25.2.1 降次 解一元二次方程 配方法 配方法的应用 2026--2027学年人教版九年级数学上册

配方法的应用

一、单选题

1．把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ）

A．1 B．5 C．16 D．17

2．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（）

A．2028 B． C．2024 D．

3．已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为（    ）

A． B． C． D．4

4．若，则的值可能是（   ）

A． B． C． D．

5．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（   ）

A．4， B．4， C．4， D．4，

6．已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

7．已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的唯一最大边的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值．

例：．

，

，即，

的最小值为1

参照以上方法，求得代数式的最小值为（    ）

A． B． C． D．

9．多项式的最小值为（   ）

A． B．1 C．3 D．2

10．不论为何实数，多项式的值一定是（）

A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定

二、填空题

11．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________

12．已知两个整数a，b，有，则的最大值是______．

13．例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当__时，代数式有最小值，最小值为______．

14．把一元二次方程化成的形式，则的值为________．

15．把一元二次方程化成的形式时，__________，__________．

16．已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”）

17．若，当________时，的最大值是________．

18．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________．

三、解答题

19．用配方法求证：代数式的值恒为正数．

 

 

 

20．求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数．

 

 

 

21．我们知道：对于任何实数，

①，；②，．

请模仿上述方法解答：

(1)求证：对于任何实数，都有；

(2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小．

 

22．利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：．

根据上述过程，解答下列问题：

(1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系．

(2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由．

 

 

 

 

 

23．配方法如同代数变形术，通过拆解、重组、补全，将复杂的表达式转化为“完全平方”模块或其组合，并利用非负性优势，能在方程求解、极值分析等场景中化繁为简，成为破解难题的黄金钥匙．例如，可配方成．

解决问题：

（1）已知，可配方成（，为常数），则______；

探究问题：

（2）已知，求的值；

拓展结论：

（3）已知实数，满足，则的最大值是______．