专题 29.1.1 圆的有关概念同步讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学中考复习讲义聚焦“圆的有关概念”专题，覆盖圆的定义、点与圆位置关系、弦与弧的辨析、等圆等弧判定等中考核心考点，通过知识梳理构建“定义-性质-应用”概念网络，题型精析分夯实基础与综合提升，配合中考真题链接，实现考点梳理、方法指导与实战训练的系统融合。 亮点在于分层突破与核心素养培养，如多点共圆证明采用“找定点证等距”策略，培养推理意识，利用半径求最值结合几何直观设计动态问题。设基础辨析、能力证明、挑战最值三级练习，中考真题即时反馈，帮助学生高效突破等弧理解、位置关系判定等难点，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

专题 29.1.1 圆的有关概念同步讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】 目录 一.学习目标重难点 1 学习目标与重难点 1 二.知识梳理与解读 1 【知识点一】圆的定义（核心考点） 1 【知识点二】点与圆的位置关系（必考基础） 2 【知识点三】弦、直径、弧的相关概念 2 【知识点四】等圆、等弧（高频易错） 2 三、题型精析【夯实基础】 2 【题型1】圆的核心概念辨析 3 【题型2】弦、直径、弧的概念判断 4 【题型3】点与圆的位置关系判定 7 【题型4】利用半径性质求线段长度 9 四、题型精析（综合提升） 11 【题型5】利用半径性质求值证明 11 【题型5】多点共圆证明（教材核心重难点） 15 【题型6】利用半径的性质求最值 18 五、中考链接 21 一.学习目标重难点 学习目标与重难点 了解：圆的生活实例、数学史料；同心圆、等圆、等弧的基础概念。 掌握：圆、圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧的核心定义；点与圆的三种位置关系判定方法。 综合运用（培优选学）：利用同圆半径相等的性质证明多点共圆；结合几何图形判定点和圆的位置关系，解决简单实际问题。 重点：圆的相关概念精准辨析；点与圆的位置关系判定；利用半径相等证明多点共圆。 难点：等弧概念的精准理解；多点共圆的几何证明思路。 二.知识梳理与解读 【知识点一】圆的定义（核心考点） 1. 动态定义：在一个平面内，线段绕其固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的封闭曲线图形叫做圆。固定的端点叫做圆心，线段的长度叫做半径，以点O为圆心的圆记作⊙O。 2. 静态定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合。 3. 核心结论：① 圆上任意一点到圆心的距离都等于半径；② 平面内到圆心距离等于半径的点，一定在这个圆上。 【要点提示】确定圆的两个要素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可。 ⚠️ 易错警示：圆指的是圆周（封闭曲线），不包含内部平面区域，不可将“圆周”与“圆面”混淆。 【知识点二】点与圆的位置关系（必考基础） 设⊙O的半径为r，平面内一点P到圆心O的距离为d，则有： 1. 点P在圆外 ⇔ d ＞ r； 2. 点P在圆上 ⇔ d ＝ r； 3. 点P在圆内 ⇔ d ＜ r 【要点提示】上述关系为双向等价关系，可由位置判距离，也可由距离判位置。 ⚠️ 易错警示：d是点到圆心的距离，不是点到圆上任意一点的距离。 【知识点三】弦、直径、弧的相关概念 1. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 2. 直径：经过圆心的弦叫做直径。直径长度 = 2r（r为半径），直径是圆中最长的弦。 3. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 4. 弧的分类：半圆：直径所对的弧；劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示；优弧：大于半圆的弧，必须用三个字母表示。 要点提示：直径属于特殊的弦，半圆属于特殊的弧。 ⚠️ 易错警示：弦不一定是直径，弧不一定是半圆；优弧必须三字母标注，避免歧义。 【知识点四】等圆、等弧（高频易错） 1. 等圆：能够完全重合的两个圆。半径相等的两个圆是等圆，同圆或等圆的半径相等。 2. 等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 要点提示：等弧长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧。 ⚠️ 易错警示：判定等弧必须满足前提：同圆或等圆，仅长度相等不能判定为等弧。 三、题型精析【夯实基础】 【题型1】圆的核心概念辨析 【例题1】（考点一圆的有关性质）下列说法正确的是（    ） A．圆是整个圆周围成的区域； B．圆就是半径和圆心 C．圆是到圆心的距离等于半径的点的集合 D．圆就是线段绕着一个端点旋转形成的图形 【答案】C 【分析】根据圆的概念：圆是平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形；或者在一个平面内，线段绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形；据此判断即可． 解：A、整个圆周围成的区域叫圆面，而不是圆，故此选项错误，不符合题意； B、半径和圆心不是圆，故此选项错误，不符合题意； C、圆是到圆心的距离等于半径的点的集合，正确，故此选项符合题意； D、线段绕着一个端点旋转形成的图形不是圆，故此选项不符合题意； 故选C． 【点拨】此题考查了圆的概念，熟练掌握圆的两种定义是解答此题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可． 解：圆周上的各点是组成圆的要素，故①正确； 以圆心为端点，另一个端点在圆上的线段是圆的半径，故②错误； 同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故③正确； 圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故④错误． 故选：C． 【点拨】本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关键． 【变式2】（25-26九年级上·广东汕头·期中）圆形的井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是利用了圆特征中的（   ） A．圆是曲线图形 B．同一圆中所有直径都相等 C．圆有无数多条对称轴 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】B 【分析】根据同圆的直径都相等即可解答． 解：圆形的井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是利用了同一圆中所有直径都相等． 故选：B． 【点拨】本题考查圆的基本性质，掌握同圆的直径都相等是解答的关键． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中定点是____，定长是____． 【答案】 圆心 半径 【分析】根据圆的集合定义直接回答即可． 解：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是圆心，定长是半径． 故答案为：圆心，半径． 【点拨】考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的集合定义． 解题归纳：判断圆的相关概念，紧扣圆心、半径两大要素，严格区分圆周与圆面。 易错纠正：圆仅指封闭曲线（圆周），不包含内部平面区域。 【题型2】弦、直径、弧的概念判断 【例题2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，图中的直径有__，非直径的弦有__；图中以为端点的弧中，优弧有__，劣弧有__． 【答案】 、 ，，，， ，，， 【分析】连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 解：图中的直径有，非直径的弦有、；图中以A为端点的弧中，优弧有，，，，；劣弧有，，，． 故答案为：；、；，，，，；，，，． 【点拨】本题考查了圆的认识，关键是掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【变式1】（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 【变式2】（25-26九年级上·福建三明·期中）下列说法错误的是（   ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查圆的相关概念，熟练掌握有关圆的相关概念是解题的关键．根据圆的定义、弦、弧及等弧的定义，逐项判断即可． 解：选项A、直径是圆中最长的弦，这是圆的性质，则A正确，不符合题意； 选项B、半圆属于弧，则B正确，不符合题意； 选项C、等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，则C错误，符合题意； 选项D、圆上各点到圆心的距离都相等，都等于半径，这是圆的定义，则D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 【答案】 AB，AC AC ， ， 【分析】本题考查了圆的弦、直径、劣弧、优弧，掌握这些定义是解题的关键． 本题根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段；直径的定义：经过圆心的弦；劣弧的定义：小于半圆的弧；优弧的定义：大于半圆的弧即可解决问题． 解：∵弦是连接圆上任意两点的线段， ∴图中的弦有：； ∵直径是经过圆心的弦， ∴图中的直径有：； ∵劣弧是小于半圆的弧， ∴图中的劣弧有：， ∵优弧是大于半圆的弧， ∴图中的优弧有：，． 故答案为：；；，；，． 解题归纳：牢记包含关系：直径属于弦，半圆属于弧；优弧、劣弧、半圆互不包含。 易错纠正：等弧必须同时满足“同圆或等圆、能够完全重合”，仅长度相等不成立。 【题型3】点与圆的位置关系判定 【例题3】（25-26九年级下·全国·课堂例题）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 【答案】解：连接． C在上； 在直角中，， 则A在的外部； ，则E在内部； ，则在直角中，，则F在的外部． 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．求得到圆心的距离，与圆的半径进行比较即可作出判断． 解：略 【变式1】（2026·云南保山·一模）已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，即可判断点的位置． 解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵由题意得 ，， ∴ ，即 ， 根据点与圆的位置关系判定规则：当时，点在圆外， ∴点在外． 【变式2】（2026·贵州黔西南·模拟预测）已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 【答案】内 【分析】先确定点D到圆心A的距离d以及的半径r，再根据当d和r的关系判断点和圆的位置关系即可． 