江苏省南京市雨花台区2026—2027学年苏科版九年级数学上学期第一次月考模拟练习卷

**基本信息** 聚焦一元二次方程与反比例函数，融入“双碳”背景应用题及新定义“长雅方程”题，梯度覆盖基础与创新，适配九年级月考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|一元二次方程定义、解的估算、反比例函数定义|结合表格数据考查方程解的范围，培养抽象能力| |填空题|10/20|根的判别式、增长率问题、反比例函数性质|第12题多维度辨析方程根的性质，发展推理意识| |解答题|9/68|解方程、反比例函数综合、新定义问题|24题“长雅方程”新定义考查创新意识，25题结合正方形与反比例函数，体现几何直观与应用意识|

江苏省南京市雨花台区苏科版2026—2027学年九年级数学上学期第一次月考模拟练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （测试范围：第一章、第二章 考试时间:120分钟 试卷满分:100分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题2分，满分12分） 1．下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（     ） A． B． C． D． 3．下列函数中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 4．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（   ） A． B． C． D． 5．“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，轴于点，，双曲线过点，交于点，连接，．若，，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 8．将一元二次方程配方后变形为，则的值为_______ ． 9．某农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克，设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为________________． 10．已知与成反比例，且当时，，则关于的函数解析式为________． 11．反比例函数的图象在第二、四象限内，则的取值范围是________． 12．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的是__ ． 13．如图，点是反比例函数图象上的一点，轴于点，轴于点，若矩形的面积为，则的值为________． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 15．设是方程的两个根，是方程的两个根，则代数式的值为___________． 16．如图，在轴的正半轴上依次截取 ，过，，，，，分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，，，，，，并设，，，的面积分别为，，，，按此作法进行下去，则的值为_____________________． 三、解答题（本大题共9小题，共计68分，其中17、18、19、20每题6分、21、22、23每题8分，24、25每题10分，解答题要有必要的文字说明） 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)写出关于的函数解析式； (3)当时，求的值． 19．如图，等腰的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象； (3)将等腰向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 20．某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 21．写出下列函数解析式，指出其中的正比例函数和反比例函数． (1)火车从北海驶往相距约的南宁，若火车的平均速度为，求火车距北海的距离与行驶的时间之间的函数解析式； (2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数解析式； (3)俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，求他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数解析式． 22．如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 23．直线与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值． (2)设点的坐标为且，过点作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点，，当时，求的值． 24．新定义：关于的一元二次方程与互为“长雅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“长雅方程”（在题后相应的括号中，是打“”，不是打“”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于的一元二次方程：的两实数根为． ①求的值； ②记方程的“长雅方程”为方程是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于的一元二次方程与它的“长雅方程”有且只有一个公共实数根，求的值． 25．如图，已知点，，且、满足．四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B B A A C 1．B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案． 【详解】解：选项A，含,两个未知数，不符合题意． 选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意． 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 2．B 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 3．B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】一般地，形如（k为常数，且）的函数称为反比例函数．根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是反比例函数，故本选项不合题意； B、是反比例函数，故本选项符合题意； C、不是反比例函数，故本选项不合题意； D、不是反比例函数，故本选项不合题意． 4．A 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】根据反比例函数的图像与性质确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， 当时，图象位于第二象限，对应； 当时，图象位于第四象限，对应． ∵，则点在第四象限， ∴， ∵，则点在第二象限， ∴， ∴． 5．A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】利用公式（其中a指原销售量，b指连续两次增速后的销售量，x为每次的平均增长率），列方程求解即可． 【详解】解：第一个月销售量为，月增长率为. 第二个月销售量为. 第三个月销售量为， ∵第三个月销售量是第一个月的倍， ∴． 6．C 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】延长，交轴于点，设，则，先求出，，，，的长，再根据列式计算即可． 【详解】解：如图，延长，交轴于点， ∵， ∴设，则， ∵轴，轴轴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 7． 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据“式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个相等的实数根”，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的值是． 8． 【知识点】解一元二次方程——配方法、配方法的应用 【分析】将等式左右两边都加一次项系数一半的平方，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴a的值为． 9． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】已知初始产量和两年后的产量，设平均每年增产百分率为，按增长率规律逐年计算两年后的产量，即可列出方程． 【详解】解：∵初始产量为千克，平均每年增产的百分率为， ∴第一年增产完成后的产量为千克， ∵第二年在第一年产量的基础上继续增产， ∴第二年增产完成后的产量为千克， ∴可列方程为． 10．/ 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】由与成反比例，设函数解析式为，将时，代入求出，即可得出答案． 【详解】设， 将，代入： ， ， ， ． 11． 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限内， ∴， 解得：． 12．①③④ 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、由一元二次方程的解求参数、分式加减乘除混合运算、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ， ，故①正确； 若是方程的一个根，则， 或，故②错误； 若，则， 即有一个根是，故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根，故④正确； 综上可知，正确的是①③④． 13．6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】设点的坐标为，利用垂直确定的坐标，根据矩形的面积推出即可求出 的值，根据求出的唯一值． 【详解】解：设点的坐标为， 在上， ，即． 由题意，轴于，轴于，点的坐标为， 点的坐标为点的坐标为， 矩形的面积为 ，， ， 矩形面积为， ， 或． 由图可知，点在第一象限（，）， ， ∴． 14． 或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】直接利用图象法找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可. 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围是 或 . 15． 【知识点】由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的根与系数的关系、计算多项式乘多项式 【分析】利用根与系数的关系得到两根和与两根积，结合方程解的定义得到，满足的关系式，将所求代数式展开后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根，，是方程的两个根， ∴，，，，且，， ∴ ． 16． 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】根据反比例函数的系数k的几何意义解答． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上，轴于 ∴， 连接，， ， 同理， ∵ ， ∴， ， … ∴， ∴当时，． 17．(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，． 18．(1) (2) (3)1 【知识点】求反比例函数值、求反比例函数解析式、根据反比例函数的定义求参数 【分析】（1）根据得，把点代入求解即可； （2）把代入原来的解析式即可； （3）把代入，求解即可． 【详解】（1）解：根据得， 将点代入，得， 解得． （2）解：将代入，得． （3）解：将代入得，． 19．(1) (2)描点画图如图： (3)单位长度 【知识点】判断（画）反比例函数图象、求点沿x轴、y轴平移后的坐标、求反比例函数解析式、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象，平移变换，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由解析式得出得反比例函数过点，，，描点画图即可； （3）设点向下平移个单位长度得，得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由反比例函数的解析式为， 得反比例函数过点，，， 描点画图如图： （3）解：由图可得， 设点向下平移个单位长度得， 则， 由在上， 则， 解得：， 即向下平移单位长度． 20．(1) (2)该商品的售价为20元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为； （2）解：根据题意可得，， 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元． 21．(1) 解：由题意，得，是正比例函数 (2) 解：由题意，得，是反比例函数 (3) 解：由题意，得，即，是反比例函数 【知识点】正比例函数的定义、根据定义判断是否是反比例函数、用反比例函数描述数量关系 【分析】根据题意写出函数关系式并判断，即可解答. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 22．(1) (2)或 (3) 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数的对称性可知，，观察函数图象即可求解； （3）直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、，联立直线与反比例函数解析式求出，两点的坐标，再由平移得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，即， ∴在直线上， ∴， 解得； （2）解：∵反比例函数的图象与直线相交于，两点，， ∴A、B关于原点对称， ∴， 观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴，， 如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、， 当时，； 当时，； ∴，， ∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴， ∴． 23．(1)， (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数与反比例函数的其他综合应用、解分式方程（化为一元二次）、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据点在直线上，求出；根据点在反比例函数上，求出； （2）令直线与反比例函数的函数值为，求出，的横坐标，根据的长列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴． ∵点在反比例函数上， ∴，解得． （2）解：过点作平行于轴的直线，其解析式为， ∵直线与直线的交点为， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数的交点为， ∴，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得或（不合题意，舍去）， 即当时，． 24．(1)①②③ (2)① ② (3) 【知识点】一元二次方程的定义、因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）根据“长雅方程”的定义：若两个一元二次方程的一次项系数互为相反数，其余各项均相同，则这两个方程互为长雅方程，由此判断即可． （2）①两实数根相等情况下，根的判别式，利用求解后，将的值代入检验即可． ②将的值代入中，求解的根即可． （3）将原方程化简后，与原方程的“长雅方程”联立，消去二次项后求解，再分情况分析讨论． 【详解】（1）①两方程一次项系数互为相反数，常数项都为，二次项系数都为，但的值不确定，若则不满足条件，故打． ②两方程一次项系数互为相反数，二次项系数都为，常数项都为，符合定义，故打． ③两方程一次项系数互为相反数，二次项系数都为，常数项都为，符合定义，故打． （2）①解：关于的一元二次方程的两实数根， ， 由于 ； 则， ， 解得，． 将代入原方程，得， 此时方程不成立，故舍去； 将代入原方程，得 ， 此时方程成立， 故的值为． ②解：将代入，得 ， 整理，得， 解得， 关于的一元二次方程的根 由题意，得：， 将代入，得 ， 整理，得， 解得， 用判别式验算，， 为的解， 则关于的一元二次方程的根 ． （3）解：对展开后化简， 得， 其“长雅方程”为， 设公共实数根为，需同时满足上述两个方程，可列方程组为 两式相减，得， 或． 当时，， 将代入原方程中， 解得； 此时原方程为，根为、， 原方程的“长雅方程”为，根为、， 此时满足有且只有一个公共实数根； 当时， 原方程为，无实数根， 此时不符题意，舍去； 综上所述，． 25．(1)，， (2)或或 (3)不变，的定值为 如图，连接、、， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， ∴，， ∴， ， 在四边形中，，而， ∴， ∴四边形内角和为， ∴， ∵是的中点， ， ，即的定值为． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长、利用平行四边形的性质求解、求反比例函数解析式、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出、的值，从而可得，，由题意可得点的横坐标为，设，结合平行四边形的性质求出，最后再利用反比例函数的性质计算即可得出结果； （2）求出反比例函数的解析式为，分三种情况：当为边时，此时四边形为平行四边形；当为边时，此时四边形为平行四边形；当为对角线时，此时四边形为平行四边形；利用平行四边形的性质计算即可得出结果； （3）连接、、，由线段垂直平分线的性质可得，证明，得出，求出，即可得出，从而得证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴，， ∵为中点，且点在轴上， ∴点的横坐标为， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数经过、两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上，点在轴上， ∴设，， 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， 解得，， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或； （3）略． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $