，）可知点C离直线x=-1最远，点A离直线x=-1最近， 抛物线开口向下， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．对于二次函数 (a，h，k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是(h，k)，对称轴为直线x=h． 10．（25-26学年九上·山东济宁·期中）点是二次函数 图象上的两个点，则　　　　　　 (填“”，“”或“”)． 【答案】 【分析】 本题考查比较二次函数的函数值大小，将点的坐标代入函数解析式，求出，进行判断即可． 【详解】 解：当时，； 当时，； ∴； 故答案为：． 11．（25-26学年九上·山东济宁·期中）如图，抛物线y=ax2+1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于点B、C，则线段BC的长为　　　． 【答案】1 【分析】先由y轴上点的横坐标为0求出A点坐标为（0，1），再将y=1代入y=4x2，求出x的值，得出B、C两点的坐标，进而求出BC的长度． 【详解】∵抛物线y=ax2+1与y轴交于点A， ∴A点坐标为（0，1）． 当y=1时，4x2=1， 解得x=±， ∴B点坐标为（﹣，1），C点坐标为（，1）， ∴BC=﹣（﹣）=1， 故答案为1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，两函数交点坐标的求法以及平行于x轴上的两点之间的距离的知识，解答本题的关键是求出点A的坐标，此题难度不大． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·山东济宁·期中）抛物线的对称轴是（    ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可求解． 【详解】 解：∵ 抛物线方程为 ，其中 , ， ∴ 对称轴为 ， 故对称轴是直线 ， 故选：D． 2．（25-26学年九上·山东威海秋城里中学·期中）在直角坐标系中，抛物线上部分点的横、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 2.5 3 4 … … 0 … 则下列结论中正确的是（       ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 当时，随的增大而减小 D. 抛物线必经过点 【答案】D 【分析】 首先根据表格判定出二次函数的对称轴，然后判断出增减性，进而逐项判断求解即可． 【详解】 由表格可得， 当时，，当时，， ∴对称轴为， ∴由表格可得，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴开口向上，故A选项错误； ∵对称轴为， ∴顶点坐标的横坐标为2，故B选项错误； ∴当时，随的增大而增大，故C选项错误； ∵对称轴为，， ∴点和点关于对称轴对称， ∴抛物线必经过点，故D选项正确． 故选：D． 【点睛】 主要考查了二次函数的性质．根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴及确定函数的增减性是解题关键． 3．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数与一次函数图象的综合，熟练掌握二次函数与一次函数的图象特征是解题关键．先根据抛物线的开口向上可得，再根据对称轴可得，然后根据一次函数的图象特征即可得． 【详解】 解：∵二次函数图象的开口向上， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 4．（25-26学年九上·山东淄博博山区第一中学·期中）在同一平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，得到新图象的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先将二次函数一般式改为顶点式确定顶点坐标，再利用点平移的坐标规律求解即可． 【详解】 二次函数改为顶点式为：． ∴该二次函数的顶点为， ∴把点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的对应点为，即． 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数图象与几何变换，熟练掌握点平移的坐标规律是解答本题的关键． 5．（25-26学年九上·山东淄博高新区·期中）在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 通过计算每个二次函数的对称轴，判断哪个对称轴为直线，二次函数对称轴公式为或通过顶点式确定． 【详解】 解：A、， ∴对称轴． B、， ∴对称轴． C、，为顶点式， ∴对称轴． D、 ， ∴， ∴对称轴． 或由根和，对称轴． 故选D． 6．（25-26学年九上·山东淄博博山区第六中学·期中）如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线分别交两条抛物线于两点，且分别为顶点．则下列结论①；②；③是等腰直角三角形；④当时，其中正确的结论是（       ） A. ①③④ B. ①③ C. ①②④ D. ② 【答案】B 【分析】 把点A坐标代入，求出a的值，即可判断① ；得到函数解析式，将y2=3代入，求出C的横坐标，然后求出点E的坐标即可求出AC和AE，从而判断② ；将y1=3代入，求出点B的坐标然后求出BD、AD的长，利用勾股定理的逆定理即可判断③ ；求出两个二次函数图象另一个交点坐标，结合图象即可判断④ ． 【详解】 解：抛物线与y2=a（x-4）2-3交于点A（1，3）， ∴3=a（1-4）2-3， 解得：a=，故① 正确； 将y2=3代入中，得 解得：x1=1（符合点A的横坐标），x2=7， ∴点C的坐标为（7，0） ∴AC=7－1=6 ∵E是抛物线的顶点， ∴E（4，-3）， ∴AE=， ∴AC≠AE，故② 错误； 将y1=3代入， 解得：x1=1，x2=-3， ∴B（-3，3）， 则AB=4， ∵点D是抛物线的顶点 ∴D（-1，1）， ∴AD=，BD=， ∴在△ABD中，AD2+BD2=AB2，AD=BD ∴△ABD是等腰直角三角形，故③ 正确； ∵联立 ， 解得： 或 ∴两个抛物线的交点为（1,3）和（37,723） 由图象可知：当1＜x＜37时，y1＞y2，故④ 错误． 故选B． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值和二次函数的图象及性质． 7．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【分析】 由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：① ∵对称轴在y轴的右侧， ∴ab＜0， 由图象可知：c＞0， ∴abc＜0， 故① 不正确； ② ∵， ∴b=-2a， ∴2a+b=0， 故② 不正确； ③ 由对称知，当x=3时，函数值小于0，即y=9a+3b+c＜0， 故③ 不正确； ④ ∵当x=-1时，函数值小于0，即a-b+c＜0， 又∵b=-2a， ∴a+2a+c＜0， ∴3a＜-c，即c＜-3a， 故④ 正确； ⑤ 当x=1时，y=a+b+c值最大． ∴a+b+c≥am2+bm+c， 故a+b≥am2+bm，即a+b≥m（am+b）， 故⑤ 正确． 综上，④ ⑤ 正确． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 8．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（       ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故① 错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故② 正确；根据抛物线的图象可知二次函数与直线有两个不同的交点，推得关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③ 错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④ 正确． 【详解】 ① ∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 由图象可得时，， 即， 而， ∴．故① 错误； ② ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线． 故当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵，， 即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 故，故② 正确； ③ 由图象可知：二次函数与直线有两个不同的交点， 即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③ 错误； ④ ∵函数图象经过，对称轴为直线， ∴二次函数必然经过点， ∴时，的取值范围，故④ 正确； 综上，② ④ 正确， 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．（25-26学年九上·山东济宁·期中）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是．其中所有正确结论的序号是（     ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向以及抛物线与y轴的交点可得，由题意知，抛物线的对称轴为直线，可得，进而可得，即可判断① ③ ，根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为，将代入，得，即可判断② ，根据抛物线的对称性可得此抛物线经过点，即抛物线与直线的交点的横坐标分别为和6，可得不等式的解集，即可判断④ ． 【详解】 解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故① 正确，符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴时，，即，故② 正确，满足题意； ∵， ∴，故③ 正确，满足题意； ∵此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线， ∴此抛物线经过点， ∴抛物线与直线的交点的横坐标分别为和6， ∴不等式的解集是，即不等式的解集是，故④ 正确，满足题意． 故正确结论的序号是① ② ③ ④ ， 故选：D． 10．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）已知二次函数的图象如图所示，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】 解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 11．（25-26学年九上·山东东营实验中学·期中）如图是抛物线的图象，则下列结论不正确的是（     ） A.  B.  C.  D. （的实数） 【答案】D 【分析】 本题考查抛物线的图象与系数的关系，涉及知识点：抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点对应的系数符号，函数的增减性．解题方法是根据抛物线开口方向、对称轴位置、特殊点函数值分析各选项；解题关键是结合图象特征翻译为系数关系，易错点是混淆函数的最值与增减性．解题思路：先由图象得的符号，再分析各选项对应的系数或函数值关系． 【详解】 由图象可知：抛物线开口向下（），对称轴在y轴右侧（，故），与y轴交于正半轴（）． A：，乘积为负，A正确，不符合题意； B：当时，（图象中对应点在轴上方），B正确，不符合题意； C：当时，，结合对称轴，推导得，C正确，不符合题意； D：时函数取最大值，故，即，D结论错误，符合题意． 12．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）对于函数，下列说法正确的是（       ） ①图象关于y轴对称； ②有最小值； ③当方程有两个不相等的实数根时，； ④直线与的图象有三个交点时， A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【分析】 本题考查含绝对值的二次函数的性质，包括对称性、最值、方程根与函数图象交点的关系．通过分段讨论去掉绝对值，结合图象，转化为二次函数问题求解． 【详解】 解：① ∵， ∴的图象关于y轴对称，故① 正确； ② ∵当时，，最小值为， 当时，，最小值为， ∴函数有最小值，故② 正确； ③ 方程有两个不相等的实数根时，直线与函数图象有两个交点， 由图象知，当时，方程有两个不相等的根，但， ∴不成立，故③ 错误； ④ 当，， 当，， 图象如下： 当时，与图象有三个交点， 当与有一个交点时，与有两个交点时， ， 整理得， ， 解得， 有三个交点， 故④ 正确， 综上所述，① ② ④ 正确， 故选：C． 13．（25-26学年九上·山东淄博高新区·期中）点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 通过计算各点对应的函数值，直接比较大小即可． 【详解】 解：由函数，分别计算各点的纵坐标： 当时，， 当时，， 当时，， 比较得：，即， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）若二次函数的图象经过点，则c的值是　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，把代入二次函数解析式中求出c的值即可． 【详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 故答案为：3． 15．（25-26学年九上·山东威海·期中）抛物线与轴交于点，过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为，则此抛物线的解析式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；由抛物线与y轴交于点可求出c的值；直线过点C且平行于x轴，故可求得直线与抛物线的另一交点D的坐标，代入抛物线方程可求出b的值，从而求得抛物线的解析式． 【详解】 解：∵抛物线与y轴交于点， ∴当时，，即， 即， ∵过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为， ∴, 即， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， 故抛物线解析式为． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了把二次函数的解析式转化为顶点式，根据顶点式写出抛物线的顶点坐标即可． 【详解】 解： 抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 17．（25-26学年九上·山东济宁·期中）一个二次函数的图象开口向下，经过点，那么这个二次函数的表达式可以是　　　　　．（写出一个即可） 【答案】 【分析】 本题主要考查待定系数法求函数解析式，由抛物线开口向下得，，经过点可得，取，可得抛物线解析式为． 【详解】 解：设二次函数的表达式为， 由题意可知，图象开口向下，故， ∵图象经过点，可得， ∴二次函数的表达式为（其中）， 取，可得二次函数的表达式为． 故答案为： 18．（25-26学年九上·山东淄博高新区·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 则当时，x的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的对称性．掌握二次函数的图像关于对称轴对称是解题的关键． 根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为，结合表格中所给数据可得出答案． 【详解】 解：由表中数据知，二次函数上的点和对称， 对称轴为， ∴点的对称点为， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为：． 19．（25-26学年九上·山东淄博博山区第六中学·期中）函数 中自变量x的取值范围是　　　　　． 【答案】且 【分析】 根据分式有意义，二次根式有意义解答即可． 【详解】 解：由题意得beginarrayltextitx-1geq0-2neq0endarray.， 解得：且， 故答案为且． 【点睛】 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 20．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）二次函数的部分对应值如表所示，若时，则的取值范围是　　　　　　　． x … 0 1 3 5 … y … 7 … 【答案】 【分析】 此题主要考查了二次函数的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题首先根据表格确定二次函数的对称轴及顶点坐标，然后结合表格即可求解． 【详解】 解：根据表格知二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，结合表格可得的取值范围是． 21．（25-26学年九上·山东威海秋城里中学·期中）将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移，代数式求值，将抛物线向上平移后得到新解析式，代入给定点坐标得到关于、的方程，再变形目标代数式求值． 【详解】 解：抛物线向上平移3个单位长度后，解析式为． 该抛物线经过点，代入得： 则，代入得： 故答案为：． 22．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）如图，已知抛物线与的形状相同，顶点分别为和，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查二次函数的综合应用，根据题意，将阴影部分的面积转化为平行四边形的面积进行求解即可． 【详解】 解：∵抛物线与的形状相同，顶点分别为和， ∴，，与轴平行， ∴图中阴影部分的面积可以转化为底为2，高为4的平行四边形的面积， ∴图中阴影部分的面积为； 故答案为：8． 23．（25-26学年九上·山东威海·期中）综合与实践． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】（1）     （2）72m     （3） 不会，理由如下： ， 当时，汽车停下，行驶了， ， 该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车．      【分析】 本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． 利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式； 将代入中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； 求出中函数的最大值，与比较，即可解决问题． (1) 小问详解： 设，将，，代入， 得 ，解得 ， 关于t的函数解析式为：； (2) 小问详解： 当时，， 答：汽车刹车后，行驶了； (3) 小问详解： 略 24．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）已知关于x的二次函数 （1）若时，求该函数的解析式； （2）当时，该函数的最大值与最小值的差为18，求a的值； （3）若是该函数图象上的两点，且对于都有，求a的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把，分别代入，得出，即可作答． （2）先整理，故图象的对称轴为直线，结合．故当时，最小，当时，，列式，即可作答． （3）进行分类讨论，即① 若，则函数图象开口向上．② 若，则函数图象开口向下，再结合二次函数的图象性质，进行分析列式，即可作答． (1) 小问详解： 解： ， 当时，， ， ． 该函数的解析式为． (2) 小问详解： 解：依题意，， 图象的对称轴为直线． 又． 当时，最小， ∵ ∴当时，， ∴． ． ； (3) 小问详解： 解：① 若，则函数图象开口向上． 又对称轴为直线， 当时，随的增大而增大． ∴点在对称轴的右侧． 又对于，都有， ， ． ② 若，则函数图象开口向下， ∴点在对称轴的左侧． 对称轴为直线 当或时函数值相等． 又对于，都有， ， ． 综上：或． 25．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案． 【详解】 解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向上，即， ∵二次函数的顶点在y轴正半轴上， ∴，即，， ∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键． 26．（25-26学年九上·山东济宁·期中）已知二次函数． （1）求该函数的最大值； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）7     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）由于二次函数开口向下，有最大值，通过顶点公式求最大值； （2）在给定内，求函数的值，通过计算端点和顶点值即可得解． (1) 小问详解： 解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，有最大值，顶点坐标为； ∴函数最大值为7； (2) 小问详解： 解：当时， 当时，； 当时，； 顶点在内，． ∵抛物线开口向下， ∴在内，最小值为，最大值为； ∴y的取值范围为． 27．（25-26学年九上·山东济宁·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接．连接，当的面积为10时，求点的横坐标； （3）若为抛物线对称轴上一动点，使得以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）抛物线解析式为；     （2）的面积为时，点的横坐标为或；     （3）点的坐标为或．      【分析】 （）利用待定系数法求解即可； （）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，，则，然后利用三角形的面积公式并解方程即可求解； （）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到 ，，，利用勾股定理当和，时，列出关于的方程，解答即可得到满足条件的点坐标． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为， 将点，点的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， 根据题意得的面积为10， ∴ ， 解得：，， ∴的面积为时，点的横坐标为或； (3) 小问详解： 解：点的坐标为，，，，理由如下: ∵抛物线， ∴对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，，， ∵以为直角边的直角三角形， ∴如图，当，    ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 如图，当， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 综上可得：点的坐标为或． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的性质，二次函数的应用——面积问题，线段周长问题，求抛物线与轴的交点坐标，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 28．（25-26学年九上·山东淄博高新区·期中）函数中，自变量的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件， 根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得，求出解集即可． 【详解】 解：∵函数有意义， ∴分母，且被开方数，但分母不为零，故， 即， 解得． 故答案为：． 29．（25-26学年九上·山东淄博博山区第六中学·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的序号有　　　　　　． 【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数的最值，二次函数的对称轴，根据图象开口方向，与轴交点及对称轴可判断① ；由时，函数有最大值可判断② ；由图象与轴的另一个交点在与之间，由此判断③ ；由对称轴得到，代入，得到，由此可判断④ ；由二次函数的图象与x轴有两个交点可判断⑤ ，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】 解：由图象得，， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∴，故① 正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当时，函数有最大值，即最大值为， ∴当时，， 即，故② 错误； ∵抛物线的对称轴为直线，图象与轴的一个交点在与之间， ∴图象与轴另一个交点在与之间， ∴当时， 即，故③ 正确； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ∴， ∵当时，， ∴， ∴，故④ 正确； 由图象知，二次函数的图象与轴有两个交点， ∴， 故⑤ 错误； 综上，正确结论的序号有① ③ ④ ， 故答案为：① ③ ④ ． 30．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】（1）     （2）； 画出函数图象，如图，      （3）或      【分析】 本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． (1) 小问详解： 解：把点代入得： ， 解得： ， ∴二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为； (3) 小问详解： 解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 31．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出，，三点的坐标； （2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 【答案】（1），，     （2）抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为；     （3）      【分析】 （1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可； （3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得． (1) 小问详解： 解：∵矩形的边，， ∴，，，， ∴，，； (2) 小问详解： 解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入， 解得； 则抛物线的表达式为； (3) 小问详解： 解：∵装置整体图案为轴对称图形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∵是矩形， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：或（在对称轴右侧，舍）， ∴， 由抛物线对称性可得． 【点睛】 本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 32．（25-26学年九上·山东威海秋城里中学·期中）如图是二次函数，，是常数，图像的一部分，与轴的交点在和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④为实数）；⑤当时，．其中正确的是　　．（填序号） 【答案】① ② ④ 【分析】 由抛物线的开口方向判断与0的关系，然后再根据对称轴判定与0的关系，得到；当时，；然后由图像确定当取何值时，． 【详解】 ∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1 ∴ ∴ ∴， 故②正确； ∵a≠0 ∴，故①正确； ∵与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间 结合题意，当时， ∴ 故③错误； ∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，且与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间 设点A坐标为 当时， 故⑤错误； 将代入a+b≥m（am+b） ∴ ∴ ∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下 ∴ ∴ ∵恒成立 ∴a+b≥m（am+b）成立，故④正确； 故答案为：① ② ④ 【点睛】 本题考查了二次函数、不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解． 33．（25-26学年九上·山东威海秋城里中学·期中）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：① 当时，② 当时，建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； (3) 小问详解： 解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得： ， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ① 当时，， ∴， 解得：， ∴； ② 当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】 本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 34．（25-26学年九上·山东威海秋城里中学·期中）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． （1）当、时，求此函数图象的对称轴； （2）当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； （3）若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）将、代入化简，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）代入化简可得，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出，然后代入进行求解即可． (1) 小问详解： 解：当、时，二次函数可化为：， ∴此函数图象的对称轴为． (2) 小问详解： 解：当时，二次函数可化为：， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口方向向上， ∵在时，y随的增大而减小； ∴， ∵在时，随的增大而增大； ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：∵若点，，均在该函数的图象上， ∴， ， ∴ ； ； ∵， ∴，整理得： ∵，为两个不相等的实数， ∴， ∴，解得：． 35．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． （3）若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）     （2）能，或     （3）点的坐标为，，，      【分析】 （1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就看得到对应的点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，当时，当时，然后分别解关于的方程，从而可得到满足条件的点坐标． (1) 小问详解： 解：将，代入， 得： ， 解得 ， 则抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：能． 将代入中， 得：， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴，， 当时，， 即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 当时，， 即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 综上所述，当点的坐标为或时，直线能否把分成面积之比为的两部分； (3) 小问详解： 解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵，， ∴，，， 当时，为直角三角形，， 即， 解得，此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得，此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得，，此时点的坐标为或； 综上所述，满足条件的点的坐标为，，，． 【点睛】 本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 36．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）已知抛物线（m为常数，且），当时，y随x的增大而减小，当时，y的最大值为10，则m的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与区间最值问题，由抛物线解析式可得对称轴为直线，根据当时y随x的增大而减小，可知抛物线开口向下，即；再根据当时y的最大值为10，由于区间在对称轴左侧且开口向下，最大值在处取得，代入解析式求解方程，结合 确定m的值． 【详解】 解：将抛物线配方得，故对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小，说明抛物线开口向下，因此， 当时，由于对称轴，区间在对称轴左侧，且开口向下，y随x的增大而增大，最大值在处取得， 代入，得， 设， 即，解得或， ∵， ∴舍去，符合条件， 故答案为：． 37．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）当时，求抛物线的对称轴； （2）若，当自变量的值满足时，函数的最小值等于2，求b的值； （3）当时，点，在抛物线上．若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）直线     （2）或     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，求对称轴，含字母的绝对值的问题，直接开平方法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合点，都在抛物线上，则对称轴为直线，即可作答． （2）先分析得函数的开口方向向上，离对称轴越近的自变量所对应的函数值越小，再求出，以及对称轴为，因为当自变量的值满足时，函数的最小值等于2，所以进行分类讨论，结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． （3）当时，则的开口方向向上，离对称轴越近的自变量所对应的函数值越小，根据点，在抛物线上．得对称轴为直线，又因为点，在抛物线上．且，得，再解出的取值范围，即可作答． (1) 小问详解： 解：点，在抛物线上，且当时， ∴点，都在抛物线上， 则抛物线的对称轴为直线， (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 此时函数的开口方向向上，离对称轴越近的自变量所对应的函数值越小， ∵点在抛物线上． ∴， ∴， 即， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当自变量的值满足时，函数的最小值等于2， ∴当时，即， 此时离对称轴近，离对称轴远， 则时，， 故把，代入， 得， 解得； ∴当时，即， 此时在对称轴处取得最小值， 故把，代入， 得， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴； ∴当时，即， 此时离对称轴远，离对称轴近， 则时，， 故把，代入， 得， 解得； ∵ ∴舍去， 综上：满足题意的b的值为或； (3) 小问详解： 解：当时，则的开口方向向上，离对称轴越近的自变量所对应的函数值越小， ∵点在抛物线上． ∴， ∴， ∴， ∵点，在抛物线上． ∴对称轴为直线 ∵点，在抛物线上．且， ∴，且 ∴，且 解得． 38．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）已知抛物线与x轴交于点点B两点，与y轴交于点， （1）求此抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接； ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的横坐标； ②如图2，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）     （2）①；②，      【分析】 （1）将，两点代入抛物线的解析式，解方程即可； （2）① 设直线交x轴于E，可推出为直角三角形，进而求得点坐标，从而求出的解析式，将其与抛物线的解析式联立，化为一元二次方程，从而求得结果； ② 可推出四边形是菱形，从而得出，分别表示出和，从而列出方程，进一步求得结果． (1) 小问详解： 解：由题意得， ， ∴ ， ∴抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：① 如图1， 设直线交x轴于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∴直线的解析式为：， 由得， ∴，（舍去）， 即点P的横坐标为； ② 如图2， 令， 解得，， ∴， 直线过、两点， 直线的解析式为：， 设点， 分以下两种情况： 点P在第三象限时，作轴于F， ∵点E与关于对称， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴为菱形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（舍去），， ∴； 当点P在第二象限时， 同理可得：， ∴（舍去），， ∴； 综上所述：点P的坐标为或． 【点睛】 本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量． 39．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）已知二次函数． （1）若函数图象经过点，求的值； （2）若该二次函数图象经过，两点，求的最小值； （3）在第（2）问的条件下，当时，的取值范围是，且，求的取值范围． 【答案】（1）或     （2）     （3）      【分析】 （1）根据函数图象点的坐标特征将点代入，然后求解即可； （2）根据，两点的纵坐标相同，可确定该抛物线的对称轴为直线，再利用二次函数的对称轴公式得，可得，继而得到，再根据二次函数的最值可得结论； （3）由（2）知：二次函数解析式为，对称轴为直线，且当时，取得最小值，当时，，然后分三种情况：当时；当时； 当时，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数图象经过点， ∴， ∴或， ∴的值为或； (2) 小问详解： ∵二次函数图象经过，两点，且这两点的对称轴相同， ∴对称轴为直线， 又∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为； (3) 小问详解： 由（2）知：，则二次函数解析式为，对称轴为直线， 当时，取得最小值，最小值为：， 当时，， ∵当时，的取值范围是，且， 当时，则，的取值范围是， ∴， ∴，矛盾； 当时，则， ∴， 当时，得：， 解得：或， ∴； 当时，的取值范围是，不符合题意； 综上所述，的取值范围是． 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的增减性等知识点，掌握二次函数的图象与性质、利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 40．（25-26学年九上·山东淄博博山区第一中学·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式及其对称轴． （2）设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． （3）在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． （4）在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），对称轴为直线     （2）     （3）或     （4）存在，点M的坐标为，，，      【分析】 （1）根据点A与点B的坐标将抛物线解析式设为交点式，再将点C的坐标代入抛物线解析式，求出未知参数，写出抛物线的解析式，再求对称轴即可． （2）根据抛物线解析式求出直线l的解析式，点A与点B关于直线l对称，连接交直线l于点P，此时的值最小，求出所在直线的解析式，求出直线BC与直线l的交点即可． （3）设，根据列方程求出，结合的顶点坐标为取，代入函数解析式求出x的值即可； （4）设点，分类讨论：①，②，③，分别用含m的式子表示出，再分别根据：①，②，③列方程求出m的值即可． (1) 小问详解： 设抛物线解析式为， 将点C坐标代入解析式得：， 解得， ， 抛物线对称轴为直线． (2) 小问详解： ∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点B，P，C共线时，的值最小． 设直线解析式为， 将点B的坐标代入直线解析式可得： ， ， ，        令， ． (3) 小问详解： ∵， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴或； (4) 小问详解： 存在，理由如下： 作垂直于直线l交直线l于点H，则， 设， 则， ， ， ①若，则， ， 解得：， ∴点M的坐标为； ②若，则， ， 解得： ， ∴点M的坐标为，； ③若，则， ，        解得：或6， 设直线解析式为， 将点A坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点M在直线上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去， ， 点M的坐标为． 综上，符合条件的点M的坐标为：，，， ． 【点睛】 本题为二次函数综合题，主要考查二次函数解析式的求解、轴对称以及等腰三角形的性质，本题关键在于：①设抛物线解析式为交点式求解更为快捷；②要求两线段之和最小，一般可以结合轴对称分析；③分类讨论，将两边长相等转化为两边长的平方相等求解更为简便，需要注意的是要对所求的m值验证，进行取舍． 41．（25-26学年九上·山东淄博高新区·期中）定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在两个不同的点关于直线（为任意实数）对称，则称该函数为“函数” （1）下列函数：①；②；③．其中是“函数”的是________（填序号）． （2）若关于的函数是“函数”，且图象与直线相交于，两点（点在点的左侧），函数图象的顶点为点，当时，求，的值． （3）若关于的函数是“函数”，且过点，当时，函数的最大值与最小值的差为2，求的值． 【答案】（1）③     （2）；     （3）或      【分析】 （1）根据新定义判断即可． （2）根据对称轴，结合抛物线的顶点坐标，等边三角形的性质，确定点，代入解析式解答即可． （3）根据函数是“函数”，且过点，得出对称轴是直线，且，求出函数解析式， 得到对称轴是中线，且，确定函数解析式为，结合，分类讨论最大值和最小值，解答即可． (1) 小问详解： 解：是一次函数，随的增大而增大，故不存在两个不同的点关于直线（为任意实数）对称； 是反比例函数，分别在第一、三象限内，随的增大而减小，故不存在两个不同的点关于直线（为任意实数）对称； 是二次函数，关于直线对称，故是“函数”， 故答案为：③ ． (2) 小问详解： 解： 函数是“函数”， ∴函数图象上至少存在两个不同的点关于直线（轴）对称， ∴结合二次函数的对称性可知，其图象关于直线对称， ， 该函数的解析式为， ． 函数的图象与直线相交于，两点，如图，设直线与轴交于点． 设，． 该函数图象关于直线对称， ，， ， 是等边三角形， 点到的距离为， ，即． ， ． ， 解得，（舍去）． ； (3) 小问详解： 解：函数是“函数”，且过点， 对称轴是直线，且， 解得，， 函数解析式为， 当时，， 当时，． 抛物线开口向下， 距离对称轴越远的点的函数值越小，且当时，函数取得最大值，最大值为5， ， ① 当时，即，在对称轴的右边， ，， 根据题意，得， 解得； ② 当时，在对称轴的左侧， ，， 根据题意，得， 解得； 取和关于对称轴的中点，，， ③ 当时，，， ∴， 解得（舍去）． ④ 当时，，， ， 解得（舍去）． 综上所述，或函数的最大值与最小值的差为2． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、三角函数、解一元二次方程等，分类求解是解题的关键． 42．（25-26学年九上·山东淄博博山区第六中学·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】（1）（5，4）；（2）x=1；（3）或或． 【详解】 分析：（1）根据直线与轴、轴交于、．即可求出（，0），（0，4），根据点的平移即可求出点的坐标； （2）根据抛物线过（，），代入即可求得，根据抛物线的对称轴方程即可求出抛物线的对称轴； （3）分① 当抛物线过点时．② 当抛物线过点时．③ 当抛物线顶点在上时．三种情况进行讨论即可. 详解：（1）解：∵直线与轴、轴交于、． ∴（，0），（0，4） ∴（5，4） （2）解：抛物线过（，） ∴． ∴ ∴对称轴为． （3）解：① 当抛物线过点时． ，解得． ② 当抛物线过点时． ，解得． ③ 当抛物线顶点在上时． 此时顶点为（1，4） ∴，解得． ∴综上所述或或． 点睛：属于二次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题，注意分类讨论思想在解题中的应用. 43．（25-26学年九上·山东东营实验中学·期中）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接，交于点，过点作轴于点． （1）求二次函数的表达式； （2）判断：是否有最大值？如有请求出最大值及此时点的坐标，如没有请说明理由； （3）连接，当时，求直线的表达式． 【答案】（1）     （2）有最大值为，点坐标为     （3）      【分析】 （1）将，代入中，列出关于的二元一次方程组，求出的值即可； （2）设与交于点，过作轴的平行线与相交于点，由两点坐标可得所在直线表达式，求得点坐标，则，由，可得，，设，则，，根据二次函数性质求解即可． （3）设与轴交于点，根据轴可知，，，即，由此推断为等腰三角形，设，则，所以，由勾股定理得，解出点的坐标，用待定系数法确定出的函数解析式即可； (1) 小问详解： 由题意可得： 解得： ， ∴二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 如图所示： 设与交于点．过作轴的平行线与相交于点． 由两点坐标分别为， 可得表达式为 ∴点坐标为， 由，可得， 设，则， ∴当时，有最大值，此时点坐标为． (3) 小问详解： 如图所示： 设与y轴交于点E， ∵轴， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 解得， ， 设直线表达式为 解得 ∴直线的表达式为． 【点睛】 本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（     ） 20 22.5 25 26.25 27.5 28.78 30 0 31.25 75 101.5625 131.25 164.0625 200 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了估算一元二次方程的近似根，根据 ，则，进行作答即可． 【详解】 解：∵，且 ， ∴， 即在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是， 故选：C 2．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）抛物线经过，，三点，且该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的性质，以及二次函数与坐标轴的交点问题，先根据该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧判断a的正负，再根据二次函数的性质求解． 【详解】 解：设抛物线与x轴的交点横坐标为， ∵该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧， ∴， ∴， ∴抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大． ∵抛物线对称轴为直线， ∴． 故选A． 3．（25-26学年九上·山东威海秋城里中学·期中）二次函数的图象如图所示，若有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意画出图象，即可得出答案． 【详解】 根据题意得：的图象如右图，           ∵有两个不相等的实数根， ∴． 故选：D． 【点睛】 本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 4．（25-26学年九上·山东淄博博山区第一中学·期中）抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断．利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断． 【详解】 解：二次函数与轴有两个交点， ，故①错误， 观察图象可知：当时，随增大而减小，故②正确， 抛物线与轴的另一个交点为在和之间， 时，，故③错误， 当时，抛物线与直线没有交点， 方程没有实数根，故④正确， 对称轴， ， ， ，故⑤正确， 故选：B． 5．（25-26学年九上·山东威海·期中）下列表格是小江对方程的一个解进行近似计算所列的表格，若小江要进一步精确估算，则他要选择的范围是　　　　　　　　　　　　　　之间． 0 0.5 1 1.5 2 10 5.625 1.75 【答案】 【分析】 本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据表格数据可得答案． 【详解】 解：由表格得：当时，， 当时，， 的近似根是，即他要选择的范围是之间． 故答案为：． 6．（25-26学年九上·山东淄博博山区第六中学·期中）抛物线（为常数）与坐标轴交点的个数是　　　　　　． 【答案】2或3个3或2个 【分析】 先令y=0，得出关于x的一元二次方程，由△＞0得方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有两个不同的交点，与y轴有一个交点． 【详解】 解：当k=0时， ∵抛物线y=2x2+2（k-1）x-k（k为常数）， ∴当y=0时，0=2x2+2（k-1）x-k， ∴△=[2（k-1）]2-4×2×（-k）=4k2+4＞0， ∴0=2x2+2（k-1）x-k有两个不相等的实数根， ∴抛物线y=2x2+2（k-1）x-k（k为常数）与x轴有两个交点， ∴抛物线y=2x2+2（k-1）x-k（k为常数）与y轴有一个交点， 所以，抛物线（为常数）与坐标轴交点有3个， 当k=0时，抛物线经过原点，只有2个交点， 故答案为：2或3． 【点睛】 本题考查抛物线与x、y轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 7．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）若函数（为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么那么的值是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】或0 【分析】 本题主要考查函数与x轴的交点问题，题目中没有说一定是二次函数，所有要进行分类讨论，分和讨论，注意二次函数要把交点问题转化为一元二次方程的判别式解决． 【详解】 解：① 当函数为二次函数时， ∵（a为常数）的图象与x轴只有一个交点， ∴， ∴， ② 当函数为一次函数时，， 此时与x轴只有一个交点． 综上所述，a的值为或0． 故答案为：或0． 8．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，一条形状一定的抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段上移动．若点M、N的坐标分别为，点A的横坐标的最小值为，则点B横坐标的最大值为　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 根据题意可知当图象顶点在点M时，点A的横坐标的最小值为，然后利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，然后由题意可知当图象顶点在N点时，点B的横坐标最大，从而写出此时抛物线的解析式，即可求出结论． 【详解】 当图象顶点在时，点A的横坐标的最小值为， 则可设此时抛物线的解析式为：， 将点A的坐标代入得：，解得． 当图像顶点在时，点B的横坐标最大，此时抛物线的解析式为：， 令，则，解得， 即点B横坐标的最大值为3． 故答案为：3． 【点睛】 此题考查的是二次函数的图象及性质和求抛物线的解析式，解题关键是当图象顶点在点M时，点A的横坐标最大；当图象顶点在点N时，点B的横坐标最大． 9．（25-26学年九上·山东青岛·期中）某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，那么这辆汽车行驶需要的时间是　　　　　　　s． 【答案】10 【分析】 本题考查已知函数值求自变量的值，解一元二次方程．把代入关系式，得到关于的一元二次方程，解方程并取正值解即可． 【详解】 解：当时，， 解得，（不合题意，舍去）． 故这辆汽车行驶需要的时间是． 故答案为：10． 10．（25-26学年九上·山东淄博博山区第一中学·期中）若二次函数（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 2 1 0 1 2 … y … 0 2 2 0 4 … 则当 时，y的取值范围为 　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据表中点的坐标得出函数的对称轴，设二次函数的表达式是，把点的坐标代入求出该二次函数的表达式是；再画出图象，即可利用图象法求解． 【详解】 解：根据表中可知：点和点关于对称轴对称， 即对称轴是直线， 设二次函数的表达式是， 把点和点代入得： ， 解得：，， ， 所以该二次函数的表达式是； 函数图象如图所示， 由图象可得∶当时， ， 故答案为∶ ． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出二次函数的解析式是解此题的关键． 11．（25-26学年九上·山东淄博高新区·期中）已知二次函数． （1）用配方法将二次函数的表达式化为的形式； （2）抛物线与轴的交点为：__________，与轴的交点为：__________，将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的函数表达式为__________． （3）在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （4）当时，结合图象求的取值范围． 【答案】（1）     （2）或；；     （3） 函数图象如下：      （4）      【分析】 （1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式； （2）将二次函数解析式化为交点式得抛物线与轴交点坐标，把代入解析式得抛物线与轴的交点，按 “上加下减常数项，左加右减自变量” 的规律平移即可得出所求函数的解析式； （3）利用描点法画出二次函数图象； （4）利用二次函数的图象求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 由二次函数知，抛物线与轴的交点为或；当时，，故抛物线与轴的交点为，平移后的解析式为； (3) 小问详解： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， (4) 小问详解： 观察函数图象知，当时，的取值范围是：． 【点睛】 本题考查了二次函数顶点式，画二次函数的图象，二次函数图像的平移，利用函数图像求取值范围，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 12．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）已知二次函数的图象经过点． （1）求的值和二次函数的对称轴． （2）若把该函数图象向上平移个单位长度后与轴恰好只有一个交点，求的值． 【答案】（1），二次函数的对称轴为直线     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出的值以及二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得出对称轴； （2）由平移的性质可得平移后的二次函数的解析式为，再由题意可得，计算即可得解． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式， ∵， ∴二次函数的对称轴为直线； (2) 小问详解： 解；把该函数图象向上平移个单位长度后得到的二次函数的解析式为， ∵平移后的解析式与轴恰好只有一个交点， ∴， 解得：． 13．（25-26学年九上·山东淄博博山区第一中学·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点． （1）求点、点的坐标； （2）求的面积； （3）为第二象限抛物线上的一个动点，当的坐标是什么时，面积有最大值，是多少？ 【答案】（1）点的坐标是，点的坐标是；     （2）；     （3）当点的坐标是，的面积有最大值，最大值是．      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与几何的综合． 解方程，即可求出抛物线与轴交点的坐标； 分别求出点、、的坐标，根据点的坐标可得、，根据三角形的面积公式求解即可； 过点作轴，交于点，利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标是，根据，可得，根据二次函数的性质求出点的坐标和面积的最大值． (1) 小问详解： 解：解方程， 可得：，， 点在点的左侧， 点的坐标是，点的坐标是； (2) 小问详解： 解：当时， 可得：， 点的坐标是， ， 点的坐标是，点的坐标是， ， ； (3) 小问详解： 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式是， 把点和点代入， 可得： ， 解得： ， 直线的解析式是， 设点的坐标是，则点的坐标是， ， ， ， 整理得：， 当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 点的坐标是， 当点的坐标是，的面积有最大值，最大值是． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】 解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 2．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）如图，质量为的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（    ） A. 小球从刚接触弹簧就开始减速 B. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C. 当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D. 当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的实际应用，二次函数的图象，解题关键是读懂题意，用数形结合思想解决问题． 根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落的最低点时弹簧的长度，小球速度最大时弹簧的长度，即可得出答案． 【详解】 解：A、由图象可知，弹簧压缩后小球开始减速，故此选项不符合题意； B、由图象可知，当弹簧被压缩至最短，即弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最小，速度为0，故此选项不符合题意； C、由图象可知，当小球的速度最大时，弹簧压缩，此时弹簧的长度为，故此选项不符合题意； D、由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为，此时弹簧的长度为，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26学年九上·山东淄博博山区第六中学·期中）如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案． 【详解】 过点A向BC作AH⊥BC于点H， 所以根据相似比可知：，即EF=2（6-x） 所以y=×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6） 该函数图象是抛物线的一部分， 故选D． 【点睛】 此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象． 4．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）如图，在矩形中，，，与交于点O，M是的中点．P，Q两点分别沿着和方向从点B，点M同时出发，且都以的速度运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积随时间变化的图象最接近的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分三种情况：当时，点P，Q在上；当时，点在上，点在上；当时，点，在上．利用矩形的性质和三角形的面积公式求得的面积随时间变化的函数解析式，再利用函数的图形的性质解答即可． 【详解】 解：当时，点P，Q在上， 连接，如图， 四边形为矩形， ，， 是的中点， ∴，，， ， ，两点分别沿着和方向从点，点同时出发，且都以的速度运动， ∴ ， ； 当时，点在上，点在上， 连接，过点作于点，如图， 四边形为矩形， ，， ， ， ∴， ， 由题意得：，，，， ． 当时，点，在上， 过点作于点，如图， 此时，， ． 综上，的面积随时间变化的图象分为三部分， 当时，，图象为平行于轴的线段， 当时，图象为顶点为的抛物线的一部分， 当时，图象为平行于轴的线段， 与的面积随时间变化的图象最接近的是． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积，分类讨论的思想方法，函数的图象，熟练掌握三角形的面积公式和二次函数的性质是解题的关键． 5．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）如图，某蔬菜大棚的截面图可以近似看成二次函数的图象抛物线，其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设二次函数的解析式为，再将点代入可得的值，然后将代入二次函数的解析式，由此即可得． 【详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设二次函数的解析式为， 将点代入得：， 解得， 则二次函数的解析式为， 将代入得：， 即， 所以大棚与墙的交点到原点的距离为， 故答案为：． 6．（25-26学年九上·山东济宁·期中）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） （1）设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，围成的菜地面积最大？ 【答案】（1）     （2）当为米，围成的菜地面积最大．      【分析】 本题考查了列代数式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米，进行列式化简，即可作答． （2）结合长方形的面积等于长乘宽，则，再根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米， ∴（米） (2) 小问详解： 解：设围成的菜地面积为， 依题意， ， ∵， ∴在时， 此时（米），取得最大值，且为平方米， ∴当为米，围成的菜地面积最大． 7．（25-26学年九上·山东威海秋城里中学·期中）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，共进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务， （1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式，并求出售价x的范围： （2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝－5x＋2200；300≤x≤350     （2）售价定为320元/台时，可获得最大利润为72000元．      【分析】 （1）根据题中条件可得y＝－5x＋2200，若销售价每降低10元，月销售量就可多售出50千克，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值． （2）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w. (1) 小问详解： 依题意得： y＝200＋50×． 化简得：y＝－5x＋2200． 依题意有： ∵ ， 解得300≤x≤350． (2) 小问详解： 由(1)得：w＝(－5x＋2200)(x－200) ＝－5x2＋3200x－440000 ＝－5(x－320)2＋72000． ∵x＝320在300≤x≤350内， ∴当x＝320时，w最大为72000． 即售价定为320元/台时，可获得最大利润为72000元． 【点睛】 本题考查了利润率问题的数量关系的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 8．（25-26学年九上·山东东营胜利第一初初级中学·期中）在“乡村振兴”行动中，某企业用A，B两种农作物为主要原料开发了一款有机产品，A原料的单价是B的倍，用相同资金9000元收购A原料比B原料少．生产1件产品需A原料和B原料，每件还需其他成本9元．市场调查发现：产品每件售价是60元时，每天可销售500件；每降价1元，每天多销售20件． （1）求每件产品的成本； （2）设产品的销售单价为x元（整数元），当x为多少元，每天的利润最大． 【答案】（1）每件产品的成本为30元；     （2）或时有最大利润，每天的利润最大．      【分析】 本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． （1）设B原料单价为m元，则A原料单价为元，由题意列出方程，求解即可得出答案； （2）设产品的销售单价为x元，利润为，则，根据二次函数的性质即可得出答案． (1) 小问详解： 解：设B原料单价为m元，则A原料单价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴， ∴每件产品的成本为（元）； (2) 小问详解： 解：设产品的销售单价为x元，利润为， ∴ ，                                                   ∵， ∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为， ∵取整数， ∴或时有最大利润． 9．（25-26学年九上·山东威海·期中）如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水面宽度减少1米时，水位上升　　　　　　　　　　米． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面上升了多少． 【详解】 解：以拱桥的最高点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设抛物线的解析式为， 由题意，点在抛物线上，代入解析式，得，解得， ∴； 当水面宽度减少1米时，此时水面宽度变为米； ∴当时，， ∴水面上升了米； 故答案为：． 10．（25-26学年九上·山东威海·期中）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． （1）请求出与的函数解析式； （2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）与的函数解析式为；     （2）销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．      【分析】 本题主要考查了一次函数，二次函数在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）依据题意，运用待定系数法求解即可； （）依据题意，根据与的函数解析式为，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． (1) 小问详解： 解：设该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， 由图可得： ，解得： ， ∴该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， ∵销售单价不低于成本价，且不高于元销售， ∴， ∴每天的销售利润为， ∴与的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：由（）得与的函数解析式为， ∴， ∵，， ∴当时，每天获得的利润最大，最大利润是元， 答：销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 11．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1.去学校档案馆查阅框架结构的图纸；2.准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下：1.大门形状为矩形（矩形）；2.底部跨度（的长）为10m；3.立柱的长为2m，且，垂足为，． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．借助二次函数的相关知识，来解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）现有一根长度为2m的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 【答案】（1）     （2）故这根材料的长度够用      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）求出A点坐标，代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出的纵坐标，进而求出的长，进行判断即可． (1) 小问详解： 解：设抛物线的表达式为：， 由条件可得， ∴， 由条件可得：， ， ； (2) 小问详解： 解：， ∴，关于y轴对称， 当时，， , ， 故这根材料的长度够用． 12．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如图所示的坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）该隧道内设双行道，中间隔离带，一辆货车高，宽，能否安全通过，为什么？ 【答案】（1）     （2） 解：中间隔离带，货车宽， 货车右侧到轴的距离为， 把代入得 ， ， 货车能安全通过．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意建立二次函数模型并利用其性质求解． （1）根据抛物线的顶点坐标设出顶点式，再代入已知点坐标求出表达式； （2）根据货车的宽度和隔离带宽度确定横坐标，代入抛物线表达式求出纵坐标，与货车高度比较判断能否通过． (1) 小问详解： 解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为 设抛物线的表达式为， 把代入表达式得， 即， ， 解得， 抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 略 13．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）某超市经销一种绿茶，每千克成本为60元，经过市场调查发现，在一段时间内，该种绿茶的销售量（千克）与销售单价（元）满足一次函数关系，其变化如下表所示： 销售单价（元） 65 70 75 80 销售量（千克） 110 100 90 80 （1）求与的函数解析式； （2）求利润（元）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式； （3）若绿茶的销售单价不超过120元，且进货成本不超过2400元，要想获得最大利润，试求此时这种绿茶的销售单价，并求出最大利润． 【答案】（1）     （2）     （3）销售单价为100元，最大利润为1600元      【分析】 本题目是一道二次函数的综合题目，第一问求一次函数的表达式，通常用待定系数法求解；第二问构造利润的二次函数；第三问较简单，通过列不等式确定自变量的取值范围，求最值，解题的关键是读懂题意，正确列出函数表达式． （1）用待定系数法求一次函数的表达式，设y=kx+b，用两组数据代入，得二元一次方程组，求解即可； （2）根据利润等于单位数量的利润乘以销售量，即可得出函数解析式； （3）根据题意列出不等式组，确定，再由（2）中二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：由该种绿茶的销售量y(千克)与销售单价x(元)满足一次函数关系，设， ∵时，；时，， 得 ， 解得 ， ∴y与x的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：该种绿茶的销售利润为（元）， 则． 即利润（元）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式为； (3) 小问详解： 解：根据题意得： ， 解得：， 由（2）得：， 二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，w取得最大值为， 即销售单价为100元，最大利润为1600元． 14．（25-26学年九上·山东济宁·期中）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】（1）     （2）该男生在此项考试不能得满分， 理由如下， 根据题意，令，且， ∴，解方程得，，（舍去）， ∵， ∴不能得满分．      【分析】 本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键． （1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解； （2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意设关于的函数表达式为， 把代入解析式得，，解得，， ∴关于的函数表达式为，即：； (2) 小问详解： 略 15．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）某糖果经销商销售某种糖果，成本为每千克元，规定糖果每千克的售价不低于成本，且不高于元试销期间发现该糖果每天的销售量（千克）与每千克的售价（元）之间的函数关系如下表： x/元 y/千克 （1）求与之间的函数关系式． （2）当每天获得的总利润是元时，这种糖果每千克的售价是多少元？ （3）设每天获得的总利润是（元）．当这种糖果每千克的售价是多少元时，每天获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】（1）     （2）     （3）当这种糖果每千克的售价是元时，每天获得的总利润最大，最大总利润是元      【分析】 （1）根据给定数据，利用待定系数法，即可求出与之间的函数关系式； （2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． (1) 小问详解： 解：观察给定数据，可知：与之间满足一次函数关系， 设与之间的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得： ， ∴与之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这种糖果每千克的售价是元； (3) 小问详解： 根据题意得：， 即， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为：， ∴当这种糖果每千克的售价是元时，每天获得的总利润最大，最大总利润是元． 【点睛】 本题考查一次函数的应用、二次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据给定的数据，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，找出随的函数关系式． 16．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． （1）求y关于x的函数表达式． （2）当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】（1）     （2）降价10元时，书店可获得最大利润，最大利润为800元      【分析】 本题考查了求二次函数解析式，二次函数求最值，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据总利润=每套利润×数量，即可得到y关于x的函数表达式； （2）将二次函数配方后求最值即可． (1) 小问详解： 解：设书店一天可获利润y元，每套书降价x元时， 则， ∴． (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴当时，y有最大值为800， 即当每套书降价10元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为800元． 17．（25-26学年九上·山东淄博博山区第一中学·期中）如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？ （3）当的长是多少米时，围成的花圃的面积最大是多少？ 【答案】（1）     （2）的长为     （3）当的长是米时，围成的花圃的面积最大是      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是正确列出函数解析式． （1）根据矩形的面积即可写出函数关系式； （2）根据（1）中所得函数关系式当S为45时，列出一元二次方程即可求出的长； （3）根据（1）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积． (1) 小问详解： 解：根据题意，得， ， ． 答：S与x的函数关系式为； (2) 小问详解： 根据题意，当时，， 整理，得， 解得， 当时，不成立， 当时，成立． 答：的长为； (3) 小问详解： ，对称轴是直线，开口向下， 当时，花圃的面积最大，最大面积是． 答：当的长是米时，围成的花圃的面积最大是． 18．（25-26学年九上·山东淄博博山区第六中学·期中）某体育用品商店试销一款成本为60元的排球，规定试销期间每个排球获利不低于，且获利不得高于．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）试确定y与x之间的函数关系式； （2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润W元，试写出利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）     （2），销售单价定为87元时，商店可获得最大利润，最大利润是891元      【分析】 本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据利润=（售价－成本）×销售量列出函数关系式，并配方成顶点式即可得解． (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数关系式为， 则 ， 解这个方程得： ， ， (2) 小问详解： 由题意可得：， 即， ， 成本为每个60元的排球，规定试销期间每个排球获利不低于，即售价不低于：（元），且获利不得高于，即售价不高于（元）， ， ，且二次项系数， 当时，W随x的增大而增大， 时，W有最大值，其最大值， 所以当销售单价定为87元时，商店可获得最大利润，最大利润是891元． 19．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 【答案】（1）窗户框架的宽为； （2）该窗户框架的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 【分析】 此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值． （1）依据题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，由“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，则，结合长宽之比为，可得，再将代入得，进而计算可以得解； （2）依据题意，设窗户框架的长为，则宽为，则，即，从而要使窗户框架的面积最大，则，进而可以判断得解． 【详解】 解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为， ∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为， ∴． ∵长宽之比为， ∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：． 将代入得，． ∴． 答：窗户框架的宽为． （2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为， ∴，即， ∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为． ∴当时，最大值为． ∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 20．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液体最大深度为　　　　　　　　． 【答案】厘米 【分析】 本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以为原点，点所在直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，把直线向下平移个单位可得：， 当与抛物线有1个交点时，两直线之间的距离为最大深度，记平移后的直线与轴交于点，过作平移后的直线于，再利用勾股定理即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图，以为原点，点所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，记与轴的交点为， 则点的坐标为，则抛物线的表达式为， ∵碗口宽，此时面汤最大深度， ∴， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴旋转前与水平方向夹角为， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 把直线向下平移个单位可得：， 当与抛物线有1个交点时，两直线之间的距离为最大深度， ∴，即， ∴， 解得：， ∴平移后的直线为：， 如图，记平移后的直线与轴交于点，过作平移后的直线于， 同理可得：，， ∴，， ∴碗中液体最大深度为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $