第2讲：一元二次方程根与系数的关系【六大题型+知识梳理+高分演练】-2026-2027 学年人教版数学九年级上册

第2讲：一元二次方程根与系数的关系 题型一：一元二次方程根与系数的关系 2 题型二：由根与系数的关系直接求代数式的值（高次降幂） 3 题型三：由方程两根满足关系求参数的值 4 题型四 ：根与系数的关系与其他知识交汇问题 5 题型五 ：根与系数的关系和根的判别式的综合应用 7 题型六 ：根与系数关系中的新定义问题 9 知识点一： 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根. 知识点二：一元二次方程根与系数的关系 如果方程 有两个实数根，那么 知识点三：有关根与系数的关系的两个重要推论 （1）以为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)是 （2）如果方程的两个实数根是，那么 重要培优技巧归纳 一：必背变形公式（考试高频，直接套用） （两根之差的绝对值，求距离、面积常用） 二：根的符号判断（选择填空秒杀） 两根都正： 两根都负：一正一负：（自动满足，不用算 Δ）一根为 0：技巧 三：降次技巧（难题必考）已知是方程根，则 题型一：一元二次方程根与系数的关系 【例1】．（26-27九年级上·全国·单元复习）下列一元二次方程两实数根的和为2的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需同时满足有两实数根、两根和为2，结合根与系数的关系及判别式判断； 【详解】解：A选项：方程，两根和为，不符合； B选项：方程，两根和为，，有两个实数根，符合； C选项：方程，，无实数根，不符合； D选项：方程，两根和为，不符合． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，，∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 【变式2】．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 题型二：由根与系数的关系直接求代数式的值（高次降幂） 【例2】．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___________． 【答案】 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得， ∴． 【变式1】．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）已知：m，n是方程的两根，则________． 【答案】 【详解】解：∵m，n是方程的两根，将两个根代入得， 整理得， ∴，， ∴． 由根与系数的关系可得，，， ∴原式． 【变式2】．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，， ，， ． 题型三：由方程两根满足关系求参数的值 【例3】．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，则的值是________． 【答案】 【分析】先利用韦达定理得到两根和与两根积，代入已知等式求解k，再结合该一元二次方程有两个实数根的条件，令判别式大于等于0，求出k的范围进行取舍． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴、， 代入，得 ， 解得、， 又∵，解得， ∴不符合题意，舍去， 故． 【变式1】．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 【答案】 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，分别是关于x的方程的两个根， ∴，，∵，∴，∴，∴． 【变式2】．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则___________． 【答案】 【详解】解：∵ ，是方程的两个实数根， ∴ 判别式， 即， 根据根与系数的关系得，， ∵，即， ∴， 解得或， 当时，，不存在两个实数根，舍去， 当时，，符合条件， 因此． 题型四 ：根与系数的关系与其他知识交汇问题 【例4】．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵方程的两个根为， ∴由根与系数的关系得，， ∴， ∴， ∴ ． 【变式1】．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据两个方程都有实数根，用判别式求出k的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系化简所求代数式，最后根据一次函数的性质求出代数式的最小值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴的取值范围为， ∴ ∵， ∴原式随k的增大而减小，且， ∴当k取最大值时，原式取得最小值，即． 【变式2】．（2026·河北邯郸·三模）2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件①：；②一元二次方程（其中，是实数）的两个根为和，其一次项系数的2倍与常数项的和等于两根的差的平方，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：方程的两根为和， ，， 由条件①得，则，即． 由条件②可得，代入， 得，整理得， 其中，， 代入上式得，解得． 题型五 ：根与系数的关系和根的判别式的综合应用 【例5】．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，若m取最大正整数值，设是该方程的两根，求的值． 【答案】(1)的取值范围是且； (2)所求代数式的值为． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得：，又∵， ∴， ∴m的取值范围为：且； （2）解：∵， ∴m的最大正整数值为2， 当时，一元二次方程为， ∴，， ∴原式 ． 【变式1】．（2026九年级上·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：方程的两个实数根为，， ，， ， ， ， 解得． 【变式2】．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知关于的方程． (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； (2)当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根； ②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)①证明：由题可得，，，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根； ②． 【详解】（1）解：当，即时，该方程是一元一次方程， 把代入，得， 解得， ∴该方程的解为； （2）①略； ②解：∵和是该方程的两个解， ∴，， ∴， 所以． 题型六 ：根与系数关系中的新定义问题 【例6】．（25-26八年级下·福建福州·期末）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 【答案】(1)③ (2)或 (3)证明：设方程的两个根为，， 则， ，且， 方程是“邻根方程”， ， ， ， ， ， 而， ， 故． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程是“邻根方程”； （2）解：解方程，得，， 方程是“邻根方程”， ， 或， 解得或． （3）略 【变式1】．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．（25-26八年级下·安徽池州·期末）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为2 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根分别为、， ∴由根与系数的关系可知：， ； （2）解：，，， ， ∵， ∴实数、可看作是方程的两个不相等的实数根由根与系数的关系可知：， ． （3）解：∵实数、、满足、， ，∴实数、可看作是方程的两个实数根 ， ， 解得：， 的最大值为2． 一、单选题 1．（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 2．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵时，，与题设矛盾， ∴， 将两边除以， 整理得， ∵，且， 即， ∴，是方程的两个不等实根， ∴，即． 3．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）若方程的两个实数根为，，且，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， 当时，， ∴方程有2个相等的实数根，满足题意． 4．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（    ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①若方程的两个根为和，由根与系数的关系得，， ，， ，故①正确； ②， 将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则都是方程的实数根， 一元二次方程可以有两个不相等的实数根， 不一定等于，故③错误； ④若，则， ，，与异号， ，即， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，两根之和为， 方程的两实数解一定互为相反数，故④正确， 故正确的有①②④，共3个. 5．（26-27九年级上·全国·单元复习）设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和、两根之积，构造恒等式，代入已知条件整体代换求值即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ，，， ． 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 二、填空题 8．（26-27九年级上·全国·单元测试）已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为______． 【答案】12 【详解】解：∵，分别是关于的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴一元二次方程为： ， 检验判别式： ， ∴方程有两个实根， 值符合题意． 9．（26-27九年级上·内蒙古·单元测试）已知方程的两根分别为，，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，将所求式子通过平方差公式变形，代入求解即可． 【详解】解∶∵方程的两根分别为，， ∴， ∴． 10．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）古希腊在研究黄金分割时得到方程，已知m，n是方程的两个根，则代数式________． 【答案】4 【分析】利用方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：是方程的根， ，即， ，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得， 原式． 11.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 【答案】 【分析】先由方程有两个不相等实数根得判别式大于0，确定的取值范围，再利用根与系数的关系将转化为关于的方程，求解后根据的范围检验得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴，代入得， 整理为， 解得或， ∵， ∴舍去，得． 三、解答题 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵，是一元二次方程的两个根 ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 13．（2026九年级上·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1) 即恒成立 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）通过根的判别式的恒正性证明方程有两个不相等的实数根； （2）由根与系数关系得到的含的代数式，代入求解的值． 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系： ，， ， ， ， 解得． 14．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)；1 (2) (3)3 【分析】（1）根据根与系数关系，，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根，， ∴，． （2）解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为． （3）解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3． 15．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【答案】(1) (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②； 【详解】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； （2）①略 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲：一元二次方程根与系数的关系 题型一：一元二次方程根与系数的关系 2 题型二：由根与系数的关系直接求代数式的值（高次降幂） 2 题型三：由方程两根满足关系求参数的值 3 题型四 ：根与系数的关系与其他知识交汇问题 3 题型五 ：根与系数的关系和根的判别式的综合应用 4 题型六 ：根与系数关系中的新定义问题 4 知识点一： 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根. 知识点二：一元二次方程根与系数的关系 如果方程 有两个实数根，那么 知识点三：有关根与系数的关系的两个重要推论 （1）以为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)是 （2）如果方程的两个实数根是，那么 重要培优技巧归纳 一：必背变形公式（考试高频，直接套用） （两根之差的绝对值，求距离、面积常用） 二：根的符号判断（选择填空秒杀） 两根都正： 两根都负：一正一负：（自动满足，不用算 Δ）一根为 0：技巧 三：降次技巧（难题必考）已知是方程根，则 题型一：一元二次方程根与系数的关系 【例1】．（26-27九年级上·全国·单元复习）下列一元二次方程两实数根的和为2的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型二：由根与系数的关系直接求代数式的值（高次降幂） 【例2】．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___________． 【变式1】．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）已知：m，n是方程的两根，则________． 【变式2】．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 题型三：由方程两根满足关系求参数的值 【例3】．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，则的值是________． 【变式1】．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 【变式2】．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则___________． 题型四 ：根与系数的关系与其他知识交汇问题 【例4】．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（2026·河北邯郸·三模）2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件①：；②一元二次方程（其中，是实数）的两个根为和，其一次项系数的2倍与常数项的和等于两根的差的平方，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型五 ：根与系数的关系和根的判别式的综合应用 【例5】．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，若m取最大正整数值，设是该方程的两根，求的值． 【变式1】．（2026九年级上·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【变式2】．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知关于的方程． (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； (2)当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根； ②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示） 题型六 ：根与系数关系中的新定义问题 【例6】．（25-26八年级下·福建福州·期末）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 【变式1】．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【变式2】．（25-26八年级下·安徽池州·期末）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 一、单选题 1．（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）若方程的两个实数根为，，且，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D．4 4．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（    ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（26-27九年级上·全国·单元复习）设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 二、填空题 8．（26-27九年级上·全国·单元测试）已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为______． 9．（26-27九年级上·内蒙古·单元测试）已知方程的两根分别为，，则的值为___________． 10．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）古希腊在研究黄金分割时得到方程，已知m，n是方程的两个根，则代数式________． 11.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 三、解答题 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 13．（2026九年级上·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 14．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 15．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $