专题09 投影与视图、概率（期中真题汇编，山东专用）九年级数学上学期

专题09 投影与视图、概率 7大高频考点概览 考点01 投影 考点02 画物体的三视图 考点03 由三视图想象物体形状 考点04 随机事件 考点05 概率 考点06 用列举法求概率 考点07 用频率估计概率 考点01 投影 1．（25-26学年九上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（       ） A. 一条线段 B. 一个与原正方形全等的正方形 C. 一个邻边不等的平行四边形 D. 一个等腰梯形 【答案】D 【分析】 本题考查了投影，根据投影的含义进行判断即可； 【详解】 解：当正方形纸板所在平面与光线平行时，得到的正投影是一条线段；正方形纸板所在平面与光线垂直时，得到一个与原正方形全等的正方形；正方形纸板所在平面与光线不垂直也不平行时，得到一个平行四边形；正投影不可能得到等腰梯形； 故选：D． 2．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在该路灯下的影子（       ） A. 始终不变 B. 由长逐渐变短 C. 由短逐渐变长 D. 先变短后变长 【答案】D 【分析】 本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】 解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程， 所以他在地上的影子先变短后变长． 故选：D． 3．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）如图，小明居住的小区内有一条笔直的小路，有一盏路灯位于小路上两点的正中间，晚上，小明由点处径直走到点处，他在灯光照射下的影长与行走路程之间的变化关系用图象表示大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据中心投影的性质得到小明在路灯下行走时影长的变化即可解答． 【详解】 解：小明从M点走到灯下方时影长由长变短， 从灯下方走到N点时影长由短变长， C选项满足题意， 故选：C． 【点睛】 本题考查了函数的图象以及中心投影的性质，正确掌握中心投影是解题的关键． 4．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【分析】 本题考查了平行投影，作于点，如图，则四边形为矩形，，，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到” ，求出从而可得到的长． 【详解】 作于点，如图， 则四边形为矩形，，， 根据题意得， 即， 解得， 所以． 故选：． 5．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝2m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC＝1m． （1）请你在图中画出此时DE在太阳光下的投影EF； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在太阳光下的投影EF＝1.5m，请你计算DE的长． 【答案】（1）如图所示： （2）DE=3米 【分析】 （1）连接AC，过D点做AC平行线，交EB与点F，即可得投影EF． （2）太阳光属于平行光源，故，故，所以DE=3. 【详解】 （1）略 （2）∵DE//AC ∴∠EFD=∠BCA ∴ ∴ ∴ ∴DE=3米． 【点睛】 本题考查了平行投影以及相似三角形的判定和性质，在实际生活中，处处都存在相似三角形.当我们与其接触时，就能利用相似的相关知识去识别和解决实际生活中的问题，如同一时刻物高与影长的问题． 考点02 画物体的三视图 1．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根据从正面看到的是主视图，可得答案． 【详解】 解：这个立体图形的主视图为： ， 故选：． 2．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）如图所示的机器零件的左视图为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解题的关键． 根据简单几何体三视图的画法，画出它的左视图即可得到答案． 【详解】 解：这个几何体的左视图为： 故选：B ． 3．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了三视图，根据左视图的定义进行解答即可． 【详解】 解：如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是： ； 故选：C． 4．（25-26学年九上·山东淄博博山区第一中学·期中）将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【详解】 从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线， 故选：D． 【点睛】 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示． 5．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）如图所示，该几何体的俯视图是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查简单几何体的三视图，明确三视图的画法是解题的关键． 根据俯视图的画法即可得到答案． 【详解】 解：从上面看是四个正方形，符合题意的是C． 故选：C． 考点03 由三视图想象物体形状 1．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）（1）已知：线段，直线及直线外一点． 求作：矩形，使得边在直线上，，垂足为，对角线的长度为． （2）如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图． 1）在图②的横线上填写出两种视图的名称：________，_________； 2）根据两种视图中的数据（单位：cm），计算这个组合几何体的表面积是_________．（结果保留） 【答案】（1）矩形，如下图： （2）1）主，俯； 2） 【分析】 本题考查矩形的尺规作图、几何体的表面积，熟练掌握圆柱体的表面积公式是解题的关键． （1）通过作垂线确定矩形的两个相邻顶点，通过作圆弧找到点，使得的长度等于线段的长度，再通过作圆弧找到点，使得四边形成为矩形即可； （2）1）根据根据三视图的定义来判断视图的类型即可； 2）组合几何体是由一个长方形和一个圆柱组成，根据组成几何体的表面积为长方体的表面积与圆柱的侧面积的总和，求出长方体的表面积和圆柱的侧面积即可． 【详解】 （1）解：过点作直线的垂线，垂足为点，以点为圆心，以线段的长度为半径画弧，与直线相交于点，分别以点和点为圆心，以线段和的长度为半径画弧，两条弧在直线上方相交于点，连接点、、、，得到矩形； （2）1）解；根据三视图的定义得，第一个视图是从正面看到的，因此它是主视图， 第二个视图是从上方看到的，因此它是俯视图， 故答案为：主，俯； 2）解： 因此，这个组合几何体的表面积是， 故答案为：． 2．（25-26学年九上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）如图是一个无底帐篷的三视图，该帐篷的表面积是　　　　　　　（结果保留π）． 【答案】 【分析】 根据三视图得到每顶帐篷由圆锥的侧面和圆柱的侧面组成，且圆锥的母线长为8，底面圆的半径为，圆锥的高为6，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，圆柱的侧面展开图为矩形，则根据扇形的面积公式和矩形的面积公式分别进行计算，然后求它们的和积． 【详解】 解：根据三视图得圆锥的母线长为8，底面圆的半径为， 所以圆锥的侧面积，圆柱的侧面积， 所以每顶帐篷的表面积． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算，三视图，解题的关键是掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 3．（25-26学年九上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体. （1）画出该几何体的主视图、左视图和俯视图； （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加__________块小正方体. 【答案】（1）如图：      （2）6      【分析】 （1）根据简单组合体三视图的画法画出相应的图形即可； （2）在俯视图上相应位置备注出相应摆放的数目即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在备注数字的位置加摆相应数量的小正方体， 所以最多可以添加6块小正方体. 【点睛】 本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提． 4．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）某长方体的主视图、左视图如图所示，则该长方体的体积是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了长方体的三视图与体积计算，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据长方体的主视图和左视图确定长方体的长、宽、高，再利用长方体体积公式计算体积． 【详解】 由主视图可知，长方体的长为，高为， 由左视图可知，长方体的宽为，高为， 长方体的体积为：． 故答案为． 考点04 随机事件 1．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）下列随机事件属于“等可能性事件”的是（     ） A. 交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B. 掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C. 小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D. 小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【分析】 本题主要考查了等可能性事件， 等可能性事件需每个结果概率相等，再逐项判断即可． 【详解】 解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． 2．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）小亮用商城娃娃机抓娃娃，则他第一次“抓到娃娃”的事件是（       ） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 【答案】D 【分析】 本题考查随机事件的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可求解； 【详解】 解：小亮用商城娃娃机抓娃娃，则他第一次“抓到娃娃”的事件是随机事件， 故选：D； 考点05 概率 1．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查概率的计算，根据成功事件数与总事件数的比值求解． 【详解】 解：总共有4张卡片，其中印有“巳”的卡片有2张， 因此，抽取到“巳”的概率为成功事件数除以总事件数，即， 故选：D． 2．（25-26学年九上·山东济南实验初级中学·期中）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球　　　　　　　　　　个． 【答案】12 【分析】 本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用频率=红球个数÷总数，计算即可得出答案． 【详解】 解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 故答案为：12． 3．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）一个纸箱中混装有75颗白棋子和若干颗黑棋子，现将纸箱中棋子搅匀，并从中取出36颗棋子，数得黑棋子有9颗，据此估计该纸箱装有黑棋子约有　　　　　　颗． 【答案】25 【分析】 设有颗黑棋子，根据样本估计总体得到方程，再解方程即可求解； 本题主要考查用样本估计总体的统计思想、频率的意义与作用、分式方程的解法． 【详解】 解：设有颗黑棋子，依题意得： 解得 经检验：是原方程的解． 故答案为：25． 4．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图1转盘被等分为等份，如图正方形顶点处各有一个圆圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，指针所落扇形中的数字是几（当指针落指向分界线时，重新转动转盘），就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长． 请回答下列问题： （1）若嘉嘉从圆圈起跳，则她仅转动一次转盘，就能跳回到圈的概率_______； （2）若淇淇从圆圈起跳，则她转动一次转盘跳回到圈的概率与（）中嘉嘉的概率一样大吗？通过计算说明理由． 【答案】（1）     （2） 概率一样大，理由： 当转盘转一次时，淇淇从圈起跳，可能落在，，，， ∴共有种等可能情况，其中淇淇落在圈的情况种， ∴淇淇落在圈的概率为， 故嘉嘉和淇淇落在圈的概率一样大．      【分析】 此题考查了用概率公式求概率，熟练掌握利用概率公式求概率是解题的关键． （）由共有种等可能的结果，落回到圈的只有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案； （）利用概率公式求解，再进行判断即可得答案． (1) 小问详解： 解：∵共有种等可能的结果，落回到圈的只有种情况， ∴落回到圈的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 考点06 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名学生中恰好有2名女生的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，选出的2名学生中恰好有2名女生的有6种情况； ∴P（2女生）=． 故选：B． 【点睛】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 2．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）学生甲手中有4，6，8三张扑克牌，学生乙手中有3，5，10三张扑克牌，现每人从各自手中随机取出一张牌进行比较，数字大者胜，在该游戏中（       ） A. 甲获胜的概率大 B. 乙获胜的概率大 C. 两人获胜概率一样大 D. 不能确定 【答案】A 【分析】 列举出甲获胜的所有可能，求出甲获胜的概率，然后求出乙获胜的概率，比较大小即可得到结果． 【详解】 解：由题意知，甲取出4时，乙有3，5，10共三种可能，其中甲获胜有1种可能； 甲取出6时，乙有3，5，10共三种可能，其中甲获胜有2种可能； 甲取出8时，乙有3，5，10共三种可能，其中甲获胜有2种可能； ∴甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为 ∵ ∴甲获胜的概率大 故选A． 【点睛】 本题考查了列举法求概率．解题的关键在于正确列举事件． 3．（25-26学年九上·山东青岛·期中）为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了列举法求概率，列举出所有等可能结果数是解题的关键． 通过列举所有可能抽取结果数和恰好抽取1名男生和1名女生，然后运用概率公式求解即可． 【详解】 解：∵从3人（2男1女）中随机抽取2人，所有可能结果为：（男1，男2）、（男1，女）、（男2，女），共3种．其中恰好1男1女的结果为：（男1，女）、（男2，女），共2种． ∴恰好是1名男生和1名女生的概率是． 故选D． 4．（25-26学年九上·山东济南实验初级中学·期中）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种， ∴恰好选到同一种营养套餐的概率是． 故选：A． 5．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）将标有“最”“美”“宁”“夏”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“宁夏”的概率是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查利用树状图求概率．根据题意画出树状图即可得到本题答案． 【详解】 解：根据题意画如下树状图： 共有12种情况，其中2种符合题意， ∴摸到的球上的汉字可以组成“宁夏”的概率是：， 故选：C． 6．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）某校在校运会期间，组织了一次拔河比赛，裁判员让甲、乙两队队长用“石头、剪刀、布”的方式选择场地位置．游戏规则如下： 若一人出“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪刀”者胜；若一人出“石头”，另一人出“剪刀”，则出“石头”者胜；若一人出“布”，另一人出“石头”，则出“布”者胜；若两人出相同手势，则两人平局． 假设甲、乙两队队长每次出这三种手势的可能性相同． （1）列表格或画树状图法，列出甲、乙两队队长的手势可能出现的情况； （2）裁判员的这种做法对甲、乙两队公平吗？请说明理由． 【答案】（1） 解：列表格如下： 画树状图如下： 甲 乙 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布）      （2） 解：公平，理由如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲获胜的结果有3种，乙获胜的结果有3种， ∴（甲获胜），（乙获胜）， ∵（甲获胜）（乙获胜）， ∴对甲乙两队是公平的．      【分析】 本题考查了列表法或画树状图法求概率，根据题意准确列表或画出树状图是解题的关键． （1）根据题意列出表格或画树状图即可； （2）根据（1）中的表格或树状图，得出所有的等可能的结果数，以及甲获胜的结果数和乙获胜的结果数，根据概率公式计算出甲获胜和乙获胜的概率，再比较即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 7．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）某班在课外活动时间从篮球、足球、花样跳绳、踢毽子4项体育活动中选取3项，则篮球、花样跳绳都在其中的概率为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了列举法求概率，先列举出所有等可能性的结果数，再找到篮球、花样跳绳都在其中的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】 解：从篮球、足球、花样跳绳、踢毽子4项体育活动中选取3项，有以下选择： 选择篮球、足球、花样跳绳，选择篮球、足球、踢毽子，选择篮球、花样跳绳、踢毽子，选择足球、花样跳绳、踢毽子， 一共有4种选择，其中篮球、花样跳绳都在其中的有两种选择， ∴篮球、花样跳绳都在其中的概率为， 故答案：． 8．（25-26学年九上·山东济南实验初级中学·期中）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等级式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．） 等级 频数 频率 A m B C n D 6 根据图表中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中______，______； （2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为______度； （3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 【答案】（1）     （2）     （3）       【分析】 本题考查了频数分布表和扇形统计图信息关联问题，以及概率问题，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据频数分布表求出总人数即可求解； （2）根据A等级所占比例即可求解； （3）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． (1) 小问详解： 解：由频数分布表可得，总人数为：（人）； ∴，， 故答案为： (2) 小问详解： 解：“A等”所对应的扇形的圆心角为：， 故答案为： (3) 小问详解： 解：记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件A，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2名学生为丙和丁，画出树状图： 一共有种等可能的结果，其中事件A包含4种可能的结果． ． 9．（25-26学年九上·山东东营实验中学·期中）DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（1）50，， 补全频数分布直方图如下：      （2）720人     （3）      【分析】 本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． （1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出B组学生人数，补全频数分布直方图即可； （2）用1200乘以成绩不低于80分的人数占比即可； （3）画出树状图，根据树状图解答即可． (1) 小问详解： 解：， ∴本次共抽取了50名学生的模具设计成绩， 组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数， ∴中位数分， 故答案为：50，； (2) 小问详解： 解：， 答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人； (3) 小问详解： 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种结果，所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 10．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字 如图，是两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标 （1）小明转动一次A盘，指针指向数字为2的概率是          ； （2）小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为正数，则小春胜；若差为负数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】（1）     （2） 这个游戏对双方不公平， 理由如下：列表如下： 由表知，共有12种等可能结果，其中差为负数的有6种结果，差为正数的有4种结果， 则小明胜的概率是，小春胜的概率是， ， 这个游戏对双方不公平．      被减数减数 1 2 4 5 3 1 2 4 0 1 4 0 1 【分析】 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出差为负数的情况数和差为正数的情况数，再根据概率公式求出各自获胜的概率，然后进行比较，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：小明转动一次A盘，则指针指向数字为2的概率是 故答案为： (2) 小问详解： 略 11．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组，A.，B.，C.，D.，得分在90分及以上为优秀）下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，87，86，89，85，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 9.0 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）若该校八年级有1000名学生，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ （3）该校从八、九两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取了4名学生，其中八年级2名，九年级2名，现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自九年级的概率． 【答案】（1）88.5，93，30     （2）910     （3）      【分析】 本题考查了众数，中位数，画树状图求概率，样本估计总体． （1）根据众数，中位数的定义进行分析，即可作答． （2）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （3）先画树状图，再得一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自九年级的结果有10种，然后列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，八年级20名学生的竞赛成绩，93出现次数最多，且为3次， ∴众数； ∵调查20名九年级学生竞赛成绩， ∴中位数排在第10和11名之间， 则，即A组有9名学生， 结合成绩情况，得出第10和11名的竞赛成绩分别是89和88， 中位数， 又∵B组有6名学生， ； 故答案为：88.5，93，30； (2) 小问详解： 解：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有： 人； (3) 小问详解： 解：九年级2名学生分别记为丙和丁，把八年级2名学生分别记为甲和乙，画出树状图如下： ∴一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自九年级的结果有10种， ∴抽到的学生至少有一名来自九年级的概率为． 12．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）从，2，，这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点在函数图象上的概率是 　　　　　． 【答案】 【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点恰好在反比例函数图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，点恰好在反比例函数图象上的有：，， ∴点在函数图象上的概率是：． 故答案为． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13．（25-26学年九上·山东青岛·期中）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：转动两个转盘各一次，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，两种颜色在一起即可配成紫色，那么配得紫色的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了画树状图求概率，根据题意正确画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出树状图，然后确定所有等可能结果数和配成紫色的结果数，最后运用概率公式求解即可． 【详解】 解：由图可知，第二个转盘中蓝色部分面积是红色部分面积的4倍． 由题意画树状图如下： 共有10种等可能的结果，其中配成紫色的结果有5种，则配得紫色的概率是． 故答案为：． 14．（25-26学年九上·山东青岛·期中）青岛-崂山是首批国家重点风景名胜区，有着海上“第一名山”之称．小明和小华所在的兴趣小组以“循历史纵深，探山海之魂”为主题开展综合实践活动，拟定了“A：水资源”“B：动植物种类”“C：矿产资源”三个研究主题，并将A，B，C分别写在三张不透明的卡片上，卡片除正面字母外，其余都完全相同．将这三张卡片背面朝上洗匀，小组成员通过抽取卡片确定其各自的研究主题． （1）小明随机抽取一张卡片，抽到B卡片的概率是______； （2）小明先随机抽取一张卡片，记下字母后背面朝上放回并洗匀，小华再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求两人抽到的卡片中有C卡片的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了树状图或列表法求解概率，概率公式，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵A，B，C分别写在三张不透明的卡片上，卡片除正面字母外，其余都完全相同， ∴小明随机抽取一张卡片，抽到B卡片的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两人抽到的卡片中有C卡片的结果数有5种， ∴两人抽到的卡片中有C卡片的概率是． 15．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）2025一汽红旗长春马拉松于5月25日鸣枪开赛，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，被随机分配到A“马拉松”，B“半程马拉松”和C“健康跑”三个项目组． （1）小智被分配到A“马拉松”项目组的概率为____________． （2）用画树状图（或列表）的方法，求小智和小慧被分到同一个项目组的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式即可求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵随机分配到A“马拉松”，B“半程马拉松”和C“健康跑”三个项目组， ∴小智被分配到A“马拉松”项目组的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 由图可知共有9种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组的情况有3种， ∴小智和小慧被分到同一个项目组的概率为． 考点07 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）数学课上，王老师与学生用如图所示的转盘做“用频率估计概率”的试验：随机转动转盘一次，当转盘停止后，指针指向阴影区域（若指向分界线，则重转）的频率如图所示，那么可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了频率估计概率，求圆心角，先结合频率的图得出指针指向阴影区域（若指向分界线，则重转）的频率为，运用整个圆周角为，进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：根据频率的图，得出指针指向阴影区域（若指向分界线，则重转）的频率为， 则， 即所有阴影部分的圆心角之和大约是， 故选：B 2．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）一个口袋中装有分别写有“吉祥”“如意”字的小球共20个，它们除此之外完全相同，将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下上面的字后，再放回口袋中搅匀，不断重复这过程，发现摸到“如意”球的频率稳定在0.65左右，则估计这个口袋中“吉祥”球的个数为（       ） A. 13个 B. 14个 C. 6个 D. 7个 【答案】D 【分析】 此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．解题的关键是根据摸到“如意”球的频率稳定在左右进行求解即可． 【详解】 解：设口袋中“如意”球有x个，根据题意，得：， 所以估计口袋中“如意”球有个． 则估计这个口袋中“吉祥”球的个数为个． 故选：D 3．（25-26学年九上·山东青岛·期中）体育，让生活更精彩；运动，让身体更健康．某校为了解九年级学生的排球垫球水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，其中有35人连续垫球超过40个．已知该年级共有450名学生，据此估计，从该年级任意抽取一名学生，这名学生连续垫球超过40个的概率约为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了用样本估计总体概率，灵活运用样本估计总体概率的方法解决实际问题是解题的关键． 先用样本频率估计总体概率，样本中垫球超过40个的频率即为概率的估计值． 【详解】 解：∵ 样本容量为50，其中垫球超过40个的人数为35， ∴ 样本频率为， ∴ 估计从总体中任意抽取一名学生垫球超过40个的概率约为． 故选C． 4．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）一个不透明的袋子里装有红、蓝两种颜色的球共40个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如表： 摸球次数 50 100 200 500 800 1000 摸到红球的频数 11 27 50 124 201 249 摸到红球的频率 0.220 0.270 0.250 0.248 0.251 0.249 请估计袋中红球的个数是　　　　　　 ． 【答案】10 【分析】 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用球的总个数乘摸到红球频率的稳定值即可． 【详解】 解：随着摸球次数增大，摸到红球的频率越接近 估计袋中红球的个数是（个）， 故答案为：10． 5．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据： 摸棋的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑棋的次数 24 51 76 124 201 250 摸到黑棋的频率（精确到0.001） 0.240 0.255 0.253 0.248 0.251 0.250 （1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是__________．（精确到0.01） （2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请用树状图或列表法求这两枚棋颜色相同的概率． 【答案】（1）0.25     （2）      【分析】 本题考查了利用频率估计概率，列表法或树状图法求概率． （1）大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解； （2）先估计出盒中黑棋与白棋各有多少枚，再利用列表法或画树状图法计算出一次摸出两枚棋，这两枚棋颜色不同的概率即可． (1) 小问详解： 解：表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，频率逐渐稳定于0.25， 故答案为：0.25； (2) 小问详解： 解：由（1）可知，黑棋的个数为，则白棋子的个数为3， 画树状图如下： 由表可知，所有等可能结果共有12种情况， 其中这两枚棋颜色相同的有6种结果， 所以这两枚棋颜色相同的概率为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 投影与视图、概率 7大高频考点概览 考点01 投影 考点02 画物体的三视图 考点03 由三视图想象物体形状 考点04 随机事件 考点05 概率 考点06 用列举法求概率 考点07 用频率估计概率 考点01 投影 1．（25-26学年九上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（       ） A. 一条线段 B. 一个与原正方形全等的正方形 C. 一个邻边不等的平行四边形 D. 一个等腰梯形 2．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在该路灯下的影子（       ） A. 始终不变 B. 由长逐渐变短 C. 由短逐渐变长 D. 先变短后变长 3．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）如图，小明居住的小区内有一条笔直的小路，有一盏路灯位于小路上两点的正中间，晚上，小明由点处径直走到点处，他在灯光照射下的影长与行走路程之间的变化关系用图象表示大致是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝2m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC＝1m． （1）请你在图中画出此时DE在太阳光下的投影EF； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在太阳光下的投影EF＝1.5m，请你计算DE的长． 考点02 画物体的三视图 1．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）如图所示的机器零件的左视图为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山东淄博博山区第一中学·期中）将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）如图所示，该几何体的俯视图是（     ） A.  B.  C.  D.  考点03 由三视图想象物体形状 1．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）（1）已知：线段，直线及直线外一点． 求作：矩形，使得边在直线上，，垂足为，对角线的长度为． （2）如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图． 1）在图②的横线上填写出两种视图的名称：________，_________； 2）根据两种视图中的数据（单位：cm），计算这个组合几何体的表面积是_________．（结果保留） 2．（25-26学年九上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）如图是一个无底帐篷的三视图，该帐篷的表面积是　　　　　　　（结果保留π）． 3．（25-26学年九上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体. （1）画出该几何体的主视图、左视图和俯视图； （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加__________块小正方体. 4．（25-26学年九上·山东济宁高新区·期中）某长方体的主视图、左视图如图所示，则该长方体的体积是　　　　　　　　　． 考点04 随机事件 1．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）下列随机事件属于“等可能性事件”的是（     ） A. 交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B. 掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C. 小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D. 小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 2．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）小亮用商城娃娃机抓娃娃，则他第一次“抓到娃娃”的事件是（       ） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 考点05 概率 1．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山东济南实验初级中学·期中）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球　　　　　　　　　　个． 3．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）一个纸箱中混装有75颗白棋子和若干颗黑棋子，现将纸箱中棋子搅匀，并从中取出36颗棋子，数得黑棋子有9颗，据此估计该纸箱装有黑棋子约有　　　　　　颗． 4．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图1转盘被等分为等份，如图正方形顶点处各有一个圆圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，指针所落扇形中的数字是几（当指针落指向分界线时，重新转动转盘），就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长． 请回答下列问题： （1）若嘉嘉从圆圈起跳，则她仅转动一次转盘，就能跳回到圈的概率_______； （2）若淇淇从圆圈起跳，则她转动一次转盘跳回到圈的概率与（）中嘉嘉的概率一样大吗？通过计算说明理由． 考点06 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）学生甲手中有4，6，8三张扑克牌，学生乙手中有3，5，10三张扑克牌，现每人从各自手中随机取出一张牌进行比较，数字大者胜，在该游戏中（       ） A. 甲获胜的概率大 B. 乙获胜的概率大 C. 两人获胜概率一样大 D. 不能确定 3．（25-26学年九上·山东青岛·期中）为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山东济南实验初级中学·期中）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）将标有“最”“美”“宁”“夏”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“宁夏”的概率是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）某校在校运会期间，组织了一次拔河比赛，裁判员让甲、乙两队队长用“石头、剪刀、布”的方式选择场地位置．游戏规则如下： 若一人出“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪刀”者胜；若一人出“石头”，另一人出“剪刀”，则出“石头”者胜；若一人出“布”，另一人出“石头”，则出“布”者胜；若两人出相同手势，则两人平局． 假设甲、乙两队队长每次出这三种手势的可能性相同． （1）列表格或画树状图法，列出甲、乙两队队长的手势可能出现的情况； （2）裁判员的这种做法对甲、乙两队公平吗？请说明理由． 甲 乙 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 7．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）某班在课外活动时间从篮球、足球、花样跳绳、踢毽子4项体育活动中选取3项，则篮球、花样跳绳都在其中的概率为　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·山东济南实验初级中学·期中）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等级式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．） 等级 频数 频率 A m B C n D 6 根据图表中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中______，______； （2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为______度； （3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 9．（25-26学年九上·山东东营实验中学·期中）DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 10．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字 如图，是两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标 （1）小明转动一次A盘，指针指向数字为2的概率是          ； （2）小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为正数，则小春胜；若差为负数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 被减数减数 1 2 4 5 3 1 2 4 0 1 4 0 1 11．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组，A.，B.，C.，D.，得分在90分及以上为优秀）下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，87，86，89，85，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 9.0 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）若该校八年级有1000名学生，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ （3）该校从八、九两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取了4名学生，其中八年级2名，九年级2名，现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自九年级的概率． 12．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）从，2，，这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点在函数图象上的概率是 　　　　　． 13．（25-26学年九上·山东青岛·期中）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：转动两个转盘各一次，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，两种颜色在一起即可配成紫色，那么配得紫色的概率是　　　　　　． 14．（25-26学年九上·山东青岛·期中）青岛-崂山是首批国家重点风景名胜区，有着海上“第一名山”之称．小明和小华所在的兴趣小组以“循历史纵深，探山海之魂”为主题开展综合实践活动，拟定了“A：水资源”“B：动植物种类”“C：矿产资源”三个研究主题，并将A，B，C分别写在三张不透明的卡片上，卡片除正面字母外，其余都完全相同．将这三张卡片背面朝上洗匀，小组成员通过抽取卡片确定其各自的研究主题． （1）小明随机抽取一张卡片，抽到B卡片的概率是______； （2）小明先随机抽取一张卡片，记下字母后背面朝上放回并洗匀，小华再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求两人抽到的卡片中有C卡片的概率． 15．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）2025一汽红旗长春马拉松于5月25日鸣枪开赛，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，被随机分配到A“马拉松”，B“半程马拉松”和C“健康跑”三个项目组． （1）小智被分配到A“马拉松”项目组的概率为____________． （2）用画树状图（或列表）的方法，求小智和小慧被分到同一个项目组的概率． 考点07 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）数学课上，王老师与学生用如图所示的转盘做“用频率估计概率”的试验：随机转动转盘一次，当转盘停止后，指针指向阴影区域（若指向分界线，则重转）的频率如图所示，那么可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）一个口袋中装有分别写有“吉祥”“如意”字的小球共20个，它们除此之外完全相同，将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下上面的字后，再放回口袋中搅匀，不断重复这过程，发现摸到“如意”球的频率稳定在0.65左右，则估计这个口袋中“吉祥”球的个数为（       ） A. 13个 B. 14个 C. 6个 D. 7个 3．（25-26学年九上·山东青岛·期中）体育，让生活更精彩；运动，让身体更健康．某校为了解九年级学生的排球垫球水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，其中有35人连续垫球超过40个．已知该年级共有450名学生，据此估计，从该年级任意抽取一名学生，这名学生连续垫球超过40个的概率约为（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）一个不透明的袋子里装有红、蓝两种颜色的球共40个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如表： 摸球次数 50 100 200 500 800 1000 摸到红球的频数 11 27 50 124 201 249 摸到红球的频率 0.220 0.270 0.250 0.248 0.251 0.249 请估计袋中红球的个数是　　　　　　 ． 5．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据： 摸棋的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑棋的次数 24 51 76 124 201 250 摸到黑棋的频率（精确到0.001） 0.240 0.255 0.253 0.248 0.251 0.250 （1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是__________．（精确到0.01） （2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请用树状图或列表法求这两枚棋颜色相同的概率． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 投影与视图、概率 考点01 投影 考点02 画物体的三视图 考点03 由三视图想象物体形状 考点04 随机事件 考点05 概率 考点06 用列举法求概率 考点07 用频率估计概率 考点01 投影 1．D 2．D 3．C 4．C 5．【答案】（1）如图所示： （2）DE=3米 【分析】 （1）连接AC，过D点做AC平行线，交EB与点F，即可得投影EF． （2）太阳光属于平行光源，故，故，所以DE=3. 【详解】 （1）略 （2）∵DE//AC ∴∠EFD=∠BCA ∴ ∴ ∴ ∴DE=3米． 【点睛】 本题考查了平行投影以及相似三角形的判定和性质，在实际生活中，处处都存在相似三角形.当我们与其接触时，就能利用相似的相关知识去识别和解决实际生活中的问题，如同一时刻物高与影长的问题． 考点02 画物体的三视图 1．A 2．B 3．C 4．D 5．C 考点03 由三视图想象物体形状 1．【答案】（1）矩形，如下图： （2）1）主，俯； 2） 【分析】 本题考查矩形的尺规作图、几何体的表面积，熟练掌握圆柱体的表面积公式是解题的关键． （1）通过作垂线确定矩形的两个相邻顶点，通过作圆弧找到点，使得的长度等于线段的长度，再通过作圆弧找到点，使得四边形成为矩形即可； （2）1）根据根据三视图的定义来判断视图的类型即可； 2）组合几何体是由一个长方形和一个圆柱组成，根据组成几何体的表面积为长方体的表面积与圆柱的侧面积的总和，求出长方体的表面积和圆柱的侧面积即可． 【详解】 （1）解：过点作直线的垂线，垂足为点，以点为圆心，以线段的长度为半径画弧，与直线相交于点，分别以点和点为圆心，以线段和的长度为半径画弧，两条弧在直线上方相交于点，连接点、、、，得到矩形； （2）1）解；根据三视图的定义得，第一个视图是从正面看到的，因此它是主视图， 第二个视图是从上方看到的，因此它是俯视图， 故答案为：主，俯； 2）解： 因此，这个组合几何体的表面积是， 故答案为：． 2．【答案】 【分析】 根据三视图得到每顶帐篷由圆锥的侧面和圆柱的侧面组成，且圆锥的母线长为8，底面圆的半径为，圆锥的高为6，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，圆柱的侧面展开图为矩形，则根据扇形的面积公式和矩形的面积公式分别进行计算，然后求它们的和积． 【详解】 解：根据三视图得圆锥的母线长为8，底面圆的半径为， 所以圆锥的侧面积，圆柱的侧面积， 所以每顶帐篷的表面积． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算，三视图，解题的关键是掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 3．【答案】（1）如图：      （2）6      【分析】 （1）根据简单组合体三视图的画法画出相应的图形即可； （2）在俯视图上相应位置备注出相应摆放的数目即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在备注数字的位置加摆相应数量的小正方体， 所以最多可以添加6块小正方体. 【点睛】 本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提． 4．【答案】 【分析】 本题考查了长方体的三视图与体积计算，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据长方体的主视图和左视图确定长方体的长、宽、高，再利用长方体体积公式计算体积． 【详解】 由主视图可知，长方体的长为，高为， 由左视图可知，长方体的宽为，高为， 长方体的体积为：． 故答案为． 考点04 随机事件 1．C 2．D 考点05 概率 1．D 2．【答案】12 【分析】 本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用频率=红球个数÷总数，计算即可得出答案． 【详解】 解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 故答案为：12． 3．【答案】25 【分析】 设有颗黑棋子，根据样本估计总体得到方程，再解方程即可求解； 本题主要考查用样本估计总体的统计思想、频率的意义与作用、分式方程的解法． 【详解】 解：设有颗黑棋子，依题意得： 解得 经检验：是原方程的解． 故答案为：25． 4．【答案】（1）     （2） 概率一样大，理由： 当转盘转一次时，淇淇从圈起跳，可能落在，，，， ∴共有种等可能情况，其中淇淇落在圈的情况种， ∴淇淇落在圈的概率为， 故嘉嘉和淇淇落在圈的概率一样大．      【分析】 此题考查了用概率公式求概率，熟练掌握利用概率公式求概率是解题的关键． （）由共有种等可能的结果，落回到圈的只有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案； （）利用概率公式求解，再进行判断即可得答案． (1) 小问详解： 解：∵共有种等可能的结果，落回到圈的只有种情况， ∴落回到圈的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 考点06 用列举法求概率 1．B 2．A 3．D 4．A 5．C 6．【答案】（1） 解：列表格如下： 画树状图如下： 甲 乙 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布）      （2） 解：公平，理由如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲获胜的结果有3种，乙获胜的结果有3种， ∴（甲获胜），（乙获胜）， ∵（甲获胜）（乙获胜）， ∴对甲乙两队是公平的．      【分析】 本题考查了列表法或画树状图法求概率，根据题意准确列表或画出树状图是解题的关键． （1）根据题意列出表格或画树状图即可； （2）根据（1）中的表格或树状图，得出所有的等可能的结果数，以及甲获胜的结果数和乙获胜的结果数，根据概率公式计算出甲获胜和乙获胜的概率，再比较即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 7．【答案】 【分析】 本题主要考查了列举法求概率，先列举出所有等可能性的结果数，再找到篮球、花样跳绳都在其中的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】 解：从篮球、足球、花样跳绳、踢毽子4项体育活动中选取3项，有以下选择： 选择篮球、足球、花样跳绳，选择篮球、足球、踢毽子，选择篮球、花样跳绳、踢毽子，选择足球、花样跳绳、踢毽子， 一共有4种选择，其中篮球、花样跳绳都在其中的有两种选择， ∴篮球、花样跳绳都在其中的概率为， 故答案：． 8．【答案】（1）     （2）     （3）       【分析】 本题考查了频数分布表和扇形统计图信息关联问题，以及概率问题，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据频数分布表求出总人数即可求解； （2）根据A等级所占比例即可求解； （3）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． (1) 小问详解： 解：由频数分布表可得，总人数为：（人）； ∴，， 故答案为： (2) 小问详解： 解：“A等”所对应的扇形的圆心角为：， 故答案为： (3) 小问详解： 解：记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件A，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2名学生为丙和丁，画出树状图： 一共有种等可能的结果，其中事件A包含4种可能的结果． ． 9．【答案】（1）50，， 补全频数分布直方图如下：      （2）720人     （3）      【分析】 本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． （1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出B组学生人数，补全频数分布直方图即可； （2）用1200乘以成绩不低于80分的人数占比即可； （3）画出树状图，根据树状图解答即可． (1) 小问详解： 解：， ∴本次共抽取了50名学生的模具设计成绩， 组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数， ∴中位数分， 故答案为：50，； (2) 小问详解： 解：， 答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人； (3) 小问详解： 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种结果，所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 10．【答案】（1）     （2） 这个游戏对双方不公平， 理由如下：列表如下： 由表知，共有12种等可能结果，其中差为负数的有6种结果，差为正数的有4种结果， 则小明胜的概率是，小春胜的概率是， ， 这个游戏对双方不公平．      被减数减数 1 2 4 5 3 1 2 4 0 1 4 0 1 【分析】 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出差为负数的情况数和差为正数的情况数，再根据概率公式求出各自获胜的概率，然后进行比较，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：小明转动一次A盘，则指针指向数字为2的概率是 故答案为： (2) 小问详解： 略 11．【答案】（1）88.5，93，30     （2）910     （3）      【分析】 本题考查了众数，中位数，画树状图求概率，样本估计总体． （1）根据众数，中位数的定义进行分析，即可作答． （2）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （3）先画树状图，再得一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自九年级的结果有10种，然后列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，八年级20名学生的竞赛成绩，93出现次数最多，且为3次， ∴众数； ∵调查20名九年级学生竞赛成绩， ∴中位数排在第10和11名之间， 则，即A组有9名学生， 结合成绩情况，得出第10和11名的竞赛成绩分别是89和88， 中位数， 又∵B组有6名学生， ； 故答案为：88.5，93，30； (2) 小问详解： 解：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有： 人； (3) 小问详解： 解：九年级2名学生分别记为丙和丁，把八年级2名学生分别记为甲和乙，画出树状图如下： ∴一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自九年级的结果有10种， ∴抽到的学生至少有一名来自九年级的概率为． 12．【答案】 【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点恰好在反比例函数图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，点恰好在反比例函数图象上的有：，， ∴点在函数图象上的概率是：． 故答案为． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了画树状图求概率，根据题意正确画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出树状图，然后确定所有等可能结果数和配成紫色的结果数，最后运用概率公式求解即可． 【详解】 解：由图可知，第二个转盘中蓝色部分面积是红色部分面积的4倍． 由题意画树状图如下： 共有10种等可能的结果，其中配成紫色的结果有5种，则配得紫色的概率是． 故答案为：． 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了树状图或列表法求解概率，概率公式，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵A，B，C分别写在三张不透明的卡片上，卡片除正面字母外，其余都完全相同， ∴小明随机抽取一张卡片，抽到B卡片的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两人抽到的卡片中有C卡片的结果数有5种， ∴两人抽到的卡片中有C卡片的概率是． 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式即可求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵随机分配到A“马拉松”，B“半程马拉松”和C“健康跑”三个项目组， ∴小智被分配到A“马拉松”项目组的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 由图可知共有9种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组的情况有3种， ∴小智和小慧被分到同一个项目组的概率为． 考点07 用频率估计概率 1．B 2．D 3．C 4．【答案】10 【分析】 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用球的总个数乘摸到红球频率的稳定值即可． 【详解】 解：随着摸球次数增大，摸到红球的频率越接近 估计袋中红球的个数是（个）， 故答案为：10． 5．【答案】（1）0.25     （2）      【分析】 本题考查了利用频率估计概率，列表法或树状图法求概率． （1）大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解； （2）先估计出盒中黑棋与白棋各有多少枚，再利用列表法或画树状图法计算出一次摸出两枚棋，这两枚棋颜色不同的概率即可． (1) 小问详解： 解：表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，频率逐渐稳定于0.25， 故答案为：0.25； (2) 小问详解： 解：由（1）可知，黑棋的个数为，则白棋子的个数为3， 画树状图如下： 由表可知，所有等可能结果共有12种情况， 其中这两枚棋颜色相同的有6种结果， 所以这两枚棋颜色相同的概率为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $