2.5.1 有理数的混合运算及其应用 同步练习 2026--2027学年北师大版七年级数学上册

2.5.1 有理数的混合运算及其应用 考向1 有理数的混合运算 1.（2025-2026学年曲靖期末） 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 2.（2025-2026学年崇左阶段检测）计算：的结果是（ ） A. 2 B. -25 C. -7 D. 以上都不是 3.定义，例如，则的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 3 4.算式中，在◯中填入下列运算符号后，运算过程中第一步不可以直接去掉括号的是（     ） A． B． C． D． 5.（2025-2026学年大期中）如图是一个程序图，若输入的，则输出的结果是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 19 6.（2025-2026学年平顶山期中）从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且，，若公式为正整数），则为（ ） A. 28 B. 64 C. 70 D. 84 7.（2026攀枝花中考）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（ ） A. 3 B. 7 C. 13 D. 31 8.（2025-2026学年沧州期末）计算：_____． 9.（2025-2026学年盐城期末）如图，将一刻度尺放在数轴上．若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0，则数轴上的点3对应刻度尺上的______ ． 10.计算的结果是 　　． 11.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12.（2025-2026学年邢台期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 考向2 有理数混合运算的应用 1.（2025-2026学年临汾期末） 《九章算术》中记载“今有上八人，下六人，上每人得钱五，下每人出钱三，问余钱几何？”（注：“上”指收入，“下”指支出，收入为正，支出为负）下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2.（2025-2026学年六安期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2026年为农历（    ）年． A. 乙巳 B. 丙午 C. 乙午 D. 丙巳 3.（2025-2026学年上海期末）小可同学家的冰箱有三块区域，冷藏区（）、生鲜区（）、冷冻区（及以下）．一天，他将妈妈买来的商品放入冰箱，其中有一个进口药品上写着“贮藏温度是至”，小可同学不了解（华氏度）与（摄氏度）之间的关系，于是查询了一下，了解到它俩转换关系是：华氏度摄氏度，那么小可应该将这个进口药品放在（　　） A. 冷藏区 B. 生鲜区 C. 冷冻区 D. 常温储存 4.（2025-2026学年滨州期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，把绳子从右到左由细变粗且满进进行记录，那么从中可以判定孩子已经出生了（ ）     A. 天 B. 天 C. 天 D. 天 5.（2024-2025学年玉林期末）随着出行方式的多样化，某市三类打车方式的收费标准如表： 出租车 A打车软件 B打车软件 3千米以内：10元 路程：1.2元/千米 路程：1.6元/千米 超过3千米的部分：2.4元/千米 时间：0.6元/分钟 时间：0.4元/分钟 已知三种打车的平均车速均为40千米/时，去8千米远的地方，出行方式更省钱的是（ ） A. 出租车出行更省钱 B. A打车软件更省钱 C. B打车软件更省钱 D. 都一样省钱 6.（2025威海中考）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A. B. C. D. 7.（2025-2026学年周口期末）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若秋分的“晷长”是尺，霜降的“晷长”是尺，则小雪的“晷长”是_________尺． 8.（2025-2026学年湘西期末）湘西州某电商把椪柑产品放到了网上售卖，原计划每天卖椪柑，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如下表是某周的销售情况（超量记为正，不足记为负．单位：）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 根据记录的数据可知这个星期总销售量为______． 9.（2025-2026学年南通期末）冬季来临，小芳家为了节省取暖费用，将旧空调更换为节能空调．她记录了一星期内每天节能空调的运行时长（如下表，单位：小时）．以5小时为标准，超过的小时数记为正数，不足的小时数记为负数．其中，星期五比星期四多用小时． 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长 a 0 （1）根据题意得： ______； （2）已知旧空调耗电每小时度，节能空调耗电每小时度，若电价为元/度，小芳家换成节能空调后，这一星期七天的电费比原来使用旧空调节省了多少元？ 10.（2025-2026学年周口期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） （1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送___________单； （2）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （3）外卖小哥每天的工资由60元底薪和送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 有理数的混合运算及其应用 考向1 有理数的混合运算 1.（2025-2026学年曲靖期末） 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方运算及四则混合运算，需按照先乘方、再乘除、后加减的运算顺序逐一计算各选项，判断结果是否正确． 【详解】解：∵，∴A选项错误． ∵，∴B选项错误． ∵，∴C选项正确． ∵，∴D选项错误． 故选：C． 2.（2025-2026学年崇左阶段检测）计算：的结果是（ ） A. 2 B. -25 C. -7 D. 以上都不是 【答案】B 【解析】 【分析】按照运算顺序，先算，再算，最后算即可． 【详解】解：． 3.定义，例如，则的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴ ． 4.算式中，在◯中填入下列运算符号后，运算过程中第一步不可以直接去掉括号的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵填或时，、均可直接去括号变形为、， ∴ A、B不符合题意； ∵填时，可直接去括号变形为， ∴ C不符合题意； ∵填时，无法直接去括号变形，需先算括号内的分数减法， ∴ D符合题意． 5.（2025-2026学年大期中）如图是一个程序图，若输入的，则输出的结果是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 19 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了程序流程图与有理数运算，理解程序流程图是解题的关键． 将代入流程图求解即可． 【详解】解：当输入的，， 输入，则，输出19． 故选D． 6.（2025-2026学年平顶山期中）从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且，，若公式为正整数），则为（ ） A. 28 B. 64 C. 70 D. 84 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算及有理数的混合运算，理解的含义及“”的运算方法是解决本题的关键． 先表示出，再利用新定义的运算符号“”计算得结论． 【详解】解： ． 故选：D． 7.（2026攀枝花中考）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（ ） A. 3 B. 7 C. 13 D. 31 【答案】A 【解析】 【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1就是快乐数，否则不是． 【详解】解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 8.（2025-2026学年沧州期末）计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用以及分数的通分与计算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．先利用乘法分配律展开计算，或先计算括号内的加减运算，再与括号外的数相乘，最后根据有理数乘法法则得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 9.（2025-2026学年盐城期末）如图，将一刻度尺放在数轴上．若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0，则数轴上的点3对应刻度尺上的______ ． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，有理数的四则混合运算，根据题意可求出刻度尺上的长即为数轴上的1个单位长度，根据数轴上的点3在0的右边3个单位长度即可得到答案． 【详解】解：刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0， 刻度尺上的长即为数轴上的个单位长度， 又数轴上的点3在0的右边3个单位长度，对应数轴上的点表示的数是0， 数轴上的点3对应刻度尺上的， 故答案为： 10.计算的结果是 　　． 【解答】解：设， 原式 ． 故答案为：． 11.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)15 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 12.（2025-2026学年邢台期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． 【详解】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：； （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：． 考向2 有理数混合运算的应用 1.（2025-2026学年临汾期末） 《九章算术》中记载“今有上八人，下六人，上每人得钱五，下每人出钱三，问余钱几何？”（注：“上”指收入，“下”指支出，收入为正，支出为负）下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的应用，根据题意列式，再计算即可. 【详解】解：由题意可得：. 故选：B 2.（2025-2026学年六安期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2026年为农历（    ）年． A. 乙巳 B. 丙午 C. 乙午 D. 丙巳 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，根据题目给出的天干、地支计算方法，列式计算后对照表格即可得出结果． 【详解】解：计算天干：，对照表格，序号3对应的天干为丙； 计算地支：，对照表格，序号7对应的地支为午， ∴2026年为农历丙午年， 故选：B． 3.（2025-2026学年上海期末）小可同学家的冰箱有三块区域，冷藏区（）、生鲜区（）、冷冻区（及以下）．一天，他将妈妈买来的商品放入冰箱，其中有一个进口药品上写着“贮藏温度是至”，小可同学不了解（华氏度）与（摄氏度）之间的关系，于是查询了一下，了解到它俩转换关系是：华氏度摄氏度，那么小可应该将这个进口药品放在（　　） A. 冷藏区 B. 生鲜区 C. 冷冻区 D. 常温储存 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将药品的华氏温度范围转换为摄氏度范围，再与冰箱各区域温度比较，即可解答． 【详解】解：∵华氏度摄氏度， ∴摄氏度（华氏度）， ∴当华氏度为时，摄氏度， 当华氏度为时，摄氏度， 故药品贮藏温度范围为至， 又∵冷藏区温度为， ∴该温度范围完全在冷藏区内，故应放在冷藏区． 故选：A． 4.（2025-2026学年滨州期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，把绳子从右到左由细变粗且满进进行记录，那么从中可以判定孩子已经出生了（ ）     A. 天 B. 天 C. 天 D. 天 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了八进制与十进制的转换，解题的关键是理解“满进”的计数规则．先确定八进制位权，从右到左分别为、、，提取各数位的结数，最后按八进制转十进制公式计算即可解答． 【详解】解：孩子的出生天数是（天）， 故选：． 5.（2024-2025学年玉林期末）随着出行方式的多样化，某市三类打车方式的收费标准如表： 出租车 A打车软件 B打车软件 3千米以内：10元 路程：1.2元/千米 路程：1.6元/千米 超过3千米的部分：2.4元/千米 时间：0.6元/分钟 时间：0.4元/分钟 已知三种打车的平均车速均为40千米/时，去8千米远的地方，出行方式更省钱的是（ ） A. 出租车出行更省钱 B. A打车软件更省钱 C. B打车软件更省钱 D. 都一样省钱 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，分别求出各种出行方式的费用，出租车的费用为3千米的费用加上超过3千米的部分的费用，A、B打车软件的费用为路程的费用加上时间的费用，计算后进行比较即可解答． 【详解】解：出行的时间为 出租车的费用为（元）； A打车软件的费用为（元）； B打车软件的费用为（元）； ∵， ∴A打车软件更省钱． 故选：B 6.（2025威海中考）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 7.（2025-2026学年周口期末）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若秋分的“晷长”是尺，霜降的“晷长”是尺，则小雪的“晷长”是_________尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，求出相邻两个节气晷长减少或增加的量．根据相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，观察从秋分到夏至霜降晷长变化次数即可求出相邻两个节气晷长减少或增加的量，从而可得小雪的晷长． 【详解】解：∵相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，从秋分到霜降变化2次， ∴相邻两个节气晷长减少或增加的量为 （尺）， 小雪的晷长为 （尺）， 故答案为：尺． 8.（2025-2026学年湘西期末）湘西州某电商把椪柑产品放到了网上售卖，原计划每天卖椪柑，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如下表是某周的销售情况（超量记为正，不足记为负．单位：）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 根据记录的数据可知这个星期总销售量为______． 【答案】1420 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用．根据计划每天销售量计算一周计划总量，再结合与计划量的差值总和，求出实际总销售量． 【详解】解：计划总销售量为， 差值总和为， 故总销售量为． 故答案为：1420． 9.（2025-2026学年南通期末）冬季来临，小芳家为了节省取暖费用，将旧空调更换为节能空调．她记录了一星期内每天节能空调的运行时长（如下表，单位：小时）．以5小时为标准，超过的小时数记为正数，不足的小时数记为负数．其中，星期五比星期四多用小时． 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长 a 0 （1）根据题意得： ______； （2）已知旧空调耗电每小时度，节能空调耗电每小时度，若电价为元/度，小芳家换成节能空调后，这一星期七天的电费比原来使用旧空调节省了多少元？ 【答案】（1）2 （2）节省了元 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）先求出星期四节能空调的运行时长，然后根据星期五比星期四多用小时，求出星期五节能空调的运行时长，最后求出a的值即可； （2）先求出节约的电量，然后求出节省的钱数即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：（小时）， （小时）， （元）， 答：小芳家换成节能空调后，这一星期七天的电费比原来使用旧空调节省了元． 10.（2025-2026学年周口期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） （1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送___________单； （2）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （3）外卖小哥每天的工资由60元底薪和送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】（1）23 （2）53单 （3）1252元 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法的应用，有理数的混合运算的应用，正数和负数的意义，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）外卖小哥这一周送餐量最多的一天的单数减去最少的一天的单数即可得出结果； （2）用总送餐量除以7即可得出平均每天送餐量； （3）根据工资构成方式列式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送（单）； 故答案为：23； 【小问2详解】 解：由题意，得（单）． 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单； 【小问3详解】 解：由题意，得 （元）． 答：该外卖小哥这一周工资收入1252元． 学科网（北京）股份有限公司 $