解：如图：矩形，，，以点为圆心，为半径作， ∴点D到圆心A的距离，的半径， ∴， ∴点在内． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）设的半径为2，点P到圆心的距离，且m使关于x的方程有两个不相等的实数根，试确定点P与的位置关系． 【答案】点P在内 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，点与圆的位置关系两个知识点；先由一元二次方程根的判别式确定出m的范围，再与半径比较即可判断点与圆的位置关系． 解：∵m使关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵圆的半径为2， ∴点P在内． 解题归纳：通过比较点到圆心的距离d与半径r的大小，即可快速判定点与圆的位置关系。 易错纠正：比较的是点到圆心的距离，不是点到圆上任意一点的距离。 【题型4】利用半径性质求线段长度 【例题1】（2023·黑龙江绥化·二模）如图，在中，，平分， （1）在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，求的半径． 【答案】（1）如图：即为所求；   ； （2）的半径为2． 【分析】（1）作的垂直平分线与的交点为圆心，为半径作圆即可； （2）设的半径为x，根据勾股定理列方程求解． 解：（1）略 （2）解：连接，设的半径为x，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴的半径为2． 【点拨】本题考查了复杂作图，勾股定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用． 【变式1】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得,,再根据题意得,即可得出答案． 解：∵在中， ∴,, 根据题意，得, ∴． 【变式2】（2026·河南周口·一模）如图，是的弦，，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】由题意得是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可． 解：由题意得，， ， 是等腰直角三角形， ． 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，弦半径OB，，求的度数.    【答案】． 【分析】先根据平行线的性质得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数． 解：半径， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了三角形内角和：三角形内角和是．也考查了等腰三角形的性质和圆的认识． 解题归纳：同圆中所有半径相等，直径长度等于2倍半径，可快速实现半径、直径换算。 易错纠正：只有直径满足直径=2×半径，普通弦不具备该性质。 四、题型精析（综合提升） 【题型5】利用半径性质求值证明 【例题5】（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）如图，以等边三角形的边为直径画圆，交于点D，于点F，连接，且． （1）求证：； （2）求线段的长度． 【答案】（1）证明：连接， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （2） 【分析】本题考查等边三角形的性质、圆的性质、平行线的判定与性质以及勾股定理的应用，解题关键是利用等边三角形的内角为，结合圆的半径相等推出平行关系，再通过直角三角形的性质和勾股定理求解． （1）判定是等边三角形，得到，，因此，判定，即可证明； （2）由含度角的直角三角形的性质得到，由勾股定理求出，进而再由勾股定理即可求出的长． 解：（1）略 （2）设圆的半径为，则， 是等边三角形， ， 由（1）知是等边三角形，， ， 在中，，， ， （直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半）， ，即， 又，， ， ， ， 在中，由勾股定理： ． 【变式1】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段的和差，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接，根据矩形的性质得出相等的边和直角，利用勾股定理和线段的和差进行求解即可． 解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 【变式2】（2026·湖南·三模）如图1，一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，图2是其示意图，若圆的直径与正方形的对角线之比是，则整个圆形区域的面积与正方形的面积之比是_________． 【答案】 【分析】设圆的直径为，正方形的对角线长为，其中，分别表示出圆的面积和正方形的面积，即可求解． 解：∵圆的直径与正方形的对角线之比是， ∴设圆的直径为，正方形的对角线长为，其中， ∴圆的面积， 正方形的面积， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，是半圆O的直径，正方形和正方形彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径上，点E在上，正方形的面积为16． （1）求证：； （2）求的半径长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2） 【分析】（1）由，即可证明； （2）设，则，由勾股定理得到，求出，即可得到的长． 解：（1）略 （2）解：如图，连接， 设，则， ∵正方形的面积， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得（舍去负值）， ∴，， ∴， ∴半径长是． 【点拨】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆的性质等知识点，关键是由勾股定理求出的长． 【题型5】多点共圆证明（教材核心重难点） 【例题1】（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别为各边的中点．求证：E，F，G，H四点在同一个圆上． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴，即，． ∵是的中点， ∴． 同理可得：，，． ∴． ∴，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上， 即，，，四点在同一个圆上． 【分析】先根据菱形的性质，结合直角三角形斜边上中线的性质证得，同理可证得，，，再根据点与圆的位置关系求解． 解：略 【变式1】（24-25九年级上·山西忻州·阶段检测）如图所示，已知矩形的对角线和相交于点，试判断，，，四个点是否在同一个圆上．如果在，请给予证明；如果不在，请说明理由． 【答案】，，，四个点在同一个圆上． 证明：四边形是矩形， ，，， ， 、、、四点在以圆心长为半径的同一个圆上． 【分析】根据矩形的性质得到，，，进而说明即可证明． 解：略 【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【答案】证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， 和都是直角三角形． ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 【分析】求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以．此题主要考查了确定圆的条件，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等． 解：略 解题归纳：多点共圆核心方法：找一个定点，证明所有待证点到该定点的距离相等，定点即为圆心，相等距离即为半径。 易错纠正：必须证明所有点到同一个定点距离相等，局部线段相等无法证明多点共圆。 【题型6】利用半径的性质求最值 【例题6】（2026·四川绵阳·一模）如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【答案】C 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理求出的长度，从而确定点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆，最后根据点与圆的位置关系求出的最小值． 解：取的中点，连接，， 为的中点，为的中点 ， 为的中位线 ， ， 的半径为，即 ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上 ， ，为的中点， ， 当点在线段上时，取得最小值， 的最小值为． 【变式1】（2025·山东日照·一模）如图，在中，，，D是以点A为圆心，5为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为_______． 【答案】4 【分析】取的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，即可求解． 解：取的中点E，连接，如图所示： 在直角中，， ∵E是直角斜边上的中点， ∴， ∵M是的中点，E是的中点， ∴， M轨迹为以E为圆心，为半径的圆， ∴当点M在线段上时，最小，且线段长度的最小值为． 【变式2】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在矩形中，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查矩形的性质，折叠的性质，圆周角定理，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线是解题关键． 根据题意得出点F在以为直径的半圆O上运动，确定当点在一条直线上时，CF的长度最小，即，然后利用勾股定理结合图形求解即可． 解：如图所示： 由沿折叠得到， ， ， ∴点F在以为直径的半圆O上运动， ∴当点在一条直线上时，CF的长度最小，即， ∵矩形，， ， ∴在中，， ． 故选：A． 【变式3】（2026·江西上饶·三模）如图，在平面直角坐标系中，，为轴上两个动点，且坐标原点为线段的中点，点在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，连接，当线段的长为整数时，线段的长为______． 【答案】或或 【分析】根据点到圆上一点的最值，求出线段的最小值和最大值，即可求出线段的整数值，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出线段的长． 解：如图，连接交于点，， ∵点在以为圆心，1为半径的上运动， 的最小值为线段的长，的最大值为线段的长． ∵， ， ，， ∴． ∵线段的长为整数， ∴或或． ∵，为线段的中点， ， ∴或10或12． 五、中考链接 1．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则． 解：∵点在上， ∴点到圆心的距离为， 故答案为：． 2．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，则，根据等边对等角与三角形内角和定理得到，，根据即可求出的度数． 解：连接，则， ∴， ， ∴． 3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键． 过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解． 解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． 4．（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明：的半径为， ， ，， ； （2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 解：（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 29.1.1 圆的有关概念同步讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】 目录 一.学习目标重难点 1 学习目标与重难点 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】圆的定义（核心考点） 2 【知识点二】点与圆的位置关系（必考基础） 2 【知识点三】弦、直径、弧的相关概念 2 【知识点四】等圆、等弧（高频易错） 2 三、题型精析【夯实基础】 3 【题型1】圆的核心概念辨析 3 【题型2】弦、直径、弧的概念判断 3 【题型3】点与圆的位置关系判定 4 【题型4】利用半径性质求线段长度 5 四、题型精析（综合提升） 6 【题型5】利用半径性质求值证明 6 【题型5】多点共圆证明（教材核心重难点） 7 【题型6】利用半径的性质求最值 8 五、中考链接 9 一.学习目标重难点 学习目标与重难点 了解：圆的生活实例、数学史料；同心圆、等圆、等弧的基础概念。 掌握：圆、圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧的核心定义；点与圆的三种位置关系判定方法。 综合运用（培优选学）：利用同圆半径相等的性质证明多点共圆；结合几何图形判定点和圆的位置关系，解决简单实际问题。 重点：圆的相关概念精准辨析；点与圆的位置关系判定；利用半径相等证明多点共圆。 难点：等弧概念的精准理解；多点共圆的几何证明思路。 二.知识梳理与解读 【知识点一】圆的定义（核心考点） 1. 动态定义：在一个平面内，线段绕其固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的封闭曲线图形叫做圆。固定的端点叫做圆心，线段的长度叫做半径，以点O为圆心的圆记作⊙O。 2. 静态定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合。 3. 核心结论：① 圆上任意一点到圆心的距离都等于半径；② 平面内到圆心距离等于半径的点，一定在这个圆上。 【要点提示】确定圆的两个要素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可。 ⚠️ 易错警示：圆指的是圆周（封闭曲线），不包含内部平面区域，不可将“圆周”与“圆面”混淆。 【知识点二】点与圆的位置关系（必考基础） 设⊙O的半径为r，平面内一点P到圆心O的距离为d，则有： 1. 点P在圆外 ⇔ d ＞ r； 2. 点P在圆上 ⇔ d ＝ r； 3. 点P在圆内 ⇔ d ＜ r 【要点提示】上述关系为双向等价关系，可由位置判距离，也可由距离判位置。 ⚠️ 易错警示：d是点到圆心的距离，不是点到圆上任意一点的距离。 【知识点三】弦、直径、弧的相关概念 1. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 2. 直径：经过圆心的弦叫做直径。直径长度 = 2r（r为半径），直径是圆中最长的弦。 3. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 4. 弧的分类：半圆：直径所对的弧；劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示；优弧：大于半圆的弧，必须用三个字母表示。 要点提示：直径属于特殊的弦，半圆属于特殊的弧。 ⚠️ 易错警示：弦不一定是直径，弧不一定是半圆；优弧必须三字母标注，避免歧义。 【知识点四】等圆、等弧（高频易错） 1. 等圆：能够完全重合的两个圆。半径相等的两个圆是等圆，同圆或等圆的半径相等。 2. 等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 要点提示：等弧长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧。 ⚠️ 易错警示：判定等弧必须满足前提：同圆或等圆，仅长度相等不能判定为等弧。 三、题型精析【夯实基础】 【题型1】圆的核心概念辨析 【例题1】（考点一圆的有关性质）下列说法正确的是（    ） A．圆是整个圆周围成的区域； B．圆就是半径和圆心 C．圆是到圆心的距离等于半径的点的集合 D．圆就是线段绕着一个端点旋转形成的图形 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②④ 【变式2】（25-26九年级上·广东汕头·期中）圆形的井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是利用了圆特征中的（   ） A．圆是曲线图形 B．同一圆中所有直径都相等 C．圆有无数多条对称轴 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中定点是____，定长是____． 解题归纳：判断圆的相关概念，紧扣圆心、半径两大要素，严格区分圆周与圆面。 易错纠正：圆仅指封闭曲线（圆周），不包含内部平面区域。 【题型2】弦、直径、弧的概念判断 【例题2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，图中的直径有__，非直径的弦有__；图中以为端点的弧中，优弧有__，劣弧有__． 【变式1】（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建三明·期中）下列说法错误的是（   ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 解题归纳：牢记包含关系：直径属于弦，半圆属于弧；优弧、劣弧、半圆互不包含。 易错纠正：等弧必须同时满足“同圆或等圆、能够完全重合”，仅长度相等不成立。 【题型3】点与圆的位置关系判定 【例题3】（25-26九年级下·全国·课堂例题）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 【变式1】（2026·云南保山·一模）已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【变式2】（2026·贵州黔西南·模拟预测）已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）设的半径为2，点P到圆心的距离，且m使关于x的方程有两个不相等的实数根，试确定点P与的位置关系． 解题归纳：通过比较点到圆心的距离d与半径r的大小，即可快速判定点与圆的位置关系。 易错纠正：比较的是点到圆心的距离，不是点到圆上任意一点的距离。 【题型4】利用半径性质求线段长度 【例题1】（2023·黑龙江绥化·二模）如图，在中，，平分， （1）在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，求的半径． 【变式1】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】（2026·河南周口·一模）如图，是的弦，，若，则的长为__________． 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，弦半径OB，，求的度数.    解题归纳：同圆中所有半径相等，直径长度等于2倍半径，可快速实现半径、直径换算。 易错纠正：只有直径满足直径=2×半径，普通弦不具备该性质。 四、题型精析（综合提升） 【题型5】利用半径性质求值证明 【例题5】（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）如图，以等边三角形的边为直径画圆，交于点D，于点F，连接，且． （1）求证：；（2）求线段的长度． 【变式1】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．1 【变式2】（2026·湖南·三模）如图1，一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，图2是其示意图，若圆的直径与正方形的对角线之比是，则整个圆形区域的面积与正方形的面积之比是_________． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，是半圆O的直径，正方形和正方形彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径上，点E在上，正方形的面积为16． （1）求证：；（2）求的半径长． 【题型5】多点共圆证明（教材核心重难点） 【例题1】（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别为各边的中点．求证：E，F，G，H四点在同一个圆上． 【变式1】（24-25九年级上·山西忻州·阶段检测）如图所示，已知矩形的对角线和相交于点，试判断，，，四个点是否在同一个圆上．如果在，请给予证明；如果不在，请说明理由． 【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 解题归纳：多点共圆核心方法：找一个定点，证明所有待证点到该定点的距离相等，定点即为圆心，相等距离即为半径。 易错纠正：必须证明所有点到同一个定点距离相等，局部线段相等无法证明多点共圆。 【题型6】利用半径的性质求最值 【例题6】（2026·四川绵阳·一模）如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【变式1】（2025·山东日照·一模）如图，在中，，，D是以点A为圆心，5为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为_______． 【变式2】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在矩形中，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（2026·江西上饶·三模）如图，在平面直角坐标系中，，为轴上两个动点，且坐标原点为线段的中点，点在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，连接，当线段的长为整数时，线段的长为______． 五、中考链接 1．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为______． 2．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． （1）求证：； （2）求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $