江苏省南京市江宁区2026—2027学年苏科版九年级数学上学期第一次月考模拟练习卷

江苏省南京市江宁区苏科版2026—2027学年九年级数学上学期第一次月考模拟练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （测试范围：第一章、第二章 考试时间:120分钟 试卷满分:100分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题2分，满分12分） 1．下列方程中，不是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．反比例函数 的图象在某象限内，y随x的增大而增大．若点在该反比例函数的图象上，则n的值可能是（     ） A． B．0 C． D．1 4．在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 20 … 已知是的反比例函数，则表格中的值为（     ） A．24 B．25 C．26 D．28 5．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 8．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________． 9．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 10．函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是________． 11．如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 12．若函数是反比例函数，则k的值为__________． 13．已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 14．已知方程的两个根分别是，，则的值为____________． 15．如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 16．如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的值为_______． 三、解答题（本大题共9小题，共计68分，其中17、18、19、20每题6分、21、22、23每题8分，24、25每题10分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的表达式； (2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象，观察图象：当时，直接写出自变量x的取值范围． 19．在同一坐标系中画两个函数的图象，并回答相关问题：    (1)画出函数的图象； ①由分式有意义可知，函数中自变量x取除_______以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空． x 1 1.5 2 3 4 6 y 6 4 3 2 1.5 1 ②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象（描上表中剩余的点并连线）． (2)画出函数的图象； (3)当取x何值时，对于其中x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出x的取值范围． 20．近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 21．多种抗新冠病毒有效药物已经用于临床救治，某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，体内抗体浓度不高于140微克/时是从注射药物第多少天开始？ 22．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根； (2)若等腰的一边长，另外两边，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 23．有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 24．如图已知直线与x、y轴分别交于点A、B，与双曲线交于点C，过点C作轴于点D，连接，设C点坐标为， (1)当时，求的值； (2)求证：； (3)随着a的变化，的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 25．如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B A A C B 1．C 【知识点】化成一元二次方程的一般式、一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0）逐项判断即可． 【详解】解：A．，是一元二次方程，故该选项不符合题意； B．方程写成一般形式为，是一元二次方程，故该选项不符合题意； C．方程，左边是分式形式，不是一元二次方程，故该选项符合题意； D．方程，写成一般形式为，是一元二次方程，故该选项不符合题意． 2．B 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】以原价25元为初始基数，每次降价后售价为前一次的倍． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 原来的每件25元，第一次降价后的售价为元，第二次降价后的售价为元， 由最终售价为16元，得． 3．A 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、求反比例函数值 【分析】先根据反比例函数的性质得出，求出，从而可得，即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象在某象限内随的增大而增大， ∴， ∵点在该反比例函数的图象上， ∴，即， ∴， ∴， ∴n的值可能是． 4．A 【知识点】求反比例函数值、求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数 【分析】根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设 将，代入，得， ∴关于的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴． 5．C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位通过平移可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 6．B 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】联立方程组可求得点C坐标，可判断A；由一次函数图象与反比例函数图象相对点C坐标的位置关系可判断B；根据一次函数图象的平移，结合反比例函数图象的位置可判断C；先求得点A、B的坐标，再利用坐标与图形性质求得的面积可判断D，进而可得答案． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点C， ∴联立方程组，解得或（舍去）， ∴点C的坐标为，故A正确； 由图象知，当时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值，故B错误； ∵将直线向上平移k个单位后，直线始终经过第一象限，又反比例函数的图象位于第一象限， ∴将直线向上平移k个单位后与反比例函数的图象一定有交点， 故C正确； ∵点A在反比例函数的图象上，且点A的横坐标为1． ∴当时，，则点A坐标为， 又∵过点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B， ∴点B坐标为， ，如图， 则，故D正确． 7．/ 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的表达式，代入已知等式求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得． 8． 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 化简得， 解得． 9． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【详解】解：是一元二次方程的解， 将代入方程得， 整理得， ． 10． 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【详解】解：∵函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得：． 11． 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】根据题意可得点A，B在第一象限，根据反比例函数增减性即可进行判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一，三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵，， ∴点A，B在第一象限，且， ∴． 12．0 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 13．/ 【知识点】由反比例函数值求自变量、已知字母的值 ，求代数式的值、求反比例函数值 【分析】分别把点和点的坐标代入反比例函数的解析式，求出和的值，进而代入计算即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， ． 14． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，， ，， ，， ． 15．9 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、根据三角形中线求面积 【分析】过点A作于点E，设，求得，，得到，于是得到结论． 【详解】解：过点A作于点E，设． ， ∵点A是的中点， ， ∵   的图象经过点A， ， ． ∵点D在反比例函数的图象上， ， ， ． 16．2 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，即可解答． 【详解】解：设点的坐标为，其中 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为 轴，轴 点的坐标为，点的坐标为 的长度为 点在线段上，且 点的横坐标为 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同 点的坐标为 整理得： 解得． 17．(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 18．(1)反比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式为 (2) 或 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，也考查了观察图象的能力．（1）把点代入反比例函数求出，即可求出反比例函数解析式，再求出点坐标，由待定系数法求出一次函数解析式；（2）由题意得出函数的图象总在函数的图象上方，即可得出结果． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为 ， 点在反比例函数的图象上， ， 点B的坐标为 ， 一次函数的图象经过点A、B，将A、B两个点的坐标代入， 得：， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）画出图象： 观察函数图象可知：符合条件的x取值范围是： 或． 19．(1) 解：①0； x 1 1.5 2 3 4 6 y 6 4 3 2 1.5 1 ②如图所示：    (2) 如图所示：    (3)或． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、根据反比例函数的定义求参数、判断（画）反比例函数图象、画一次函数图象 【分析】本题考查了画反比例函数图象以及一次函数与反比例函数交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图象性质以及列表数值，先描点再连线，即可作答． （2）根据图象性质以及列表数值，先描点再连线，即可作答． （3）观察（2）的图象，易得两个函数交于点，运用数形结合思想得x的取值范围为或． 【详解】（1）解：①由分式有意义可知，函数中自变量x取除0以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空． x 1 1.5 2 3 4 6 y 6 4 3 2 1.5 1 ②略 （2）解：关于函数，先列表： x 1 2 4 y 3 6 （3）解：由（2）得出，两个函数交于点，当函数的值大于函数的值，则x的取值范围为或． 20．(1)每轮感染中平均一人传染4人 (2)三轮后共有125人被感染 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据经过两轮传播后，共有25人感染，列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：每轮感染中平均一人传染4人． （2）解：人 答：三轮后共有125人被感染． 21．(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数 【分析】（1）直接利用反比例函数解析式求法得出答案； （2）结合所求解析式，把代入求出答案． 【详解】（1）解：设时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 所以， 当时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 综上，y与之间的函数关系式是； （2）当时，，解得：， 体内抗体浓度不高于140微克/是从注射药物第40天开始． 22．(1) 证明：在方程中， ，，， ， ∵ 无论取何值，， ∴ ， ∴ 无论取何值，这个方程总有实数根； (2) 的周长为． 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义、根据一元二次方程根的情况求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）计算并配方方程的判别式，利用平方的非负性证明； （2）分为腰长、底边长两种情况求解方程的根，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】（1）略 （2）解：分两种情况讨论： ① 当为腰长时，是方程的一个根， 将代入方程得： 解得， 将代入原方程，得， 解得，， 三角形三边长为，，，满足三边关系， 周长为； ② 当为底边长时，，即方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 此时方程为， 解得， 三角形三边长为，，， ∵ ，不满足三边关系，舍去， 综上所述，的周长为． 23．(1)；1 (2) (3)3 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值、求一元一次不等式的解集、根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）根据根与系数关系，，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根，， ∴，． （2）解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为． （3）解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3． 24．(1) (2)证明：∵点在双曲线上， ∴， ∵点C在直线上， ∴， ∴， ∴； (3)不变， 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先求出点的坐标，进而求出的值，求出两点坐标，根据题意，进行求解即可； （2）根据点为交点，分别代入反比例函数解析式，以及一次函数解析式，进行推导即可； （3）求出点的坐标，进而表示出，结合（2）的结论进行求解即可. 【详解】（1）解：∵点为直线和双曲线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∵轴于点D， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：不变，理由如下， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，轴于点D， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴，为定值. 25．(1)（）；点 (2)①3；存在，点M的坐标为或 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的判定与性质求解、求反比例函数解析式、 求矩形在坐标系中的坐标、一次函数与几何综合 【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标； （2）①延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，作AE⊥x轴，PF⊥x轴，由此即可得出AE，PF，EF的长度，根据反比例中的模型：三角形的面积公式等于梯形面积，即可得出结论； ②首先，由于四边形是矩形，其邻边必然垂直，即，过作的垂线分别交，于点，，已知点，所以可以求出直线的解析式；接下来，因为点必须落在平行四边形的边上，所以需要分情况讨论：分别令直线与平行四边形的两条边（、）所在的直线方程联立求解，最后，通过验证求出的交点是否在线段范围内，即可筛选出所有符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的关系式为. 四边形为平行四边形，且点，，点， 点，点. （2）解：①作轴于点E，作轴于点F，如图3所示， 点为线段的中点，点、， 点， 令中，则， 点， 根据反比例函数的几何意义得， ， ②假如四边形是矩形，则，过作的垂线分别交，于点，，作轴于点，如下图： 点， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 直线的关系式为， 联立， 解得， ； ∴点的坐标为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $