第13章 三角形 重难点题型 讲义--2026-2027学年 人教版 八年级数学上册

第13章 三角形 重难点题型（举一反三） 题型归纳 【题型1 三角形三边关系的简单运用】 3 【题型2 三角形三边关系的综合运用】 3 【题型3 特殊三角形的性质与判定】 4 【题型4 依据特殊三角形的性质求角度】 5 【题型5 依据特殊三角形的性质求边长】 6 【题型6 等腰三角形的存在性问题】* 7 【题型7 依据三角形的有关线段求角度】 7 【题型8 依据三角形的有关线段求边长】 8 【题型9 三角形有关线段的交点应用】 9 【题型10 三角形高线的作图】 10 【题型11 三角形的面积问题】* 11 【题型12 依据三角形外角性质求角度】 12 【题型13 对称性求线段和的最值】* 13 【题型14 折叠问题】 14 【题型15 依据三角形性质在网格中作图】 16 【题型17 特殊三角形性质的综合运用】** 19 知识点回顾 知识点1：三角形的定义与分类   1. 三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，记为，具备3个顶点、3条边、3个内角。   2. 三角形分类 分类依据 类别 说明 按角分类 锐角三角形 三个内角全部是锐角 直角三角形 有一个内角为，两锐角互余 钝角三角形 有一个内角是钝角 按边分类 不等边三角形 三边长度均不相等 等腰三角形 至少有两条边相等；等边三角形是特殊等腰三角形 知识点2：与三角形有关的线段   1. 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。若三边长为，则；实际判断只需验证较短两边之和大于最长边。   2. 三角形三条重要线段 线段类型 定义 核心性质 中线 顶点到对边中点的线段 三条中线交于重心；一条中线把三角形分成面积相等的两部分 角平分线 内角平分线与对边相交，顶点到交点的线段 三条角平分线交于三角形内部一点；平分对应内角 高 从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间线段 锐角三角形三条高均在内部；直角三角形两条高为直角边；钝角三角形两条高在外部；三条高所在直线交于一点   3. 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，四边形不具备稳定性，生活中支架、钢架结构常利用该性质。 知识点3：三角形的内角   1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于。   2. 直角三角形性质：直角三角形两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。   3. 内角和推导思想：可通过剪拼、作平行线将内角转化为平角，证明内角和定理。 知识点4：三角形的外角   1. 外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。   2. 外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；外角大于任意一个与它不相邻的内角。   3. 三角形外角和：三角形三个外角之和等于。 知识点5：多边形基础（本章拓展）   1. 多边形内角和与外角和：边形内角和公式；任意多边形外角和恒等于，与边数无关。   2. 多边形对角线：从一个顶点可引出条对角线；边形总对角线条数。 题型归纳 【题型1 三角形三边关系的简单运用】 【例1】（25-26八年级上·天津红桥·期末）用三根木棒首尾相接围成一个，若，，则木棒的长可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·天津·期中）若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是_____． 【变式1-2】（25-26八年级上·天津·期中）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．20或25 【变式1-3】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）两根木棒分别长4cm，7cm，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形．如果第三根木棒的长是xcm，则x的值可能是（　　） A．1 B．3 C．5 D．12 【题型2 三角形三边关系的综合运用】 【例2】（25-26八年级上·天津南开·期末）若，，是三角形三边的长，则代数式的值（    ） A．小于等于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零 【变式2-1】（25-八年级下·全国·单元测试）若a，b，c是三角形的三边之长，则代数式的值（ ） A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．以上三种 情况均有可能 【变式2-2】（25-26八年级上·湖北十堰·期中）若a、b、c为一个三角形的三边，则代数式（a-c）2-b2的值（    ） A．一定为正数 B．一定为负数 C．为非负数 D．可能为正数，也可能为负数 【变式2-3】（25-26八年级上·福建·期中）若三边a，b，c满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【题型3 特殊三角形的性质与判定】 【例3】（25-26八年级上·天津河东·期末）下列三个条件：①的三个内角的度数之比是；②在中，；③的三个外角的度数之比是；其中能确定是直角三角形的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式3-1】（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）下列说法：①等边三角形的三个内角都相等；②等边三角形的每一个角都等于60°；③三个角都相等的三角形是等边三角形；④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．其中，正确说法的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式3-3】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型4 依据特殊三角形的性质求角度】 【例4】（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=28°，则∠C=______． 【变式4-1】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在△ABC中，D在边AC上，如果AB=BD=DC，且∠C=40°，那么∠A=__°． 【变式4-2】（2025-2026学年八年级数学下册《知识解读题型专练》）如图，在中，，，，则___________． 【变式4-3】（24-25八年级上·河南开封·期中）如图，在中，，，则的度数为__________． 【题型5 依据特殊三角形的性质求边长】 【例5】 （2026·天津红桥·一模）如图，在边长为6的等边三角形中，点D在边上，，过点D作，垂足为E． （1）线段的长为________； *（2）F为的中点，G为边上一点，若，则线段的长为________． 【变式5-1】（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，则的长为______． 【变式5-2】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，等边三角形的边长为10，为边上一动点，过点作于点，过作于点．若，则___________； 【变式5-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在延长线上，若交BC于P，且，，则__________． 【题型6 等腰三角形的存在性问题】* 【例6】（25-26八年级上·天津·期中）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣3），在坐标轴上确定一点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（　　）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【变式6-2】已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 【变式6-3】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）在直角坐标系中，O为坐标原点，已知，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型7 依据三角形的有关线段求角度】 【例7】（25-26八年级上·天津红桥·期末）如图，在中，是边上的中线，点在边上，且，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，中，，，是的中线，点在边上，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，是的中线，点E是边上一点，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，AD、CE分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（ ） A．20° B．30° C．35° D．70° 【题型8 依据三角形的有关线段求边长】 【例8】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式8-1】（25-26八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，交于点，，，则的长为（　　）    A．9 B．10 C．12 D．6 【变式8-2】（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于E，D为垂足，连接，若，则等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式8-3】（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 【题型9 三角形有关线段的交点应用】 【例9】（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（    ）    A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点 C．三角形三个内角的角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 【变式9-1】（25-26八年级上·天津·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【变式9-2】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 【题型10 三角形高线的作图】 【例10】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，画出边上的高，正确的图形是（   ） A．B．C．D． 【变式10-1】（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）下列四个图形中，是的高的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）下列四个图形中，线段是的高的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-3】（25-26七年级下·四川达州·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A．B．C．D． 【题型11 三角形的面积问题】* 【例11】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 【变式11-1】（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且，则的值为______． 【变式11-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，若点D，E分别是，的中点，且的面积为12，则阴影部分的面积是__________． 【题型12 依据三角形外角性质求角度】 【例12】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，是的外角的平分线，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，是的一个外角，平分，交的延长线于点D，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型13 对称性求线段和的最值】* 【例3】（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为15，平分．若M，N分别是上的动点，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式13-1】（25-26八年级上·天津河东·期末）如图，等边中，平分，点P、Q分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值__________． 【变式13-2】（25-26八年级下·北京·开学考试）如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式13-3】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，为等边三角形，，平分，为上一动点，连接，的最小值为_______． 【题型14 折叠问题】 【例14】（25-26八年级上·天津·期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠BDC等于（　 　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【变式14-1】（25-26八年级上·天津·期中）如图，将一张宽为的长方形纸片沿着线段折叠，若重叠部分的的面积是，则线段的长为____．    【变式14-2】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，若，，则重叠部分的面积为________． 【变式14-3】（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将其沿AC折叠，点D落在E处，CE与AB交于点F，且EF=FB，则重叠部分△ACF的面积是 ____________ 【题型15 依据三角形性质在网格中作图】 【例15】（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点A，B，C均在格点上． （1）_______度； （2）取格点D，连接，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段上画出点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_________． 【变式15-1】（25-26八年级上·天津河东·期末）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹） （1）画出的高（本问只需在图上保留作图痕迹）__________； （2）已知点（不在格点，也不在格线上）是线段上一点，画关于轴的对称点（简要说明作图过程，无需证明）_____________； 【变式15-2】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，分别为格点，点为格线上一定点，点和分别为和上的动点． （1）_____ （2）请利用无刻度直尺，在如图所示的网格中，画出点和的位置，满足的周长取得最小值，并简要说明画法不要求证明______． 【题型16 三角形有关线段的综合运用】 【例16】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E． (1)求∠CAD的大小； (2)若BC＝3，求DE的长． 【变式16-1】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，，垂直平分分别交于点，平分交于点，求的度数． 【变式16-2】（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）如图，在中，，为边上一点，点在的延长线上，连接，，若，，求的度数． 【变式16-3】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在四边形中，，，，，，求的长． 【变式16-4】（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）如图，在中，，，于点，平分，求与的度数．    【题型17 特殊三角形性质的综合运用】** 【例17】（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，过边长为4的等边的边上一点D作，垂足为E点． （1）______； （2）点F为延长线上一点，若，连接，线段与相交于点G，则的长为______． 【变式17-1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知是等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长至点，使，连接交于点，如图所示．若，则线段的长为____________． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形 重难点题型（举一反三） 题型归纳 【题型1 三角形三边关系的简单运用】 3 【题型2 三角形三边关系的综合运用】 4 【题型3 特殊三角形的性质与判定】 7 【题型4 依据特殊三角形的性质求角度】 9 【题型5 依据特殊三角形的性质求边长】 11 【题型6 等腰三角形的存在性问题】* 16 【题型7 依据三角形的有关线段求角度】 18 【题型8 依据三角形的有关线段求边长】 21 【题型9 三角形有关线段的交点应用】 25 【题型10 三角形高线的作图】 26 【题型11 三角形的面积问题】* 29 【题型12 依据三角形外角性质求角度】 31 【题型13 对称性求线段和的最值】* 33 【题型14 折叠问题】 37 【题型15 依据三角形性质在网格中作图】 40 【题型17 特殊三角形性质的综合运用】** 48 知识点回顾 知识点1：三角形的定义与分类   1. 三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，记为，具备3个顶点、3条边、3个内角。   2. 三角形分类 分类依据 类别 说明 按角分类 锐角三角形 三个内角全部是锐角 直角三角形 有一个内角为，两锐角互余 钝角三角形 有一个内角是钝角 按边分类 不等边三角形 三边长度均不相等 等腰三角形 至少有两条边相等；等边三角形是特殊等腰三角形 知识点2：与三角形有关的线段   1. 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。若三边长为，则；实际判断只需验证较短两边之和大于最长边。   2. 三角形三条重要线段 线段类型 定义 核心性质 中线 顶点到对边中点的线段 三条中线交于重心；一条中线把三角形分成面积相等的两部分 角平分线 内角平分线与对边相交，顶点到交点的线段 三条角平分线交于三角形内部一点；平分对应内角 高 从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间线段 锐角三角形三条高均在内部；直角三角形两条高为直角边；钝角三角形两条高在外部；三条高所在直线交于一点   3. 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，四边形不具备稳定性，生活中支架、钢架结构常利用该性质。 知识点3：三角形的内角   1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于。   2. 直角三角形性质：直角三角形两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。   3. 内角和推导思想：可通过剪拼、作平行线将内角转化为平角，证明内角和定理。 知识点4：三角形的外角   1. 外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。   2. 外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；外角大于任意一个与它不相邻的内角。   3. 三角形外角和：三角形三个外角之和等于。 知识点5：多边形基础（本章拓展）   1. 多边形内角和与外角和：边形内角和公式；任意多边形外角和恒等于，与边数无关。   2. 多边形对角线：从一个顶点可引出条对角线；边形总对角线条数。 题型归纳 【题型1 三角形三边关系的简单运用】 【例1】（25-26八年级上·天津红桥·期末）用三根木棒首尾相接围成一个，若，，则木棒的长可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，关键是掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，据此确定第三边的取值范围，再判断选项是否符合． 【详解】解：根据三角形三边关系，得， 代入，，得， 即． 选项中只有满足该范围， 故选：C． 【变式1-1】（25-26八年级上·天津·期中）若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是_____． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形定义、构成三角形的三边关系等知识，熟记等腰三角形的定义及三角形三边关系是解决问题的关键． 先由等腰三角形的定义分类：和，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：一个等腰三角形的两边长分别是和， 等腰三角形三边长分两类：和， 当等腰三角形三边长为时，，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形三边长为时，满足三角形三边关系，能构成三角形， 则其周长为； 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·天津·期中）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．20或25 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的概念和三角形三边关系，解题的关键是分两种情况进行求解． 分两种情况讨论：当腰为5时和当腰为10时，利用三角形三边关系，判断是否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为5，另一边长为10， ∴有两种情况： ①当腰为5时，底为10，则，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形； ②当腰为10时，底为5，则，满足三角形三边关系，能构成三角形， 周长为， 故选：C． 【变式1-3】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）两根木棒分别长4cm，7cm，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形．如果第三根木棒的长是xcm，则x的值可能是（　　） A．1 B．3 C．5 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三条边的关系．根据三角形三条边的关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”即可求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 ，即， 观察四个选项，选项C符合题意． 故选：C． 【题型2 三角形三边关系的综合运用】 【例2】（25-26八年级上·天津南开·期末）若，，是三角形三边的长，则代数式的值（    ） A．小于等于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，将代数式分解因式，利用三角形三边关系得，，然后判断符号即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵，，是三角形三边， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即原代数式的值小于零， 故选：． 【变式2-1】（25-八年级下·全国·单元测试）若a，b，c是三角形的三边之长，则代数式的值（ ） A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．以上三种 情况均有可能 【答案】A 【分析】先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式，然后根据三角形三边关系解答． 【详解】：（a2-2ac+c2）-b2， =（a-c）2-b2， =（a-c-b）（a-c+b）， =[a-（c+b）][（a+b）-c]， 由三角形三边关系，[a-（c+b）]＜0， [（a+b）-c]＞0， ∴[a-（c+b）][（a+b）-c]＜0 故选A.． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，运用公式整理成积的形式是关键，同时还考查了三角形三边关系． 【变式2-2】（25-26八年级上·湖北十堰·期中）若a、b、c为一个三角形的三边，则代数式（a-c）2-b2的值（    ） A．一定为正数 B．一定为负数 C．为非负数 D．可能为正数，也可能为负数 【答案】B 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解． 【详解】解：∵a、b、c为一个三角形的三边， ∴a-c+b＞0，a-c-b＜0， ∴（a-c）2-b2=（a-c+b）（a-c-b）＜0． ∴代数式（a-c）2-b2的值一定为负数． 故选：B． 【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解，利用了三角形中三边的关系：在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【变式2-3】（25-26八年级上·福建·期中）若三边a，b，c满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等腰三角形的判定，将方程因式分解得，由于三角形三边之和，故，即，因此三角形为等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为的三边， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故选：A． 【题型3 特殊三角形的性质与判定】 【例3】（25-26八年级上·天津河东·期末）下列三个条件：①的三个内角的度数之比是；②在中，；③的三个外角的度数之比是；其中能确定是直角三角形的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． 利用三角形内角和定理和外角和定理，分别计算每个条件下各内角的度数，判断是否存在角，从而确定是否为直角三角形． 【详解】解：①的三个内角的度数之比是，， 是直角三角形，符合题意； ②由，得， ， ， ，是直角三角形，符合题意； ③三角形外角和为，设外角为，，，则，解得，外角为、、，对应内角为、、，是直角三角形，符合题意． ①②③符合条件， 故选：D． 【变式3-1】（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）下列说法：①等边三角形的三个内角都相等；②等边三角形的每一个角都等于60°；③三个角都相等的三角形是等边三角形；④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．其中，正确说法的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质和判定方法即可解题. 【详解】①等边三角形三个内角都等于60°,所以正确, ②同上,正确, ③三个角都相等,并且内角和是180°,根据等边三角形定义即可证明这样的三角形是等边三角形, ④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形,正确, 综上4个全正确,故选D. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定,属于简单题,熟悉等边三角形的概念是解题关键. 【变式3-2】（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出最大的内角的度数，再判断选项即可． 【详解】解：∵三角形三个内角的度数之比为1：2：3， ∴此三角形的最大内角的度数是×180°=90°， ∴此三角形为直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大内角的度数是解此题的关键． 【变式3-3】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度求出中最大的内角度数，即可判断①②④，根据勾股定理的逆定理即可判断③． 【详解】解；∵，， ∴， ∴， ∴能确定是直角三角形，故①正确； ∵，， ∴， ∴能确定是直角三角形，故②正确； 设， ∵， ∴不能确定是直角三角形，故③正确； ∵，， ∴， ∴∴不能确定是直角三角形，故④正确； 故选B． 【题型4 依据特殊三角形的性质求角度】 【例4】（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=28°，则∠C=______． 【答案】38° 【分析】首先发现此图中有两个等腰三角形，根据等腰三角形的两个底角相等找到角之间的关系．结合三角形的内角和定理进行计算． 【详解】∵AB=AD=DC，∠BAD=28° ∴∠B=∠ADB=（180°-28°）÷2=76°． ∴∠C=∠CAD=76°÷2=38°． 故答案为38°． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理；求得∠ADC=76°是正确解答本题的关键． 【变式4-1】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在△ABC中，D在边AC上，如果AB=BD=DC，且∠C=40°，那么∠A=__°． 【答案】80. 【详解】∵AB=BD=DC， ∴∠A=∠BDA，∠DBC=∠C=40°， 又∵∠BDA=∠DBC+∠C， ∴∠A=∠DBC+∠C=40°+40°=80°． 故答案为：80． 【变式4-2】（2025-2026学年八年级数学下册《知识解读题型专练》）如图，在中，，，，则___________． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、邻补角等知识，证明是解题关键．利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而解得的度数即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级上·河南开封·期中）如图，在中，，，则的度数为__________． 【答案】/75度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，根据等边对等角求得度数是解题的关键． 根据题意，由可得，进而根据，可得，根据三角形的外角性质可得，进而可得，根据三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型5 依据特殊三角形的性质求边长】 【例5】 （2026·天津红桥·一模）如图，在边长为6的等边三角形中，点D在边上，，过点D作，垂足为E． （1）线段的长为________； *（2）F为的中点，G为边上一点，若，则线段的长为________． 【答案】 【分析】（1）由等边三角形的性质求出，证明是直角三角形，由勾股定理求出； （2）过点作于点，于点，得到和都是直角三角形，求出，，证明四边形是矩形，即可得到答案． 【详解】解：（1）边长为6的等边三角形， 点D在边上，， ，垂足为， 是直角三角形， 在中， ， 由勾股定理得：； （2）过点作于点，于点， ， 和都是直角三角形， 由（1）可知，， 点是的中点， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ． 【变式5-1】（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即可得根据是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：∵是等边三角形，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴的长为． 故答案为：． 【变式5-2】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，等边三角形的边长为10，为边上一动点，过点作于点，过作于点．若，则___________； 【答案】7 【分析】本题考查了等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用等边三角形的内角为，结合直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半计算线段长度． 由得的长度；在中求得；在中求，进而得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在延长线上，若交BC于P，且，，则__________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，直角三角形的性质，先根据等边三角形的性质得出，，根据直角三角形性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【题型6 等腰三角形的存在性问题】* 【例6】（25-26八年级上·天津·期中）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点；符合条件的点一共4个． 【详解】解：分二种情况进行讨论： 当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点； 当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点． ∴符合条件的点一共4个． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段OA在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与y轴的交点，比较形象易懂． 【变式6-1】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣3），在坐标轴上确定一点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（　　）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】OA是等腰三角形的一边，确定第三点B，可以分OA是腰和底边两种情况进行讨论即可． 【详解】若AO作为腰时，有两种情况，当A是顶角顶点时，B是以A为圆心，以OA为半径的圆与坐标轴的交点，共有2个（除O点）； 当O是顶角顶点时，B是以O为圆心，以OA为半径的圆与坐标轴的交点，有4个； 若OA是底边时，B是OA的中垂线与坐标轴的交点，有2个． 以上8个交点没有重合的，故符合条件的点有8个． 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质和等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底，哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 【变式6-2】已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 【答案】B 【分析】分类讨论①②③时，求出点P的个数． 【详解】因为为等腰三角形， 所以可分三类讨论： ①(有一个)．此时只要以A为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P； ②(有两个)．此时只要以O为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择； ③(一个)．作的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择． 综上所述，共有4个． 故选B.    【点睛】本题考查等腰三角形的判定、坐标与图形性质，解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏． 【变式6-3】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）在直角坐标系中，O为坐标原点，已知，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、坐标与图形性质等知识，解题的关键是考虑问题要全面，不能漏解，属于基础题，中考常考题型． 分三种情形考虑为顶角，为顶角，为顶角即可解决问题． 【详解】解：如图，为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有4个． 故选A． 【题型7 依据三角形的有关线段求角度】 【例7】（25-26八年级上·天津红桥·期末）如图，在中，是边上的中线，点在边上，且，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形内角和定理，关键是利用等腰三角形“三线合一”的性质确定，再结合等腰三角形的内角计算求出角度． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴，，且． ∵， ∴． 又∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，中，，，是的中线，点在边上，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，等边对等角、三角形内角和定理等知识，由等腰三角形三线合一性质得，，又，则有，然后通过角度和差即可求解，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，是的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式7-2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，是的中线，点E是边上一点，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由等边对等角得到，由三线合一定理得到，则可证明得到的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式7-3】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，AD、CE分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（ ） A．20° B．30° C．35° D．70° 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质可得的度数，再根据角平分线的定义即可得． 【详解】解：， ， 是的角平分线， ， 故选：C． 【题型8 依据三角形的有关线段求边长】 【例8】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图： 在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 【变式8-1】（25-26八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，交于点，，，则的长为（　　）    A．9 B．10 C．12 D．6 【答案】A 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而利用含30度角的直角三角形的性质可得，，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ，， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握握等腰三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 【变式8-2】（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于E，D为垂足，连接，若，则等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，等角对等边，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，再由线段垂直平分线的性质可得，从而得到，然后根据三角形外角的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 【变式8-3】（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据含直角三角形的性质得，即可得出，及，然后说明，最后求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵ ∴． ∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的长为； 故选：C． 【题型9 三角形有关线段的交点应用】 【例9】（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（    ）    A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点 C．三角形三个内角的角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：依题意，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点, 故选：D． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【变式9-1】（25-26八年级上·天津·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 【变式9-2】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处． 【题型10 三角形高线的作图】 【例10】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，画出边上的高，正确的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点向作垂线，垂足为，纵观各图形，A、B、C都不符合题意，D符合高线的定义， 故选：D． 【变式10-1】（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）下列四个图形中，是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高的定义，牢记相关的知识点是解题关键． 根据三角形的高的定义分析判断即可得到答案． 【详解】解：A、不是的高，选项不符合题意； B、不是的高，选项不符合题意； C、线段BD是的高，选项符合题意； D、不是的高，选项不符合题意． 故选：C 【变式10-2】（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）下列四个图形中，线段是的高的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足所连的线段叫做三角形的高，由此求解即可． 【详解】解：第一幅图，BH是AC边上的高，符合题意； 第二幅图，BH不是三角形的高，不合题意； 第三幅图，BH不是三角形的高，不合题意； 第四幅图，BH是AC边上的高，符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，解题的关键在于能够熟练掌握三角形高的定义． 【变式10-3】（25-26七年级下·四川达州·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高， 题目要求是的高，需要满足：过顶点，作对边所在直线的垂线，垂足为； 对四个选项逐一判断： A、，不垂直于，不符合； B、不垂直于，不符合； C、，不垂直于，不符合； D、过顶点作延长线的垂线，垂足为，符合三角形高的定义． 【题型11 三角形的面积问题】* 【例11】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 【答案】8 【详解】解：点、、分别是、、的中点， 、、， 是的中线， ， ， ． 【变式11-1】（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了与中线有关的三角形的面积的计算，由点为边的中点，得出，再由点为的中点得出，，即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点为边的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式11-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，若点D，E分别是，的中点，且的面积为12，则阴影部分的面积是__________． 【答案】3 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 先由点是的中点得出，再由点是的中点计算即可得解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 【题型12 依据三角形外角性质求角度】 【例12】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形的外角性质可得，再根据角平分线的定义即可得． 【详解】是的外角，且，， ， 又是的角平分线， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握理解三角形的外角性质是解题关键． 【变式12-1】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，是的外角的平分线，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质，角平分线的定义，计算角的差即可； 【详解】解：∵CD是∠ACE的角平分线， ∴∠ACE=2∠ACD=2×55°=110°， ∵∠ACE是三角形ABC的外角， ∴∠ACE=∠A＋∠B， ∴∠A=∠ACE－∠B=110°－40°=70°， 故选：C； 【点睛】本题考查角平分线的定义——平分所在的角，三角形的外角——三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；掌握三角形外角的性质是解题的关键． 【变式12-2】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，是的一个外角，平分，交的延长线于点D，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，本题先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式12-3】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角定理，熟练掌握“三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和”是解题的关键． 由，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到，结合已知，，然后等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【题型13 对称性求线段和的最值】* 【例3】（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为15，平分．若M，N分别是上的动点，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的关键． 如图，在截取，使得，连接，证明，则，由，可知当三点共线，且时，的值最小，如图，作于，则的最小值为，由，计算求解即可． 【详解】解：如图，在截取，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小， 如图，作于，则的最小值为， ∵，即，解得， ∴的最小值为6， 故选：D． 【变式13-1】（25-26八年级上·天津河东·期末）如图，等边中，平分，点P、Q分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值__________． 【答案】7 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，掌握相关知识是解决问题的关键． 作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为，然后根据等边三角形的性质可得是等边三角形，即可求得． 【详解】解：是等边三角形，平分， ，，为中点， ，， ， 作点关于的对称点，则，连接交于，如图， 则， 此时的值最小，最小值为， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故答案为：． 【变式13-2】（25-26八年级下·北京·开学考试）如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】在上截取，证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，为长，然后通过三角形面积公式求出长即可． 【详解】解：如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图， 即， ∵的面积为15， ∴，即， ∴． 【变式13-3】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，为等边三角形，，平分，为上一动点，连接，的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，得到的最小值为的长是解决本题的关键．过A作于F，过点E作于P，故，得到的最小值为，利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过A作于F，过点E作于P， ∵为等边三角形，， ∴, ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即的最小值为的长， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【题型14 折叠问题】 【例14】（25-26八年级上·天津·期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠BDC等于（　 　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°， ∴∠B=65°， ∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB=90°， ∴∠BCD=∠ECD=45°， ∴∠BDC=180°﹣∠BCD﹣∠B=70°， 【点睛】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理，此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用. 【变式14-1】（25-26八年级上·天津·期中）如图，将一张宽为的长方形纸片沿着线段折叠，若重叠部分的的面积是，则线段的长为____．    【答案】6 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、等角对等边以及三角形的面积等知识，掌握求解的方法是关键； 根据折叠的性质和平行线的性质可得，进而得到，然后利用三角形的面积公式求出即可解决问题． 【详解】解：如图，由折叠的性质可得：， ∵长方形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴，即， ∴（cm）， ∴， 故答案为：6．    【变式14-2】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，若，，则重叠部分的面积为________． 【答案】21 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．证明，得出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：根据题意知：，， 根据折叠可知：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积． 故答案为：21． 【变式14-3】（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将其沿AC折叠，点D落在E处，CE与AB交于点F，且EF=FB，则重叠部分△ACF的面积是 ____________ 【答案】10 【分析】因为BF=EF，所以可设EF=x，则在Rt△AFE中，根据勾股定理求x，进而求出即可． 【详解】∵EF=BF， ∴设EF=x，则AF=8-x， 在Rt△AFE中，（8-x）2=x2+42， 解之得：x=3， ∴AF=AB-FB=8-3=5， ． 故答案为：10． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理的应用，利用已知设EF=x，根据直角三角形AFE中运用勾股定理求x是解题的关键． 【题型15 依据三角形性质在网格中作图】 【例15】（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点A，B，C均在格点上． （1）_______度； （2）取格点D，连接，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段上画出点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_________． 【答案】 45 取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理及其逆定理可证明是等腰直角三角形，据此可得答案； （2）取格点E，连接并延长，交于点P，则点P即为所求；可证明，则垂直平分，则，可得，再由三角形外角的性质可得． 【详解】解：（1）由勾股定理和网格的特点可得， ， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45； （2）如图所示，取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求． 故答案为：取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求． 【变式15-1】（25-26八年级上·天津河东·期末）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹） （1）画出的高（本问只需在图上保留作图痕迹）__________； （2）已知点（不在格点，也不在格线上）是线段上一点，画关于轴的对称点（简要说明作图过程，无需证明）_____________； 【答案】 如图， 如图， 取格点和，连接，连接与y轴交于点，连并延长交于点． 【分析】本题主要考查了图形的变换——轴对称，全等三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称的性质是解答的关键． （1）取格点，连接交于点，即为所求； （2）取格点和，可得点和是点和点关于轴的对称点，连接，连接与y轴交于点，连并延长交于点，点即为所求． 【变式15-2】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，分别为格点，点为格线上一定点，点和分别为和上的动点． （1）_____ （2）请利用无刻度直尺，在如图所示的网格中，画出点和的位置，满足的周长取得最小值，并简要说明画法不要求证明______． 【答案】 取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及用轴对称，两点之间线段最短． （1）利用等腰直角三角形的性质，即可求出的度数； （2）取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，点和即为所求， 方法：取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称； 同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称； 连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求， 故答案为：取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求． 【题型16 三角形有关线段的综合运用】 【例16】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E． (1)求∠CAD的大小； (2)若BC＝3，求DE的长． 【答案】(1)30° (2)1 【分析】（1）先说明△ABD是等腰三角形，再根据三角形的内角和即可得出答案； （2）设DC的长为y，根据直角三角形的性质列出关于y方程，解出y即可． 【详解】（1）解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠B=∠EAD， 又∵AD是∠CAB的平分线， ∴∠CAD=∠EAD， 设∠CAD=x，则3x=90°， ∴x=30°， ∴∠CAD=30°； （2）∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC=DE， 设DC=y，则DE=y，BD=3-y， 又∵∠B=30°， ∴y=， 解得y=1， ∴DE=1． 【点睛】本题主要考查中垂线的性质和角平分线的性质，关键是要牢记垂直平分线的性质和角平分线的性质． 【变式16-1】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，，垂直平分分别交于点，平分交于点，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，角平分线的定义等知识，根据是的垂直平分线，则，所以，通过三角形内角和定理得，所以，然后通过角平分线定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 【变式16-2】（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）如图，在中，，为边上一点，点在的延长线上，连接，，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．分析题意，设，由是的外角，可知；已知，在中利用三角形内角和为，可表示出的度数；由于是的外角，再利用三角形外角性质求解，问题即可得解． 【详解】解：设， ． ， ． ， ． ， ． 【变式16-3】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在四边形中，，，，，，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质．延长，交于点，根据已知证出是等边三角形，设，根据列出方程，即可求解． 【详解】解：延长，交于点， ，， ，， 又， ， ， 是等边三角形， ， 设， ，，， ， 解得， ． 【变式16-4】（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）如图，在中，，，于点，平分，求与的度数．    【答案】，． 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形外角性质及角平分线的定义，熟练掌握“三角形的内角和是”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键． 先利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出的度数，根据得出，最后利用三角形外角性质求出与的度数． 【详解】解：在中，∵，，， ∴ ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型17 特殊三角形性质的综合运用】** 【例17】（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，过边长为4的等边的边上一点D作，垂足为E点． （1）______； （2）点F为延长线上一点，若，连接，线段与相交于点G，则的长为______． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质及其判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，求出得到，据此可得答案； （2）过点D作交于点H，证明是等边三角形，得到，；再证明，得到，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，过点D作交于点H， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式17-1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知是等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长至点，使，连接交于点，如图所示．若，则线段的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键； 过做，交于，根据题意判定是等边三角形，判定，进而根据等边三角形的性质即可求解； 【详解】解：过做，交于， 是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ，所以为中点， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为边长为的等边三角形， ， ； 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $