25.2.1 降次 解一元二次方程 配方法 配方法的应用 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以“原理-应用-拓展”为主线，系统构建配方法从代数变形到几何应用的完整方法体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础配方应用|单选1-5、填空14-15|“移项-化1-配方-化简”四步流程|从完全平方公式到一元二次方程转化，体现概念生成逻辑| |代数式最值探究|单选8-10、填空11-13|“配方-非负性分析-最值确定”模型|衔接代数变形与函数思想，培养模型意识| |几何综合应用|解答27、32|“变量表示-配方转化-几何意义解读”|实现代数方法向几何问题迁移，发展应用意识|

配方法的应用 一、单选题 1．把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ） A．1 B．5 C．16 D．17 2．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A．2028 B． C．2024 D． 3．已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为（    ） A． B． C． D．4 4．若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 5．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（   ） A．4， B．4， C．4， D．4， 6．已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的唯一最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1 参照以上方法，求得代数式的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 10．不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 二、填空题 11．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 12．已知两个整数a，b，有，则的最大值是______． 13．例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当__时，代数式有最小值，最小值为______． 14．把一元二次方程化成的形式，则的值为________． 15．把一元二次方程化成的形式时，__________，__________． 16．已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 17．若，当________时，的最大值是________． 18．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 三、解答题 19．用配方法求证：代数式的值恒为正数． 20． 求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 21．我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 22．利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 23．配方法如同代数变形术，通过拆解、重组、补全，将复杂的表达式转化为“完全平方”模块或其组合，并利用非负性优势，能在方程求解、极值分析等场景中化繁为简，成为破解难题的黄金钥匙．例如，可配方成． 解决问题： （1）已知，可配方成（，为常数），则______； 探究问题： （2）已知，求的值； 拓展结论： （3）已知实数，满足，则的最大值是______． 24．阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方： ； 请根据阅读材料解决下列问题： (1)【直接应用】，将代数式配方：______； (2)【类比应用】已知，求的值； (3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 25．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ．因此．代数式有最小值； ②． ． 因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为____________；代数式的最大值为____________． (2)求代数式的最小值． 26．【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： (1)将配方成的形式为：_________________________； (2)利用配方法分解因式：_________________________； (3)多项式的最小值为_________________________； (4)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_______________． 27．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示： ______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 28．阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方式（注意：完全平方式是多项式的结构形式，区别于完全平方公式，完全平方公式是等式形式的运算规律）。如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是-1． (1)【直接应用】代数式的最小值为_____；代数式的最大值为_____； (2)【类比应用】若多项式，试求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 29．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 30．先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． (1)已知，求的值； (2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 31．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 32．【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《配方法的应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D A A C D C A 1．D 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 解：由题意得， ， ∴． 故选D． 2．B 解：∵方程， ∴移项得， 配方得，即， 与比较，得，， ∴， 故选：B． 3．B 解配方后得到 ， 展开得 ， 即 ， 又原方程为 ， ． 故选B 4．D 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 可能取值为， 故选：． 5．A 解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：A 6．A 解：∵， 解得，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7．C 解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为，，， ， ， 又这个三角形的最大边为， ． 故选：． 8．D 解： ， ∵， ∴，即， ∴的最小值为， 故选：D． 9．C 解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 10．A 解：∵ ∵对于所有实数，都有， ∴ 因此，多项式的值总是正数． 故选：A． 11． 解：对进行配方， ， ， 因此该代数式的最小值为． 12．50 解：∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为50； 故答案为50． 13． 解：由题意可得： ∵对于任意实数x都有 ∴ ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 故答案为：． 14．8 解：根据得， 故， 类比， 得到， 故． 故答案为：8． 15． 5 解：∵， ∴， ∴，即 所以，， 故答案为：5，． 16． 解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 17． 解：由可得：， 将代入得， ， ， ∴当时，取得最大值，最大值为． 18． 解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 19． 证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值恒为正数． 20． 证明：， 不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 21．(1)证明：，； （2）解：， ， ，． ． 22．（1）解： ， ， ∴， 则； (2)解：，理由如下： 由题意，得， 则， ， ∵， ， 即， 则． 23． 解：（1） ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）， ∴， ， ∵， ∴， 解得，， ∴； （3）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴，， ∴的最大值是． 24．（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴配方得：， 即， ，， 故． （3）解：依题意， ， ， ，时， 即当，时，则， 即取得最小值，最小值为16． 25．（1）解：∵，， 故答案为：，； （2）∵， ∴代数式的最小值为． 26．（1）解：； ∴将配方成的形式为：； （2）解：； （3）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为2026； （4）解：如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，四边形面积有最大值，最大值为8． 27．（1）解：∵从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴当的面积为时， ∴， ∴，， ∴当的面积为时，求运动时间为：或． (3)解：由（1）得，， 当四边形的面积等于，， ∴，（舍）， ∵， ∴， ∴四边形的面积不能等于； （4）解：②， ∵， ∴， ∴运动时间时，四边形APQC的面积最小． 28．（1）解：， 当时，代数式有最小值，最小值为， ， 当时，代数式有最大值，最大值为13， 故答案为：；13； （2） ． 当，时，有最小值为2025． （3）设菜地垂直于墙面的一边为，则平行于墙的一边长为， 根据题意，得，． ． 当时，有最大值，最大值为． 故围成的菜地的最大面积是． 29．（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 30．（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； (2)解：是等腰三角形，理由， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰三角形． 31．（1）解：， 其中只有是两个平方数的和， ； （2）解： ， ， ； （3）解：， 要使S对任意整数x, y都为“完美数”，则， 解得． 32．（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $