2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第二册讲义

4.1　数列的概念 新课程标准解读 核心素养 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念及分类 数学抽象 2.理解数列的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数 数学抽象、数学运算 3.了解数列递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的项，理解数列的前n项和Sn与an的关系 逻辑推理、数学运算 第1课时　数列的概念与简单表示 （1） （2）战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭.这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…； （3）从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 025，2 025，…，2 025； （4）－的n次幂按1次幂，2次幂，3次幂，…依次排成一列数：－，，－，，…. 【问题】　以上这些数，每个数与序号之间有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　数列的概念 1.定义：按照确定的　顺序　排列的一列数称为数列. 2.项：数列中的　每一个数　叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号　a1　表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用　a2　表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用　an　表示.其中第1项也叫做　首项　. 3.记法：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}. 提醒　（1）概念中的“一列数”，即不止一个数；（2）数列中的数是有顺序的，如1，2，3与1，3，2代表不同的数列；（3）同一个数在一个数列中可以重复出现，如1，1，1，1，…；（4）数列{an}与an是不同的.{an}表示数列：a1，a2，a3，…，an，….an表示数列{an}中的第n项. 知识点二　数列的分类 1.按项的个数分类 类别 含义 有穷数列 项数　有限　的数列 无穷数列 项数　无限　的数列 2.按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都　大于　它的前一项的数列，即an＋1－an＞0（n∈N*） 递减数列 从第2项起，每一项都　小于　它的前一项的数列，即an＋1－an＜0（n∈N*） 常数列 各项都　相等　的数列，即an＋1－an＝0（n∈N*） 周期数列 项呈现周期性变化 知识点三　数列的通项公式 　如果数列{an}的第n项an与它的　序号n　之间的对应关系可以用　一个式子　来表示，那么这个　式子　叫做这个数列的通项公式. 提醒　（1）并不是所有的数列都有通项公式；（2）数列的通项公式的形式可以不唯一.例如数列－1，1，－1，1，－1，1，…的通项公式可以写成an＝（－1）n，an＝（－1）n－2，an＝cos nπ等. 知识点四　数列与函数的关系 　从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，它们的关系如下表： 定义域 正整数集N*（或其有限子集{1，2，…，n}） 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值 表示方法 （1）通项公式（解析法）；（2）列表法；（3）图象法 【想一想】 　函数y＝2x与数列{an}的通项公式an＝2n有什么区别？ 提示：函数y＝2x的自变量是连续变化的，图象是连续的直线.an＝2n的自变量是离散的，图象由离散的点构成. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）1，0，1，0是一个数列.（　√　） （2）数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}.（　×　） （3）如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.（　×　） （4）数列4，7，3，4的首项是4.（　√　） 2.数列3，4，5，6，…的一个通项公式为（　　） A.an＝n，n∈N* B.an＝n＋1，n∈N* C.an＝n＋2，n∈N* D.an＝2n，n∈N* 解析：C　这个数列的前4项都比序号大2，所以它的一个通项公式为an＝n＋2，n∈N*. 3.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（　　） A.1，，，，… B.－1，－2，－3，－4 C.－1，－，－，－，… D.1，，，…， 解析：C　A、B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意. 4.已知数列{an}的通项公式是an＝2n－1，则a8＝　15　. 解析：a8＝2×8－1＝15. 　题型一 数列的概念与分类 【例1】　（1）下列各项表示数列的是（　　） A.△，○，☆，□ B.2 008，2 009，2 010，…，2 024 C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D.a＋b，a－b，a·b，λa （2）下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（　　） A.1，2，3，…，20 B.sin，sin，sin，sin，… C.1，2，3，2，5，6，… D.－1，0，1，2，…，100，… 答案：（1）B　（2）D 解析：（1）数列是指按照确定的顺序排列的一列数，而不能是图形、文字、向量等，只有B项符合. （2）由递增数列和无穷数列的定义知D项正确. 通性通法 数列的判定方法及其分类 （1）判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数； （2）判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数是有限的还是无限的. 【跟踪训练】 1.（多选）下面四个结论中正确的是（　　） A.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 B.数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 C.数列的项数是无限的 D.数列的通项公式是唯一的 解析：AB　数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C项错误；数列的通项公式可能不唯一，比如数列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…的通项公式可以是an＝sin，也可以是an＝cos，D项错误.故选A、B. 2.给出下列数列： ①1，2，22，23，24，…，263；②－，－，－，…，－，…； ③1，2，3，…，10 000；④－1，1，－1，1，－1，1，…； ⑤1，2，3，5，8，13，21，…；⑥，，，，…. 其中，　①③　为有穷数列，　②④⑤⑥　为无穷数列，　①③⑤　为递增数列，　②　为递减数列，　⑥　为常数列. 解析：根据数列的分类，容易得到：①③为有穷数列，②④⑤⑥为无穷数列，①③⑤为递增数列，②为递减数列，⑥为常数列. 题型二 数列的表示方法 【例2】　写出下列数列的前5项，并画出它们的图象： （1）按从小到大的顺序排列的所有素数构成的数列； （2）an＝－n＋1. 解：（1）前5项依次为2，3，5，7，11，图象如图①所示. （2）前5项依次为0，－1，－2，－3，－4，图象如图②所示. 通性通法 1.列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系. 2.图象法表示数列时，数列的图象是以（n，an）为坐标的一系列孤立的点. 【跟踪训练】 某种练习本单价5元，小王买了n本（n∈N*，n≤5）该练习本，记an为买n本的总价，试用三种方法来表示数列{an}. 解：通项公式法：an＝5n（n∈N*，n≤5）. 列表法： n 1 2 3 4 5 an 5 10 15 20 25 图象法： 题型三 由数列的前几项写出数列的通项公式 【例3】　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）3，5，7，9，…； （2），，，，，…； （3）9，99，999，9 999，…； （4）－1，，－，，…. 解：（1）各项减去1后为正偶数，所以它的一个通项公式为an＝2n＋1. （2）每一项的分子比分母小1，而分母组成的数列为21，22，23，24，25，…，所以原数列的一个通项公式为an＝. （3）各项加1后，分别变成10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1. （4）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*. 通性通法 根据数列的前几项求其通项公式的方法 （1）先统一各项的结构，如都化成分数、根式等； （2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式； （3）对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用（－1）n或（－1）n＋1处理； （4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 【跟踪训练】 　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）2×3，3×4，4×5，5×6，…； （2）1，2，3，4，…； （3）3，33，333，3 333，…； （4）－1，0，－1，0，…. 解：（1）由2×3＝（1＋1）×（1＋2），3×4＝（2＋1）×（2＋2），4×5＝（3＋1）×（3＋2），5×6＝（4＋1）×（4＋2），…，可得an＝（n＋1）（n＋2）. （2）此数列的整数部分1，2，3，4，…，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求数列的一个通项公式为an＝n＋＝（n∈N*）. （3）联想特殊数列9，99，999，…的通项公式为an＝10n－1，于是该数列的一个通项公式为an＝（10n－1），即an＝（10n－1）. （4）an＝是此数列的一个通项公式. 由于－1＝－－，0＝－＋. 联想到（－1）n具有转换符号的作用，故此数列的通项公式也可写成an＝. 题型四 数列中项的求解与判断 【例4】　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. （1）写出数列的第4项和第6项； （2）－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？ （3）数列{an}中有多少个负数项？ 解：（1）a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60. （2）令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝（舍去）， 所以n＝7，即－49是该数列的第7项. 令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2. 因为∉N*，－2∉N*，所以68不是该数列的项. （3）an＝n（3n－28），令an＜0，结合n∈N*，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项. 【母题探究】 　（变条件，变设问）已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N*.问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值. 解：∵an＝n2－5n＋4＝－，∴当n＝2或3时，an取得最小值，为a2＝a3＝－2. 通性通法 求项或判断某数是否为数列的项的方法 （1）如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以求出数列中的指定项； （2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值.若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项. 【跟踪训练】 1.数列{an}中，若an＝，则a4＝　　. 解析：因为an＝，所以a4＝＝. 2.（2024·日照月考）已知数列{}，则0.98是它的第　7　项. 解析：令＝0.98＝，解得n＝7（负值舍去）. 1.下列说法正确的是（　　） A.{0，1，2，3，4，5}是有穷数列 B.所有正整数构成的数列是无穷数列 C.数列2，5，7，8和数列5，2，7，8是同一数列 D.数列1，2，3，4，…，n是无穷数列 解析：B　因为{0，1，2，3，4，5}是集合，不是数列，故A错误；所有正整数构成的数列是无穷数列，故B正确；数列是按照一定次序排列的一列数，因此数的次序很关键，所以这两个数列不是同一数列，故C错误；数列1，2，3，4，…，n，共有n项，是有穷数列，故D错误. 2.（2024·徐州月考）已知数列－1，0，，，…，，…，则是其（　　） A.第14项 B.第12项 C.第10项 D.第8项 解析：B　令＝，整理，得5n2－72n＋144＝0，解得n＝12或n＝（舍去）.故选B. 3.数列－1，，－，，－，…的一个通项公式an＝　　. 解析：由题可知，数列－1，，－，，－，…，每项的分子为1，分母是项数的平方，奇数项为负，偶数项为正，故可得数列的一个通项公式为an＝. 4.已知数列{an}的通项公式是an＝n2－pn＋q，且a1＝0，a2＝－4. （1）求a5； （2）150是不是该数列中的项？若是，是第几项？ 解：（1）由已知，得 解得所以an＝n2－7n＋6， 所以a5＝52－7×5＋6＝－4. （2）令an＝n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9（舍去），所以150是该数列中的项，并且是第16项. 　 1.下列叙述正确的是（　　） A.2，4，6，8与8，6，4，2是同一数列 B.0，1，0，1，…是常数列 C.数列0，1，2，3，…的通项公式为an＝n D.若两个数列的每一项均对应相同，则这两个数列相同 解析：D　数列2，4，6，8与8，6，4，2中数的排列顺序不同，不是同一数列，故A错误；数列0，1，0，1，…不是常数列，故B错误；数列0，1，2，3，…的通项公式为an＝n－1，故C错误；由数列的定义可知D正确. 2.已知数列1，，，，…，，若3是这个数列的第n项，则n＝（　　） A.20　　　B.21 C.22　　　D.23 解析：D　由题意得，＝3，即2n－1＝45，解得n＝23，故选D. 3.数列3，5，9，17，33，…的通项公式可能是（　　） A.an＝2n＋1 B.an＝2n＋1 C.an＝2n－1 D.an＝2n－1 解析：B　由数列3，5，9，17，33，…，所以a1＝21＋1＝3，排除C、D选项，通过验证，a1，a2，a3，a4，a5都满足B项中数列的通项公式. 4.（2024·宁波月考）下列各图是由一些火柴棒拼成的一系列图形，如第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由7根火柴棒组成，按这种规律排列下去，那么在第51个图中的火柴棒有（　　） A.151根 B.154根 C.157根 D.160根 解析：B　第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由4＋3＝7根火柴棒组成，第三个图由4＋2×3＝10根火柴棒组成，…，第51个图中的火柴棒有4＋50×3＝154根.故选B. 5.已知数列{an}的一个通项公式为an＝（－1）n·2n＋a，且a3＝－5，则实数a＝（　　） A.3 B.1 C.－1 D.0 解析：A　因为a3＝－5，an＝（－1）n·2n＋a，所以－8＋a＝－5，解得a＝3，故选A. 6.（多选）已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则（　　） A.3不是数列{an}中的项 B.3可能是数列{an}的第2项 C.3可能是数列{an}的第6项 D.a3＜0 解析：BC　令n2－8n＋15＝3，解此方程可得n＝2或n＝6，所以3可能是该数列的第2项，也可能是该数列的第6项，a3＝9－24＋15＝0. 7.数列{an}的通项公式为an＝则a2a3＝　20　. 解析：由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2a3＝20. 8.（2024·开封月考）已知数列{an}的通项公式为an＝2 024－3n，则使an＞0成立的正整数n的最大值为　674　. 解析：由an＝2 024－3n＞0，得n＜，又因为n∈N*，所以正整数n的最大值为674. 9.数列－，，－，，…的一个通项公式是an＝　　. 解析：－＝（－1）1×，＝（－1）2×，－＝（－1）3×，＝（－1）4×，所以其一个通项公式是an＝. 10.根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并作出它们的图象. （1）an＝n－1；（2）an＝sin. 解：（1）当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为－，0，，1，. 图象如图所示. （2）当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为－1，0，1，0，－1.图象如图所示. 11.（2024·杭州月考）数列，－，，－，…的第10项是（　　） A.－ B.－ C.－ D.－ 解析：C　由数列，－，，－，…，可知，奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号，而分子为偶数2n（n为项数），分母比分子大1，故可得到通项公式an＝（－1）n＋1·，所以a10＝（－1）11×＝－. 12.（多选）已知数列{an}的通项公式为an＝，则下列n的值中满足an＜an＋1的有（　　） A.3　　　　 B.4 C.5　　　　 D.6 解析：ABD　由题意，数列{an}的通项公式为an＝.可得a3＝，a4＝，a5＝4，a6＝－4，a7＝－，显然a3＜a4＜a5，a6＜a7，a5＞a6.故满足an＜an＋1的n的值有3，4，6. 13.（2024·洛阳质检）数列，，，，，…中，有序数对（a，b）可以是　（15，26）　. 解析：由已知，各项可写为，，，，，…，可得a＝3×5＝15，b＝24＋2＝26，故数对（a，b）为（15，26）. 14.已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110. （1）20是不是{an}中的一项？ （2）当n取何值时，an＝0？ 解：（1）令an＝－n2＋n＋110＝20， 即n2－n－90＝0， ∴（n＋9）（n－10）＝0， ∴n＝10或n＝－9（舍去）. ∴20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项. （2）令an＝－n2＋n＋110＝0， 即n2－n－110＝0， ∴（n－11）（n＋10）＝0， ∴n＝11或n＝－10（舍去）， ∴当n＝11时，an＝0. 15.（2024·菏泽质检）正整数的排列规则如图所示，其中排在第i行第j列的数记为ai，j，例如a4，3＝9，则a64，8＝　2 024　. 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 …… 解析：根据题意，第1行第1列的数为1，此时a1，1＝＋1＝1，第2行第1列的数为2，此时a2，1＝＋1＝2，第3行第1列的数为4，此时a3，1＝＋1＝4，据此分析可得：第64行第1列的数为a64，1＝＋1＝2 017，则a64，8＝2 024. 16.在数列{an}中，an＝. （1）求数列{an}的第7项； （2）求证：此数列的各项都在区间（0，1）内； （3）区间（，）内有没有数列{an}中的项？若有，有几项？ 解：（1）a7＝＝. （2）证明：因为an＝＝1－， 所以0＜an＜1，故此数列的各项都在区间（0，1）内. （3）令＜＜，则＜n2＜2，n∈N*， 解得n＝1，即在区间（，）内有数列{an}中的项，且只有1项a1. 第2课时　数列的递推公式 　　观察某次智力测试中的一道题：数列：1，3，6，10，15，…中数字出现的规律是： a2－a1＝3－1＝2， a3－a2＝6－3＝3， a4－a3＝10－6＝4， a5－a4＝15－10＝5， …… 【问题】　（1）你能写出该数列的第8个数吗？ （2）你能用an＋1与an的一个数学表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　数列的递推公式 如果一个数列的　相邻　两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 提醒　对数列递推公式的再理解：①与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式；②给出了数列的递推公式和首项（或前几项），就可以求出数列中的任意一项. 知识点二　数列的前n项和 1.数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作　Sn　，即Sn＝　a1＋a2＋…＋an　. 2.数列{an}的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和　Sn　与它的　序号n　之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 3.an与Sn的关系 an＝ 提醒　在应用数列的前n项和公式求通项时，往往容易忽略验证n＝1时的情况，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N*，则a2＝2a1.（　√　） （2）利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}.（　×　） （3）递推公式是表示数列的一种方法.（　√　） （4）S2n表示数列{an}中所有偶数项的和.（　×　） 2.符合递推关系式an＝2an－1的数列是（　　） A.1，2，3，4，… B.1，2，4，8，… C.，2，，2，… D.0，，2，2，… 解析：B　B项中相邻的两项，后一项是前一项的2倍，符合递推关系式an＝2an－1. 3.已知数列{an}的首项a1＝1，且an＝2an－1＋1（n≥2），则a5＝（　　） A.7　　　　B.15 C.30　　　　D.31 解析：D　∵an＝2an－1＋1（n≥2），a1＝1，∴a5＝2a4＋1＝4a3＋3＝8a2＋7＝16a1＋15＝31.故选D. 4.（2024·宁波月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n－1，则a8＝　128　. 解析：因为数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2n－1，所以a8＝S8－S7＝28－1－（27－1）＝27＝128. 　　题型一 由递推公式求数列中的项 【例1】　已知数列{an}中，a1＝1，且满足an＝3an－1＋（n∈N*，且n＞1），写出数列{an}的前5项. 解：由题意，得a2＝3a1＋， 而a1＝1，所以a2＝3×1＋＝. 同理a3＝3a2＋＝10，a4＝3a3＋＝，a5＝3a4＋＝91. 通性通法 由递推公式写出数列的项的方法 （1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可； （2）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1. 【跟踪训练】 1.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，则a5＝（　　） A.5　　　　 B.6 C.7 D.8 解析：A　由题意a3＝a2＋a1＝2，a4＝a3＋a2＝3，a5＝a4＋a3＝5. 2.已知数列{an}满足an＋1＝，a5＝2，则a1＝　　. 解析：因为an＋1＝，a5＝2，令n＝4，2＝，所以a4＝，令n＝3，＝，所以a3＝－1，令n＝2，－1＝，所以a2＝2，令n＝1，2＝，所以a1＝. 题型二 由递推公式求数列的通项公式 【例2】　（1）（2024·厦门月考）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an＝（　　） A. B. C. D. （2）（2024·深圳月考）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an（n∈N*），则an＝（　　） A.n＋1 B.n C. D. 答案：（1）B　（2）D 解析：（1）法一（归纳法）　数列的前5项分别为a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，a3＝＋－＝2－＝，a4＝＋－＝2－＝，a5＝＋－＝2－＝，所以an＝2－＝（n≥2），又a1＝1满足上式，由此可得数列的一个通项公式为an＝. 法二（迭代法）　a2＝a1＋1－，a3＝a2＋－，…，an＝an－1＋－（n≥2），则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－＝2－＝（n≥2）.又a1＝1也适合上式，所以an＝（n∈N*）. 法三（累加法）　an＋1－an＝－，a1＝1，a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－an－1＝－（n≥2），以上各式相加得an＝1＋1－＋－＋…＋－.所以an＝（n≥2）.因为a1＝1也适合上式，所以an＝（n∈N*）. （2）（累乘法）由题意，因为数列{an}满足an＋1＝an（n∈N*），所以＝，所以an＝··…···a1＝××…×××1＝. 通性通法 由递推公式求通项公式的常用方法 （1）归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式； （2）迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f（n）（f（n）是可以求和的），使用累加法或迭代法； ②an＋1＝pan（p为非零常数），或an＋1＝f（n）an（f（n）是可以求积的），使用累乘法或迭代法. 【跟踪训练】 1.已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－（n≥2），求an. 解：因为an＝an－1＋－（n≥2）， 所以an－an－1＝－. 所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1 ＝（－）＋（－）＋…＋（－）＋1＝－＋1. 又a1＝1也符合上式， 所以an＝－＋1，n∈N*. 2.已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1（n≥2），求an. 解：因为ln an－ln an－1＝1， 所以ln＝1， 即＝e（n≥2）. 所以an＝··…··a1＝ ＝en－1（n≥2）， 又a1＝1也符合上式， 所以an＝en－1，n∈N* 题型三 利用Sn与an的关系求通项公式 【例3】　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an. 解：因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2（n－1）2－30（n－1）]＝4n－32. 且当n＝1时，a1＝4×1－32＝－28，依然成立， 所以an＝4n－32，n∈N*. 【母题探究】 　（变条件，变设问）将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an. 解：因为Sn＝2n2－30n＋1， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n＋1－[2（n－1）2－30（n－1）＋1]＝4n－32. 当n＝1时不符合上式. 所以an＝ 通性通法 由Sn求通项公式an的步骤 （1）当n＝1时，a1＝S1； （2）当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1； （3）如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；否则数列{an}的通项公式要分段表示为an＝ 【跟踪训练】 1.已知数列{an}的前n项和Sn＝，则a5＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　根据题意，Sn＝，则S5＝，S4＝，则a5＝S5－S4＝－＝，故选B. 2.（2024·泉州月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，求an. 解：当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝（2n＋2－3）－（2n＋1－3）＝2n＋1， 当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1， 故an＝ 1.已知数列{an}中首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第三项是（　　） A.1 B. C. D. 解析：C　由题知a2＝×1＋＝1，a3＝×1＋＝. 2.已知数列{an}满足a1＝1， －＝1，则a10＝（　　） A.10 B.20 C.100 D.200 解析：C　数列{an}满足a1＝1，－＝1，可得＝1，－＝1，－＝1，…，－＝1，叠加可得＝10，所以a10＝100. 3.若数列{an}满足（n－1）an＝（n＋1）an－1（n≥2，n∈N*），且a1＝1，则a100＝　5 050　. 解析：由（n－1）an＝（n＋1）an－1，得＝（n≥2，n∈N*），则a100＝a1···…·＝1×××…×＝ 5 050. 4.已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式： （1）Sn＝3n＋2； （2）Sn＝n2－n. 解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝5； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋2）－（3n－1＋2）＝2·3n－1，a1＝5不满足上式，故an＝ （2）当n＝1时，a1＝S1＝12－1＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（n2－n）－[（n－1）2－（n－1）]＝2n－2， 又a1＝0满足an＝2n－2，故an＝2n－2. 1.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是（　　） A.an＝an－1＋2（n≥2） B.an＝2an－1（n≥2） C.a1＝2，an＝an－1＋2（n≥2） D.a1＝2，an＝2an－1（n≥2） 解析：C　A、B中没有说明第一项，无法递推；D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意.故选C. 2.设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a9＝（　　） A.15 B.17 C.49 D.64 解析：B　由已知，a9＝S9－S8＝92－82＝17. 3.已知a1＝1，an＝an－1＋3（n≥2，n∈N*），则数列的通项公式为（　　） A.an＝3n＋1 B.an＝3n C.an＝3n－2 D.an＝3（n－1） 解析：C　因为an＝an－1＋3，所以an－an－1＝3.所以a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，以上各式两边分别相加，得an－a1＝3（n－1），因为a1＝1，所以an＝a1＋3（n－1）＝1＋3（n－1）＝3n－2.当n＝1时，也适合上式，所以an＝3n－2. 4.（2024·绍兴月考）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，则a11＝（　　） A.512 B.256 C.2 048 D.1 024 解析：D　因为an＋1＝2an，即＝2，所以＝2，＝2，…，＝2，累乘可得a11＝1 024. 5.（多选）符合递推关系式an＝an－1的数列是（　　） A.1，2，3，4，… B.1，，2，2，… C.，2，2，4，… D.0，，2，2，… 解析：BC　B与C中从第2项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.A中，后一项与前一项之差为1，递推公式为an＝an－1＋1.D中，无法推出递推公式.综上，B、C正确. 6.（多选）已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，下列说法正确的是（　　） A.a1＝3 B.an＝2n（n≥2） C.an＝2n D.an＝2n（n≥2） 解析：AD　Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n＋1－1）－（2n－1）＝2n.当n＝1时，不符合上式，故an＝ 7.数列{an}中，已知a1＝5，且an＋1＝an＋（－1）n，则a10＝　　. 解析：因为an＋1＝an＋（－1）n，所以an＋1－an＝（－1）n，所以a10＝a10－a9＋a9－a8＋…＋a2－a1＋a1＝（－1）9＋（－1）8＋…＋（－1）1＋5＝4. 8.已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2（n∈N*），则a9＝　　. 解析：a1a2…a8＝82，①，a1a2…a9＝92，②，②÷①得，a9＝＝. 9.已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1＋（n≥2），则an＝　　. 解析：因为an＝an－1＋（n≥2），所以an－an－1＝＝－，所以a2－a1＝－，a3－a2＝－，…，an－an－1＝－（n≥2）.以上各式相加，得an－a1＝－（n≥2），所以an＝a1＋－＝（n≥2），又a1＝适合上式，所以an＝. 10.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2（n≥3）给出. （1）写出此数列的前5项； （2）通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项. 解：（1）因为an＝an－1＋an－2（n≥3），且a1＝1，a2＝2， 所以a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. （2）因为bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， 所以b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝. 故数列{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝. 11.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则数列{an}的通项公式为an＝（　　） A.2＋ln n B.2＋（n－1）ln n C.2＋nln n D.1＋n＋ln n 解析：A　a2＝a1＋ln，a3＝a2＋ln，…，an＝an－1＋ln（n≥2），则an＝a1＋ln（×××…×）＝2＋ln n（n≥2）.又a1＝2＝2＋ln 1，所以an＝2＋ln n. 12.（多选）由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝，则（　　） A.b3＝5 B.b4＝9 C.b5＝15 D.b6＝33 解析：ABD　因为an＝2n－1，bn＝，所以b2＝＝a2＝3，b3＝＝a3＝5，b4＝＝a5＝9，b5＝＝a9＝17，b6＝＝a17＝33. 13.（2024·台州月考）设数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n（n∈N*），则a11＝　　. 解析：由a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n①得：当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝n－1②，①－②得2n－1·an＝1，an＝，所以a11＝＝. 14.已知数列{an}中，a1＝1，当n∈N*且n≥2时，（2n＋1）an＝（2n－3）an－1，求通项公式an. 解：当n≥2时，因为（2n＋1）an＝（2n－3）an－1，所以＝， 所以···…··＝×××…××＝. 所以＝，所以an＝， 当n＝1时，a1＝1符合上式， 所以an＝，n∈N*. 15.（多选）已知数列{an}满足a1∈N*，且an＋1＝（n＝1，2，…），集合M＝{a1，a2，…，aN}中的最小元素记为m.若a1＝20，N＝10，则（　　） A.2a3＝a8 B.m＝6 C.a9＞a5 D.a10＝22 解析：BD　因为数列{an}满足a1＝20，且an＋1＝（n＝1，2，…），所以a2＝20＋4＝24，a3＝24＋4＝28，a4＝28＋4＝32，a5＝32＋4＝36，a6＝＝6，a7＝6＋4＝10，a8＝10＋4＝14，a9＝14＋4＝18，a10＝18＋4＝22，所以2a3≠a8，所以A不正确；集合M＝{a1，a2，…，a10}中的最小元素m＝6，所以B正确；a9＜a5，所以C不正确；a10＝22，所以D正确.故选B、D. 16.设数列{an}满足：a1＝1，an＝an－1＋，n＝2，3，…，其中[x]表示不超过实数x的最大整数.若an被正整数p除所得的余数为k，则记an≡k（modp），若数列中不同的两项ai，aj被p除所得余数相同，则记ai≡aj（modp）. （1）直接写出a2，a3，a4，a5； （2）若an≡0（mod7），证明：a2n＋1≡a2n≡a2n－1（mod7）. 解：（1）当n＝2时，a2＝a1＋a1＝2， 当n＝3时，a3＝a2＋a1＝2＋1＝3， 当n＝4时，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， 当n＝5时，a5＝a4＋a2＝5＋2＝7， 所以a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝7. （2）因为an＝an－1＋，所以a2n＋1＝a2n＋an， 又因为an≡0（mod7），所以a2n＋1被7除所得余数与a2n被7除所得余数一致，即a2n＋1≡a2n（mod7）， 同理：a2n＝a2n－1＋an， 因为an≡0（mod7），所以a2n被7除所得余数与a2n－1被7除所得余数一致，即a2n≡a2n－1（mod7）， 故a2n＋1≡a2n≡a2n－1（mod7）. 培优课 数列的函数特征 　　 题型一 数列的周期性 【例1】　数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a20＝（　　） A. B.－1 C.2 D.1 解析：A　由an＋1＝1－及a1＝2，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，至此可发现数列{an}是周期为3的周期数列：2，，－1，2，，－1，….而20＝6×3＋2，故a20＝a2＝. 通性通法 利用数列的周期性求数列中某一项的步骤 （1）根据已知的数列的递推公式，写出数列的前几项，观察项与项之间的关系直至出现重复的项； （2）确定该数列的周期； （3）利用周期性求出要求的项. 【跟踪训练】 （2024·临沂质检）数列{an}满足a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则＝　3　. 解析：由a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，得a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，…，所以数列{an}是以6为周期的周期数列，所以＝a6×337＋3＝a3＝3. 题型二 数列的单调性及其应用 角度1　数列单调性的判断 【例2】　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－n（n∈N*），判断该数列的单调性. 解：法一　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1）， 则an＋1－an＝3（n＋1）2－（n＋1）－（3n2－n）＝6n＋2＞0， 即an＋1＞an，故数列{an}是递增数列. 法二　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1）， 则＝＝·＞1. 又易知an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列. 通性通法 解决数列的单调性问题的两种方法 （1）作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列； （2）作商比较法：根据（an＞0或an＜0）与1的大小关系进行判断. 角度2　数列单调性的应用 【例3】　（2024·福州质检）已知数列{an}的通项公式为an＝（n＋1）·（）n（n∈N*），试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由. 解：法一　∵an＋1－an＝（n＋2）（）n＋1－（n＋1）·（）n＝（）n·. ∴当n＜8时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 当n＝8时，a9－a8＝0，即a9＝a8； 当n＞8时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an； 故a1＜a2＜…＜a8＝a9＞a10＞a11＞…， ∴数列{an}中最大项为a8或a9， 其值为9·（）8，其项数为8或9. 法二　根据题意，令 即 解得8≤n≤9. 又n∈N*，则n＝8或n＝9. 故数列{an}有最大项，为第8项和第9项， 且a8＝a9＝9·（）8. 通性通法 求数列最大项与最小项的常用方法 （1）函数法：利用相关的函数求最值.若能借助表达式观察出单调性，直接确定最大（小）项，否则，利用作差法； （2）利用（n≥2）确定最大项，利用（n≥2）确定最小项. 【跟踪训练】 1.若数列{an}的通项公式为an＝，则此数列是（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.以上都不是 解析：A　因为an＝＝2－，所以当n≥2时，an－an－1＝（2－）－（2－）＝－＝＞0，所以数列{an}是递增数列. 2.已知数列{an}的通项公式为an＝n－7，则数列{nan}的最小项为第　3或4　项. 解析：nan＝n（n－7）＝n2－7n＝（n－）2－.因为n∈N*，所以当n＝3或n＝4时，数列{nan}的项最小. 1.已知数列{an}满足an＞0，且an＋1＝an，则数列{an}是（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.以上都不是 解析：B　因为＝＜1，an＞0，所以an＋1＜an，故数列{an}为递减数列. 2.已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 025＝（　　） A.－1 B. C.1 D.2 解析：A　由a1＝，an＋1＝得a2＝2，a3＝－1，a4＝，a5＝2，…，可知数列{an}是以3为周期的周期数列，因此a2 025＝a3×675＝a3＝－1. 3.数列{－2n2＋29n＋3}中最大的项是（　　） A.107 B.108 C.108 D.109 解析：B　因为－2n2＋29n＋3＝－2（n2－n）＋3＝－2（n－）2＋，所以当n＝7时，－2n2＋29n＋3取得最大值108，故选B. 4.（2024·新乡质检）已知数列{an}中， an＝k·，若{an}是递增数列，试求实数k的取值范围. 解：因为an＝k·， {an}是递增数列，所以an＋1－an＝k·－k·＝·＝－k·＞0对任意的n∈N*恒成立，所以－k＞0，解得k＜0， 所以实数k的取值范围是. 1.已知数列{an}的通项公式为an＝，按项的变化趋势，该数列是（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 解析：B　因为an＝＝，显然随着n的增大，2－是递增的，故an是递减的，则数列{an}是递减数列，故选B. 2.已知数列{an}中，a1＝b（b为任意常数），an＋1＝－（n＝1，2，3，…），则能使an＝b的n的值是（　　） A.14 B.15 C.16 D.17 解析：C　a2＝－＝－，a3＝－＝－＝－1－，a4＝－＝－＝b.可见{an}是以前三项为一个周期的周期数列，所以a1＝a4＝a7＝a10＝a13＝a16＝…＝b. 3.（2024·湖州月考）对任意的a1∈（0，1），由关系式an＋1＝f（an）得到的数列{an}满足an＋1＞an（n∈N*），则函数y＝f（x）的图象可能是（　　） 解析：A　根据题意，由关系式an＋1＝f（an）得到的数列{an}满足an＋1＞an，即函数y＝f（x）的图象上任一点（x，y）都满足y＞x.结合图象，可知只有A满足，故选A. 4.已知数列{an}的通项公式为an＝，其最大项和最小项的值分别为（　　） A.1，－ B.0，－ C.，－ D.1，－ 解析：A　因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，an＝＜0，且单调递减；当n≥4时，an＝＞0，且单调递减，所以最小项为a3＝＝－，最大项为a4＝＝1.故选A. 5.设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是递增数列，则实数b的取值范围为（　　） A.[1，＋∞） B.[－2，＋∞） C.（－3，＋∞） D.（－，＋∞） 解析：C　因为函数f（n）＝n2＋bn图象的对称轴方程为n＝－，结合二次函数的图象可知当－＜，即b＞－3时，单调递增. 6.（多选）若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1（n≥3），记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是（　　） A.Tn无最大值 B.an有最大值 C.T2 024＝1 D.a2 024＝2 解析：BD　∵a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1（n≥3），∴a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，…，因此数列{an}是周期为6的周期数列，an＋6＝an，∴an有最大值2，a2 024＝a2＝2，又∵T1＝1，T2＝2，T3＝4，T4＝4，T5＝2，T6＝1，T7＝1，T8＝2，…，∴{Tn}是周期为6的周期数列，Tn＋6＝Tn，∴Tn有最大值4，T2 024＝T2＝2.故选B、D. 7.数列{（n－a）2}是递增数列，则实数a的取值范围是　（－∞，）　. 解析：因为{（n－a）2}是递增数列，记an＝（n－a）2，则an＋1－an＝（n＋1－a）2－（n－a）2＝2n＋1－2a＞0，所以a＜对任意的n∈N*恒成立，所以a＜. 8.（2024·泉州月考）请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；②{an}为单调递增数列；③0＜an＜2.这个数列的通项公式可以是　an＝2－（答案不唯一）　. 解析：因为函数an＝2－的定义域为N*，且an＝2－在N*上单调递增，0＜2－＜2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是an＝2－. 9.已知数列{an}的通项公式为an＝｜n－｜，则an的最小项为　　，此时n的值为　3　. 解析：因为an＝｜n－｜，所以当n＝1，2，3时，an＝－n，此时an的最小项为，对应的n＝3；当n＞3，n∈N*时，an＝n－，此时an的最小项为，对应的n＝4.综上所述，an的最小项为，此时n＝3. 10.在数列{an}中，已知an＝－（n≥2，n∈N*）. （1）求证an＋2＝an； （2）若a4＝4，求a20的值； （3）若a1＝1，求a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7的值. 解：（1）证明：当n≥1时，因为an＋2＝an＋1＋1＝－＝－＝an，所以an＋2＝an成立. （2）由（1）知数列{an}是以2为周期的周期数列，所以a20＝a4＝4. （3）因为a1＝1，所以a2＝－1，因为数列的周期为2，所以（a1＋a2）＋（a3＋a4）＋（a5＋a6）＋a7＝a1＝1. 11.已知函数f（x）＝2x－2－x，数列{an}满足f（log2an）＝－2n. （1）求数列{an}的通项公式； （2）讨论数列{an}的单调性，并证明你的结论. 解：（1）∵f（x）＝2x－2－x，f（log2an）＝－2n（an＞0），∴－＝－2n，∴an－＝－2n.∴＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.∵an＞0，∴an＝－n. （2）∵＝＝＜1，an＞0，∴an＋1＜an，∴数列{an}是递减数列. 12.已知数列{an}中，an＝1＋（n∈N*，a∈R且a≠0）. （1）若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； （2）若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围. 解：（1）当a＝－7时，an＝1＋（n∈N*）. 结合函数f（x）＝1＋的单调性， 可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1（n∈N*）. ∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. （2）an＝1＋＝1＋， 已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立， 结合函数f（x）＝1＋的单调性， 可知5＜＜6，即－10＜a＜－8， 即a的取值范围是（－10，－8）. 4.2.1　等差数列的概念 新课程标准解读 核心素养 1.通过生活中的实例，理解等差数列、等差中项的概念 数学抽象 2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题 逻辑推理、数学运算 3.体会等差数列与一元一次函数的关系 数学抽象、数学建模 第1课时　等差数列的概念及通项公式 （1）我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2024年是龙年，从2024年开始，龙年的年份为2024，2036， 2048，2060，2072，2084，…； （2）我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…； （3）2024年1月中，每个星期一的日期为1，8，15，22，29. 【问题】　这些数列的后一项与前一项之间的关系是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　等差数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的　前一项　的差都等于　同一个常数　，那么这个数列就叫做等差数列，这个　常数　叫做等差数列的公差，公差通常用字母　d　表示 符号语言 an＋1－an＝d（d为常数，n∈N*） 提醒　对等差数列概念的再理解：①“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；②“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：（ⅰ）作差的顺序；（ⅱ）这两项必须相邻；③定义中的“同一个常数”是指全部的后一项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列. 知识点二　等差中项 1.条件：如果三个数a，A，b成　等差　数列. 2.结论：那么A叫做a与b的等差　中项　. 3.满足的关系式：2A＝　a＋b　. 【想一想】 　任何两个数都有等差中项吗？ 提示：任何两个数都有等差中项. 知识点三　等差数列的通项公式 　首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝　a1＋（n－1）d　. 提醒　由等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d可得an＝dn＋（a1－d），如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数.当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）数列4，4，4，…是等差数列.（　√　） （2）数列{an}的通项公式为an＝则{an}是等差数列.（　×　） （3）若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（　×　） （4）若三个数a，b，c满足a＋c＝2b，则a，b，c一定是等差数列.（　√　） 2.2与8的等差中项是（　　） A.－5 B.5 C.4 D.±4 解析：B　设2与8的等差中项是x，则2x＝2＋8，解得x＝5. 3.已知数列是等差数列，且a1＝2，a3＝6，则该等差数列的公差d＝（　　） A. B.1 C. D.2 解析：B　由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2，所以a2＝4，故公差d＝a2－a1＝2. 4.已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是（　　） A.1，4 B.－1，－4 C.4，1 D.－4，－1 解析：B　n＝1时，a1＝－1，n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4. 　　题型一 等差数列的概念 【例1】　（多选）下列数列是等差数列的是（　　） A.an＝－2n＋3（n∈N*） B.4，7，10，13，16 C.，，1，， D.－3，－2，－1，1，2 解析：ABC　A项，由an＝－2n＋3（n∈N*），则a1＝1，a2＝－1，a3＝－3，…，由等差数列的定义，故是等差数列；B项d＝3，故是等差数列；C项d＝，故是等差数列；D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列. 通性通法 利用定义判断等差数列的策略 　　从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列. 【跟踪训练】 　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d. （1）1，3，5，7，9，…； （2）9，6，3，0，－3，…； （3）1，3，4，5，6，…； （4）7，7，7，7，7，…； （5）1，，，，，…. 解：（1）是，a1＝1，d＝2. （2）是，a1＝9，d＝－3. （3）不是. （4）是，a1＝7，d＝0. （5）不是. 题型二 等差中项及应用 【例2】　（1）已知a＋3是2a－1和2a＋1的等差中项，则3a－5和4a＋6的等差中项为　11　； （2）（2024·洛阳月考）已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为　等边三角形　. 解析：（1）因为a＋3是2a－1和2a＋1的等差中项，所以2（a＋3）＝（2a－1）＋（2a＋1），解得a＝3，则3a－5＝4，4a＋6＝18，所以3a－5和4a＋6的等差中项为＝11. （2）因为a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，所以则4b＝（＋）2＝a＋c＋2，即a＋c＝2，所以（－）2＝0，故a＝c＝b.所以△ABC为等边三角形. 通性通法 等差中项的应用策略 （1）求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝； （2）证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列. 【跟踪训练】 1.若a＝，b＝，则a，b的等差中项为（　　） A.　　　　B. C.　　　　D. 解析：A　由题知a，b的等差中项为（＋）＝（－＋＋）＝. 2.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 解：∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7. 题型三 等差数列通项公式的应用 角度1　等差数列基本量的计算 【例3】　在等差数列{an}中. （1）已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； （2）已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. 解：（1）∵a5＝－1，a8＝2， ∴解得 （2）设数列{an}的公差为d， 由已知得，解得 ∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1， ∴a9＝2×9－1＝17. 角度2　等差数列通项公式的应用 【例4】　已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋（n－1）d， 由已知得解得 所以an＝－23＋（n－1）×4＝4n－27， 令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*，所以153是所给数列的第45项. 【母题探究】 （变设问）若例4条件不变，求a38及a30＋a46的值，并判断2a38与a15＋a61是否相等？a30＋a46与a15＋a61是否相等？ 解：由例4知a15＋a61＝33＋217＝250，an＝4n－27， 所以a38＝4×38－27＝125，a30＋a46＝4×30－27＋4×46－27＝250， 故2a38＝a15＋a61，a30＋a46＝a15＋a61. 通性通法 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可； （2）等差数列{an}的通项公式an＝a1＋（n－1）d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项公式求出第四个参数，即“知三求一”. 【跟踪训练】 1.2 024是等差数列4，6，8，…的（　　） A.第1 009项 B.第1 010项 C.第1 011项 D.第1 012项 解析：C　∵此等差数列的公差d＝2，a1＝4，∴an＝4＋（n－1）×2＝2n＋2，令2 024＝2n＋2，解得n＝1 011. 2.在等差数列{an}中， （1）已知a4＝10，a14＝70，则an＝　6n－14　； （2）已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝　－　； （3）已知{an}的前3项依次为2，6，10，则a15＝　58　. 解析：（1）设公差为d，则解得所以an＝a1＋（n－1）d＝6n－14. （2）由题意得解得 （3）由题意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋（n－1）d，得an＝2＋（n－1）×4＝4n－2，所以a15＝4×15－2＝58. 1.下列数列是等差数列的是（　　） A.，， B.lg 5，lg 6，lg 7 C.1，， D.2，3，5 解析：C　对于A，－≠－，A不是等差数列；对于B，lg 6－lg 5≠lg 7－lg 6，B不是等差数列；对于C，－1＝－，C是等差数列；对于D，3－2≠5－3，D不是等差数列.故选C. 2.（2024·扬州月考）已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（　　） A.2　　　　B.3 C.6　　　　D.9 解析：B　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.所以m和n的等差中项为＝3. 3.已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项为　487　. 解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487. 4.在等差数列{an}中， （1）已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an； （2）已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n. 解：（1）a10＝a1＋（10－1）d＝2＋9×3＝29. （2）由an＝a1＋（n－1）d，得3＋2（n－1）＝21，解得n＝10. 1.已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n＝（　　） A.90　　　　　　　　　　　B.96 C.98 D.100 解析：D　由题意知1＋3（n－1）＝298，解得n＝100. 2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋6，则a5＝（　　） A.25 B.30 C.32 D.64 解析：A　由an＋1＝an＋6得an＋1－an＝6，所以{an}是以6为公差的等差数列，又a1＝1，所以a5＝a1＋（5－1）×6＝1＋24＝25，故选A. 3.设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是（　　） A.a＝－b B.a＝3b C.a＝－b或a＝3b D.a＝b＝0 解析：C　由等差中项的定义知x＝，x2＝，所以＝（）2，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b. 4.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是（　　） A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 解析：B　∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋（n－1）×（－3）＝23－3n，∴a7＝2＞0，a8＝－1＜0.故数列中第一个负数项是第8项. 5.（多选）下列通项公式表示的数列为等差数列的是（　　） A.an＝3n＋1 B.an＝n2＋1 C.an＝1 D.an＝1－2n 解析：ACD　对于A，∵an＋1－an＝3（n＋1）＋1－（3n＋1）＝3为常数.∴此数列为等差数列，A正确.对于B，an＋1－an＝（n＋1）2＋1－（n2＋1）＝2n＋1，不是一个常数，故该数列不是等差数列，B不正确.对于C，an＋1－an＝1－1＝0为常数，该数列是等差数列，C正确.对于D，an＋1－an＝1－2（n＋1）－（1－2n）＝－2为常数，该数列是等差数列，D正确.故选A、C、D. 6.（多选）在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，公差为d，则（　　） A.a4＝ B.a3＝1 C.d＝ D.d＝ 解析：ABD　由题意得解得因此＝＋3d＝，故a4＝，＝＋2d＝，解得a3＝1. 7.在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝　16　. 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a2＝2，a5＝8，得解得所以a9＝a1＋8d＝16. 8.设a＞0，b＞0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，则2a＋b＝　2　. 解析：∵ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，∴2ln 3＝ln 9a＋ln 3b，∴ln 32＝ln（9a·3b）＝ln 32a＋b，∴32＝32a＋b，∴2a＋b＝2. 9.在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为　an＝2（n＋1）2　. 解析：由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列，所以＝2＋（n－1）＝n＋，故an＝2（n＋1）2. 10.在等差数列{an}中. （1）若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项； （2）若a2＝11，a8＝5，求a10. 解：（1）由题意得解得 所以an＝7＋2（n－1）＝2n＋5. 令2n＋5＝91，得n＝43. 因为43为正整数，所以91是此数列中的项. （2）由题意得解得 所以an＝12＋（n－1）×（－1）＝13－n，所以a10＝13－10＝3. 11.已知数列是无穷数列，则“2a2＝a1＋a3”是“数列为等差数列”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：B　若“数列为等差数列”成立，必有“2a2＝a1＋a3”，而仅有“2a2＝a1＋a3”成立，不能断定“数列为等差数列”成立，必须满足对任意的n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2成立才可以，故“2a2＝a1＋a3”是“数列为等差数列”的必要不充分条件. 12.若首项为－21的等差数列{an}从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（　　） A.（3，＋∞） B.（－∞，） C.［3，） D.（3，］ 解析：D　由题意可知an＝－21＋（n－1）d.∵从第8项起开始为正数，∴a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d＞0，解得3＜d≤.故选D. 13.在从100到999的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有　45　个. 解析：先考虑不存在0的情况，由题意可知，公差最大为4，公差为0有9个，公差为±1有14个，公差为±2有10个，公差为±3有6个，公差为±4有2个；当三位数有0时，有4个，综上所述，构成等差数列的共有45个. 14.（2024·盐城月考）在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且＝a2·a9. （1）求数列{an}的首项和公差； （2）设bn＝，若bm＋bm＋1＝bm＋3，求正整数m的值. 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知可得⇒或即数列{an}的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3. （2）由（1）可知an＝4或an＝1＋3（n－1）＝3n－2，当an＝4时，bn＝＝1， 又bm＋bm＋1＝bm＋3，而1＋1＝2＞1，不满足题意； 当an＝3n－2时，bn＝＝， 又bm＋bm＋1＝bm＋3， 所以＋＝， 整理得m2－5m－6＝0，因为m为正整数， 所以m＝6. 15.（2024·泉州质检）已知数阵中，每行、每列的四个数均成等差数列，如果数阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a22＝　　. 解析：设第三行的四个数的公差为d3，由a31＝1，a34＝7，得d3＝2，所以a32＝1＋2＝3，因为第二列的四个数成等差数列，所以a22是a12，a32的等差中项，所以a22＝＝＝. 16.已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d（d≠0）的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列. （1）若a20＝40，求d； （2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围； （3）续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，以此类推，把已知数列推广为无穷数列. 解：（1）依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以d＝3. （2）a30＝a20＋10d2＝10（1＋d＋d2）（d≠0）， 故a30＝10［（d＋）2＋］， 当d∈（－∞，0）∪（0，＋∞）时，a30∈［，＋∞）. （3）所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，a10n，a10n＋1，…，a10（n＋1）是公差为dn的等差数列. 第2课时　等比数列的判定及性质 　 　　1915年，波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示.我们来数一数图中那些白色的同一类三角形的个数，可以得到一列数：1，3，9，27，…，我们知道这是一个等比数列. 【问题】　在等差数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　等比数列{an}的常用性质 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则 （1）an＝am·　qn－m　（n，m∈N*）； （2）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则　aman＝apaq　； 特别地，①若m＋n＝2r，则aman＝，m，n，r∈N*； ②a1an＝a2an－1＝…＝aian＋1－i＝…（i＝1，2，3，…，n）； （3）若m＋n＋t＝p＋r＋s，则amanat＝aparas，其中m，n，t，p，r，s∈N*； （4）若m，n，p（m，n，p∈N*）成等差数列，则am，an，ap成等比数列. 【想一想】 等比数列两项之间的关系an＝amqn－m中，当n≤m时成立吗？ 提示：成立. 1.（2024·日照月考）在等比数列{an}中，a2＝27，q＝－，则a5＝（　　） A.－3 B.3 C.－1 D.1 解析：C　a5＝a2·q3＝27×（－）3＝－1. 2.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝　1　. 解析：由等比数列的性质，知＝a3a11＝16.又数列{an}的各项都是正数，所以a7＝4.又a7＝a5×q2，则a5＝＝1. 3.在等比数列{an}中，若a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，试求a9a10a11的值. 解：因为{an}为等比数列，所以a3a4a5，a6a7a8，a9a10a11仍为等比数列，公比q＝＝＝8， 所以a9a10a11＝（a6a7a8）·q＝24×8＝192. 　　 题型一 等比数列的判定与证明 【例1】　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋n－1. （1）求证：数列{an＋n}为等比数列； （2）求数列{an}的通项公式. 解：（1）证明：由an＋1＝2an＋n－1，得an＋1＋n＋1＝2an＋2n＝2（an＋n），易知an＋n≠0， ∴＝2，且a1＋1＝2， ∴数列 {an＋n}是首项与公比都为2的等比数列. （2）由（1）得an＋n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－n. 通性通法 判定或证明数列为等比数列的常用方法 （1）定义法：＝q（q为常数且q≠0）等价于{an}是等比数列； （2）通项公式法：an＝a1qn－1（a1≠0且q≠0）等价于{an}是等比数列； （3）等比中项法：若对于任意连续非零三项an－1，an，an＋1，都有＝an－1an＋1（n≥2且n∈N*），则数列{an}是等比数列. 提醒　证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法. 【跟踪训练】 1.数列{an}中，“＝an－1an＋1对任意n≥2且n∈N*都成立”是“{an}是等比数列”的（　　） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　易知“{an}是等比数列”能推出“＝an－1an＋1对任意n≥2且n∈N*都成立”.当n≥2时，若an＝an－1＝an＋1＝0，满足＝an－1an＋1，此时{an}不是等比数列.故“＝an－1an＋1对任意n≥2且n∈N*都成立”是“{an}是等比数列”的必要不充分条件，故选A. 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝（an－1）（n∈N*）.证明：数列{an}是等比数列. 证明：因为Sn＝（an－1），所以Sn＋1＝（an＋1－1）， 两式相减，得an＋1＝an＋1－an，即an＋1＝－an. 又当n＝1时，a1＝S1＝（a1－1），所以a1＝－. 所以数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列. 题型二 等比数列性质的应用 【例2】　在等比数列{an}中： （1）已知a5＝4，a9＝16，则a7＝　8　； （2）若an＞0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，则a6＋a8＝　7　； （3）若an＞0，a5a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝　10　. 解析：（1）设等比数列{an}的公比为q，则a7＝a5q2＞0.由等比中项的性质可得＝a5a9＝64，解得a7＝8. （2）由等比中项，化简条件得＋2a6a8＋＝49，即（a6＋a8）2＝49，因为an＞0，所以a6＋a8＝7. （3）由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3（a1a2·…·a10）＝log3[（a1a10）（a2a9）（a3a8）·（a4a7）（a5a6）]＝log395＝10. 通性通法 利用等比数列的性质解题 （1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； （2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量. 【跟踪训练】 1.已知在等比数列中，有a3a7a10＝9，则a4＝（　　） A.3 B.9 C.20 D.无法计算 解析：B　由等比数列多项之间的下标和的关系可知3＋7＋10＝4＋8＋8，故a4＝9. 2.（2024·台州月考）在等比数列{an}中，a6·a12＝6，a4＋a14＝5，则＝（　　） A.或 B. C.或 D.或 解析：A　由a6·a12＝a4·a14＝6，且a4＋a14＝5，解得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2，若a4＝2，a14＝3，则q10＝，即＝；若a4＝3，a14＝2，则q10＝，即＝. 题型三 等比数列与指数函数的关系 【例3】　（2024·安阳质检）在等比数列{an}中，如果公比为q，且q＜1，那么等比数列{an}是（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 解析：D　如等比数列{（－1）n}的公比为－1，是摆动数列，不具有单调性；等比数列{（）n}的公比为，是递减数列；等比数列{－（）n}的公比为，是递增数列. 通性通法 判断等比数列{an}的单调性的方法 （1）当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列； （2）当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列； （3）当q＝1时，数列{an}是常数列；当q＜0时，数列{an}是摆动数列. 【跟踪训练】 1.设{an}是等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　设等比数列{an}的公比为q，由a1＜a2，可得a1（q－1）＞0，解得或此时数列{an}不一定是递增数列；若数列{an}为递增数列，可得或所以“a1＜a2”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件. 2.若等比数列{an}是递减数列，且a2＋a4＝30，a2a4＝144，则公比q＝　　. 解析：∵a2＋a4＝30，a2a4＝144，∴a2，a4是方程x2－30x＋144＝0的两个实数根（a2＞a4），∴a2＝24，a4＝6，∴q2＝＝＝，解得q＝或q＝－（舍去）. 1.在等比数列{an}中，若a3＝8，a6＝64，则公比q＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.8 解析：A　由a6＝a3q3，得q3＝8，所以q＝2. 2.在等比数列{an}中，若a2a6＋＝π，则a3a5＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　因为a2a6＝＝a3a5，所以a3a5＝. 3.在等比数列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，则数列{an}为（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 解析：A　由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.又a1＞0，所以数列{an}为递增数列. 4.已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列. 解：an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1（n≥2）.当n≥2时，＝＝2； 当n＝1时，＝＝. 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列. 1.已知等比数列{an}中，a1＝1，a3＝，则a5＝（　　） A.± B.－ C. D.± 解析：C　根据等比数列的性质可知a1a5＝⇒a5＝＝. 2.若数列{an}是公比为q的递增等比数列，则（　　） A.a1＞0，q＞1 B.a1（q－1）＞0 C.（a1－1）q＞0 D.（a1－1）q＜0 解析：B　依题意，不妨设a1＝1，q＝2，数列是递增的等比数列，由此判断C、D选项错误.设a1＝－1，q＝，数列是递增的等比数列，由此判断A选项不正确.故正确的选项为B. 3.（2024·漯河月考）已知数列{an}满足an＋1＝an，若a4＋a5＝2，则a3＋a4＝（　　） A. B.1 C.4 D.8 解析：D　由已知，an＋1＝an，则＝，所以数列{an}是以为公比的等比数列，则a4＋a5＝q·（a3＋a4）＝（a3＋a4）＝2，所以a3＋a4＝8. 4.在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9＝（　　） A.9 B.－9 C.±9 D.18 解析：A　因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9.所以（a1a9）2＝81，即a1a9＝±9.因为在等比数列{an}中，奇数项（或偶数项）的符号相同，所以a1，a9同号，所以a1a9＝9. 5.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝tan＋t（n∈N*，t≠0），则“t＝”是“数列{an}是等比数列”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　当t＝时，由a1＝1得a2＝＋＝1，a3＝＋＝1，…，an＝1，所以{an}是等比数列，充分性成立；反之若{an}是等比数列，则a2＝ta1＋t＝2t，a3＝ta2＋t＝2t2＋t，又因为a1，a2，a3也成等比数列，所以＝a1a3，即4t2＝2t2＋t，又t≠0，所以t＝，此时an＝1（n∈N*），满足题意，必要性也成立.所以“t＝”是“数列{an}是等比数列”的充要条件.故选C. 6.（多选）已知等比数列{an}，则下面式子对任意正整数k都成立的是（　　） A.ak·ak＋1＞0 B.ak·ak＋2＞0 C.ak·ak＋1·ak＋2＞0 D.ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＞0 解析：BD　对于A，当q＜0时，ak·ak＋1＜0，A不一定成立；对于B，ak·ak＋2＝（akq）2＞0，B成立；对于C，ak·ak＋1·ak＋2＝（ak＋1）3＞0不一定成立，C不一定成立；对于D，ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＝（ak＋1·ak＋2）2＞0一定成立，故选B、D. 7.（2024·镇江月考）在等比数列{an}中，存在正整数m，有am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝　1 536　. 解析：由题意知q5＝＝8，am＋15＝am·q15＝3×83＝1 536. 8.已知等比数列{an}中，am·am＋10＝a，am＋20·am＋30＝b（m∈N*），则am＋40·am＋50＝　　. 解析：由等比数列性质an＋p＝an·qp，b＝am＋20·am＋30＝am·q20·am＋10·q20＝（am·am＋10）q40＝aq40，∴q40＝，故am＋40·am＋50＝（am·am＋10）·q80＝a·（）2＝. 9.在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－， 则＋＋＋＝　－　. 解析：∵＋＝，＋＝，又a8a9＝a7a10，∴＋＋＋＝＝＝－. 10.（2024·三明质检）已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，＝9a2a6. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式. 解：（1）设数列{an}的公比为q， 由＝9a2a6得＝9，所以q2＝. 由已知q＞0，故q＝. 由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝. 故数列{an}的通项公式为an＝. （2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an ＝－（1＋2＋…＋n）＝－. 11.若正项等比数列{an}满足a1a5＝4，当＋取最小值时，数列的公比q＝（　　） A.1　　　　B.2 C.±1　　　　D.±2 解析：B　设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），因为a1a5＝4，所以由等比数列的性质可得a2a4＝4，因此＋≥2＝2，当且仅当＝，即＝q2＝4，即q＝2（负值舍去）时，等号成立.所以数列{an}的公比是2. 12.在等比数列{an}中，已知a1＞0，则“a2＞a3”是“a3＞a6”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　∵a2＞a3，∴a1q＞a1q2，又a1＞0，∴q＞q2，解得0＜q＜1，∴等比数列{an}是递减数列，∴a3＞a6，∴充分性成立.反之，由a3＞a6，得a1q2＞a1q5，又a1＞0，∴1＞q3，∴q＜1且q≠0，∴等比数列{an}是递减数列或摆动数列，不一定得出a2＞a3，∴必要性不成立.∴“a2＞a3”是“a3＞a6”的充分不必要条件，故选A. 13.已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a（a＞0），b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.若数列{an}唯一，则a的值为　　. 解析：设{an}的公比为q，由b1＝1＋a，b2＝2＋a2，b3＝3＋a3且＝b1b3⇒（2＋aq）2＝（1＋a）（3＋aq2）⇒aq2－4aq＋3a－1＝0，由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，所以方程有两个不相等的实数根.由{an}唯一，知方程必有一根为0，代入方程aq2－4aq＋3a－1＝0中，得a＝. 14.已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an，设bn＝. （1）求b1，b2，b3； （2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； （3）求{an}的通项公式. 解：（1）由条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 所以b1＝1，b2＝2，b3＝4. （2）数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. 理由如下：由条件可得＝， 即bn＋1＝2bn，又b1＝1， 所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. （3）由（2）可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 15.设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为　64　. 解析：法一　设{an}的公比为q，依题意得解得所以an＝（）n－4，从而a1a2…an＝（＝（，当n＝3或n＝4时，［（n－）2－］取到最小值－6，此时（取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64. 法二　设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得a1＝8，q＝，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，所以a1a2…an≤a1a2a3a4＝64. 16.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝an（n＋2－λ），且数列{bn}是递减数列，求实数λ的取值范围. 解：（1）设数列{an}的公比为q. 由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1. 由a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列， 知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2， 解得q＝或q＝（舍去）， 所以an＝8×（）n－1＝24－n，n∈N*. （2）bn＝an（n＋2－λ）＝（n＋2－λ）·24－n， 由bn＞bn＋1， 得（n＋2－λ）·24－n＞（n＋3－λ）·23－n， 即λ＜n＋1， 所以λ＜（n＋1）min＝2， 故实数λ的取值范围为（－∞，2）. 第3课时　等差数列的综合应用 题型一 等差数列与一次函数的关系 【例1】　（2024·青岛月考）在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，已知an＝pn＋q（p，q为常数），则a2 024＝（　　） A.4 046　　B.4 047 C.4 048　　D.4 049 解析：D　法一　根据题意可知数列{an}为等差数列，则公差d＝＝2，故a2 024＝a1＋（2 024－1）d＝3＋2 023×2＝4 049. 法二　由题易得数列{an}为等差数列，则＝，解得a2 024＝4 049. 通性通法 利用一次函数的性质解等差数列问题的思路 （1）若d＞0，则该数列为递增数列，若d＝0，则该数列为常数列，若d＜0，则该数列为递减数列； （2）由等差数列与一次函数的关系知等差数列的图象是直线上的孤立的点，且任意两点连线的斜率为直线的斜率，即点（n，an）（n∈N*）共线且＝d（d为等差数列的公差）. 【跟踪训练】 1.已知（1，3），（3，－1）是等差数列{an}图象上的两点，若5是p，q的等差中项，则ap＋aq＝　－10　. 解析：法一　设等差数列的通项公式为an＝xn＋y，代入点的坐标得解得即an＝－2n＋5，由于5是p，q的等差中项，故p＋q＝10，所以ap＋aq＝2a5＝2×（－10＋5）＝－10. 法二　由题意知，（1，3），（3，－1），（5，a5）三点共线，所以＝，所以a5＝－5.由于5是p，q的等差中项，故p＋q＝10，所以ap＋aq＝2a5＝－10. 2.已知等差数列{an}中，a3＝3，＝. （1）求{an}的通项公式； （2）判断{an}的单调性. 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由a3＝3，＝，得（a3＋d）2＝（a3＋2d）2， 即（3＋d）2＝（3＋2d）2，整理得d2＋2d＝0，解得d＝0或d＝－2，当d＝0时，an＝3，当d＝－2时，a1＝3－2d＝7，an＝a1＋（n－1）d＝9－2n. （2）当an＝3时，数列是常数列，{an}不具有单调性； 当an＝9－2n时，显然an＝9－2n＞an＋1＝7－2n，{an}是递减数列. 题型二 等差数列中项的设法 【例2】　（1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； （2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数. 解：（1）设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则 解得所以这三个数为4，3，2. （2）设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（公差为2d）， 依题意得2a＝2且（a－3d）（a＋3d）＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， 所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d＞0， 所以d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4. 通性通法 等差数列的设项方法和技巧 （1）当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程（组）求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式； （2）当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、……，可同理设出； （3）当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、……，可同理设出. 【跟踪训练】 　已知成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数的积为40，求这四个数. 解：设这四个数依次是a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（a，d∈R）. 可得解得或 所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2. 题型三 等差数列的实际应用 【例3】　某公司2023年经销一种数码产品，获利200万元，从2024年起，预计其利润每年比上一年减少20万元.按照这一规律，如果该公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将出现亏损？ 解：记2023年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，……，则每年获利构成等差数列{an}，且当an＜0时，该公司经销此产品将出现亏损. 设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋（n－1）d＝220－20n. 由题意知，数列{an}为递减数列，令an＜0，即an＝220－20n＜0，解得n＞11，即从第12年起，也就是从2034年开始，该公司经销此产品将出现亏损. 通性通法 解决等差数列实际应用问题的步骤 提醒　在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题. 【跟踪训练】 　（2024·无锡月考）《周髀算经》中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为（　　） A.12.5尺 B.10.5尺 C.15.5尺 D.9.5尺 解析：C　从冬至起，日影长依次记为a1，a2，a3，…，a12，根据题意，有a1＋a4＋a7＝37.5，整理得a4＝12.5，而a12＝4.5，设其公差为d，则有解得所以冬至的日影长为15.5尺，故选C. 1.已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线斜率为（　　） A.4 B. C.－4 D.－ 解析：A　由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点（n，an），因此过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线斜率即过点（4，15），（7，27）的直线斜率，所以所求直线的斜率k＝＝4. 2.体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数.如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，则队伍里一共有　20　人. 解析：由题意知，每位同学报的数是一个等差数列，其中首项为17，公差为7，末项为150，设末项为第n项，则17＋7（n－1）＝150，解得n＝20，则队伍里一共有20人. 3.已知单调递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝－4则an＝　2n－1　. 解析：设等差数列{an}的公差为d，则由a3＝－4得，1＋2d＝（1＋d）2－4，解得d＝±2，由于数列{an}为递增数列，所以d＝2，故an＝a1＋（n－1）×2＝2n－1. 4.已知三个数成等差数列，它们的和为9，它们的平方和为59，求这三个数的积. 解：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则解得或∴这三个数依次为－1，3，7或7，3，－1.∴这三个数的积为－21. 1.用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为（　　） A.199　　　B.201　　　C.203　　　D.205 解析：B　由图示可以看出，第一个图中用了三根火柴棒，从第二个图开始每一个图中所用的火柴棒数都比前一个图中所用的火柴棒数多两根，设第n个图形所需要的火柴棒数量为an，则an＝3＋2（n－1）＝2n＋1，则第100个图形所用火柴棒数量为2×100＋1＝201. 2.（2024·莆田月考）若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.1或2 解析：D　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以Δ＝4b2－4ac＝（a＋c）2－4ac＝（a－c）2≥0，所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.故选D. 3.（2024·广州月考）《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是（　　） A.斤 B.斤 C.斤 D.3斤 解析：B　依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－，所以a2＝4－＝. 4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，则最小的一份为（　　） A. B. C. D. 解析：A　设五个人所分得的面包个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，其中d＞0，则（a－2d）＋（a－d）＋a＋（a＋d）＋（a＋2d）＝5a＝100，∴a＝20.由（a＋a＋d＋a＋2d）＝a－2d＋a－d，得3a＋3d＝7（2a－3d），∴24d＝11a，∴d＝，∴最小的一份为a－2d＝20－＝. 5.（多选）已知等差数列{an}的公差不为零，且a5＋an＝a10＋a20－m（m，n∈N*），则（　　） A.m＋n＝25 B.当且仅当n＝12时，mn最大 C.m－n＝10 D.mn的最大值是156 解析：AD　因为等差数列{an}中，a5＋an＝a10＋a20－m，所以5＋n＝10＋20－m，即m＋n＝25，A正确，C不能确定；mn＝（25－n）·n＝－n2＋25n＝－（n－）2＋，又n∈N*，所以n＝12或13时，mn取得最大值156，B错误，D正确. 6.（多选）下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题，正确的是（　　） A.数列{an}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列 C.数列{}是递增数列 D.数列{an＋3nd}是递增数列 解析：AD　在等差数列{an}中，因为d＞0，所以数列{an}为递增数列，所以A正确；令an＝dn＋b，则nan＝dn2＋bn，当b＜0时，可能是先减后增，所以B错误；＝＝＋d.当b＞0时，数列{}递减，所以C错误；an＋3nd＝4dn＋b，因为d＞0，所以是递增数列，所以D正确，故选A、D. 7.（2024·临沂月考）若a，x1，x2，x3，b与a，y1，y2，y3，y4，y5，b均为等差数列，则＝　　. 解析：设等差数列a，x1，x2，x3，b的公差为m，等差数列a，y1，y2，y3，y4，y5，b的公差为n，则有b＝a＋4m且b＝a＋6n，所以4m＝6n，则＝＝＝. 8.已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝　n2（n∈N*）　. 解析：由题设可得－＋1＝0，即－＝1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故通项公式为＝n，所以an＝n2（n∈N*）. 9.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为　　升. 解析：设此等差数列为{an}，公差为d，则∴解得∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝. 10.已知递减的等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列{an}的通项公式. 解：法一　设数列{an}的公差为d，依题意， 得 ∴ 解得或 ∵数列{an}是递减的等差数列，∴d＜0.故取a1＝11，d＝－5，∴an＝11＋（n－1）（－5）＝－5n＋16.法二　设等差数列{an}的前三项依次为a－d，a，a＋d，则解得∵{an}是递减的等差数列，∴d＜0，∴a＝6，d＝－5.∴等差数列{an}的首项a1＝11，公差d＝－5.∴an＝11＋（n－1）（－5）＝－5n＋16. 11.已知方程（x2－2x＋m）（x2－2x＋n）＝0的四个根构成首项为的等差数列，则｜m－n｜＝（　　） A.1　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：C　根据根与系数的关系得，等差数列中两项的和是2，另外两项的和也是2，首项是，容易得到四项依次为，，，，则m，n的值一个为，另外一个为，所以｜m－n｜＝. 12.（2024·南阳月考）等差数列{an}中，a1＝1，公差为d（d∈Z），a3＋λa9＋a15＝17，λ∈（－1，0），则公差d的值为（　　） A.1 B.0 C.－1 D.－2 解析：A　a3＋λa9＋a15＝a1＋2d＋λ（a1＋8d）＋a1＋14d＝（2＋λ）a1＋（16＋8λ）d＝17，整理得（8d＋1）λ＝15－16d，由于d∈Z，所以8d＋1≠0，故λ＝，则λ＝∈（－1，0）.若8d＋1＞0，解得＜d＜2，由于d∈Z，所以d＝1；若8d＋1＜0，解得此时无解.综上，公差d的值为1.故选A. 13.已知等差数列{an}是递增数列，且a1＋a2＋a3≤3，a7－3a3≤8，则a4的取值范围为　（－4，11]　. 解析：∵等差数列{an}是递增数列，且a1＋a2＋a3≤3，即3a1＋3d≤3，∴a1＋d≤1，∴a2≤1，公差d＞0.又∵a7－3a3≤8，∴a1＋6d－3（a1＋2d）＝－2a1≤8，∴a1≥－4，则0＜d＝a2－a1≤5，∴a4＝a1＋3d＞－4.a4＝a2＋2d≤1＋10＝11，∴a4的取值范围为（－4，11]. 14.甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行距离： 时间t/s 1 2 3 … ？ … 60 距离s/cm 9.8 19.6 29.4 … 49 … ？ （1）你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？ （2）利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？ 解：（1）由题表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以该模型是一个等差数列模型.因为a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9.8t. （2）当t＝1 min＝60 s时，s＝9.8t＝9.8×60＝588（cm）. 当s＝49 cm时，t＝＝＝5（s）. 15.（2024·嘉兴月考）以过圆x2＋y2＝10x内一点（5，3）的最短弦长为等差数列{an}的首项a1，最长弦长为其末项an，若等差数列{an}的公差d∈［，］，则项数n的取值不可能是（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 解析：A　由题意，将圆x2＋y2＝10x化为（x－5）2＋y2＝25，可得圆心坐标为C（5，0），半径r＝5.设A（5，3），可得｜AC｜＝3，由圆的弦长公式，可得a1＝2＝8，an＝10，设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－1）d，即8＋（n－1）·d＝10，所以n＝＋1.因为≤d≤，所以5≤＋1≤7，即5≤n≤7，结合选项可得n的取值不可能是选项A.故选A. 16.设f（x）＝，若f（x）＝x有唯一解，且f（x0）＝，xn＝f（xn－1），n＝1，2，3，…. （1）判断数列是否为等差数列； （2）求x2 024的值. 解：（1）由f（x）＝x，得＝x， 即x［1－］＝0，解得x＝0或x＝－2. ∵f（x）＝x有唯一解，∴0＝－2，解得a＝. ∴f（x）＝. ∴xn＝f（xn－1）＝，∴－＝. 又x1＝f（x0）＝，∴数列是以1 006为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知，＝1 006＋（n－1）×＝， ∴xn＝，∴x2 024＝. 4.2.2　等差数列的前n项和公式 新课程标准解读 核心素养 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的前n项和公式和通项公式的关系 逻辑推理、数学运算 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题 数学建模、数学运算 第1课时　等差数列的前n项和公式 　　在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈. 【问题】　文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 Sn＝　　 Sn＝　na1＋d　 提醒　等差数列{an}的求和公式Sn＝与梯形面积公式S梯形＝类似，可对比记忆为上底是“a1”，下底是“an”，高是“n”. 【想一想】 　Sn＝na1＋d（d≠0）与二次函数有什么关系？ 提示：Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的没有常数项的二次函数. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法.（　√　） （2）若数列{an}的前n项和Sn＝kn（k∈R），则{an}为常数列.（　√　） （3）等差数列的前n项和等于其首项、第n项的等差中项的倍.（　×　） 2.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－2，则前10项和S10＝（　　） A.－20 B.－40 C.－60 D.－80 解析：D　由公式Sn＝na1＋×d，得S10＝10×1＋×（－2）＝－80. 3.已知数列{an}为等差数列，若a1＝15，a5＝25，则S5＝　100　. 解析：S5＝＝＝100. 4.等差数列{an}中，若a1＝－1，S25＝30，则公差d＝　　. 解析：由S25＝－25＋×24×25×d＝30，解得d＝. 　题型一 等差数列前n项和公式的直接应用 【例1】　已知数列{an}为等差数列. （1）若a1＝3，a30＝97，求S30； （2）若a1＝80，d＝－2，求S60； （3）若a25＝12，求S49. 解：（1）根据等差数列前n项和公式可得，S30＝＝＝1 500. （2）根据等差数列前n项和公式可得，S60＝60×80＋×（－2）＝60×（80－59）＝1 260. （3）因为{an}为等差数列，所以a1＋a49＝2a25， 故S49＝＝49a25＝49×12＝588. 通性通法 　　当已知首项、末项和项数时，用公式Sn＝较为简便；当已知首项、公差和项数时，用公式Sn＝na1＋d较为简便.在运用公式Sn＝时，注意结合等差数列的性质. 【跟踪训练】 　已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），则数列{an}的前9项和等于　27　. 解析：因为a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），所以数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，所以前9项和S9＝9＋×＝27. 题型二 利用等差数列前n项和公式求基本量 【例2】　（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝45，a5＝7，则该数列的公差为（　　） A.－5 B.5 C.－3 D.3 （2）已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n和a12. （1）解析：A　由题意得，a5＝7，S10＝＝45，即＝45，解得a6＝2，所以公差d＝a6－a5＝－5.故选A. （2）解：因为Sn＝n＋×（－）＝－15， 整理得n2－7n－60＝0. 解得n＝12或n＝－5（舍去）. 由题得a12＝＋（12－1）×（－）＝－4. 所以n＝12，a12＝－4. 通性通法 等差数列中基本量计算的两个技巧 （1）利用基本量求值 （2）利用等差数列的性质解题 【跟踪训练】 1.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（　　） A.1 B.2 C.4 D.8 解析：C　设等差数列{an}的公差为d，∵a4＋a5＝24，S6＝48，∴解得∴{an}的公差为4. 2.在4和67之间插入一个n项的等差数列后，组成一个n＋2项的新等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n的值为　20　. 解析：由等差数列的求和公式可知：新等差数列的所有项之和Sn＋2＝（4＋67）（n＋2）＝781，解得n＝20. 题型三 利用Sn证明一个数列是等差数列 【例3】　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 解：当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2（n－1）2＋3（n－1）＝4n－5， 经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式， 故an＝4n－5. 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an＋1－an＝4（n＋1）－5－4n＋5＝4， 所以数列{an}是等差数列. 通性通法 　　若Sn是关于n的二次多项式，且无常数项（即常数项为0），即满足Sn＝An2＋Bn（A＋B＝a1）的数列是等差数列.在求解选择题、填空题时也可以运用Sn＝n2＋（a1－）n来快速求解. 【跟踪训练】 　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由. 解：∵Sn＝2n2－3n－1，　① 当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2， 当n≥2时，Sn－1＝2（n－1）2－3（n－1）－1，　② ①－②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2（n－1）2－3（n－1）－1]＝4n－5， 经检验当n＝1时，an＝4n－5不成立， 故an＝ 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列. 1.等差数列1，3，5，…的前10项和为（　　） A.81 B.100 C.121 D.128 解析：B　首项a1＝1，公差d＝2，所以S10＝10×1＋×2＝100. 2.（2024·泰州月考）已知等差数列{an}，若a2＝10，a5＝1，则{an}的前7项的和是（　　） A.112 B.51 C.28 D.18 解析：C　设等差数列{an}的公差为d，由题意，得解得则S7＝7a1＋d＝28.故选C. 3.（2024·珠海月考）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则数列{an}的公差d＝　3　. 解析：由题意解得d＝3. 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－1，S3＝3. （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn. 解：（1）设数列{an}的公差为d，则解得 所以an＝－1＋（n－1）×2＝2n－3. （2）由（1）得a1＝－1，an＝2n－3， 所以Sn＝（a1＋an）＝（－1＋2n－3）＝n2－2n. 　 1.等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝2，S5＝15，则a1＝（　　） A.－1　　　B.－2　　　C.－3　　　D.－4 解析：A　由题意得S5＝5a1＋×2＝15，则a1＝－1.故选A. 2.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn＝（　　） A.－n2＋ B.－n2－ C.n2＋ D.n2－ 解析：A　∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，且{an}为等差数列，∴Sn＝＝－n2＋. 3.在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n＝（　　） A.10 B.15 C.20 D.30 解析：C　因为Sn＝na1＋n（n－1）d＝10n＋n（n－1）×2＝n2＋9n，所以n2＋9n＝580，解得n＝20或n＝－29（舍）. 4.（2024·滨州月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn且公差d≠0，若S7＝3a4，则（　　） A.S3＝S4 B.S3＝S5 C.S4＝S5 D.S4＝S6 解析：A　由题意可知，S7＝＝7a4＝3a4，所以a4＝0.所以S3＝S3＋0＝S3＋a4＝S4.故选A. 5.（多选）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图象的是（　　） 解析：ABC　因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn（a，b为常数，n∈N*），则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意. 6.（多选）（2024·平顶山月考）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝72，a7＝10，则（　　） A.an＝n＋3　　　　　　B.an＝2n－4 C.Sn＝n2＋n D.Sn＝n2－n 解析：AC　因为S9＝72，a7＝10，所以解得所以an＝4＋（n－1）×1＝n＋3，则Sn＝＝n2＋n.故选A、C. 7.已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其首项a1＝　1　，公差d＝　　. 解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①，S5＝5a1＋×5×（5－1）d＝10，②，由①②联立解得a1＝1，d＝. 8.（2024·泉州月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＋S6＝27，则a2＋a4＝　6　. 解析：设等差数列{an}的公差为d.因为S3＋S6＝3a1＋3d＋6a1＋15d＝9a1＋18d＝27，所以a1＋2d＝3，所以a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2a1＋4d＝2（a1＋2d）＝2×3＝6. 9.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an＞0的最小正整数n＝　8 . 解析：由S13＝＝0，得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝－12＋（n－1）×2＝2n－14，由2n－14＞0，得n＞7，即使得an＞0的最小正整数n＝8. 10.在等差数列{an}中： （1）已知a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差d； （2）a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10. 解：（1）由Sn＝＝＝－1 022，解得n＝4. 又由an＝a1＋（n－1）d， 即－512＝1＋（4－1）d，解得d＝－171. （2）法一　由已知条件，得解得 所以S10＝10a1＋d＝10×3＋×4＝210. 法二　由已知条件，得 所以a1＋a10＝42， 所以S10＝＝5×42＝210. 11.若数列{an}为等差数列，公差为，且S100＝145，则a2＋a4＋…＋a100＝（　　） A.60 B.85 C. D.185 解析：B　设a1＋a3＋…＋a99＝S1，则a2＋a4＋…＋a100＝S1＋50d.依题意，有S1＋S1＋50d＝145.又d＝，所以S1＝60，所以a2＋a4＋…＋a100＝60＋25＝85. 12.（多选）（2024·惠州质检）若数列{an}是等差数列，首项a1＜0，a203＋a204＞0，a203·a204＜0，则（　　） A.a204＞0 B.d＜0 C.S405＜0 D.S406＞0 解析：ACD　由a203＋a204＞0⇒a1＋a406＞0⇒S406＞0，又由a1＜0，且a203·a204＜0，知a203＜0，a204＞0，所以公差d＞0，则数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405＜0，所以S405＜0. 13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝S10，S6＝Sk，则k＝　7　. 解析：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋（a1－）n可看作是关于n的二次函数且S3＝S10，∴对称轴方程为n＝＝.又∵S6＝Sk，∴＝，解得k＝7. 14.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bn＝（n∈N*）.求证：数列{bn}是等差数列. 证明：法一　设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n（n－1）d， 所以bn＝＝a1＋（n－1）d，所以bn＋1－bn＝a1＋nd－a1－（n－1）d＝（常数）， 所以数列{bn}是等差数列. 法二　设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n（n－1）d， 所以bn＝＝a1＋（n－1）d，所以bn＋1＝a1＋nd，bn＋2＝a1＋（n＋1）d， 所以bn＋2＋bn＝a1＋（n＋1）d＋a1＋（n－1）d＝2a1＋nd＝2bn＋1， 所以数列{bn}是等差数列. 15.（2024·济南质检）对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝　n2　. 解析：依题意知，a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2，进行累加求和得an＝1＋2（n－1）＝2n－1，故数列{an}的前n项和Sn＝2（1＋2＋3＋…＋n）－n＝2×－n＝n2. 16.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝1，S3＝9. （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝a2n－1＋a2n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：（1）因为{an}为等差数列，设其公差为d，则即解得所以an＝a1＋（n－1）d＝1＋（n－1）×2＝2n－1. （2）由（1）知an＝2n－1，所以a2n－1＝2（2n－1）－1＝4n－3，a2n＝2×2n－1＝4n－1， 所以bn＝a2n－1＋a2n＝8n－4. 当n＝1时，b1＝4； 当n≥2时，bn－bn－1＝8n－4－8（n－1）＋4＝8， 所以{bn}是首项为4，公差为8的等差数列， 所以Tn＝＝4n2，所以{bn}的前n项和Tn＝4n2. 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 　题型一 等差数列前n项和的性质 【例1】　（1）等差数列{an}的前4项和是2，前8项和是10，则S12＝（　　） A.12　　　　　　　　　 B.18 C.24 D.42 （2）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 答案：（1）C　（2）C 解析：（1）由题意知，等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝2，S8＝10.由等差数列的性质，得S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，即2，8，S12－10成等差数列，所以2＋（S12－10）＝2×8，解得S12＝24. （2）法一　设该等差数列的首项为a1，公差为d，由题意可得解得d＝5. 法二　记该等差数列的前12项中偶数项的和为S偶，奇数项的和为S奇.由已知条件，得解得又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5. 通性通法 等差数列前n项和的常用性质 （1）等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列； （2）数列{an}是等差数列⇔Sn＝pn2＋qn（p，q为常数）⇔数列为等差数列（公差为{an}公差的倍）； （3）若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d：①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 【跟踪训练】 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－10，－＝1，则S10＝　－10　. 解析：在等差数列中，因为a1＝－10，－＝1，所以＝－10，所以{}是以－10为首项，1为公差的等差数列，所以＝－10＋9×1＝－1，S10＝－10. 2.已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是　－4　. 解析：设等差数列{an}的项数为2m，∵末项与首项的差为－28，∴a2m－a1＝（2m－1）d＝－28①，∵S奇＝50，S偶＝34，∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md②，由①②得d＝－4. 3.已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和. 解：在等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列. 设其公差为d，则前10项和为10S10＋d＝S100＝10，解得d＝－22， ∴S110－S100＝S10＋（11－1）d＝100＋10×（－22）＝－120， ∴S110＝－120＋S100＝－110. 题型二 等差数列前n项和的最值问题 【例2】　在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值. 解：法一　因为S8＝S18，a1＝25， 所以8×25＋d＝18×25＋d， 解得d＝－2. 所以Sn＝25n＋×（－2）＝－n2＋26n＝－（n－13）2＋169. 所以当n＝13时 ，Sn有最大值为169. 法二　同法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋（n－1）×（－2）＝－2n＋27. 因为a1＝25＞0， 由得 又因为n∈N*， 所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 通性通法 求等差数列前n项和的最值的方法 （1）二次函数法：即先求得Sn的表达式，然后配方.若对称轴恰好为正整数，则就在该处取得最值；若对称轴不是正整数，则应在离对称轴最近的正整数处取得最值，有时n的值有两个，有时可能为1个； （2）不等式法：①当a1＞0，d＜0时，由⇒Sm为最大值； ②当a1＜0，d＞0时，由⇒Sm为最小值. 【跟踪训练】 （2024·中山月考）在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值. 解：（1）设等差数列的公差为d， 因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15， 所以解得所以an＝3n－12，n∈N*. （2）因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12， 所以Sn＝＝（3n2－21n）＝（n－）2－， 所以当n＝3或4时，数列{an}的前n项和Sn取得最小值S3＝S4＝－18. 题型三 等差数列求和的实际应用 【例3】　（2024·温州质检）7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件. （1）问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？ （2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几天？ 解：（1）设7月n日售出的服装件数为an（n∈N*，1≤n≤31），最多售出ak件. 由题意知解得 ∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件. （2）设Sn是数列{an}的前n项和， ∵an＝∴Sn＝ ∵S13＝273＞200，∴当1≤n≤13时，由Sn＞200，得12≤n≤13， 当14≤n≤31时，日销售量连续下降，由an＜20，得23≤n≤31，∴该款服装在社会上流行11天（从7月12日到7月22日）. 通性通法 应用等差数列解决实际问题的一般思路 【跟踪训练】 　某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10. （1）分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数； （2）该地区9月份（共30天）流感病毒的新感染者共有多少人？ 解：（1）由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}， 所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋（10－1）×40＝400. 从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390. （2）9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为S10＝＝2 200， 9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列{bn}， 又b20＝390－10×19＝200， 所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为T20＝＝5 900， 所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100（人）. 1.已知等差数列{an}共有2n－1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＝（　　） A.30 B.29 C.28 D.27 解析：B　由S奇－S偶＝an，得an＝290－261＝29.故选B. 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝（　　） A.8 B.12 C.16 D.20 解析：D　因为数列{an}是等差数列，且S4＝8，S8＝20，S8－S4＝12，所以数列S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，…是等差数列，且首项为8，公差为4.所以a13＋a14＋a15＋a16＝S16－S12＝8＋4×3＝20. 3.（2024·烟台质检）在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8个兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（　　） A.两 B.两 C.两 D.两 解析：C　设10个兄弟由大到小依次分得an（n＝1，2，…，10）两银子，设数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，则由题意得即解得所以长兄分得两银子. 4.（2024·南京月考）已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＝　　. 解析：＝＝＝. 　 1.等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12＝（　　） A.12　　　　 B.18　　　 C.24　　　 D.30 解析：D　根据题意，在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差数列，又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，则S9－S6＝9，S12－S9＝12，则S12＝S3＋（S6－S3）＋（S9－S6）＋（S12－S9）＝3＋6＋9＋12＝30. 2.已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和Sn取最小值时n＝（　　） A.1 B.8 C.9 D.10 解析：C　易知数列{2n－19}的通项an＝2n－19，∴a1＝－17，d＝2.∴该数列是递增等差数列.令an＝0，得n＝9.∴a1＜a2＜a3＜…＜a9＜0＜a10＜….∴该数列的前n项和有最小值为S9，∴n＝9，故选C. 3.（2024·龙岩月考）一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（　　） A.4 B.8 C.12 D.20 解析：B　根据等差数列的性质得：nd＝30－24＝6，a2n－a1＝（2n－1）d＝10.5，解得n＝4，故该数列的项数为2n＝8.故选B. 4.（2024·泰安月考）已知在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－11，－＝2，则S11＝（　　） A.－11　　　　　　　　 B.11 C.10 D.－10 解析：A　因为{an}为等差数列，所以{}为等差数列.首项＝a1＝－11，设{}的公差为d，则－＝2d＝2，所以d＝1.所以＝－11＋10d＝－1.所以S11＝－11. 5.（多选）已知数列{an}是等差数列，其前n项和Sn满足a1＋3a2＝S6，则下列四个选项中正确的是（　　） A.a7＝0 B.S13＝0 C.S7最小 D.S5＝S8 解析：ABD　根据题意，设等差数列{an}的公差为d.对于A，a1＋3a2＝S6，即4a1＋3d＝6a1＋d，变形可得a1＋6d＝0，即a7＝0，故A正确；对于B，S13＝＝13a7＝0，故B正确；对于C，S7＝＝7a4，可能大于0，也可能小于0，故C不正确；对于D，S5－S8＝（5a1＋d）－（8a1＋d）＝－3a1－18d＝－3a7＝0，故D正确. 6.（多选）（2024·泉州月考）设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是（　　） A.若d＜0，则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项，则d＜0 C.若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0 D.若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列 解析：ABD　显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则Sn有最大值，故A、B正确；又若对任意n∈N*，Sn＞0，则a1＞0，d＞0，{Sn}必为递增数列，故D正确；而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}递增，但S1＝－1＜0，故C不正确. 7.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为　10　. 解析：由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190，当n＝20时，S20＝210＞200.∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根. 8.已知等差数列前3项的和为34，后3项的和为146，所有项的和为390，则这个数列的项数n＝　13　. 解析：设该等差数列为{an}，其前n项和为Sn.由题意得，a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，∴（a1＋a2＋a3）＋（an－2＋an－1＋an）＝（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋（a3＋an－2）＝3（a1＋an）＝34＋146，∴a1＋an＝60.又Sn＝，∴390＝，解得n＝13. 9.（2024·福州月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，S25＝0，则使Sn取得最大值时的n的值为　12或13　. 解析：设数列{an}的公差为d，所以S25＝25a1＋d＝0，则a1＝－12d，所以Sn＝na1＋d＝n2－n.考虑函数y＝n2－n，因为a1＞0，d＜0，所以该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线n＝.因为n为正整数，所以当n＝12或13时，Sn取得最大值. 10.一件家用电器用分期付款的方式购买，单价为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的第1个月为分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部货款付清后，买这件家用电器实际花了多少钱？ 解：购买当天付了150元，欠款1 000元，每月付50元，分20次付完.设每月的付款数依次组成数列{an}，则 a1＝50＋1 000×0.01＝60， a2＝50＋（1 000－50）×0.01＝60－0.5＝59.5， a3＝50＋（1 000－50×2）×0.01＝60－0.5×2＝59， … a10＝60－0.5×9＝55.5， … an＝60－0.5（n－1）（1≤n≤20）. 所以数列{an}是等差数列，公差d＝－0.5，全部货款付清后付款总数为S20＋150＝＋150＝（2a1＋19d）×10＋150＝（2×60－19×0.5）×10＋150＝1 225. 故第10个月应交付55.5元.全部货款付清后，买这件家用电器实际花了1 255元. 11.已知等差数列{an}满足S30＝120，a3＋a6＋a9＋…＋a30＝60，则an＝（　　） A.2n－25 B.2n－27 C.3n－15 D.3n－18 解析：B　设等差数列的公差为d，则S30＝（a1＋a4＋…＋a28）＋（a2＋a5＋…＋a29）＋（a3＋a6＋…＋a30）＝（a3＋a6＋…＋a30）－20d＋（a3＋a6＋…＋a30）－10d＋（a3＋a6＋…＋a30）＝180－30d，即120＝180－30d，解得d＝2.又S30＝30a1＋×2＝120，解得a1＝－25.所以an＝－25＋（n－1）×2＝2n－27，故选B. 12.（多选）已知Sn是等差数列的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列命题中正确的是（　　） A.d＜0 B.S11＞0 C.S12＜0 D.数列{Sn}中的最大项为S11 解析：AB　∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d＜0，A正确；又S11＝（a1＋a11）＝11a6＞0，B正确；S12＝（a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确. 13.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10 m，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为　2 000　m. 解析：假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000（m）. 14.已知项数为奇数的等差数列{an}，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数. 解：设等差数列{an}共有2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，中间项是第n＋1项，即an＋1. 所以＝＝＝＝＝，所以n＝3. 因为S奇＝（n＋1）an＋1＝44，所以an＋1＝11. 所以这个数列的中间项为11，共有2n＋1＝7（项）. 15.已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，Sn有最小值，若＜－1，则使Sn＜0成立的n的最大值为（　　） A.17 B.16 C.15 D.14 解析：C　因为＜－1，所以＋1＜0，即＜0.又Sn有最小值，所以a8＜0，a8＋a9＞0，所以S15＝＝15a8＜0，S16＝＝8（a8＋a9）＞0，因此，使Sn＜0成立的n的最大值为15.故选C. 16.已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且数列是公差为2的等差数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2） 若bn＝（－1）nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：（1）因为数列是公差为2的等差数列，且＝a1＝1，所以＝1＋（n－1）×2＝2n－1，所以Sn＝2n2－n，又因为an＝Sn－Sn－1（n≥2），所以当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝4n－3， 又因为a1＝1符合n≥2的情况，所以an＝4n－3. （2）因为bn＝（－1）nan＝（－1）n（4n－3）， 当n为偶数时，Tn＝（－1）＋5＋（－9）＋13＋…＋[－（4n－7）]＋（4n－3）， 所以Tn＝[（－1）＋5]＋[（－9）＋13]＋…＋[－（4n－7）＋（4n－3）]＝4×＝2n， 当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝2（n－1）＋[－（4n－3）]＝1－2n， 综上可知：Tn＝ 培优课 等差数列 　 题型一 利用等差数列前n项和求解项的比值问题 【例1】　已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝（　　） A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：B　利用等差数列前n项和的性质得＝＝＝. 通性通法 　　若{an}，{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·. 【跟踪训练】 　（2024·济宁月考）已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＝　　. 解析：＝×，即＝×，所以＝×＝. 题型二 两等差数列公共项问题 【例2】　已知两个等差数列4，7，10，…和8，12，16，…都有100项，则它们共同的项有（　　） A.12个 B.24个 C.11个 D.36个 解析：B　数列4，7，10，…的首项a1＝4，公差d1＝3，通项公式为an＝3n＋1.数列8，12，16，…的首项b1＝8，公差d2＝4，通项公式为bm＝4m＋4.它们的末项分别为a100＝301，b100＝404，它们相同的项为an＝bm，3n＋1＝4m＋4，n＝＋1，其中n，m∈N*，所以m＝3k（k∈N*），即n＝4k＋1.a4k＋1＝3（4k＋1）＋1＝12k＋4≤301，解得k≤24，取k＝24. 通性通法 　　有关两个等差数列公共项的问题，处理办法一般有两种：一是先利用两数列的公共项组成的新等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数求新数列的公差，然后找到第一项后用通项公式解决；二是从通项公式入手，建立am＝bn这样的方程，利用n＝f（m），借助n，m均为正整数，得到n（或m）可取的整数形式，再求一定范围内的整数解，从而解决问题. 【跟踪训练】 　已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝　12n－1　；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是　25　. 解析：由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12（n－1）＝12n－1.又a100＝302，b100＝399.所以解得1≤n≤25.25，故{cn}的项数为25. 题型三 构造等差数列的应用 【例3】　已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3（n∈N*）. （1）求证：数列{}是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式. 解：（1）证明：由题意得＝＝＝＝＝＋， 所以－＝，故数列是等差数列. （2）由（1）知＝＋（n－1）×＝，所以an＝. 通性通法 　　当已知数列{an}不是等差数列时，需构造与已知数列相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出含an的式子与n的关系式，进而求出an.由递推公式转化为等差数列的常见形式如下： （1）转化为（an＋2－an＋1）－（an＋1－an）＝常数，则数列{an＋1－an}是等差数列； （2）转化为－＝常数，则数列是等差数列； （3）转化为－＝常数，则数列是等差数列； （4）转化为－＝常数，则数列{}是等差数列； （5）转化为－＝常数，则数列{}是等差数列. 【跟踪训练】 在数列{an}中，若a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0（n≥2，n∈N*），求数列{an}的通项公式. 解：由已知3anan－1＋an－an－1＝0， 在等式两侧同除以anan－1，得3＋－＝0⇒－＝3， 即数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列， 故有＝1＋3（n－1）⇒an＝. 题型四 求数列{｜an｜}的前n项和 【例4】　（2023·全国乙卷18题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{｜an｜}的前n项和Tn. 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则即 解得∴an＝13＋（n－1）×（－2）＝－2n＋15. ∴数列{an}的通项公式为an＝－2n＋15. （2）令an＝－2n＋15＞0，n∈N*， 解得n≤7，n∈N*. ∴｜an｜＝ 当n≤7时，Tn＝Sn＝13n＋×（－2）＝－n2＋14n； 当n≥8时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜＋｜a8｜＋｜a9｜＋…＋｜an｜＝7×13＋×（－2）＋（n－7）×1＋×2＝n2－14n＋98. ∴Tn＝ 通性通法 　求数列{｜an｜}的前n项和的步骤 （1）解不等式an≥0（或an≤0）寻找{an}的正负项分界点； （2）求和：①若{an}各项均为正数（或均为负数），则{｜an｜}各项的和等于{an}的各项的和（或其相反数）；②若a1＞0，d＜0（或a1＜0，d＞0），这时数列{an}只有前面有限项为正数（或负数），可分段求和再相加. 【跟踪训练】 　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－5n＋2，则数列{｜an｜}的前10项和为（　　） A.56　　　　　　　　　 B.58 C.62 D.60 解析：D　因为Sn＝n2－5n＋2，所以当n≥2时，Sn－1＝（n－1）2－5n＋7，则an＝Sn－Sn－1＝2n－6（n≥2），当n＝1时，a1＝S1＝－2，不满足上式，故an＝则数列{an}从第2项开始成等差数列，且前2项为负数，第3项为0，其余各项为正数，所以数列{｜an｜}的前10项和为－a1－a2＋a3＋…＋a10＝4＋＝60. 1.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，对一切自然数n，都有＝，则＝（　　） A. B. C. D. 解析：D　∵S13＝＝13a7，T13＝＝13b7，∴＝＝.故选D. 2.（2024·郑州月考）有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（　　） A.15 B.16 C.17 D.18 解析：B　易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝12n－10，所以12n－10≤190，解得n≤，而n∈N*，所以n的最大值为16. 3.在等差数列{an}中，a1＝8，a4＝2. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，求T10. 解：（1）设等差数列{an}的公差为d， 则有解得d＝－2， 所以an＝8－2（n－1）＝－2n＋10. （2）因为n≤5时，an≥0；n≥6时，an＜0， 所以T10＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－（a6＋a7＋…＋a10）＝8＋6＋4＋2＋0＋（2＋4＋6＋8＋10）＝50. 　　 1.已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝（　　） A.9 B.15 C.18 D.30 解析：C　由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜＋｜a5｜＋｜a6｜＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. 2.将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为（　　） A.n2＋2n B.n2－2n C.3n2－2n D.3n2＋2n 解析：C　法一（观察归纳法）　数列{2n－1}的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n－2}的各项为1，4，7，10，13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则an＝1＋6（n－1）＝6n－5.故前n项和为Sn＝＝＝3n2－2n. 法二（引入参变量法）　令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数.令m＝2t－1，则n＝3t－2（t＝1，2，3，…）.at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.以下同法一. 3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n，则｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝（　　） A.68 B.67 C.65 D.56 解析：A　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n－[（n－1）2－4（n－1）]＝2n－5；当n＝1时，a1＝S1＝－3符合上式，所以an＝2n－5.所以 ｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝｜－3｜＋｜－1｜＋1＋3＋5＋…＋15＝68. 4.已知数列{an}的首项a1＝0，an＋1＝an＋2＋1，则a20＝（　　） A.99 B.101 C.399 D.401 解析：C　由an＋1＝an＋2＋1，可得an＋1＋1＝（＋1）2，故－＝1，所以{}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以＝n，即an＝n2－1，故a20＝202－1＝399，故选C. 5.（2024·丽水月考）我国古代数学名著《孙子算经》中记载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二.问物几何？”这里的几何指多少的意思.翻译成数学语言就是：求正整数N，使N除以3余2，除以5余2.根据这一数学思想，今有由小到大排列的所有正整数数列{an}，{bn}，{an}满足被3除余2，a1＝2，{bn}满足被5除余2，b1＝2，把数列{an}与{bn}相同的项从小到大组成一个新数列，记为{cn}，则下列说法正确的是（　　） A.c2＝a1＋b1 B.c6＝a2b3 C.c10＝a46 D.a1＋2b2＝c4 解析：C　由条件可知an＝2＋3（n－1）＝3n－1，bn＝2＋5（n－1）＝5n－3，cn＝2＋15（n－1）＝15n－13.对于A，c2＝17，a1＋b1＝4，所以A错误；对于B，c6＝77，a2b3＝60，所以B错误；对于C，c10＝137，a46＝137，所以C正确；对于D，a1＋2b2＝16，c4＝47，所以D错误. 6.（多选）等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，＝，n∈N*，则下列说法正确的有（　　） A.数列是递增数列 B.＝ C.＝ D.＝ 解析：AB　＝＝＝2－，所以是递增数列，A选项正确；＝＝＝＝，所以＝＝，B选项正确；＝＝，C选项错误；当n＝1时，＝＝≠，D选项错误.故选A、B. 7.（多选）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋1，则（　　） A.an＝2n－5 B.{an}不是等差数列 C.数列{an}中a2最小 D.｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝67 解析：BD　因为Sn＝n2－4n＋1，当n＝1时a1＝S1＝12－4×1＋1＝－2，当n≥2时Sn－1＝（n－1）2－4（n－1）＋1，所以an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋1－[（n－1）2－4（n－1）＋1]＝2n－5，显然当n＝1时an＝2n－5不成立，所以an＝所以{an}是从第二项起以2为公差的等差数列，故数列{an}不是等差数列，即A错误，B正确；从第二项起{an}为递增的等差数列，又a1＜a2，所以a1为数列的最小项，故C错误；因为a1＜a2＜0＜a3＜…，所以｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝－a1－a2＋a3＋…＋a10＝S10－2（a1＋a2）＝102－4×10＋1－2（－2－1）＝67，故D正确.故选B、D. 8.已知数列{an}的通项公式为an＝｜19－2n｜，n∈N*，则其前20项的和为　202　. 解析：由an＝｜19－2n｜，当n≤9时，an＝19－2n，当n≥10时，an＝2n－19，所以S20＝a1＋a2＋…＋a9＋a10＋a11＋…＋a20＝17＋15＋…＋1＋1＋3＋…＋21＝＋＝202. 9.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，且＝＋（n≥2，n∈N*），则当取得最大值时，n的值为　2　. 解析：因为＝＋（n≥2，n∈N*），所以2nan＝（n－1）an－1＋（n＋1）an＋1（n≥2，n∈N*），所以数列{nan}是等差数列，又a1＝1，a2＝4，所以数列{nan}是以1为首项，2×a2－1×a1＝7为公差的等差数列，所以nan＝7n－6，所以＝＝－＝－6（－）2＋，因为n∈N*，1＜＜2，且＝－＝1，＝－＝2，2＞1，所以当n＝2时，取得最大值2. 10.若等差数列{an}的前m项和为Sm，前n项和为Sn，且Sm∶Sn＝m2∶n2，求am∶an的比值. 解：∵S2n－1＝＝，∴an＝，am＝，∴＝＝·＝·＝. 11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－15n. （1）求{an}的通项公式； （2）若cn＝｜an｜，求{cn}的前n项和Tn. 解：（1）由Sn＝n2－15n， 当n≥2时，可得an＝Sn－Sn－1＝n2－15n－[（n－1）2－15（n－1）]＝2n－16， 当n＝1时，a1＝S1＝1－15＝－14，适合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－16. （2）由an＝2n－16，可得cn＝｜an｜＝｜2n－16｜，则Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜， 令an≤0，可得n≤8， 当n≤8时，可得Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝－a1－a2－…－an＝15n－n2， 当n＞8时，可得Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝－a1－a2－…－a8＋a9＋a10＋…＋an ＝－（a1＋a2＋…＋a8）＋（a9＋a10＋…＋an）＝－S8＋Sn－S8＝Sn－2S8， 因为S8＝－56，所以Tn＝n2－15n＋112， 所以Tn＝ 12.已知正项数列{an}满足a1＝1，＋＝2，且a4－a2＝. （1）求数列{}的通项公式； （2）求满足不等式an＋5＋1＜2an的正整数n的最小值. 解：（1）由已知得，－＝－， 所以数列{}是等差数列，设其公差为d. 由a4－a2＝，得－＝2. 所以2d＝2，即d＝1， 所以＝＋（n－1）d＝n. （2）由an＞0，得an＝， 所以原不等式可化为＋1＜2， 两边平方可得n＋6＋2＜4n，即2＜3n－6， 所以4（n＋5）＜（3n－6）2，整理得（n－4）（9n－4）＞0， 解得n＞4或n＜. 因为n∈N*，故n的最小值为5. 4.3.1　等比数列的概念 新课程标准解读 核心素养 1.通过生活中的实例，理解等比数列、等比中项的概念 数学抽象 2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题 逻辑推理、数学运算 3.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算 逻辑推理、数学运算 4.体会等比数列与指数函数的关系 数学抽象 第1课时　等比数列的概念及通项公式 　　我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 【问题】　（1）你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？ （2）根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　等比数列的定义 文字语言 一般地，如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的前一项的比都等于　同一个常数　，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的　公比　，公比通常用字母q表示（显然q≠0） 符号语言 ＝　q　（q为常数，q≠0，n∈N*） 提醒　理解等比数列概念的注意点：①“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；②“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；③公比q可正，可负，但不能为0，它是一个与n无关的非零常数. 【想一想】 　若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列一定是等比数列吗？ 提示：不一定，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列. 知识点二　等比中项 　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成　等比数列　，那么G叫做a与b的等比中项.此时，G2＝　ab　. 【想一想】 　任何两个非零实数都有等比中项吗？ 提示：不一定，只有a，b同号时才有等比中项. 知识点三　等比数列的通项公式 　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠0），则通项公式为an＝　a1qn－1　. 提醒　类似于等差数列与一次函数的关系，由an＝·qn可知，当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f（x）＝·qx（x∈R）当x＝n时的函数值，即an＝f（n）.a1＞0，q＞1的情形如图所示. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）数列1，－1，1，－1，…是等比数列.（　√　） （2）若数列{an}满足＝2，＝2，则{an}为等比数列.（　×　） （3）任何常数列都是等比数列.（　×　） （4）数列a，G，b成等比数列的充要条件是G2＝ab.（　×　） 2.等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝（　　） A.32　　　B.－48 C.48　　　D.96 解析：C　a5＝a1q4＝3×24＝48. 3.等比数列{an}中，a2＝3，a4＝27，则公比q＝　±3　. 解析：设等比数列{an}的首项为a1，则解得q2＝9，所以q＝±3. 4.4与16的等比中项是　±8　. 解析：由G2＝4×16＝64得G＝±8. 　题型一 等比数列的概念 【例1】　（多选）下列数列是等比数列的是（　　） A.b，b，b，b，…（b为常数，b≠0） B.22，42，62，82，… C.1，－，，－，… D.，，，，… 解析：ACD　A选项中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是等比数列；B选项中，≠，所以该数列不是等比数列；C选项中的数列是首项为1，公比为－的等比数列；D选项中的数列是首项为，公比为的等比数列.故选A、C、D. 通性通法 判断一个数列是否为等比数列的方法 　　定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论. 【跟踪训练】 　判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. （1）1，，，，，…； （2）10，10，10，10，10，…； （3），（）2，（）3，（）4，…； （4）1，0，1，0，1，0，…； （5）1，－4，16，－64，256，…. 解：（1）不是等比数列. （2）是等比数列，公比为1. （3）是等比数列，公比为. （4）不是等比数列. （5）是等比数列，公比为－4. 题型二 等比中项及应用 【例2】　（多选）如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么（　　） A.b＝3 B.b＝－3 C.ac＝9 D.ac＝－9 解析：BC　∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3.由等比数列奇数项符号相同，得b＜0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9. 通性通法 应用等比中项需注意的问题 （1）由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项； （2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项. 【跟踪训练】 　（2024·丽水月考）在等差数列{an}中，a3＝0.如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝　9　. 解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝－2d.又∵ak是a6与ak＋6的等比中项，∴＝a6ak＋6，即[a1＋（k－1）d]2＝（a1＋5d）·[a1＋（k＋5）d]，[（k－3）d]2＝3d·（k＋3）d，解得k＝9或k＝0（舍去）. 题型三 等比数列中基本量的运算 【例3】　在等比数列{an}中， （1）a5＝8，a7＝2，an＞0，求an； （2）an＝625，n＝4，q＝5，求a1； （3）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解：设数列{an}的公比为q. （1）因为所以 由得q2＝，因为an＞0，所以q＝，a1＝128，所以an＝a1·qn－1＝128×（）n－1＝（）n－8. （2）a1＝＝＝5，解得a1＝5. （3）因为 由得q＝，所以a1＝32. 又an＝1，所以32×（）n－1＝1， 即26－n＝20，解得n＝6. 通性通法 关于等比数列基本量的运算 （1）a1和q是等比数列的两个基本量，解决相应问题时，只要求出这两个基本量，其余的量便可以得出； （2）等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程（组）来解决. 【跟踪训练】 1.（2024·珠海月考）在等比数列{an}中，a2＋a4＝1，a6＋a8＝9，则a2＝（　　） A.　　　　B. C.　　　　D.4 解析：A　由题得解得q2＝3，∴q＝或q＝－.当q＝时，a1＝；当q＝－时，a1＝－.∴a2＝a1q＝. 2.设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3＝8，a4＋a5＝48，则数列{an}的通项公式为　an＝2n　. 解析：设等比数列的公比为q（q＞0），因为a3＝8，a4＋a5＝48，所以则q2＋q－6＝0，所以（q－2）（q＋3）＝0，解得q＝2或q＝－3（舍去），所以a1＝2，所以an＝a1qn－1＝2n. 1.下列数列为等比数列的是（　　） A.2，22，3×22，…　　　　　　 B.，，，… C.s－1，（s－1）2，（s－1）3，… D.0，0，0，… 解析：B　A项不满足定义，C项可为0，D项不符合定义.故选B. 2.数列－，，－，，…的通项公式为an＝　（－）n　. 解析：该数列是以－为公比，－为首项的等比数列，则an＝（－）n. 3.等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为　±4　. 解析：a4＝a1q3＝×23＝1，a8＝a1q7＝×27＝16，∴a4与a8的等比中项为±＝±4. 4.在等比数列{an}中， （1）已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n； （2）已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式. 解：（1）∵an＝a1·qn－1＝128，a1＝4，q＝2， ∴4·2n－1＝128，∴2n－1＝32， ∴n－1＝5，n＝6. （2）∵a3＝a1·q2，即8＝2q2， ∴q2＝4，∴q＝±2. 当q＝2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n， 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2·（－2）n－1＝（－1）n－12n. 1.在数列{an}中，an＋1＝2an，且a1＝1，则a4＝（　　） A.4 B.6 C.8 D.16 解析：C　因为an＋1＝2an，a1＝1，所以{an}为公比为2的等比数列，所以a4＝a1·23＝8，故选C. 2.已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝（　　） A.6 B.－6 C.±6 D.±12 解析：C　∵a＝＝，b2＝（－1）×（－16）＝16，b＝±4，∴ab＝±6. 3.设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6＝（　　） A.607.5 B.608 C.607 D.159 解析：C　因为1＋2an＝（1＋2a1）×3n－1，所以1＋2a6＝5×35，所以a6＝＝607. 4.（2024·聊城月考）已知等差数列{an}的公差为1，且a2，a4，a7成等比数列，则an＝（　　） A.2n＋1 B.2n＋2 C.n＋1 D.n＋2 解析：D　因为a2，a4，a7成等比数列，故＝a2a7，又因为等差数列{an}的公差为1，即（a1＋3）2＝（a1＋1）（a1＋6），解得a1＝3，所以an＝a1＋（n－1）d＝n＋2. 5.（多选）如果数列{an}是等比数列，那么（　　） A.数列{}是等比数列 B.数列{}是等比数列 C.数列{lg an}是等差数列 D.数列{kan}（k≠0）是等比数列 解析：AD　设{an}的公比为q，bn＝，则＝＝（）2＝q2，所以{}是等比数列；＝≠常数；当an＜0时，lg an无意义；设cn＝kan，则＝＝q，所以{kan}是等比数列.故选A、D. 6.（多选）已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，则（　　） A.q＝2 B.an＝2n C.18是数列中的项 D.an＋an＋1＜an＋2 解析：ABD　由题意可得2q3＝4q＋2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2（负值舍去），选项A正确；an＝2×2n－1＝2n，选项B正确，C错误；an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an＞3an，选项D正确. 7.若数列{an}是等比数列，且an＝3n－1＋a－2，则a＝　2　. 解析：由题意可得，a1＝a－1，a2＝a＋1，a3＝a＋7，所以＝，解得a＝2. 8.写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列an＝　×3n－1（答案不唯一）　. 解析：设数列{an}的公比为q，则q＝3，由已知可得a3＜1，∴9a1＜1，∴a1＜，故a1可取，故满足条件的等比数列的通项公式可能为an＝×3n－1. 9.已知{an}是等比数列，a1＝，a2＝4，则a3＝　32　，a1a2a3a4a5a6＝　239　. 解析：因为数列{an}是等比数列，且a1＝，a2＝4.所以等比数列{an}的公比q＝＝8，所以a3＝a2q＝4×8＝32，所以a1a2a3a4a5a6＝·q15＝（2－1）6×（23）15＝239. 10.在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8. （1）求数列{an}的通项公式an； （2）若an＝，求n. 解：（1）因为a5＝a1q4，a3＝a1q2，所以q2＝＝，a1＝128.所以q＝±. 当q＝时，an＝a1qn－1＝128×（）n－1＝28－n； 当q＝－时，an＝a1qn－1＝128×（－）n－1＝（－1）n－128－n. 所以an＝28－n或an＝（－1）n－128－n. （2）当an＝时，即28－n＝或（－1）n－128－n＝，解得n＝9. 11.已知不等式x2－5x－6＜0的解集中有三个整数解，构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是（　　） A.8　　　 B.　　　 C.8或2　　　D.8或 解析：D　不等式x2－5x－6＜0的解集为{x｜－1＜x＜6}，其中成等比数列的三个整数为1，2，4，若数列前3项为1，2，4，则第4项为8，若数列前3项为4，2，1，则第4项为. 12.若正项数列{an}满足a1＝2，－3an＋1an－4＝0，则数列{an}的通项公式an＝（　　） A.22n－1 B.2n C.22n＋1 D.22n－3 解析：A　由－3an＋1an－4＝0，得（an＋1－4an）·（an＋1＋an）＝0.又{an}是正项数列，所以an＋1－4an＝0，＝4.由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式，得an＝2×4n－1＝22n－1. 13.一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q＝　　. 解析：由题意得an＝an＋1＋an＋2，所以1＝q＋q2，即q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝（舍去）. 14.在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3，两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 已知等差数列{an}的公差为d（d＞1），前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，　　，求数列{an}，{bn}的通项公式. 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：选条件①：因为a3＝5，所以a1＋2d＝5，因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋5d＝6a1d，联立解得或（舍去），则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋（n－1）d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件②：因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2， 因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2，联立 解得或（舍去），则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋（n－1）d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 15.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij（i，j∈N*），则a53的值为（　　） ， ，， … A. B. C. D. 解析：C　第一列数构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋（5－1）×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×＝. 16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求角A的大小及的值. 解：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac， 又a2－c2＝ac－bc，∴a2－c2＝b2－bc，即b2＋c2－a2＝bc， 在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝， ∴A＝60°. 在△ABC中，由正弦定理得sin B＝， ∴＝＝sin A＝. 第2课时　等差数列的判定及性质 　　如图，第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球. 【问题】　（1）每隔一层的球数有什么规律？ （2）每隔二层呢？每隔三层呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　等差数列项的运算性质 　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 （1）an＝am＋　（n－m）　d，d＝（m，n∈N*，且m≠n）； （2）若m＋n＝s＋t，则am＋an＝　as＋at　； 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap（m，n，s，t，p∈N*）； （3）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的　和　，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…； （4）下标成等差数列的项ak，ak＋m，ak＋2m，…组成以　md　为公差的等差数列. 【想一想】 1.若{an}为等差数列，且m＋n＝p（m，n，p∈N*），则am＋an＝ap一定成立吗？ 提示：不一定.如数列1，2，3，4，…，满足a1＋a2＝a3；而数列1，1，1，1，…，则不满足a1＋a2＝a3. 2.在等差数列{an}中，若m，n，p，q，…成等差数列，那么am，an，ap，aq，…也成等差数列吗？若成等差数列，公差是什么？ 提示：成等差数列，若{an}的公差为d，则am，an，ap，aq，…的公差为（n－m）d. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.（　√　） （2）若a，b，c成等差数列，则a＋k，b＋k，c＋k也成等差数列.（　√　） （3）若{an}是等差数列，则{｜an｜}也是等差数列.（　×　） 2.等差数列{an}中，a1＋a11＝10，a8＝6，则公差d＝（　　） A.　　　B.　　　C.2　　　D.－ 解析：B　由a1＋a11＝2a6＝10，得a6＝5，所以2d＝a8－a6＝1，解得d＝. 3.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝（　　） A.5 B.8 C.10 D.14 解析：B　由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又因为a1＝2，所以a7＝8. 　　题型一 等差数列的判定与证明 【例1】　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，设bn＝，n∈N*.求证：数列{bn}是等差数列. 解：法一　由条件知，＝＝＋1， 所以－＝1，所以bn＋1－bn＝1. 又b1＝＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列. 法二　由条件，得bn＋1－bn＝－＝－＝＝1.又b1＝＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列. 通性通法 判断一个数列是否为等差数列的方法 （1）定义法：an＋1－an＝d（n∈N*）或an－an－1＝d（n≥2，n∈N*）⇔数列{an}为等差数列； （2）等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）⇔数列{an}为等差数列； （3）通项公式法：数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q（p，q为常数）⇔数列{an}为等差数列. 提醒　要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可. 【跟踪训练】 　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝（λ－3）an＋2n（n∈N*）.是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求出其通项公式；若不存在，说明理由. 解：不存在.∵a1＝2，an＋1＝（λ－3）an＋2n， ∴a2＝（λ－3）a1＋2＝2λ－4，a3＝（λ－3）a2＋4＝2λ2－10λ＋16. 若数列{an}为等差数列，得a1＋a3＝2a2，即2＋2λ2－10λ＋16＝2（2λ－4），∴λ2－7λ＋13＝0. ∵Δ＝49－4×13＜0，∴方程无实数解，∴λ不存在， 即不存在λ使数列{an}为等差数列. 题型二 等差数列的性质 角度1　an＝am＋（n－m）d的应用 【例2】　在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式. 解：设等差数列{an}的公差为d， 因为a8＝a2＋（8－2）d，所以17＝5＋6d，解得d＝2. 又因为an＝a2＋（n－2）d，所以an＝5＋（n－2）×2＝2n＋1，n∈N*. 通性通法 　　灵活利用等差数列通项公式的变形，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋（n－m）d即变为an＝a1＋（n－1）d，可以减少记忆负担. 角度2　等差数列性质的应用 【例3】　（1）在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝（　　） A.45　　　B.50　　　C.75　　　D.60 （2）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝（　　） A.12 B.8 C.6 D.4 答案：（1）B　（2）B 解析：（1）因为在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，所以a2＝，a12＝，所以a4＋a10＝a2＋a12＝50. （2）由等差数列性质得，a3＋a6＋a10＋a13＝（a3＋a13）＋（a6＋a10）＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8. 通性通法 等差数列运算的两种常用方法及思路 （1）基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程（组），确定a1，d，然后求其他量； （2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r（m，n，p，q，r∈N*），则am＋an＝ap＋aq＝2ar. 【跟踪训练】 1.已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15＝（　　） A.7 B.14 C.21 D.7（n－1） 解析：B　因为a1－a9＋a17＝（a1＋a17）－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14. 2.（2024·汕头月考）已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝　8　. 解析：法一　∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，则d＝＝＝2，∴bn＝b3＋（n－3）d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8. 法二　由＝＝d，得b8＝×5＋b3＝2×5＋（－2）＝8. 题型三 由等差数列衍生的新数列 【例4】　（1）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{dan}是（　C　） A.公差为d的等差数列 B.公差为2d的等差数列 C.公差为d2的等差数列 D.公差为4d的等差数列 （2）若等差数列{an}的公差为d，则a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的公差为　9d　　. 解析：（1）由于数列{an}是公差为d的等差数列，因此，当n∈N*时，an＋1－an＝d，所以当n∈N*时，dan＋1－dan＝d（an＋1－an）＝d2. （2）由等差数列的性质可知，a1＋a2＋a3＝3a2，a4＋a5＋a6＝3a5，a7＋a8＋a9＝3a8，由3a5－3a2＝3a8－3a5＝9d可知，a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的公差为9d. 通性通法 由等差数列衍生的新数列 若{an}，{bn}分别是公差为d，d'的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列（c为任一常数） {c·an} 公差为cd的等差数列（c为任一常数） {an＋an＋k} 公差为kd的等差数列（k为常数，k∈N*） {pan＋qbn} 公差为pd＋qd'的等差数列（p，q为常数） 【跟踪训练】 　（2024·江门月考）设数列{an}，{bn}都是等差数列.若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝　35　. 解析：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2.因为a3＋b3＝（a1＋2d1）＋（b1＋2d2）＝（a1＋b1）＋2（d1＋d2）＝7＋2（d1＋d2）＝21，所以d1＋d2＝7.所以a5＋b5＝（a3＋b3）＋2（d1＋d2）＝21＋2×7＝35. 1.在等差数列{an}中，已知a2＝3，a5＝15，则此数列的通项公式an＝（　　） A.n－5　　　　　　　　　 B.n＋5 C.4n－5 D.4n＋5 解析：C　设等差数列{an}的公差为d，因为a5＝a2＋（5－2）d，所以15＝3＋3d，解得d＝4.又因为an＝a2＋（n－2）d，所以an＝3＋（n－2）×4＝4n－5. 2.由公差d≠0的等差数列{an}组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是（　　） A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 解析：C　因为（an＋1＋an＋3）－（an＋an＋2）＝（an＋1－an）＋（an＋3－an＋2）＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列. 3.已知数列{an}，满足a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3（n≥2，n∈N*），试判断数列{an}是否是等差数列. 解：当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，但a2－a1＝2－1＝1≠，故数列{an}不是等差数列. 1.数列{an}为等差数列，若a3＋a5＋a7＝15，且a4＋a6＋a8＝21，则数列{an}的公差d＝（　　） A.2 B.3 C.－2 D.－3 解析：A　因为a3＋a5＋a7＝3a5＝15，a5＝5，a4＋a6＋a8＝3a6＝21，a6＝7，所以d＝a6－a5＝2. 2.（2024·烟台月考）在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11＝（　　） A.14 B.15 C.16 D.17 解析：C　由题意，得5a8＝120，所以a8＝24，所以a9－a11＝（a8＋d）－（a8＋3d）＝a8＝16. 3.在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝（　　） A.99 B.123 C.132 D.145 解析：C　在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33.所以a45＝33＋3×33＝132. 4.已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为（　　） A.7 B.5 C.3 D.1 解析：D　由于{an}，{bn}为等差数列，故数列{2an－3bn}的公差d＝（2an＋1－3bn＋1）－（2an－3bn）＝2（an＋1－an）－3（bn＋1－bn）＝2d1－3d2＝1. 5.（多选）下列命题中，与命题“{an}为等差数列”等价的是（　　） A.an＋1＝an＋d（d为常数） B.数列{－an}是等差数列 C.数列{}是等差数列 D.an＋1是an与an＋2的等差中项 解析：ABD　对于A，即an＋1－an＝d，故A正确.对于B，数列{－an}是等差数列，则－an＋1＝－an＋d，d为常数.故an＋1－an＝－d，－d为常数，故B正确.对于C，数列是等差数列，则－＝d，d为常数.不能推导出{an}为等差数列，故C错误.易知D正确. 6.（多选）已知等差数列{an}满足a1＞0，且a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则（　　） A.a1＋a101＞0 B.a1＋a101＜0 C.a3＋a99＝0 D.a51＜a50 解析：CD　根据等差数列的性质，得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，因为a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以101a51＝0，所以a1＋a101＝a3＋a99＝2a51＝0.又a1＞0，所以d＜0，a51＝a50＋d＜a50，故选C、D. 7.已知在等差数列{an}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则数列{an}的通项公式an＝　2n－3　. 解析：由题意可得a2＋a6＝5×2＝10，a3＋a7＝7×2＝14，由等差数列的性质可得2a4＝10，2a5＝14，即a4＝5，a5＝7，从而数列的公差d＝a5－a4＝2.∴a1＝a4－3d＝5－3×2＝－1，故an＝－1＋2（n－1）＝2n－3. 8.（2024·郑州月考）在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项之间各插入一个数，使之成等差数列，则新等差数列的公差为　－　. 解析：设原等差数列的公差为d，则8＋4d＝2，解得d＝－，因此新等差数列的公差为－. 9.等差数列，满足对任意n∈N*都有＝，则＋＝　1　. 解析：由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6，所以＋＝＝＝＝1. 10.（1）已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值； （2）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值. 解：（1）法一　根据等差数列的性质得a2＋a10＝a4＋a8＝2a6， 由a2＋a6＋a10＝1， 得3a6＝1，解得a6＝， ∴a4＋a8＝2a6＝. 法二　设公差为d，根据等差数列的通项公式， 得a2＋a6＋a10＝（a1＋d）＋（a1＋5d）＋（a1＋9d）＝3a1＋15d， 由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝. ∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2（a1＋5d）＝. （2）设公差为d（d＞0），∵a1＋a3＝2a2， ∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5. 又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列， ∴a1a3＝（5－d）（5＋d）＝16⇒d＝3或d＝－3（舍去）， ∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105. 11.已知圆O的半径为5，且OP＝3，过点P的2 025条弦的长度组成一个等差数列{an}，最短弦长为a1，最长弦长为a2 025，则其公差为（　　） A. B. C. D. 解析：B　因为圆O的半径为5，且OP＝3，过点P的2 025条弦的长度组成一个等差数列{an}，其中最短弦长为a1＝2＝8，最长弦长为a2 025＝2×5＝10，所以等差数列{an}的公差为d＝＝＝.故选B. 12.若a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（　　） A.a1a8＞a4a5 B.a1a8＜a4a5 C.a1＋a8＞a4＋a5 D.a1a8＝a4a5 解析：B　因为a1＋a8＝2a1＋7d，a4＋a5＝2a1＋7d，所以a1＋a8＝a4＋a5，故C错误；因为a1a8－a4a5＝a1（a1＋7d）－（a1＋3d）（a1＋4d）＝－12d2＜0，所以a1a8＜a4a5，故A、D错误，B正确.故选B. 13.已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a15 ＝　11　，若ak＝15，则k＝　21　. 解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.故d＝＝＝.∴a15＝a9＋（15－9）d＝7＋6×＝11，∵ak＝a9＋（k－9）d＝15，∴15－7＝（k－9）×，∴k＝21. 14.已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1（n≥2，n∈N*）. （1）记bn＝log2（an＋1），判断{bn}是否为等差数列，并说明理由； （2）求数列{an}的通项公式. 解：（1）{bn}是等差数列，理由如下： 因为a1＝1，an＝2an－1＋1（n≥2），所以an＞0. b1＝log2（a1＋1）＝log22＝1， 当n≥2时，bn－bn－1＝log2（an＋1）－log2（an－1＋1）＝log2＝log2＝log2＝log22＝1， 所以{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）得bn＝1＋（n－1）×1＝n，所以an＋1＝＝2n，所以an＝2n－1. 15.（多选）已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2（n∈N*），则下列说法正确的有（　　） A.数列{an}是等差数列 B.a2k＝7－2k（k∈N*） C.a2k－1＝12－2k（k∈N*） D.an＋an＋1＝18－3n 解析：BC　由an－an＋2＝2得a3＝a1－2＝8，由于2a2≠a1＋a3，所以{an}不是等差数列，A错误；由an－an＋2＝2，知{an}的偶数项，奇数项分别构成等差数列，公差都为－2，当n＝2k（k∈N*）时，a2k＝a2＋（k－1）×（－2）＝7－2k，当n＝2k－1（k∈N*）时，a2k－1＝a1＋（k－1）×（－2）＝12－2k，故B、C都正确；当n＝2时，a2＋a3＝5＋8＝13不满足an＋an＋1＝18－3n，故D错误. 16.给定整数n（n≥4），设集合A＝{a1，a2，…，an}，记集合B＝{ai＋aj｜ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}. （1）若A＝{－3，0，1，2}，求集合B； （2）若a1，a2，…，an构成以a1为首项，d（d＞0）为公差的等差数列，求证：集合B中的元素个数为2n－1. 解：（1）因为B＝{ai＋aj｜ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}， 当A＝{－3，0，1，2}时，ai＋aj＝－6，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，所以B＝{－6，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}. （2）证明：因为a1，a2，…，an构成以a1为首项，d（d＞0）为公差的等差数列，所以有ai－1＋an＝ai＋an－1（2≤i≤n－2），2ai＝ai－1＋ai＋1（2≤i≤n－1）. 此时，集合B中的元素有以下大小关系： 2a1＜a1＋a2＜a1＋a3＜…＜a1＋an＜a2＋an＜a3＋an＜…＜an－1＋an＜2an. 因此，集合B中含有2n－1个元素. 第3课时　等比数列的综合应用 题型一 灵活设项求解等比数列 【例1】　有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数. 解：法一　设前三个数分别为，a，aq， 则·a·aq＝216，所以a3＝216. 所以a＝6. 因此前三个数为，6，6q. 由题意知第4个数为12q－6. 所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝. 故所求的四个数为9，6，4，2. 法二　设后三个数为4－d，4，4＋d， 则第1个数为（4－d）2， 由题意知（4－d）2×（4－d）×4＝216， 解得4－d＝6. 所以d＝－2. 故所求得的四个数为9，6，4，2. 通性通法 巧设等比数列项的方法 （1）若三个数成等比数列，常设为，a，aq.推广到一般，奇数个数成等比数列，可设为…，，，a，aq，aq2，…； （2）四个符号相同的数成等比数列，常设为，，aq，aq3.推广到一般，偶数个符号相同的数成等比数列，可设为…，，，，aq，aq3，aq5，…； （3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 【跟踪训练】 　有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后成等差数列，则这四个数的和是　45　. 解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.即整理得解得因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 题型二 由等比数列衍生的新数列 【例2】　（1）设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积（i＝1，2，…），则{An}为等比数列的充要条件为（　D　） A.{an}是等比数列 B.a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 （2）若等比数列{an}的公比为q，则a1，a8，a15的公比为　q7　. 解析：（1）因为Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积（i＝1，2，…），所以Ai＝aiai＋1（i＝1，2，3，…，n，…），则数列{An}的通项为An＝anan＋1.根据等比数列的定义，数列{An}（n＝1，2，3，…）为等比数列的充要条件是＝＝＝q（常数）. （2）由于数列{an}是公比为q的等比数列，因此a8＝a1q7，a15＝a1q14，故＝＝q7. 通性通法 1.由等比数列衍生的新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0. 2.如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么： （1）ak，ak＋n，ak＋2n，…为等比数列，公比为； （2）数列，{an·bn}，{}，{｜an｜}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，｜q1｜. 【跟踪训练】 　设{an}，{bn}都是等比数列，若a1b1＝7，a3b3＝21，则a5b5＝　63　. 解析：因为{an}，{bn}为等比数列，所以{anbn}也为等比数列，设{anbn}的公比为q，又a1b1＝7，a3b3＝21，所以q2＝＝3，即a5b5＝a3b3·q2＝21×3＝63. 题型三 等比数列的实际应用 【例3】　（2024·信阳月考）从盛满a（a＞1）升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又添满水摇匀，如此继续下去，问： （1）第n次操作后容器中酒精的浓度是多少？ （2）当a＝2时至少应操作几次后才能使容器中酒精的浓度低于10%？ 解：（1）由题意知开始时容器中酒精的浓度为1，设第n次操作后容器中酒精的浓度为an，则第1次操作后容器中酒精的浓度为a1＝1－，第n＋1次操作后容器中酒精的浓度为an＋1＝an（1－）， 所以{an}是首项为a1＝1－，公比为q＝1－的等比数列，所以an＝a1qn－1＝（1－）n， 即第n次操作后容器中酒精的浓度是（1－）n. （2）当a＝2时，由an＝（）n＜，解得n≥4. 故至少应操作4次后才能使容器中酒精的浓度低于10%. 通性通法 等比数列实际应用的求解思路 （1）认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型； （2）合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素； （3）针对所求结果作出合理解释. 【跟踪训练】 画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于　2 048　. 解析：依题意，这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，所以an＝2×（）n－1，所以第10个正方形的面积S＝＝[2×（）9]2＝4×29＝2 048. 1.若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（　　） A.{lg an} B.{1＋an} C.{} D.{an＋an＋1} 解析：C　取等比数列an＝（－1）n，则a1＝－1，所以A、B不是等比数列，又an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故选C. 2.（2024·佛山月考）在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为　　. 解析：设衰分比例为q（0＜q＜1），则甲、乙、丙各分得，28，28q石，∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或.又0＜q＜1，∴q＝. 3.已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，求这四个数. 解：设四个数依次为a，aq，aq2，aq3，则 解得或 故所求四个数依次为－，，－2，8或8，－2，，－. 1.由公比为q的等比数列a1，a2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a1a2，a2a3，a3a4，…是（　　） A.等差数列 B.以q为公比的等比数列 C.以q2为公比的等比数列 D.以2q为公比的等比数列 解析：C　因为＝＝q2，为常数，所以该数列为以q2为公比的等比数列. 2.（2024·湖州月考）三个实数成等比数列，它们的和为14，且它们的积为64，则这三个数分别为（　　） A.2，4，8 B.8，4，2 C.2，4，8或8，4，2 D.以上都不对 解析：C　设所求的三个数分别为，a，aq，则有解得或当a＝4，q＝时，这三个数分别为8，4，2；当a＝4，q＝2时，这三个数分别为2，4，8.因此，这三个数分别为2，4，8或8，4，2.故选C. 3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为（　　） A.2　　　　B.　　　　C.3　　　　D. 解析：D　法一　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q（q≠0），由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝·＝.故选D. 法二　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝（a1a9）·（a2a8）·（a3a7）＝＝27.所以a5＝.故选D. 4.已知等比数列{an}中，a2＝，a5＝，则数列{log2an}的前10项和为（　　） A.－55 B.－33 C.33 D.55 解析：A　设等比数列{an}的公比为q，由a2＝，a5＝，可得a2q3＝×q3＝，解得q＝，又由a1q＝a1×＝，解得a1＝，所以an＝（）n，则log2an＝log2（）n＝－n，所以{log2an}是等差数列，数列{log2an}的前10项之和为S10＝＝－55. 5.（2024·安阳月考）设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝（　　） A.210 B.220 C.216 D.215 解析：B　设A＝a1a4a7·…·a28，B＝a2a5a8·…·a29，C＝a3a6a9·…·a30，则A，B，C成等比数列，公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，所以B＝210，所以C＝B·210＝220. 6.下列说法正确的是（　　） A.若＝4n，n∈N*，则{an}为等比数列 B.若anan＋2＝，n∈N*，则{an}为等比数列 C.若aman＝2m＋n，m，n∈N*，则{an}为等比数列 D.若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N*，则{an}为等比数列 解析：C　由＝4n知｜an｜＝2n，则数列{an}未必是等比数列；对于B、D选项，满足条件的数列中可以存在零项，故数列{an}不一定是等比数列；对于C选项，由aman＝2m＋n知，aman＋1＝2m＋n＋1，两式相除得＝2（n∈N*），故数列{an}是等比数列.故选C. 7.（2024·广州月考）在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为　8　. 解析：设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝×8＝4，因为a2＝b＞0，所以b＝2（舍负）.所以这3个数的积为abc＝4×2＝8. 8.已知项数相同的等比数列{an}和{bn}，公比分别为q1，q2（q1，q2≠1），则数列①{3an}，②{}，③{2an－3bn}，④{2an·3bn}中是等比数列的是　①④　（填序号）. 解析：在①中，＝q1，是等比数列；在②中，令an＝2n－1，则数列{}为3，32，34，…，而≠，故不是等比数列；在③中，数列的项可能为零，故不一定是等比数列；在④中，＝q1q2，是等比数列. 9.（2024·开封月考）我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展尤其迅速，某制药公司第一年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律至少到第　10　年每年投入的资金可达250万元以上（精确到1年）.（参考数据lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70） 解析：由题知，该制药公司每年投入的研发资金满足等比数列模型，且a1＝50，q＝1.2，所以an＝50×（1.2）n－1，令an＝50×（1.2）n－1＝250，所以（1.2）n－1＝5，所以n－1＝log1.25＝≈＝8.75，所以n＝9.75，又因为n为正整数，所以n＝10. 10.已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，求原来的三个数的和. 解：依题意，设原来的三个数依次为，a，aq. 因为·a·aq＝512，所以a＝8. 又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，所以（－2）＋（aq－2）＝2a，所以2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝，所以原来的三个数为4，8，16或16，8，4. 因为4＋8＋16＝16＋8＋4＝28， 所以原来的三个数的和等于28. 11.（2024·青岛月考）若数列{an}是等差数列，bn＝，则数列{bn}也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为（　　） A.dn＝ B.dn＝ C.dn＝ D.dn＝ 解析：D　设正项等比数列{cn}的首项为c1，公比为q，则c1·c2·…·cn＝c1·（c1q）·…·（c1qn－1）＝，令dn＝＝＝＝c1，∴{dn}是等比数列. 12.（多选）设{an}（n∈N*）是各项均为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中成立的是（　　） A.0＜q＜1 B.a7＝1 C.K9＞K5 D.K6与K7均为Kn的最大值 解析：ABD　根据题意，分析选项.对于B，由K6＝K7，得a7＝＝1，B正确；对于A，由K5＜K6可得，a6＝＞1，则q＝∈（0，1），故A正确；对于C，由{an}是各项均为正数的等比数列且q∈（0，1）可得数列是递减数列，则有K9＜K5，故C错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确.故选A、B、D. 13.设有4个数的数列{an}的前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数列，其和为6，则实数m的取值范围为　［，＋∞）　. 解析：∵后3项成等差数列，其和为6，∴可设公差为d，后3项可写成2－d，2，2＋d.又∵前3项成等比数列，∴根据等比中项的性质，可知第1项为，∴数列{an}为，2－d，2，2＋d.∴m＝＋2－d＋2＝d2－3d＋6＝（d－3）2＋≥. 14.某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. （1）用一个式子表示n（n∈N*）年后这辆车的价值； （2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？（精确到0.1） 解：（1）从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5×（1－10%），a3＝13.5×（1－10%）2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， 所以an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1， 所以n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元. （2）由（1）得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9（万元）， 所以用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元. 15.（2024·三门峡质检）如图，各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是（　　） A.矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列 B.由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为 C.按照这个规律继续下去，第n－1个矩形块中所填数字是 D.由大到小排列，是第七个矩形块中的数字 解析：D　设每个矩形块中的数字从大到小形成数列{an}，则由题意可得{an}是首项为，公比为的等比数列，∴an＝×（）n－1＝，故A中结论错误；a8＝＝，故B中结论错误；第n－1个矩形块中所填数字是，故C中结论错误；a7＝＝，故D中结论正确. 16.已知数列{Am}：a1，a2，…，am（m≥2）.若存在公比为q的等比数列{Bm＋1}：b1，b2，…，bm＋1，使得bk＜ak＜bk＋1，其中k＝1，2，…，m，则称数列{Bm＋1}为数列{Am}的“等比分割数列”.若数列{A10}的通项公式为an＝2n（n＝1，2，…，10），其“等比分割数列”{B11}的首项为1，求数列{B11}的公比q的取值范围. 解：因为{B11}的首项为1，公比为q， 所以bn＝qn－1， 则qk－1＜2k＜qk对于k＝1，2，…，10成立， 当k＝1时1＜2＜q， 当k＝2，3，…，10时，2＜q＜， 而y＝2x是增函数，＝1＋随着k的增大而减小，所以y＝随着k的增大而减小， 从而（）min＝，所以2＜q＜. 培优课 构造法求数列的通项公式 　题型一 形如an＋1＝pan＋q（p，q≠0且p≠1） 【例1】　在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，n∈N*，则an＝　×（）n＋2＋　. 解析：因为an＋1＝an＋，令an＋1＋λ＝（an＋λ），则an＋1＝an－λ，所以－λ＝，解得λ＝－，所以an＋1－＝（an－），所以＝，因为a1－＝，所以数列an－是首项为，公比为的等比数列，所以an－＝×（）n－1＝×（）n＋2，所以an＝×（）n＋2＋. 通性通法 　　求解递推公式形如an＋1＝pan＋q（p≠0，q≠0且p≠1）的数列{an}的通项公式的关键：一是利用待定系数法构造，即构造an＋1＋λ＝p（an＋λ）的形式；二是找到{an＋λ}为等比数列（其中 λ＝）. 【跟踪训练】 　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则a10＝（　　） A.2 045 B.1 021 C.1 027 D.2 051 解析：A　∵an＋1＝2an＋3，可变形为an＋1＋3＝2（an＋3），故数列{an＋3}为等比数列，首项为4，公比为2，∴an＋3＝4·2n－1.∴an＝4·2n－1－3＝2n＋1－3，∴a10＝2 045.故选A. 题型二 形如an＋1＝pan＋f（n）（p≠0） 角度1　f（n）为一次多项式 【例2】　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2n＋1，则数列{an}的通项公式为　an＝3n－n－1　. 解析：设an＋1＋A（n＋1）＋B＝3（an＋An＋B），∴an＋1＝3an＋2An＋2B－A.与原式比较系数得解得∴an＋1＋（n＋1）＋1＝3（an＋n＋1）.令bn＝an＋n＋1，则bn＋1＝3bn且b1＝a1＋1＋1＝3≠0，∴{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴bn＝3·3n－1＝3n，∴an＝3n－n－1. 通性通法 　　一般地，当f（n）为一次多项式时，即数列的递推关系为an＋1＝Aan＋Bn＋C型，可转化为an＋1＋λ1（n＋1）＋λ2＝A（an＋λ1n＋λ2）的形式来求通项公式. 角度2　f（n）为指数式 【例3】　已知数列{an}中，a1＝6，an＋1＝2an＋3n＋1，则an＝　3n＋1－3×2n－1　. 解析：令an＋1－A·3n＋1＝2（an－A·3n），则an＋1＝2an＋·3n＋1，由已知，＝1，得A＝3，所以an＋1－3×3n＋1＝2（an－3×3n），即an＋1－3n＋2＝2（an－3n＋1），又a1－32＝6－9＝－3≠0，所以{an－3n＋1}是首项为－3，公比为2的等比数列，于是an－3n＋1＝－3×2n－1，故an＝3n＋1－3×2n－1. 通性通法 　　形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式，一般可转化为an＋1＋λqn＋1＝p（an＋λqn）的形式，构造出一个新的等比数列{an＋λqn}，然后再求an. 【跟踪训练】 1.（2024·安阳月考）在数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋2＝2an＋1－an，则{an}的通项公式为　an＝n＋1　. 解析：设an＋2－x1an＋1＝x2（an＋1－x1an），结合已知可得x1＝x2＝1，a2－a1＝3－2＝1≠0，于是{an＋1－an}是首项为1，公比为1的等比数列，所以an＋1－an＝1，所以{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n＋1. 2.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an－2n，则a17＝　－15×216　. 解析：由题意可得＝－，即－＝－，据此可得，数列是首项为＝，公差为－的等差数列，故＝＋（17－1）×（－）＝－，所以a17＝－15×216. 题型三 形如an＋1＝（p，q，r≠0） 【例4】　在数列{bn}中，若b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，试求{bn}的通项公式. 解：对递推式bn＋1＝的两边同时取倒数，得＝， 即＝2·＋3， 因此＋3＝2·（＋3），＋3＝2， 故{＋3}是以2为首项，2为公比的等比数列， 于是＋3＝2·2n－1，可得bn＝，n∈N*. 通性通法 　　一般地，形如an＋1＝（p，q，r≠0）结构的递推式往往可以通过等式两边同时取倒数变形构造出线性递推式an＝Aan－1＋B（n≥2，A，B是常数），进而求出原数列的通项公式. 【跟踪训练】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝（n∈N*），若bn＝log2（＋1），试求数列{bn}的通项公式. 解：由an＋1＝，得＝1＋，所以＋1＝2（＋1）， 又＋1＝2，所以数列{＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以＋1＝2·2n－1＝2n，所以bn＝log2（＋1）＝log22n＝n. 1.已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1，a1＝1，则an＝（　　） A.2n－1　　　　　　　　　B.2n－1－1 C.2n D.2n－1 解析：D　由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2（an＋1），而a1＋1＝2，故{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.故选D. 2.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则an＝（　　） A.2n－1 B.2n＋1 C. D. 解析：C　∵an＋1＝，∴＝＋2，即－＝2，∴{}是公差为2的等差数列.又a1＝1，∴＝1＋2（n－1）＝2n－1，即an＝. 3.若数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝4an＋2n，则a5＝　496　. 解析：因为an＋1＝4an＋2n，所以an＋1＋2n＝4（an＋2n－1），所以数列是等比数列，首项为2，公比为4，则an＋2n－1＝2×4n－1＝22n－1，可得an＝22n－1－2n－1，则a5＝22×5－1－25－1＝29－24＝496. 　　 1.数列{an}满足an＋1＝λan－1（n∈N*，λ∈R且λ≠0），若数列{an－1}是等比数列，则λ的值为（　　） A.1　　　　　B.－1　　　C.　　　　D.2 解析：D　由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ（an－）.∵数列{an－1}是等比数列，∴＝1，λ＝2. 2.若在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋＋，则a99＝（　　） A.2 550 B.2 500 C.2 450 D.2 401 解析：B　因为an＋1＝an＋＋＝（＋）2，所以－＝，即{}是首项为＝1，公差为的等差数列，可求得an＝（n＋1）2，故a99＝＝2 500. 3.已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2，数列{bn}满足bn＝an－2n，则数列{bn}的通项公式为（　　） A.bn＝3n　　　　　　　　 B.bn＝3n－1 C.bn＝3n－2 D.bn＝3n＋1 解析：C　因为an＋1＝3an－4n＋2，所以an＋1－2（n＋1）＝3（an－2n），又bn＝an－2n≠0，所以bn＋1＝3bn，所以＝3，又b1＝a1－2＝，所以数列{bn}是首项为，公比为3的等比数列，所以bn＝·3n－1＝3n－2，故选C. 4.已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为（　　） A.an＝n B.an＝n2 C.an＝ D.an＝ 解析：B　∵＋＋…＋＝，∴＋＋…＋＝（n≥2），两式相减得＝－＝n（n≥2），∴an＝n2（n≥2），①.又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合①式，∴an＝n2，n∈N*.故选B. 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，则a12＝（　　） A.20 480 B.49 152 C.60 152 D.89 150 解析：B　由题意得S2＝4a1＋2，所以a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝8，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2（an＋1－2an），因此数列{an＋1－2an}是以a2－2a1＝4为首项，2为公比的等比数列，即an＋1－2an＝4×2n－1＝2n＋1，于是－＝1，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列，得＝1＋（n－1）×1＝n，即an＝n·2n.所以a12＝12×212＝49 152. 6.数列{an}满足an＋1＝2an＋3，n∈N*，若a2 025≥a1，则a1的取值范围为（　　） A.（－∞，－3] B.（－∞，－3） C.（－3，＋∞） D.[－3，＋∞） 解析：D　由an＋1＝2an＋3可得an＋1＋3＝2（an＋3），当a1＝－3时，an＝－3，满足题意；当a1≠－3时，＝2，所以数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列，所以an＋3＝（a1＋3）×2n－1，所以an＝（a1＋3）×2n－1－3，所以a2 025＝（a1＋3）×22 024－3≥a1，所以（a1＋3）×22 024≥a1＋3，所以a1＞－3.综上a1≥－3. 7.（多选）已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝2n，n∈N*，则下列说法正确的是（　　） A.a4＝4 B.{a2n}是等比数列 C.a2n－a2n－1＝2n－1 D.a2n－1＋a2n＝2n＋1 解析：ABC　∵a1＝1，an·an＋1＝2n，∴a2＝2，a3＝2，a4＝4，由an·an＋1＝2n可得an＋1·an＋2＝2n＋1，∴＝2，∴{a2n}，{a2n－1}分别是以2，1为首项，公比为2的等比数列，∴a2n＝2·2n－1＝2n，a2n－1＝1·2n－1＝2n－1，∴a2n－a2n－1＝2n－1，a2n－1＋a2n＝3·2n－1≠2n＋1，综上可知，A、B、C正确，D错误. 8.定义：若＝q（n∈N*，q为非零常数且q≠1），则称{an}为“差等比数列”，已知在“差等比数列”{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，则a2 025－a2 024＝　22 023　. 解析：在“差等比数列”{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，可得＝2，a2－a1＝1，即数列{an＋1－an}是首项为1，公比为2的等比数列，可得an＋1－an＝2n－1，则a2 025－a2 024＝22 023. 9.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an＋1－3，若Sk≥125，则k的最小值为　6　. 解析：由Sn＝an＋1－3＝Sn＋1－Sn－3，得Sn＋1＋3＝2（Sn＋3），又S1＝a1＝1，所以S1＋3＝4，所以{Sn＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，所以Sn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，Sn＝2n＋1－3，所以Sk＝2k＋1－3≥125，解得k≥6.所以k的最小值为6. 10.（2024·韶关质检）数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1，则a7＝　64　. 解析：当n≥2时，由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1，①，得a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝（n－2）·2n－1＋1，②，①－②，得nan＝[（n－1）·2n＋1]－[（n－2）·2n－1＋1]＝n·2n－1（n≥2），当n＝1时，a1＝1符合上式，所以an＝2n－1，则a7＝64. 11.已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，求{an}的通项公式. 解：当n≥2时，设an＋An＋B＝[an－1＋A（n－1）＋B]，即an＝an－1－An－A－B，与原式比较系数得解得所以an－4n＋6＝[an－1－4（n－1）＋6]， 所以数列{an－4n＋6}是首项为a1－4＋6＝3，公比为的等比数列， 所以an－4n＋6＝3·（）n－1，所以an＝＋4n－6，n∈N*. 12.已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，an＋bn－1＝3（n≥2）. （1）若an＝bn，求{an}的通项公式； （2）若b1＝0，an－1＋bn＝1（n≥2），证明{an}为等差数列，并求{an}和{bn}的通项公式. 解：（1）当an＝bn，n≥2时，an－1＝bn－1， 所以an＋bn－1＝3，即an＝－an－1＋3， 整理得an－＝－（an－1－）， 所以{an－}是以a1－＝为首项，－1为公比的等比数列. 故an－＝×（－1）n－1， 即an＝＋×（－1）n－1. （2）当n≥2时，由an＋bn－1＝3，得an＋1＋bn＝3， 又an－1＋bn＝1， 所以an＋1－an－1＝2（n≥2）. 因为b1＝0，所以a2＝3， 则{a2k－1}是以a1＝2为首项，2为公差的等差数列，a2k－1＝2＋（k－1）×2＝2k，k∈N*； {a2k}是以a2＝3为首项，2为公差的等差数列，a2k＝3＋（k－1）×2＝2k＋1，k∈N*. 综上所述，an＝n＋1. 所以an－an－1＝（n＋1）－n＝1，n≥2， 故{an}是以2为首项，1为公差的等差数列. 当n≥2时，bn＝1－an－1＝1－n，且b1＝0满足bn＝1－n， 所以bn＝1－n. 13.1979年春，美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士，在访问中国科技大学时，向科大少年班学生提出了一个“五猴分桃”的趣题：有五只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分.第二天清晨，第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把桃子分成相等的五份，分完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里，自己拿了五份中的一份走了.第二只猴子来了，它不知道刚才发生的事，也把桃子分成相等的五份，还是多一个，它也扔掉一个，自己拿了一份走了.以后每只猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办法处理.问：原来至少有多少个桃子？最后至少有多少个桃子？ 解：设最初的桃子数为a1，5只猴子分剩的桃子数依次为a2，a3，a4，a5，a6. 由题意得an＋1＝（an－1）－（an－1）＝an－.　（*） 设an＋1＋x＝（an＋x），即an＋1＝an－x， 对照（*）式，得x＝4，即an＋1＋4＝（an＋4）， 所以数列{an＋4}是首项为a1＋4，公比为的等比数列. 所以a6＋4＝（a1＋4）×（）5，所以a6＝（a1＋4）×（）5－4. 由于a6为整数，所以a1＋4的最小值为55，所以a1的最小值为55－4＝3 121. 故原来至少有3 121个桃子，从而最后至少剩下a6＝45－4＝1 020（个）桃子. 4.3.2　等比数列的前n项和公式 新课程标准解读 核心素养 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系 逻辑推理、数学运算 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 数学建模、数学运算 第1课时　等比数列的前n项和公式 　　如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友（称为第1轮传播），每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友（称为第2轮传播），……，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列：1，3，9，27，81，…. 【问题】　如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝　　 Sn＝　　 提醒　求等比数列的前n项和，需对公比分q＝1与q≠1两种情况进行讨论，当q＝1时，应利用公式Sn＝na1求和. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）等比数列前n项和Sn不可能为0.（　×　） （2）若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.（　√　） （3）若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝.（　×　） （4）若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*），则此数列一定是等比数列.（　√　） 2.已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5＝（　　） A.93　　　　B.－93 C.45　　　　D.－45 解析：A　S5＝＝＝93. 3.在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和S10＝（　　） A.2－ B.2－ C.2－ D.2－ 解析：B　易知公比q＝，则S10＝＝2－. 4.（2024·六盘水月考）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为2，且S4＝15，则a1＝　1　. 解析：依题意，a1＋a2＋a3＋a4＝15，故a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15，解得a1＝1. 题型一 等比数列前n项和公式的直接应用 【例1】　求下列等比数列前8项的和： （1），，，…； （2）a1＝27，a9＝，q＜0. 解：（1）因为a1＝，a2＝，可得q＝， 所以S8＝＝. （2）由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8. 又由q＜0，可得q＝－， 所以S8＝＝＝＝. 通性通法 　　求等比数列的前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，注意公比q＝1是否成立. 【跟踪训练】 1.在等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，则S3＝　26　. 解析：S3＝＝26. 2.求数列{（－1）n}的前100项的和. 解：法一　a1＝（－1）1＝－1，q＝－1. ∴S100＝＝0. 法二　数列{（－1）n}为－1，1，－1，1，…， ∴S100＝50×（－1＋1）＝0. 题型二 利用等比数列前n项和公式求基本量 【例2】　在等比数列{an}中， （1）若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； （2）若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q； （3）若a2＝1，a4＝，且an＞0，求S10－S5. 解：（1）由题意知解得从而S5＝＝. （2）由Sn＝得11＝，解得q＝－2，又由an＝a1qn－1得，16＝（－2）n－1，解得n＝5. （3）设等比数列{an}的公比为q（q＞0）， 由a4＝a2q2，得q2＝，解得q＝或q＝－（舍去），则a1＝＝2，所以S10－S5＝－＝. 通性通法 与等比数列前n项和公式有关的基本量的求解 　　在等比数列前n项和公式中，共可涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答. 【跟踪训练】 1.（2024·临沂月考）在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，则此数列的项数为　5　. 解析：设此数列的公比为q（易知q≠1），则解得故此数列共有5项. 2.在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an. 解：设等比数列{an}的公比为q. 由已知条件知S6≠2S3，则q≠1. 由S3＝，S6＝， 得 ②÷①，得1＋q3＝9，∴q＝2. 将q＝2代入①，解得a1＝. 因此an＝a1qn－1＝2n－2. 题型三 利用等比数列前n项和公式判断等比数列 【例3】　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列. 解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n－2）－（3n－1－2）＝2·3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，不适合上式.所以an＝ 法一　由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列. 法二　由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，2≠1，故{an}不是等比数列. 通性通法 　　由Sn＝Aqn＋B（AB≠0，q≠0且q≠1）判断等比数列的注意事项 　　若数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B（AB≠0，q≠0且q≠1），当A＋B＝0时，{an}是等比数列；当A＋B≠0时，{an}不是等比数列. 【跟踪训练】 　等比数列{an}的前n项和Sn＝m·4n－1＋t（其中m，t为常数且mt≠0），则＝　－4　. 解析：法一　a1＝S1＝m＋t，a2＝S2－S1＝3m，a3＝S3－S2＝12m，因为{an}为等比数列，则＝a1a3，所以9m2＝12m（m＋t），即m＝－4t，故＝－4. 法二　Sn＝m·4n－1＋t＝m·4n＋t，因为{an}是等比数列，故m＝－t，则＝－4. 1.数列1，5，52，53，54，…的前10项和为（　　） A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：B　S10＝＝（510－1）. 2.已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝（　　） A.9　　　　　B.8 C.7　　　　　D.6 解析：D　由等比数列前n项和公式，知＝2n＋1－2＝126，n＝6，故选D. 3.若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝　　. 解析：∵Sn＝3n＋1－2k＝3×3n－2k，且{an}为等比数列，∴3－2k＝0，即k＝. 4.（2024·开封月考）数列{an}的通项公式是an＝an（a≠0），则其前n项和为Sn＝. 解析：因为a≠0，an＝an，所以{an}是以a为首项，a为公比的等比数列.当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝. 1.在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于（　　） A.－25　 B.25 C.－31 D.31 解析：D　因为an＋1＝2an，且a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{an}的前5项的和为＝31. 2.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝15，a3＝5，则公比q＝（　　） A.－ B.1 C.－或1 D.或1 解析：C　当q≠1时，∵S3＝15，a3＝5，∴解得q＝－.当q＝1时，{an}为各项均为5的常数列，符合题意. 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，下表给出了Sn的部分数据： n 1 2 3 4 5 6 … Sn －1 － … 则数列{an}的第4项a4＝（　　） A. B. C.－或 D.－或 解析：B　由题意得，在等比数列{an}中，∴a5＝－q4＝－，解得q＝－，∴a4＝－（－）3＝. 4.（2024·福州月考）已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1（a是不为零的常数），则数列{an}（　　） A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或是等差数列，或是等比数列 D.既非等差数列，也非等比数列 解析：C　由Sn＝an－1知，当a＝1时，Sn＝0，此时数列{an}为等差数列（an＝0）.当a≠1时，a1＝a－1，an＝Sn－Sn－1＝（an－1）－（an－1－1）＝an－an－1＝（a－1）an－1，n≥2，n＝1时也符合上式，故数列{an}是首项为a－1，公比为a（a≠1）的等比数列.故选C. 5.（多选）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1≠a2，a3a4＝2a1，a3－a2＝2（a4－a3），则下列结论正确的是（　　） A.q＝ B.a7＝2 C.a8＝8 D.S6＝126 解析：AD　因为等比数列{an}中，a1≠a2，所以q≠1，因为a3·a4＝2a1，a3－a2＝2（a4－a3）＝2q（a3－a2），所以q5＝2a1，且2q＝1，即q＝，A正确；所以a1＝64，a7＝64×＝1，B错误；a8＝a1q7＝64×＝，C错误；S6＝＝126，D正确.故选A、D. 6.（多选）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值确定的是（　　） A. B. C. D. 解析：ABC　由8a2＋a5＝0得8a2＋a2q3＝0，∵a2≠0，∴q3＝－8，∴q＝－2.A中，＝q2＝4；B中，＝＝＝；C中，＝＝＝；D中，＝与n有关，不确定.故选A、B、C. 7.设等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），若a2＝2，a3＝4，则a1＝　1　，S4＝　15　. 解析：因为a2＝2，a3＝4，所以解得所以S4＝＝15. 8.已知数列{an}的前n项和Sn＝（an－1），则数列{an}的通项公式是an＝　　. 解析：Sn＝an－，所以＝，＝，于是a1＝－，q＝－，从而an＝. 9.（2024·宁波月考）一个等比数列的前n项和Sn＝（1－2λ）＋λ·2n，则λ＝　1　. 解析：设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，a1＝S1＝（1－2λ）＋2λ＝1，则Sn＝n，显然与题设不符，∴q≠1，即等比数列不是常数列，∴Sn＝－＝（1－2λ）＋λ·2n，则可得λ＝1. 10.在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. （1）求{an}的通项公式； （2）记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m. 解：（1）设等比数列{an}的公比为q， 由题意得an＝qn－1，q4＝4q2， 解得q＝0（舍去），q＝－2或q＝2. 故an＝（－2）n－1或an＝2n－1. （2）若an＝（－2）n－1，则Sn＝. 由Sm＝63得＝63， 即（－2）m＝－188，此方程没有正整数解. 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m－1＝63，即2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6. 11.（2024·广州月考）已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为（　　） A.或5 B.或5 C. D. 解析：C　设数列{an}的公比为q，由9S3＝S6，得q≠1，则＝，即1＋q3＝9，解得q＝2.所以数列{}是首项为1，公比为的等比数列，则数列{}的前5项和为T5＝＝，故选C. 12.（多选）（2024·云浮月考）已知等比数列{an}是递增数列，其前n项和为Sn，若a2＋a4＝10，a2a3a4＝64，则（　　） A.Sn＋1－Sn＝2n＋1 B.an＝2n－1 C.Sn＝2n－1 D.Sn＝2n－1－1 解析：BC　设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由a2a3a4＝64，得＝43，则a3＝4，由a2＋a4＝10，得＋4q＝10，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.又因为数列{an}是递增数列，所以q＝2，所以2a1＋8a1＝10，解得a1＝1.所以an＝2n－1，Sn＝＝2n－1，所以Sn＋1－Sn＝2n＋1－1－（2n－1）＝2n.故选B、C. 13.等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n＝1，2，3，…），则q的取值范围是　（－1，0）∪（0，＋∞）　. 解析：因为数列{an}为等比数列，Sn＞0，所以a1＝S1＞0，q≠0.当q＝1时，Sn＝na1＞0；当q≠1时，Sn＝＞0，即＞0，所以或所以－1＜q＜1或q＞1.综上，q的取值范围为（－1，0）∪（0，＋∞）. 14.（2024·温州质检）设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列. （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝1－Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）依题意，得2Sn＝an＋1－a1. 当n≥2时，有 两式相减， 得an＋1＝3an（n≥2）. 当n＝1时，a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列. 因此an＝a1·3n－1（n∈N*）. （2）存在.因为Sn＝＝a1·3n－a1，所以bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n. 要使{bn}为等比数列，则1＋a1＝0， 即a1＝－2.此时bn＝3n，符合题意. 15.（2024·厦门质检）设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f（x）·f（y）＝f（x＋y）.若a1＝，an＝f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn＝　1－　. 解析：令x＝n，y＝1，则f（n）·f（1）＝f（n＋1），又an＝f（n），∴＝＝f（1）＝a1＝，∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，∴Sn＝＝1－. 16.将数列{an}中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多一项”的规则排成如下数表. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 … 记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知： ①在数列{bn}中，b1＝1，对于任何n∈N*，都有（n＋1）bn＋1－nbn＝0； ②表中每一行的数从左到右均构成公比为q（q＞0）的等比数列； ③a66＝. 请解答以下问题： （1）求数列{bn}的通项公式； （2）求上表中第k（k∈N*）行所有项的和S（k）. 解：（1）由（n＋1）bn＋1－nbn＝0，得数列{nbn}为常数列，故nbn＝1·b1＝1，∴bn＝. （2）∵3＋4＋…＋11＝63，∴表中第一行至第九行共含有{an}的前63项，a66在表中第十行第三列. 故a66＝b10·q2， 又a66＝，而b10＝，q＞0，∴q＝2. 故S（k）＝＝（2k＋2－1）. 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 　　类比等差数列前n项和的性质，你能得出等比数列{an}前n项和的哪些性质？ 【问题】　（1）当Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等比数列吗？ （2）若Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列，那么该数列的公比与原等比数列{an}的公比有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　等比数列前n项和的性质 　设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，则： （1）当Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列（公比为qm，m≥2）； （2）当n是偶数时，＝q；当n是奇数时，S奇＝a1＋qS偶，即＝q； （3）当q＝1时，＝；当q≠±1时，＝； （4）Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm. 1.等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是　28　. 解析：易知Sm＝4，S2m－Sm＝8，∴S3m－S2m＝16，∴S3m＝12＋16＝28. 2.等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝　2　. 解析：由题意，得解得∴公比q＝＝＝2. 题型一 等比数列前n项和的性质 角度1　与“片段和”相关的性质 【例1】　（1）等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4＝（　　） A.28　　　 B.32　　　 C.21　　　 D.28或－21 （2）（2024·洛阳月考）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则 ＝（　　） A. B. C. D. 答案：（1）A　（2）D 解析：（1）∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，∴（S4－7）2＝7（91－S4），解得S4＝28或S4＝－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝（a1＋a2）（1＋q2）＝S2（1＋q2）＞S2，∴S4＝28. （2）∵{an}是等比数列，∴S5，S10－S5，S15－S10也成等比数列.∵＝，∴设S5＝2k（k≠0），则S10＝k，∴S10－S5＝－k，∴S15－S10＝，∴S15＝，∴＝＝. 通性通法 等比数列{an}“片段和”的性质 （1）正确理解等比数列“片段和”性质的含意，即当q≠－1时，连续m项的和Sm，S2m－Sm，S3m－S2m（或a1＋a2＋…＋am，am＋1＋am＋2＋…＋a2m，a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m）成等比数列； （2）正确区分“片段和”Sm，S2m，S3m所具有的性质与上述性质的不同，即＋＝Sm·S2m＋Sm·S3m. 角度2　与“奇、偶和”相关的性质 【例2】　一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式. 解：设数列为{an}，首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶. ∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝＝. 又a1·a1q·a1q2＝64，∴·q3＝64，即a1＝12. 故所求通项公式为an＝12×，n∈N*. 通性通法 　　灵活应用等比数列的项的个数的奇偶性质以及对应的奇数项与偶数项的和与公比的关系解题，注意数列求和的关键是确定首项、公比和项数. 【跟踪训练】 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝（　　） A.32　　　　　　　　 B.64 C.72 D.216 解析：B　由于S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其公比为2，所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64. 2.已知等比数列{an}的公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝　120　. 解析：因为在等比数列中，若项数为2n，则＝q，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝（a1＋a3＋a5＋…＋a99）＋（a2＋a4＋a6＋…＋a100）＝（a1＋a3＋a5＋…＋a99）＋（a1＋a3＋a5＋…＋a99）＝90＋×90＝120. 题型二 等比数列前n项和公式的实际应用 【例3】　（2024·济宁月考）某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门于2023年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则 （1）该市在2029年应该投入电力型公交车多少辆？ （2）到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？ 解：（1）每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝. 所以2029年应投入的数量为a7＝a1q6＝128×（）6＝1 458（辆）. 故该市在2029年应该投入1 458辆电力型公交车. （2）设{an}的前n项和为Sn， 则Sn＝＝256×［（）n－1］， 由Sn＞（10 000＋Sn）×，即Sn＞5 000，解得n≥8. 所以该市到2030年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的. 通性通法 解答数列应用问题的方法 （1）判断、建立数列模型：①变化“量”是同一个常数：等差数列；②变化“率”是同一个常数：等比数列； （2）提取基本量：从条件中提取相应数列的基本量a1，q（d），n，an，Sn，列出方程（组）求解. 【跟踪训练】 如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，记第n个正方形的面积为an，数列{an}的前n项和为Sn.求{an}的通项公式及S2 024. 解：记第n个正方形的边长为bn， 由题意可知＝2×（）2＝， 则an＝an－1， 所以数列{an}是以a1＝4为首项，以q＝为公比的等比数列， 即an＝4×（）n－1＝23－n. S2 024＝＝8×（1－）＝8－. 1.（2024·苏州月考）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 012，偶数项之和为2 024，则这个数列的公比为（　　） A.8　　　　B.－2　　　C.4　　　　D.2 解析：D　由＝q，可知q＝2. 2.在等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝（　　） A.2n－1 B. C. D. 解析：B　由a1a2a3＝1得a2＝1，又a4＝4，故q2＝4，a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝. 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝1，S4＝4，则a7＋a8＝（　　） A.40 B.30 C.27 D.9 解析：C　由于{an}是等比数列，所以S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6也成等比数列，其中S2＝1，S4－S2＝3，所以S6－S4＝3×3＝9，S8－S6＝9×3＝27，所以a7＋a8＝S8－S6＝27. 4.（2024·徐州月考）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是　3　. 解析：设顶层的灯数是a1，则每一层灯数形成以a1为首项，以2为公比的等比数列，设为{an}，由题可得S7＝＝381，解得a1＝3，故塔的顶层的灯数是3. 1.设f（n）＝2＋24＋27＋…＋23n＋1（n∈N*），则f（n）＝（　　） A.（8n－1） B.（8n＋1－1） C.（8n＋2－1） D.（8n＋3－1） 解析：B　f（n）＝2＋24＋27＋…＋23n＋1＝＝（8n＋1－1）. 2.已知数列{an}为等比数列，且q＝2，S4＝1，则S8＝（　　） A.15 B.17 C.19 D.21 解析：B　法一　因为q＝2，S4＝1，所以S4＝＝＝1，解得a1＝，所以S8＝＝＝17.故选B. 法二　由题意得S8＝（a1＋a2＋a3＋a4）＋（a5＋a6＋a7＋a8）＝S4＋q4（a1＋a2＋a3＋a4）＝S4（1＋q4）＝17. 3.已知等比数列{an}共有32项，其公比q＝3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{an}的所有项之和是（　　） A.30 B.60 C.90 D.120 解析：D　设等比数列{an}的奇数项之和为S1，偶数项之和为S2，则S1＝a1＋a3＋a5＋…＋a31，S2＝a2＋a4＋a6＋…＋a32＝q（a1＋a3＋a5＋…＋a31）＝3S1，又S1＋60＝S2，则S1＋60＝3S1，解得S1＝30，S2＝90，故数列{an}的所有项之和是30＋90＝120.故选D. 4.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝6，S3n＝14，则S4n－Sn＝（　　） A.18 B.20 C.24 D.28 解析：D　由等比数列的性质，知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n构成等比数列，设Sn＝x，则x，6－x，14－6构成等比数列，可得（6－x）2＝8x，即x2－20x＋36＝0，解得x＝2或x＝18（舍去）.从而Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n是以2为首项，＝＝2为公比的等比数列，则S4n－S3n＝24＝16，故S4n＝30，所以S4n－Sn＝30－2＝28. 5.（多选）（2024·焦作月考）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第六天被截取剩下的一半剩下a6尺，则（　　） A.a6＝ B.＝8 C.a5＋a6＝ D.a1＋a2＋…＋a6＝ 解析：BD　依题意可知，a1，a2，a3，…成等比数列，且首项与公比均为，则a6＝（）6＝，＝8，a5＋a6＝，a1＋a2＋…＋a6＝，故选B、D. 6.（多选）设等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列数列一定是等比数列的有（　　） A.a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，… B.a1＋a3，a3＋a5，a5＋a7，… C.S2，S4－S2，S6－S4，… D.S3，S6－S3，S9－S6，… 解析：BD　设数列{an}的公比为q，q≠0，对于A和C，都有首项a1＋a2＝a1（1＋q），当q＝－1时，a1＋a2＝0，不满足等比数列，故A、C错误；对于B，a1＋a3＝a1（1＋q2）≠0，且＝＝q2，同理＝q2，故数列a1＋a3，a3＋a5，a5＋a7，…为等比数列，故B正确；对于D，S3＝a1＋a2＋a3＝a1（1＋q＋q2）≠0，且＝q3，＝q3，故数列S3，S6－S3，S9－S6，…为等比数列，故D正确.故选B、D. 7.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）为　6　. 解析：由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝（2n＋1－2）棵，令2n＋1－2≥100，则2n＋1≥102，又26＝64，27＝128，且y＝2x＋1是增函数，所以n≥6，即n的最小值为6. 8.（2024·舟山月考）在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝　－2　，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝　2n－1－　. 解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2.等比数列{｜an｜}的公比为｜q｜＝2，则｜an｜＝×2n－1，所以｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝（1＋2＋22＋…＋2n－1）＝（2n－1）＝2n－1－. 9.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30－（210＋1）S20＋S10＝0，则公比q＝　　. 解析：由210S30－（210＋1）S20＋S10＝0，得210（S30－S20）＝S20－S10.又S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，∴＝q10＝（）10.又{an}为正项等比数列，∴q＝. 10.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2024年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. （1）以2024年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式； （2）国家计划10年后终止该矿区的出口，问2024年最多出口多少吨？（0.910≈0.35，保留一位小数） 解：（1）由题意知每年的出口量构成等比数列{an}，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a·0.9n－1. （2）10年的出口总量S10＝＝10a（1－0.910）. ∵S10≤80，∴10a（1－0.910）≤80， 即a≤， ∴a≤12.3.故2024年最多出口12.3吨. 11.（2024·龙岩质检）Sn是公比不为1的等比数列{an}的前n项和，S9是S3和S6的等差中项，则＝（　　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：A　设等比数列{an}的公比为q（q≠1），因为S9是S3和S6的等差中项，得S3＋S6＝2S9，所以＋＝2，整理得q3（2q6－q3－1）＝0，即2q6－q3－1＝0，即（2q3＋1）·（q3－1）＝0，解得q3＝－，则q6＝，所以＝·＝＝1＋q6＝1＋＝. 12.（2024·清远质检）等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，记这个等比数列前n项的积为Tn（n≥2），则Tn的最大值为（　　） A.　　　　B. C.1　　　　D.2 解析：D　设共有（2m＋1）项，由题意知S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q（a2＋a4＋…＋a2m）＝2＋q＝，故q＝.故Tn＝a1a2…an＝q1＋2＋…＋（n－1）＝2n×＝，当n＝1或2时，Tn的最大值为2. 13.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为　2　. 解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.∵＝＝qm＝8＝，∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2. 14.已知数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝3（n∈N*）. （1）求a2及an； （2）若Sn满足＞，求n的值. 解：（1）由2an＋1＋Sn＝3，得2a2＋a1＝3. 因为a1＝，所以a2＝. 由2an＋1＋Sn＝3，2an＋Sn－1＝3（n≥2）， 得＝.又＝，所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列. 故an＝·（）n－1＝3·（）n（n∈N*）. （2）由（1）可得Sn＝＝3［1－（）n］， 所以S2n＝3［1－（）2n］，所以＝1＋（）n. 令1＋（）n＞，得（）n＞，即2n＜63，且n∈N*，故n的值可以为1，2，3，4，5. 15.（多选）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a7a8＞1，＜0.则下列结论正确的是（　　） A.0＜q＜1 B.a7a9＜1 C.Tn的最大值为T7 D.Sn的最大值为S7 解析：ABC　∵a1＞1，a7a8＞1，＜0，∴a7＞1，0＜a8＜1，∴0＜q＜1，故A正确；又a7a9＝＜1，故B正确；C中，T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确；D中，∵a7＞1，0＜a8＜1，Sn的最大值不是S7，故D不正确.故选A、B、C. 16.等比数列{an}的公比q≠1，Sn，S2n，S3n分别表示前n项和，前2n项和，前3n项和.求证：＋＝SnS2n＋SnS3n. 证明：∵Sn＝，S2n＝，S3n＝， ＝（）2（1－2qn＋q2n），＝（）2（1－2q2n＋q4n）， ∴＋＝（）2（2－2qn－q2n＋q4n）， SnS2n＋SnS3n＝（）2[（1－qn－q2n＋q3n）＋（1－qn－q3n＋q4n）]＝（）2（2－2qn－q2n＋q4n）， ∴＋＝SnS2n＋SnS3n. 培优课 数列前n项和的求法 题型一 并项转化法求和 【例1】　已知数列an＝（－1）nn，求数列{an}的前n项和Sn. 解：若n是偶数，则Sn＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋（－5＋6）＋…＋[－（n－1）＋n]＝. 若n是奇数，则Sn＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋（－5＋6）＋…＋[－（n－2）＋（n－1）]＋（－n）＝－n＝－. 综上所述，Sn＝ 通性通法 并项转化法求和的解题策略 （1）一般地，当数列中的各项正负交替，且各项的绝对值成等差数列时，可以采用并项转化法求和； （2）在利用并项转化法求和时，因为数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用分段形式来表示. 【跟踪训练】 若数列{an}的通项公式是an＝（－1）n＋1·（3n－2），则a1＋a2＋…＋a2 024＝（　　） A.－3 027 B.3 027 C.－3 036 D.3 036 解析：C　S2 024＝（1－4）＋（7－10）＋…＋（6 067－6 070）＝1 012×（－3）＝－3 036. 题型二 分组转化法求和 【例2】　若数列{an}满足an＝则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝　107　.（用具体数值作答） 解析：由题意可得：a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1＋2＋5＋22＋…＋17＋25＝（1＋5＋…＋17）＋（2＋22＋…＋25）＝＋＝45＋62＝107. 通性通法 分组求和的适用题型 　　一般情况下，形如cn＝an±bn，其中数列{an}与{bn}一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列{cn}的前n项和，分别利用等差数列和等比数列前n项和公式求和即可. 【跟踪训练】 　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2Sn＋1，其中Sn为{an}的前n项和，n∈N*. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设{bn－an}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：（1）当n＝1时，a2＝2a1＋1＝3.当n≥2时，an＝2Sn－1＋1，则an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，且a2＝3a1.故{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3n－1. （2）由题意bn－an＝1＋2（n－1）＝2n－1，所以bn＝3n－1＋2n－1，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝（30＋31＋…＋3n－1）＋（1＋3＋…＋2n－1）＝＋n2＝＋n2. 题型三 裂项相消法求和 【例3】　已知各项均为正数的等差数列{an}满足a1＝1，＝＋2（an＋1＋an）. （1）求{an}的通项公式； （2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：（1）各项均为正数的等差数列{an}满足a1＝1，＝＋2（an＋1＋an）， 整理得（an＋1＋an）（an＋1－an）＝2（an＋1＋an）， 由于an＋1＋an≠0，所以an＋1－an＝2， 故数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1. （2）由（1）可得bn＝＝＝， 所以Sn＝×（－1＋－＋…＋－）＝（－1）. 通性通法 1.裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项与消项. （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止； （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 2.裂项时常用的三种变形 （1）＝（－）（k≠0）； （2）＝（－）； （3）＝（－）（k≠0）. 【跟踪训练】 求数列an＝的前n项和. 解：由an＝， 设2n＋3＝m，则an＝＝（－）， 即an＝（－）， 所以Sn＝［（－）＋（－）＋…＋（－）］＝. 题型四 错位相减法求和 【例4】　求an＝的前n项和. 解：由an＝，则其前n项和Tn＝＋＋＋…＋，　① Tn＝＋＋＋…＋＋，　② ①－②得Tn＝＋＋＋…＋－， 即Tn＝－＝－， 整理得Tn＝－. 通性通法 错位相减法的使用范围和注意事项 （1）使用范围：如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法； （2）注意事项：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式. 【跟踪训练】 　已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12. （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：（1）设数列{an}的公差为d， ∵a1＋a3＝2a2，∴a2＝4. 又a1＝2，∴d＝4－2＝2. ∴an＝2n，n∈N*. （2）由bn＝an·3n＝2n·3n，得 Sn＝2·3＋4·32＋…＋（2n－2）·3n－1＋2n·3n，　① 3Sn＝2·32＋4·33＋…＋（2n－2）·3n＋2n·3n＋1，　② ①－②得－2Sn＝2（3＋32＋33＋…＋3n）－2n·3n＋1 ＝3（3n－1）－2n·3n＋1， ∴Sn＝＋n·3n＋1，n∈N*. 1.求值：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2 021－2 023＝（　　） A.－2 024 B.－1 012 C.－506 D.1 012 解析：B　1－3＋5－7＋9－11＋…＋2 021－2 023＝（1－3）＋（5－7）＋（9－11）＋…＋（2 021－2 023）＝－2×506＝－1 012. 2.数列an＝2n＋n的前n项和为（　　） A.2n－2＋ B.2n＋1－2＋ C.2n＋1－2＋ D.2n－2＋ 解析：C　由an＝2n＋n，所以Sn＝（2＋22＋…＋2n）＋（1＋2＋…＋n）＝2n＋1－2＋. 3.化简Sn＝n＋（n－1）×2＋（n－2）×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是（　　） A.2n＋1＋n－2 B.2n＋1－n＋2 C.2n－n－2 D.2n＋1－n－2 解析：D　Sn＝n＋（n－1）×2＋（n－2）×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，①，2Sn＝n×2＋（n－1）×22＋（n－2）×23＋…＋2×2n－1＋2n，②，②－①得，Sn＝－n＋2＋22＋…＋2n－1＋2n＝－n＋＝－n＋2n＋1－2＝2n＋1－n－2. 4.已知数列{an}中，an＝，则此数列的前8项和为　　　. 解析：an＝＝－，{an}的前8项和为（－）＋（－）＋…＋（－）＝－＝. 1.数列an＝的前10项和S10＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　因为an＝＝（－），所以Sn＝（1－＋－＋－＋…＋－）＝（1－），所以S10＝（1－）＝. 2.数列an＝4n－1＋n的前n项和Sn＝（　　） A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 解析：B　Sn＝（40＋1）＋（41＋2）＋…＋（4n－1＋n）＝（40＋41＋…＋4n－1）＋（1＋2＋…＋n）＝＋. 3.数列{an}的通项公式为an＝（－1）n－1·（4n－3$ 4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与简单表示 知识点一　数列的概念 1.定义：按照确定的　　　排列的一列数称为数列. 2.项：数列中的　　　　　　叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号　　　表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用　　　表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用　　　表示.其中第1项也叫做　　　. 3.记法：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}. 提醒　（1）概念中的“一列数”，即不止一个数；（2）数列中的数是有顺序的，如1，2，3与1，3，2代表不同的数列；（3）同一个数在一个数列中可以重复出现，如1，1，1，1，…；（4）数列{an}与an是不同的.{an}表示数列：a1，a2，a3，…，an，….an表示数列{an}中的第n项. 知识点二　数列的分类 1.按项的个数分类 类别 含义 有穷数列 项数　　　的数列 无穷数列 项数　　　的数列 2.按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都　　　它的前一项的数列，即an＋1－an＞0（n∈N*） 递减数列 从第2项起，每一项都　　　它的前一项的数列，即an＋1－an＜0（n∈N*） 常数列 各项都　　　的数列，即an＋1－an＝0（n∈N*） 周期数列 项呈现周期性变化 知识点三　数列的通项公式 　如果数列{an}的第n项an与它的　　　　之间的对应关系可以用　　　　　来表示，那么这个　　　叫做这个数列的通项公式. 提醒　（1）并不是所有的数列都有通项公式；（2）数列的通项公式的形式可以不唯一.例如数列－1，1，－1，1，－1，1，…的通项公式可以写成an＝（－1）n，an＝（－1）n－2，an＝cos nπ等. 知识点四　数列与函数的关系 　从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，它们的关系如下表： 定义域 正整数集N*（或其有限子集{1，2，…，n}） 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值 表示方法 （1）通项公式（解析法）；（2）列表法；（3）图象法 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）1，0，1，0是一个数列.（　　） （2）数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}.（　　） （3）如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.（　　） （4）数列4，7，3，4的首项是4.（　　） 2.数列3，4，5，6，…的一个通项公式为（　　） A.an＝n，n∈N* B.an＝n＋1，n∈N* C.an＝n＋2，n∈N* D.an＝2n，n∈N* 3.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（　　） A.1，，，，… B.－1，－2，－3，－4 C.－1，－，－，－，… D.1，，，…， 4.已知数列{an}的通项公式是an＝2n－1，则a8＝　　　　. 　题型一 数列的概念与分类 【例1】　（1）下列各项表示数列的是（　　） A.△，○，☆，□ B.2 008，2 009，2 010，…，2 024 C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D.a＋b，a－b，a·b，λa （2）下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（　　） A.1，2，3，…，20 B.sin，sin，sin，sin，… C.1，2，3，2，5，6，… D.－1，0，1，2，…，100，… 通性通法 数列的判定方法及其分类 （1）判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数； （2）判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数是有限的还是无限的. 【跟踪训练】 1.（多选）下面四个结论中正确的是（　　） A.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 B.数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 C.数列的项数是无限的 D.数列的通项公式是唯一的 2.给出下列数列： ①1，2，22，23，24，…，263； ②－，－，－，…，－，…； ③1，2，3，…，10 000； ④－1，1，－1，1，－1，1，…； ⑤1，2，3，5，8，13，21，…； ⑥，，，，…. 其中，　　　　为有穷数列，　　　　为无穷数列，　　　　为递增数列，　　　　为递减数列，　　　　为常数列. 题型二 数列的表示方法 【例2】　写出下列数列的前5项，并画出它们的图象： （1）按从小到大的顺序排列的所有素数构成的数列； （2）an＝－n＋1. 通性通法 1.列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系. 2.图象法表示数列时，数列的图象是以（n，an）为坐标的一系列孤立的点. 【跟踪训练】 某种练习本单价5元，小王买了n本（n∈N*，n≤5）该练习本，记an为买n本的总价，试用三种方法来表示数列{an}. 题型三 由数列的前几项写出数列的通项公式 【例3】　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）3，5，7，9，…； （2），，，，，…； （3）9，99，999，9 999，…； （4）－1，，－，，…. 通性通法 根据数列的前几项求其通项公式的方法 （1）先统一各项的结构，如都化成分数、根式等； （2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式； （3）对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用（－1）n或（－1）n＋1处理； （4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 【跟踪训练】 　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）2×3，3×4，4×5，5×6，…； （2）1，2，3，4，…； （3）3，33，333，3 333，…； （4）－1，0，－1，0，…. 题型四 数列中项的求解与判断 【例4】　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. （1）写出数列的第4项和第6项； （2）－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？ （3）数列{an}中有多少个负数项？ 通性通法 求项或判断某数是否为数列的项的方法 （1）如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以求出数列中的指定项； （2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值.若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项. 【跟踪训练】 1.数列{an}中，若an＝，则a4＝　　　. 2.（2024·日照月考）已知数列{}，则0.98是它的第　　　　项. 1.下列说法正确的是（　　） A.{0，1，2，3，4，5}是有穷数列 B.所有正整数构成的数列是无穷数列 C.数列2，5，7，8和数列5，2，7，8是同一数列 D.数列1，2，3，4，…，n是无穷数列 2.（2024·徐州月考）已知数列－1，0，，，…，，…，则是其（　　） A.第14项 B.第12项 C.第10项 D.第8项 3.数列－1，，－，，－，…的一个通项公式an＝　　　　. 4.已知数列{an}的通项公式是an＝n2－pn＋q，且a1＝0，a2＝－4. （1）求a5； （2）150是不是该数列中的项？若是，是第几项？ 第2课时　数列的递推公式 知识点一　数列的递推公式 如果一个数列的　　　两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 提醒　对数列递推公式的再理解：①与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式；②给出了数列的递推公式和首项（或前几项），就可以求出数列中的任意一项. 知识点二　数列的前n项和 1.数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作　　　，即Sn＝　　　　　　. 2.数列{an}的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和　　　与它的　　　之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 3.an与Sn的关系 an＝ 提醒　在应用数列的前n项和公式求通项时，往往容易忽略验证n＝1时的情况，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N*，则a2＝2a1.（　　） （2）利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}.（　　） （3）递推公式是表示数列的一种方法.（　　） （4）S2n表示数列{an}中所有偶数项的和.（　　） 2.符合递推关系式an＝2an－1的数列是（　　） A.1，2，3，4，… B.1，2，4，8，… C.，2，，2，… D.0，，2，2，… 3.已知数列{an}的首项a1＝1，且an＝2an－1＋1（n≥2），则a5＝（　　） A.7 B.15 C.30 D.31 4.（2024·宁波月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n－1，则a8＝　　　　. 题型一 由递推公式求数列中的项 【例1】　已知数列{an}中，a1＝1，且满足an＝3an－1＋（n∈N*，且n＞1），写出数列{an}的前5项. 通性通法 由递推公式写出数列的项的方法 （1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可； （2）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如 an＝2an＋1＋1. 【跟踪训练】 1.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，则a5＝（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知数列{an}满足an＋1＝，a5＝2，则a1＝　　　　. 题型二 由递推公式求数列的通项公式 【例2】　（1）（2024·厦门月考）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an＝（　　） A. B. C. D. （2）（2024·深圳月考）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an（n∈N*），则an＝（　　） A.n＋1 B.n C. D. 通性通法 由递推公式求通项公式的常用方法 （1）归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式； （2）迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f（n）（f（n）是可以求和的），使用累加法或迭代法； ②an＋1＝pan（p为非零常数），或an＋1＝f（n）an（f（n）是可以求积的），使用累乘法或迭代法. 【跟踪训练】 1.已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－（n≥2），求an. 2.已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1（n≥2），求an. 题型三 利用Sn与an的关系求通项公式 【例3】　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an. 通性通法 由Sn求通项公式an的步骤 （1）当n＝1时，a1＝S1； （2）当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1； （3）如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；否则数列{an}的通项公式要分段表示为an＝ 【跟踪训练】 1.已知数列{an}的前n项和Sn＝，则a5＝（　　） A. B. C. D. 2.（2024·泉州月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，求an. 　　 1.已知数列{an}中首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第三项是（　　） A.1 B. C. D. 2.已知数列{an}满足a1＝1， －＝1，则a10＝（　　） A.10 B.20 C.100 D.200 3.若数列{an}满足（n－1）an＝（n＋1）an－1（n≥2，n∈N*），且a1＝1，则a100＝　　　　. 4.已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式： （1）Sn＝3n＋2； （2）Sn＝n2－n. 培优课　数列的函数特征 　　 题型一 数列的周期性 【例1】　数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a20＝（　　） A. B.－1 C.2 D.1 通性通法 利用数列的周期性求数列中某一项的步骤 （1）根据已知的数列的递推公式，写出数列的前几项，观察项与项之间的关系直至出现重复的项； （2）确定该数列的周期；（3）利用周期性求出要求的项. 【跟踪训练】 （2024·临沂质检）数列{an}满足a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则＝　　　　. 题型二 数列的单调性及其应用 角度1　数列单调性的判断 【例2】　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－n（n∈N*），判断该数列的单调性. 通性通法 解决数列的单调性问题的两种方法 （1）作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列； （2）作商比较法：根据（an＞0或an＜0）与1的大小关系进行判断. 角度2　数列单调性的应用 【例3】　（2024·福州质检）已知数列{an}的通项公式为an＝（n＋1）·（）n（n∈N*），试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由. 通性通法 求数列最大项与最小项的常用方法 （1）函数法：利用相关的函数求最值.若能借助表达式观察出单调性，直接确定最大（小）项，否则，利用作差法； （2）利用（n≥2）确定最大项，利用（n≥2）确定最小项. 【跟踪训练】 1.若数列{an}的通项公式为an＝，则此数列是（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.以上都不是 2.已知数列{an}的通项公式为an＝n－7，则数列{nan}的最小项为第　　　　项. 1.已知数列{an}满足an＞0，且an＋1＝an，则数列{an}是（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.以上都不是 2.已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 025＝（　　） A.－1 B. C.1 D.2 3.数列{－2n2＋29n＋3}中最大的项是（　　） A.107 B.108 C.108 D.109 4.（2024·新乡质检）已知数列{an}中， an＝k·，若{an}是递增数列，试求实数k的取值范围. 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 知识点一　等差数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第　　　项起，每一项与它的　　　　的差都等于　　　　　　，那么这个数列就叫做等差数列，这个　　　　叫做等差数列的公差，公差通常用字母　　　表示 符号语言 an＋1－an＝d（d为常数，n∈N*） 提醒　对等差数列概念的再理解：①“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；②“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：（ⅰ）作差的顺序；（ⅱ）这两项必须相邻；③定义中的“同一个常数”是指全部的后一项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列. 知识点二　等差中项 1.条件：如果三个数a，A，b成　　　　数列. 2.结论：那么A叫做a与b的等差　　　　. 3.满足的关系式：2A＝　　　　. 【想一想】 　任何两个数都有等差中项吗？ 知识点三　等差数列的通项公式 　首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝　　　　　　. 提醒　由等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d可得an＝dn＋（a1－d），如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数.当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）数列4，4，4，…是等差数列.（　　） （2）数列{an}的通项公式为an＝则{an}是等差数列.（　　） （3）若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（　　） （4）若三个数a，b，c满足a＋c＝2b，则a，b，c一定是等差数列.（　　） 2.2与8的等差中项是（　　） A.－5 B.5 C.4 D.±4 3.已知数列是等差数列，且a1＝2，a3＝6，则该等差数列的公差d＝（　　） A. B.1 C. D.2 4.已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是（　　） A.1，4　B.－1，－4 C.4，1　D.－4，－1 　 题型一 等差数列的概念 【例1】　（多选）下列数列是等差数列的是（　　） A.an＝－2n＋3（n∈N*） B.4，7，10，13，16 C.，，1，， D.－3，－2，－1，1，2 通性通法 利用定义判断等差数列的策略 　　从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列. 【跟踪训练】 　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d. （1）1，3，5，7，9，…；（2）9，6，3，0，－3，…； （3）1，3，4，5，6，…；（4）7，7，7，7，7，…； （5）1，，，，，…. 题型二 等差中项及应用 【例2】　（1）已知a＋3是2a－1和2a＋1的等差中项，则3a－5和4a＋6的等差中项为　　　　； （2） （2024·洛阳月考）已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为　　　　. 通性通法 等差中项的应用策略 （1）求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝； （2）证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列. 【跟踪训练】 1.若a＝，b＝，则a，b的等差中项为（　　） A. B. C. D. 2.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 题型三 等差数列通项公式的应用 角度1　等差数列基本量的计算 【例3】　在等差数列{an}中. （1）已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； （2）已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. 角度2　等差数列通项公式的应用 【例4】　已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 通性通法 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可； （2）等差数列{an}的通项公式an＝a1＋（n－1）d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项公式求出第四个参数，即“知三求一”. 【跟踪训练】 1.2 024是等差数列4，6，8，…的（　　） A.第1 009项 B.第1 010项 C.第1 011项 D.第1 012项 2.在等差数列{an}中， （1）已知a4＝10，a14＝70，则an＝　　　　； （2）已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝　　　　； （3）已知{an}的前3项依次为2，6，10，则a15＝　　　　. 1.下列数列是等差数列的是（　　） A.，， B.lg 5，lg 6，lg 7 C.1，， D.2，3，5 2.（2024·扬州月考）已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（　　） A.2　　　　B.3 C.6　　　　D.9 3.已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项为　　　　. 4.在等差数列{an}中， （1）已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an； （2）已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n. 第2课时　等差数列的判定及性质 知识点　等差数列项的运算性质 　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 （1）an＝am＋　　　　d，d＝（m，n∈N*，且m≠n）； （2）若m＋n＝s＋t，则am＋an＝　　　　； 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap（m，n，s，t，p∈N*）； （3）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的　　　，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…； （4）下标成等差数列的项ak，ak＋m，ak＋2m，…组成以　　　为公差的等差数列. 【想一想】 1.若{an}为等差数列，且m＋n＝p（m，n，p∈N*），则am＋an＝ap一定成立吗？ 2.在等差数列{an}中，若m，n，p，q，…成等差数列，那么am，an，ap，aq，…也成等差数列吗？若成等差数列，公差是什么？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.（　　） （2）若a，b，c成等差数列，则a＋k，b＋k，c＋k也成等差数列.（　　） （3）若{an}是等差数列，则{｜an｜}也是等差数列.（　　） 2.等差数列{an}中，a1＋a11＝10，a8＝6，则公差d＝（　　） A.　　　 B.　　　 C.2　　　 D.－ 3.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝（　　） A.5 B.8 C.10 D.14 　　 题型一 等差数列的判定与证明 【例1】　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，设bn＝，n∈N*.求证：数列{bn}是等差数列. 通性通法 判断一个数列是否为等差数列的方法 （1）定义法：an＋1－an＝d（n∈N*）或an－an－1＝d（n≥2，n∈N*）⇔数列{an}为等差数列； （2）等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）⇔数列{an}为等差数列； （3）通项公式法：数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q（p，q为常数）⇔数列{an}为等差数列. 提醒　要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可. 【跟踪训练】 　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝（λ－3）an＋2n（n∈N*）.是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求出其通项公式；若不存在，说明理由. 题型二 等差数列的性质 角度1　an＝am＋（n－m）d的应用 【例2】　在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式. 通性通法 　　灵活利用等差数列通项公式的变形，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋（n－m）d即变为an＝a1＋（n－1）d，可以减少记忆负担. 角度2　等差数列性质的应用 【例3】　（1）在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝（　　） A.45 B.50 C.75 D.60 （2）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝（　　） A.12 B.8 C.6 D.4 通性通法 等差数列运算的两种常用方法及思路 （1）基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程（组），确定a1，d，然后求其他量； （2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r（m，n，p，q，r∈N*），则am＋an＝ap＋aq＝2ar. 【跟踪训练】 1.已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15＝（　　） A.7 B.14 C.21 D.7（n－1） 2.（2024·汕头月考）已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝　　　　. 题型三 由等差数列衍生的新数列 【例4】　（1）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{dan}是（　　） A.公差为d的等差数列 B.公差为2d的等差数列 C.公差为d2的等差数列 D.公差为4d的等差数列 （2）若等差数列{an}的公差为d，则a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的公差为　　　. 通性通法 由等差数列衍生的新数列 若{an}，{bn}分别是公差为d，d'的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列（c为任一常数） {c·an} 公差为cd的等差数列（c为任一常数） {an＋an＋k} 公差为kd的等差数列（k为常数，k∈N*） {pan＋qbn} 公差为pd＋qd'的等差数列（p，q为常数） 【跟踪训练】 　（2024·江门月考）设数列{an}，{bn}都是等差数列.若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝　　　　. 1.在等差数列{an}中，已知a2＝3，a5＝15，则此数列的通项公式an＝（　　） A.n－5 B.n＋5 C.4n－5 D.4n＋5 2.由公差d≠0的等差数列{an}组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是（　　） A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 3.已知数列{an}，满足a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3（n≥2，n∈N*），试判断数列{an}是否是等差数列. 第3课时　等差数列的综合应用 　 题型一 等差数列与一次函数的关系 【例1】　（2024·青岛月考）在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，已知an＝pn＋q（p，q为常数），则a2 024＝（　　） A.4 046 B.4 047 C.4 048 D.4 049 通性通法 利用一次函数的性质解等差数列问题的思路 （1）若d＞0，则该数列为递增数列，若d＝0，则该数列为常数列，若d＜0，则该数列为递减数列； （2）由等差数列与一次函数的关系知等差数列的图象是直线上的孤立的点，且任意两点连线的斜率为直线的斜率，即点（n，an）（n∈N*）共线且＝d（d为等差数列的公差）. 【跟踪训练】 1.已知（1，3），（3，－1）是等差数列{an}图象上的两点，若5是p，q的等差中项，则ap＋aq＝　　　　. 2.已知等差数列{an}中，a3＝3，＝. （1）求{an}的通项公式； （2）判断{an}的单调性. 题型二 等差数列中项的设法 【例2】　（1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； （2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数. 通性通法 等差数列的设项方法和技巧 （1）当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程（组）求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式； （2）当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、……，可同理设出； （3）当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、……，可同理设出. 【跟踪训练】 　已知成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数的积为40，求这四个数. 题型三 等差数列的实际应用 【例3】　某公司2023年经销一种数码产品，获利200万元，从2024年起，预计其利润每年比上一年减少20万元.按照这一规律，如果该公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将出现亏损？ 通性通法 解决等差数列实际应用问题的步骤 提醒　在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题. 【跟踪训练】 　（2024·无锡月考）《周髀算经》中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为（　　） A.12.5尺 B.10.5尺 C.15.5尺 D.9.5尺 1.已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线斜率为（　　） A.4 B. C.－4 D.－ 2.体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数.如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，则队伍里一共有　　　　人. 3.已知单调递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝－4则an＝　　　　. 4.已知三个数成等差数列，它们的和为9，它们的平方和为59，求这三个数的积. 4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 知识点　等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 Sn＝　　　 Sn＝　　　 提醒　等差数列{an}的求和公式Sn＝与梯形面积公式S梯形＝类似，可对比记忆为上底是“a1”，下底是“an”，高是“n”. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法.（　　） （2）若数列{an}的前n项和Sn＝kn（k∈R），则{an}为常数列.（　　） （3）等差数列的前n项和等于其首项、第n项的等差中项的倍.（　　） 2.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－2，则前10项和S10＝（　　） A.－20 B.－40 C.－60 D.－80 3.已知数列{an}为等差数列，若a1＝15，a5＝25，则S5＝　　　　. 4.等差数列{an}中，若a1＝－1，S25＝30，则公差d＝　　　　. 题型一 等差数列前n项和公式的直接应用 【例1】　已知数列{an}为等差数列. （1）若a1＝3，a30＝97，求S30； （2）若a1＝80，d＝－2，求S60； （3）若a25＝12，求S49. 通性通法 　　当已知首项、末项和项数时，用公式Sn＝较为简便；当已知首项、公差和项数时，用公式Sn＝na1＋d较为简便.在运用公式Sn＝时，注意结合等差数列的性质. 【跟踪训练】 　已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），则数列{an}的前9项和等于　　　　. 题型二 利用等差数列前n项和公式求基本量 【例2】　（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝45，a5＝7，则该数列的公差为（　　） A.－5 B.5 C.－3 D.3 （2）已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n和a12. 通性通法 等差数列中基本量计算的两个技巧 （1）利用基本量求值 （2）利用等差数列的性质解题 【跟踪训练】 1.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（　　） A.1 B.2 C.4 D.8 2.在4和67之间插入一个n项的等差数列后，组成一个n＋2项的新等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n的值为　　　　. 题型三 利用Sn证明一个数列是等差数列 【例3】　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 通性通法 　　若Sn是关于n的二次多项式，且无常数项（即常数项为0），即满足Sn＝An2＋Bn（A＋B＝a1）的数列是等差数列.在求解选择题、填空题时也可以运用Sn＝n2＋（a1－）n来快速求解. 【跟踪训练】 　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由. 1.等差数列1，3，5，…的前10项和为（　　） A.81 B.100 C.121 D.128 2.（2024·泰州月考）已知等差数列{an}，若a2＝10，a5＝1，则{an}的前7项的和是（　　） A.112 B.51 C.28 D.18 3.（2024·珠海月考）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则数列{an}的公差d＝　　　　. 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－1，S3＝3. （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn. 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 　题型一 等差数列前n项和的性质 【例1】　（1）等差数列{an}的前4项和是2，前8项和是10，则S12＝（　　） A.12　　　　　　　　　B.18 C.24 D.42 （2）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 通性通法 等差数列前n项和的常用性质 （1）等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列； （2）数列{an}是等差数列⇔Sn＝pn2＋qn（p，q为常数）⇔数列为等差数列（公差为{an}公差的倍）； （3）若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d：①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 【跟踪训练】 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－10，－＝1，则S10＝　　　　. 2.已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是　　　　. 3.已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和. 题型二 等差数列前n项和的最值问题 【例2】　在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值. 通性通法 求等差数列前n项和的最值的方法 （1）二次函数法：即先求得Sn的表达式，然后配方.若对称轴恰好为正整数，则就在该处取得最值；若对称轴不是正整数，则应在离对称轴最近的正整数处取得最值，有时n的值有两个，有时可能为1个； （2）不等式法：①当a1＞0，d＜0时，由⇒Sm为最大值； ②当a1＜0，d＞0时，由⇒Sm为最小值. 【跟踪训练】 　（2024·中山月考）在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值. 题型三 等差数列求和的实际应用 【例3】　（2024·温州质检）7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件. （1）问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？ （2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几天？ 【跟踪训练】 　某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10. （1）分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数； （2）该地区9月份（共30天）流感病毒的新感染者共有多少人？ 1.已知等差数列{an}共有2n－1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＝（　　） A.30 B.29 C.28 D.27 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝（　　） A.8 B.12 C.16 D.20 3.（2024·烟台质检）在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8个兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（　　） A.两 B.两 C.两 D.两 4.（2024·南京月考）已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＝　　　　. 培优课　等差数列 　 题型一 利用等差数列前n项和求解项的比值问题 【例1】　已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝（　　） A. B. C. D. 通性通法 　　若{an}，{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·. 【跟踪训练】 　（2024·济宁月考）已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＝　　　　. 题型二 两等差数列公共项问题 【例2】　已知两个等差数列4，7，10，…和8，12，16，…都有100项，则它们共同的项有（　　） A.12个 B.24个 C.11个 D.36个 通性通法 　　有关两个等差数列公共项的问题，处理办法一般有两种：一是先利用两数列的公共项组成的新等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数求新数列的公差，然后找到第一项后用通项公式解决；二是从通项公式入手，建立am＝bn这样的方程，利用n＝f（m），借助n，m均为正整数，得到n（或m）可取的整数形式，再求一定范围内的整数解，从而解决问题. 【跟踪训练】 　已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝　　　　；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是　　　　. 题型三 构造等差数列的应用 【例3】　已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3（n∈N*）. （1）求证：数列{}是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式. 通性通法 　　当已知数列{an}不是等差数列时，需构造与已知数列相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出含an的式子与n的关系式，进而求出an.由递推公式转化为等差数列的常见形式如下： （1）转化为（an＋2－an＋1）－（an＋1－an）＝常数，则数列{an＋1－an}是等差数列； （2）转化为－＝常数，则数列是等差数列； （3）转化为－＝常数，则数列是等差数列； （4）转化为－＝常数，则数列{}是等差数列； （5）转化为－＝常数，则数列{}是等差数列. 【跟踪训练】 在数列{an}中，若a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0（n≥2，n∈N*），求数列{an}的通项公式. 题型四 求数列{｜an｜}的前n项和 【例4】　（2023·全国乙卷18题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{｜an｜}的前n项和Tn. 通性通法 　　求数列{｜an｜}的前n项和的步骤 （1）解不等式an≥0（或an≤0）寻找{an}的正负项分界点； （2）求和：①若{an}各项均为正数（或均为负数），则{｜an｜}各项的和等于{an}的各项的和（或其相反数）；②若a1＞0，d＜0（或a1＜0，d＞0），这时数列{an}只有前面有限项为正数（或负数），可分段求和再相加. 【跟踪训练】 　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－5n＋2，则数列{｜an｜}的前10项和为（　　） A.56 B.58 C.62 D.60 1.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，对一切自然数n，都有＝，则＝（　　） A. B. C. D. 2.（2024·郑州月考）有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（　　） A.15 B.16 C.17 D.18 3.在等差数列{an}中，a1＝8，a4＝2. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，求T10. 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式 知识点一　等比数列的定义 文字语言 一般地，如果一个数列从第　　　项起，每一项与它的前一项的比都等于　　　　，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的　　　，公比通常用字母q表示（显然q≠0） 符号语言 ＝　　　（q为常数，q≠0，n∈N*） 提醒　理解等比数列概念的注意点：①“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；②“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；③公比q可正，可负，但不能为0，它是一个与n无关的非零常数. 知识点二　等比中项 　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成　　　　　，那么G叫做a与b的等比中项.此时，G2＝　　　. 知识点三　等比数列的通项公式 　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠0），则通项公式为an＝　　　　. 提醒　类似于等差数列与一次函数的关系，由an＝·qn可知，当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f（x）＝·qx（x∈R）当x＝n时的函数值，即an＝f（n）.a1＞0，q＞1的情形如图所示. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）数列1，－1，1，－1，…是等比数列.（　　） （2）若数列{an}满足＝2，＝2，则{an}为等比数列.（　　） （3）任何常数列都是等比数列.（　　） （4）数列a，G，b成等比数列的充要条件是G2＝ab.（　　） 2.等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝（　　） A.32 B.－48 C.48 D.96 3.等比数列{an}中，a2＝3，a4＝27，则公比q＝　　　　. 4.4与16的等比中项是　　　　. 　　 题型一 等比数列的概念 【例1】　（多选）下列数列是等比数列的是（　　） A.b，b，b，b，…（b为常数，b≠0） B.22，42，62，82，… C.1，－，，－，… D.，，，，… 通性通法 判断一个数列是否为等比数列的方法 　　定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论. 【跟踪训练】 　判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. （1）1，，，，，…； （2）10，10，10，10，10，…； （3），（）2，（）3，（）4，…； （4）1，0，1，0，1，0，…； （5）1，－4，16，－64，256，…. 题型二 等比中项及应用 【例2】　（多选）如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么（　　） A.b＝3 B.b＝－3 C.ac＝9 D.ac＝－9 通性通法 应用等比中项需注意的问题 （1）由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项； （2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项. 【跟踪训练】 　（2024·丽水月考）在等差数列{an}中，a3＝0.如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝　　　　. 题型三 等比数列中基本量的运算 【例3】　在等比数列{an}中， （1）a5＝8，a7＝2，an＞0，求an； （2）an＝625，n＝4，q＝5，求a1； （3）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 通性通法 关于等比数列基本量的运算 （1）a1和q是等比数列的两个基本量，解决相应问题时，只要求出这两个基本量，其余的量便可以得出； （2）等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程（组）来解决. 【跟踪训练】 1.（2024·珠海月考）在等比数列{an}中，a2＋a4＝1，a6＋a8＝9，则a2＝（　　） A. B. C. D.4 2.设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3＝8，a4＋a5＝48，则数列{an}的通项公式为　　　　. 1.下列数列为等比数列的是（　　） A.2，22，3×22，… B.，，，… C.s－1，（s－1）2，（s－1）3，… D.0，0，0，… 2.数列－，，－，，…的通项公式为an＝　　　　. 3.等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为　　　　. 4.在等比数列{an}中， （1）已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n； （2）已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式. 第2课时　等比数列的判定及性质 知识点　等比数列{an}的常用性质 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则 （1）an＝am·　　　　（n，m∈N*）； （2）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则　　　　　　； 特别地，①若m＋n＝2r，则aman＝，m，n，r∈N*； ②a1an＝a2an－1＝…＝aian＋1－i＝…（i＝1，2，3，…，n）； （3）若m＋n＋t＝p＋r＋s，则amanat＝aparas，其中m，n，t，p，r，s∈N*； （4）若m，n，p（m，n，p∈N*）成等差数列，则am，an，ap成等比数列. 1.（2024·日照月考）在等比数列{an}中，a2＝27，q＝－，则a5＝（　　） A.－3 B.3 C.－1 D.1 2.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝　　　　. 3.在等比数列{an}中，若a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，试求a9a10a11的值. 题型一 等比数列的判定与证明 【例1】　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋n－1. （1）求证：数列{an＋n}为等比数列； （2）求数列{an}的通项公式. 通性通法 判定或证明数列为等比数列的常用方法 （1）定义法：＝q（q为常数且q≠0）等价于{an}是等比数列； （2）通项公式法：an＝a1qn－1（a1≠0且q≠0）等价于{an}是等比数列； （3）等比中项法：若对于任意连续非零三项an－1，an，an＋1，都有＝an－1an＋1（n≥2且n∈N*），则数列{an}是等比数列. 提醒　证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法. 【跟踪训练】 1.数列{an}中，“＝an－1an＋1对任意n≥2且n∈N*都成立”是“{an}是等比数列”的（　　） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝（an－1）（n∈N*）.证明：数列{an}是等比数列. 题型二 等比数列性质的应用 【例2】　在等比数列{an}中： （1）已知a5＝4，a9＝16，则a7＝　　　　； （2）若an＞0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，则a6＋a8＝　　　　； （3）若an＞0，a5a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝　　　　. 通性通法 利用等比数列的性质解题 （1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； （2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量. 【跟踪训练】 1.已知在等比数列中，有a3a7a10＝9，则a4＝（　　） A.3 B.9 C.20 D.无法计算 2.（2024·台州月考）在等比数列{an}中，a6·a12＝6，a4＋a14＝5，则＝（　　） A.或 B. C.或 D.或 题型三 等比数列与指数函数的关系 【例3】　（2024·安阳质检）在等比数列{an}中，如果公比为q，且q＜1，那么等比数列{an}是（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 通性通法 判断等比数列{an}的单调性的方法 （1）当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列； （2）当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列； （3）当q＝1时，数列{an}是常数列；当q＜0时，数列{an}是摆动数列. 【跟踪训练】 1.设{an}是等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若等比数列{an}是递减数列，且a2＋a4＝30，a2a4＝144，则公比q＝　　　　. 1.在等比数列{an}中，若a3＝8，a6＝64，则公比q＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.8 2.在等比数列{an}中，若a2a6＋＝π，则a3a5＝（　　） A. B. C. D. 3.在等比数列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，则数列{an}为（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 4.已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列. 第2课时　等比数列的判定及性质 知识点　等比数列{an}的常用性质 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则 （1）an＝am·　　　　（n，m∈N*）； （2）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则　　　　　　； 特别地，①若m＋n＝2r，则aman＝，m，n，r∈N*； ②a1an＝a2an－1＝…＝aian＋1－i＝…（i＝1，2，3，…，n）； （3）若m＋n＋t＝p＋r＋s，则amanat＝aparas，其中m，n，t，p，r，s∈N*； （4）若m，n，p（m，n，p∈N*）成等差数列，则am，an，ap成等比数列. 1.（2024·日照月考）在等比数列{an}中，a2＝27，q＝－，则a5＝（　　） A.－3 B.3 C.－1 D.1 2.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝　　　　. 3.在等比数列{an}中，若a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，试求a9a10a11的值. 题型一 等比数列的判定与证明 【例1】　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋n－1. （1）求证：数列{an＋n}为等比数列； （2）求数列{an}的通项公式. 通性通法 判定或证明数列为等比数列的常用方法 （1）定义法：＝q（q为常数且q≠0）等价于{an}是等比数列； （2）通项公式法：an＝a1qn－1（a1≠0且q≠0）等价于{an}是等比数列； （3）等比中项法：若对于任意连续非零三项an－1，an，an＋1，都有＝an－1an＋1（n≥2且n∈N*），则数列{an}是等比数列. 提醒　证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法. 【跟踪训练】 1.数列{an}中，“＝an－1an＋1对任意n≥2且n∈N*都成立”是“{an}是等比数列”的（　　） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝（an－1）（n∈N*）.证明：数列{an}是等比数列. 题型二 等比数列性质的应用 【例2】　在等比数列{an}中： （1）已知a5＝4，a9＝16，则a7＝　　　　； （2）若an＞0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，则a6＋a8＝　　　　； （3）若an＞0，a5a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝　　　　. 通性通法 利用等比数列的性质解题 （1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； （2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量. 【跟踪训练】 1.已知在等比数列中，有a3a7a10＝9，则a4＝（　　） A.3 B.9 C.20 D.无法计算 2.（2024·台州月考）在等比数列{an}中，a6·a12＝6，a4＋a14＝5，则＝（　　） A.或 B. C.或 D.或 题型三 等比数列与指数函数的关系 【例3】　（2024·安阳质检）在等比数列{an}中，如果公比为q，且q＜1，那么等比数列{an}是（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 通性通法 判断等比数列{an}的单调性的方法 （1）当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列； （2）当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列； （3）当q＝1时，数列{an}是常数列；当q＜0时，数列{an}是摆动数列. 【跟踪训练】 1.设{an}是等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若等比数列{an}是递减数列，且a2＋a4＝30，a2a4＝144，则公比q＝　　　　. 1.在等比数列{an}中，若a3＝8，a6＝64，则公比q＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.8 2.在等比数列{an}中，若a2a6＋＝π，则a3a5＝（　　） A. B. C. D. 3.在等比数列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，则数列{an}为（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 4.已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列. 第3课时　等比数列的综合应用 题型一 灵活设项求解等比数列 【例1】　有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数. 通性通法 巧设等比数列项的方法 （1）若三个数成等比数列，常设为，a，aq.推广到一般，奇数个数成等比数列，可设为…，，，a，aq，aq2，…； （2）四个符号相同的数成等比数列，常设为，，aq，aq3.推广到一般，偶数个符号相同的数成等比数列，可设为…，，，，aq，aq3，aq5，…； （3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 【跟踪训练】 　有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后成等差数列，则这四个数的和是　　　　. 题型二 由等比数列衍生的新数列 【例2】　（1）设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积（i＝1，2，…），则{An}为等比数列的充要条件为（　　） A.{an}是等比数列 B.a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 （2）若等比数列{an}的公比为q，则a1，a8，a15的公比为　　　　. 通性通法 1.由等比数列衍生的新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0. 2.如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么： （1）ak，ak＋n，ak＋2n，…为等比数列，公比为； （2）数列，{an·bn}，{}，{｜an｜}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，｜q1｜. 【跟踪训练】 　设{an}，{bn}都是等比数列，若a1b1＝7，a3b3＝21，则a5b5＝　　　　. 题型三 等比数列的实际应用 【例3】　（2024·信阳月考）从盛满a（a＞1）升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又添满水摇匀，如此继续下去，问： （1）第n次操作后容器中酒精的浓度是多少？ （2）当a＝2时至少应操作几次后才能使容器中酒精的浓度低于10%？ 通性通法 等比数列实际应用的求解思路 （1）认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型； （2）合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素； （3）针对所求结果作出合理解释. 【跟踪训练】 　画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于　　　　. 1.若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（　　） A.{lg an} B.{1＋an} C.{} D.{an＋an＋1} 2.（2024·佛山月考）在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为　　　　. 3.已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，求这四个数. 培优课　构造法求数列的通项公式 题型一 形如an＋1＝pan＋q（p，q≠0且p≠1） 【例1】　在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，n∈N*，则an＝　　　　. 通性通法 　　求解递推公式形如an＋1＝pan＋q（p≠0，q≠0且p≠1）的数列{an}的通项公式的关键：一是利用待定系数法构造，即构造an＋1＋λ＝p（an＋λ）的形式；二是找到{an＋λ}为等比数列（其中 λ＝）. 【跟踪训练】 　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则a10＝（　　） A.2 045 B.1 021 C.1 027 D.2 051 题型二 形如an＋1＝pan＋f（n）（p≠0） 角度1　f（n）为一次多项式 【例2】　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2n＋1，则数列{an}的通项公式为　　　　. 通性通法 　　一般地，当f（n）为一次多项式时，即数列的递推关系为an＋1＝Aan＋Bn＋C型，可转化为an＋1＋λ1（n＋1）＋λ2＝A（an＋λ1n＋λ2）的形式来求通项公式. 角度2　f（n）为指数式 【例3】　已知数列{an}中，a1＝6，an＋1＝2an＋3n＋1，则an＝　　　　. 通性通法 　　形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式，一般可转化为an＋1＋λqn＋1＝p（an＋λqn）的形式，构造出一个新的等比数列{an＋λqn}，然后再求an. 【跟踪训练】 1.（2024·安阳月考）在数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋2＝2an＋1－an，则{an}的通项公式为　　　　. 2.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an－2n，则a17＝　　　. 题型三 形如an＋1＝（p，q，r≠0） 【例4】　在数列{bn}中，若b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，试求{bn}的通项公式. 通性通法 　　一般地，形如an＋1＝（p，q，r≠0）结构的递推式往往可以通过等式两边同时取倒数变形构造出线性递推式an＝Aan－1＋B（n≥2，A，B是常数），进而求出原数列的通项公式. 【跟踪训练】 　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝（n∈N*），若bn＝log2（＋1），试求数列{bn}的通项公式. 1.已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1，a1＝1，则an＝（　　） A.2n－1 B.2n－1－1 C.2n D.2n－1 2.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则an＝（　　） A.2n－1 B.2n＋1 C. D. 3.若数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝4an＋2n，则a5＝　　　　. 4.3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 知识点　等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝　　　 Sn＝　　　 提醒　求等比数列的前n项和，需对公比分q＝1与q≠1两种情况进行讨论，当q＝1时，应利用公式Sn＝na1求和. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）等比数列前n项和Sn不可能为0.（　　） （2）若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.（　　） （3）若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝.（　　） （4）若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*），则此数列一定是等比数列.（　　） 2.已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5＝（　　） A.93 B.－93 C.45 D.－45 3.在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和S10＝（　　） A.2－ B.2－ C.2－ D.2－ 4.（2024·六盘水月考）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为2，且S4＝15，则a1＝　　　　. 题型一 等比数列前n项和公式的直接应用 【例1】　求下列等比数列前8项的和： （1），，，…； （2）a1＝27，a9＝，q＜0. 通性通法 　　求等比数列的前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，注意公比q＝1是否成立. 【跟踪训练】 1.在等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，则S3＝　　　　. 2.求数列{（－1）n}的前100项的和. 题型二 利用等比数列前n项和公式求基本量 【例2】　在等比数列{an}中， （1）若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； （2）若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q； （3）若a2＝1，a4＝，且an＞0，求S10－S5. 通性通法 与等比数列前n项和公式有关的基本量的求解 　　在等比数列前n项和公式中，共可涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答. 【跟踪训练】 1.（2024·临沂月考）在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，则此数列的项数为　　　　. 2.在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an. 题型三 利用等比数列前n项和公式判断等比数列 【例3】　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列. 通性通法 　　由Sn＝Aqn＋B（AB≠0，q≠0且q≠1）判断等比数列的注意事项 　　若数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B（AB≠0，q≠0且q≠1），当A＋B＝0时，{an}是等比数列；当A＋B≠0时，{an}不是等比数列. 【跟踪训练】 　等比数列{an}的前n项和Sn＝m·4n－1＋t（其中m，t为常数且mt≠0），则＝　　　　. 1.数列1，5，52，53，54，…的前10项和为（　　） A. B. C. D. 2.已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝（　　） A.9 B.8 C.7 D.6 3.若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝　　　　. 4.（2024·开封月考）数列{an}的通项公式是an＝an（a≠0），则其前n项和为Sn＝　　　　. 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 知识点　等比数列前n项和的性质 　设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，则： （1）当Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列（公比为qm，m≥2）； （2）当n是偶数时，＝q；当n是奇数时，S奇＝a1＋qS偶，即＝q； （3）当q＝1时，＝；当q≠±1时，＝； （4）Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm. 1.等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是　　　　. 2.等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝　　　　. 题型一 等比数列前n项和的性质 角度1　与“片段和”相关的性质 【例1】　（1）等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4＝（　　） A.28 B.32 C.21 D.28或－21 （2）（2024·洛阳月考）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则 ＝（　　） A.　　 B. C.　　 D. 通性通法 等比数列{an}“片段和”的性质 （1）正确理解等比数列“片段和”性质的含意，即当q≠－1时，连续m项的和Sm，S2m－Sm，S3m－S2m（或a1＋a2＋…＋am，am＋1＋am＋2＋…＋a2m，a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m）成等比数列； （2）正确区分“片段和”Sm，S2m，S3m所具有的性质与上述性质的不同，即＋＝Sm·S2m＋Sm·S3m. 角度2　与“奇、偶和”相关的性质 【例2】　一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式. 通性通法 　　灵活应用等比数列的项的个数的奇偶性质以及对应的奇数项与偶数项的和与公比的关系解题，注意数列求和的关键是确定首项、公比和项数. 【跟踪训练】 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝（　　） A.32　　 B.64 C.72　　 D.216 2.已知等比数列{an}的公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝　　　　. 题型二 等比数列前n项和公式的实际应用 【例3】　（2024·济宁月考）某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门于2023年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则 （1）该市在2029年应该投入电力型公交车多少辆？ （2）到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？ 通性通法 解答数列应用问题的方法 （1）判断、建立数列模型：①变化“量”是同一个常数：等差数列；②变化“率”是同一个常数：等比数列； （2）提取基本量：从条件中提取相应数列的基本量a1，q（d），n，an，Sn，列出方程（组）求解. 【跟踪训练】如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，记第n个正方形的面积为an，数列{an}的前n项和为Sn.求{an}的通项公式及S2 024. 1.（2024·苏州月考）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 012，偶数项之和为2 024，则这个数列的公比为（　　） A.8 B.－2 C.4 D.2 2.在等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝（　　） A.2n－1 B. C. D. 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝1，S4＝4，则a7＋a8＝（　　） A.40 B.30 C.27 D.9 4.（2024·徐州月考）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是　　　　. 培优课　数列前n项和的求法 　题型一 并项转化法求和 【例1】　已知数列an＝（－1）nn，求数列{an}的前n项和Sn. 通性通法 并项转化法求和的解题策略 （1）一般地，当数列中的各项正负交替，且各项的绝对值成等差数列时，可以采用并项转化法求和； （2）在利用并项转化法求和时，因为数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用分段形式来表示. 【跟踪训练】 若数列{an}的通项公式是an＝（－1）n＋1·（3n－2），则a1＋a2＋…＋a2 024＝（　　） A.－3 027 B.3 027 C.－3 036 D.3 036 题型二 分组转化法求和 【例2】　若数列{an}满足an＝则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝　　　　.（用具体数值作答） 通性通法 分组求和的适用题型 　　一般情况下，形如cn＝an±bn，其中数列{an}与{bn}一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列{cn}的前n项和，分别利用等差数列和等比数列前n项和公式求和即可. 【跟踪训练】 　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2Sn＋1，其中Sn为{an}的前n项和，n∈N*. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设{bn－an}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn. 题型三 裂项相消法求和 【例3】　已知各项均为正数的等差数列{an}满足a1＝1，＝＋2（an＋1＋an）. （1）求{an}的通项公式； （2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 通性通法 1.裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项与消项. （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止； （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 2.裂项时常用的三种变形 （1）＝（－）（k≠0）； （2）＝（－）； （3）＝（－）（k≠0）. 【跟踪训练】 求数列an＝的前n项和. 题型四 错位相减法求和 【例4】　求an＝的前n项和. 通性通法 错位相减法的使用范围和注意事项 （1）使用范围：如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法； （2）注意事项：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式. 【跟踪训练】 　已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12. （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Sn. 1.求值：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2 021－2 023＝（　　） A.－2 024 B.－1 012 C.－506 D.1 012 2.数列an＝2n＋n的前n项和为（　　） A.2n－2＋ B.2n＋1－2＋ C.2n＋1－2＋ D.2n－2＋ 3.化简Sn＝n＋（n－1）×2＋（n－2）×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是（　　） A.2n＋1＋n－2 B.2n＋1－n＋2 C.2n－n－2 D.2n＋1－n－2 4.已知数列{an}中，an＝，则此数列的前8项和为　　　　. 4.4　*数学归纳法 新课程标准解读 核心素养 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题 数学抽象、逻辑推理 知识点　数学归纳法 1.定义：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 2.证明形式：记P（n）是一个关于正整数n的命题. 条件：（1）P（n0）为真；（2）若P（k）（k∈N*，k≥n0）为真，则P（k＋1）也为真. 结论：P（n）为真. 提醒　数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.（　　） （2）应用数学归纳法证明数学命题时n0＝1.（　　） （3）用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可.（　　） （4）推证n＝k＋1时可以不用n＝k时的假设.（　　） 2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n（n－3）条时，第一步应验证n＝（　　） A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 3.用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝（a≠1）”.当验证n＝1时，上式左端计算所得为　　　　. 　　 题型一 对数学归纳法的理解 【例1】　（1）用数学归纳法证明不等式2n＞（n＋1）2（n∈N*）时，初始值n0应等于（　　） A.1 B.3 C.5 D.6 （2）设S1＝12，S2＝12＋22＋12，S3＝12＋22＋32＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋n2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明“Sn＝”的过程中，第二步从k到k＋1应添加的项为　　　　. 通性通法 数学归纳法的三个关键点 （1）验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1； （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律； （3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设. 【跟踪训练】 　对于不等式＜n＋1（n∈N*），某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当n＝1时，＜1＋1，不等式成立. （2）假设当n＝k（k≥1且k∈N*）时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝（k＋1）＋1， ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（　　） A.过程全部正确 B.n＝1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 题型二 用数学归纳法证明等式 【例2】　用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋（n∈N*）. 通性通法 用数学归纳法证明等式的策略 　　应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：（1）n＝n0时，等式的结构； （2）n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加（或减少）的项. 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项； ②代数式相邻两项之间的变化规律； ③代数式中最后一项（最后一个数）与n的关系. 【跟踪训练】 　用数学归纳法证明：（12＋1）＋（22＋2）＋…＋（n2＋n）＝n（n＋1）（n＋2）（n∈N*）. 题型三 用数学归纳法证明不等式 【例3】　用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＜1－（n≥2，n∈N*）. 通性通法 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 （1）适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法； （2）关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化. 【跟踪训练】 　求证：＋＋…＋＞（n≥2，n∈N*）. 题型四 归纳——猜想——证明 【例4】　设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝－nan＋1，n＝1，2，3，…. （1）求a2，a3，a4； （2）猜想出{an}的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 通性通法 1.“归纳——猜想——证明”的一般环节 2.“归纳——猜想——证明”的主要题型 （1）已知数列的递推公式，求通项或前n项和； （2）由一些恒成立的等式、不等式改编的探究性问题，以及求使命题成立的参数值问题； （3）给出一些简单的命题（n＝1，2，3，…），猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题. 【跟踪训练】 　试比较2n＋2与n2的大小（n∈N*），并用数学归纳法证明你的结论. 1.（2024·丽水月考）用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋（n＋3）＝（n∈N*），验证n＝1时，左边应取的项是（　　） A.1　　　　　　　　　B.1＋2 C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4 2.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（　　） A.2 B.3 C.5 D.6 3.用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端在n＝k时的左端加上　　　　　　　　. 5.1.1　变化率问题 知识点一　平均速度与瞬时速度 1.平均速度：物体的位移与所用时间的比值，通常指物体在　　　　　　的速度.若物体运动的位移与时间的关系式是s＝f（t），函数f（t）在t0与t0＋Δt之间的平均速度是. 2.瞬时速度：物体在某一　　　的速度称为瞬时速度. 若物体运动的位移与时间的关系式是s＝f（t），当Δt无限趋近于0时，函数f（t）在t0与t0＋Δt之间的平均变化率　　　　　　无限趋近于常数，我们把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度.即＝. 知识点二　曲线的割线与切线 1.割线与切线的关系 如图所示，当点Pn（xn，f（xn））沿着曲线无限接近点P（x0，f（x0））时，割线PPn无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线. 2.割线斜率与切线斜率的关系 割线PPn的斜率是kn＝，当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率k，即k＝（Δx＝xn－x0）. 提醒　对曲线在某点处的切线理解的三个注意点：①与该点的位置有关；②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.若割线有极限位置，则在此点有切线，且切线是唯一的；若割线不存在极限位置，则曲线在此点处无切线；③曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个交点. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在平均变化率中，函数值的增量为正值.（　　） （2）在计算物体运动的瞬时速度时，h（t0＋Δt）＞h（t0）.（　　） （3）瞬时速度是刻画物体在区间[t0，t0＋Δt]（Δt＞0）上变化快慢的物理量.（　　） （4）曲线在某点处的切线是过该点的割线的极限位置.（　　） 2.若一质点的运动方程为s＝t2＋1，则在时间段[1，2]中的平均速度是　　　　. 3.抛物线y＝x2＋1在点（1，2）处的切线的斜率是　　　　. 　 题型一 求物体运动的平均速度 【例1】　某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s（t）＝sin t，t∈［0，］. （1）分别求s（t）在区间［0，］和［，］上的平均速度； （2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 通性通法 求物体运动的平均速度的步骤 （1）先计算位移的改变量s（t2）－s（t1）； （2）再计算时间的改变量t2－t1； （3）得平均速度＝. 【跟踪训练】 　（2024·济南月考）一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s（t）＝5t2＋bt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数b＝（　　） A.2 B.1 C.－1 D.6 题型二 求物体运动的瞬时速度 【例2】　某物体运动的位移s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度. 通性通法 求物体运动的瞬时速度的步骤 （1）求位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）； （2）求平均速度＝； （3）求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝ . 【跟踪训练】 　（2024·新乡月考）一质点M按运动方程s（t）＝at2＋1做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝　　　　. 题型三 求曲线在某点处切线的斜率（方程） 【例3】　求抛物线f（x）＝x2－2x＋3在点（1，2）处的切线斜率. 通性通法 求曲线在点P0（x0，f（x0））处的切线方程的步骤 【跟踪训练】 　求函数y＝在x＝2处的切线方程. 1.一物体运动的位移y与时间t满足函数y＝t，则该物体在[2，2＋Δt]上的平均速度是（　　） A.0 B.1 C.2 D.Δt 2.一物体做直线运动，其运动方程为s（t）＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为（　　） A.－2　　　 B.－1　　　 C.0　　　 D.2 3.（2024·福州月考）抛物线f（x）＝x2－x在点（2，2）处的切线的斜率为　　　　. 5.1.2　导数的概念及其几何意义 第1课时　导数的概念 知识点一　函数的平均变化率 　对于函数y＝f（x），设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f（x0）变化到f（x0＋Δx）.这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）.我们把比值，即＝　　　　　叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率. 提醒　的实质是函数在某一区间内函数值变化量与自变量变化量之比，它的意义是刻画函数的函数值在某区间上的平均变化情况. 知识点二　导数的概念 1.定义：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有　　　，则称y＝f（x）在x＝x0处　　　，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为瞬时变化率）. 2.写法：记作f'（x0）或y'，即f'（x0）＝＝. 提醒　对导数概念的再理解：①函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在；②导数是一个局部概念，它只与函数y＝f（x）在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关；③导数的实质是一个极限值. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数在x＝x0处的导数反映了函数在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢程度.（　　） （2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关.（　　） （3）设x＝x0＋Δx，则Δx＝x－x0，则Δx趋近于0时，x趋近于x0，因此，f'（x0）＝＝ .（　　） 2.设函数y＝f（x）＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为（　　） A.2.1　　　B.1.1　　　C.2　　　D.0 3.设f（x）＝2x＋1，则f'（1）＝　　　　. 　 题型一 求函数的平均变化率 【例1】　已知函数h（x）＝－4.9x2＋6.5x＋10. （1）计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01； （2）根据（1）中的计算，当Δx越来越小时，函数h（x）在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 通性通法 求函数平均变化率的三个步骤 （1）求自变量的改变量Δx＝x2－x1； （2）求函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）； （3）求平均变化率＝. 【跟踪训练】（多选）（2024·青岛月考）已知函数f（x）的图象如图，则函数f（x）在区间[1，7]上的平均变化率情况是（　　） A.在区间[1，2]上的平均变化率最小 B.在区间[2，3]上的平均变化率大于0 C.在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大 D.在区间[4，7]上的平均变化率最大 题型二 求函数在某点处的导数 【例2】　求函数y＝x－在x＝1处的导数. 通性通法 求函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的步骤 （1）求函数值的变化量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）； （2）求平均变化率＝； （3）取极限，得导数f'（x0）＝. 【跟踪训练】 1.函数y＝在x＝1处的导数为　　　　. 2.（2024·开封月考）设函数f（x）在x＝1处的导数为2，则＝　　　　. 题型三 导数在实际问题中的意义 【例3】　某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c（单位：万元）与产量x（单位：千台）之间的关系式为c（x）＝－2x2＋7x＋6.求c'（1）与c'（2），并说明它们的实际意义. 通性通法 认识瞬时变化率的关键点 （1）极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限； （2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）反映了函数在x＝x0处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况. 【跟踪训练】 　一只昆虫爬行的位移s（单位：米）是关于时间t（单位：分）的函数：s＝求s'（1）与s'（4），并解释它们的实际意义. 1.如图，函数y＝f（x）在[1，3]上的平均变化率为（　　） A.1 B.－1 C.2 D.－2 2.（2024·深圳月考）已知函数f（x）可导，且满足＝2，则函数y＝f（x）在x＝3处的导数为（　　） A.－1　 　 B.－2 C.1　 　 D.2 3.（2024·三明月考）设函数f（x）＝ax＋3，若f'（1）＝3，则a＝　　　　. 4.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h（t）＝－4.9t2＋14.7t，求烟花在t＝1 s时的瞬时速度. 第2课时　导数的几何意义 知识点一　导数的几何意义 1.切线的定义 如图，在曲线y＝f（x）上任取一点P（x，f（x）），如果当点P（x，f（x））沿着曲线y＝f（x）无限趋近于点P0（x0，f（x0））时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f（x）在点P0处的切线. 2.导数的几何意义 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）就是切线P0T的斜率k0，即k0＝＝f'（x0）. 知识点二　导函数（导数） 1.定义：当x变化时，y＝　　　就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数）. 2.记法：y＝f（x）的导函数记作f'（x）（有时也记作y'），即f'（x）＝y'＝　　　　. 提醒　函数f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）、导函数f'（x）之间的区别与联系：①区别：（ⅰ）f'（x0）是在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；（ⅱ）f'（x）是函数f（x）的导函数，是对某一区间内任意x而言的；②联系：函数f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）就是导函数f'（x）在x＝x0处的函数值. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数在x＝x0处的导数f'（x0）是一个常数.（　　） （2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f（x）在x＝x0处的切线的斜率.（　　） （3）直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点.（　　） 2.（2024·平顶山月考）曲线C：y＝x2在x＝1处的切线方程为　　　　. 3.已知y＝，则y'＝　　　　. 　题型一 求切线的方程 【例1】　已知函数y＝f（x）＝x3. （1）求曲线y＝f（x）在点（－1，－1）处的切线方程； （2）求曲线y＝f（x）过点E（2，0）的切线方程. 通性通法 求过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程的策略 （1）当点P（x0，y0）是切点时，切线方程为y－y0＝f'（x0）（x－x0）； （2）当点P（x0，y0）不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P'（x1，f（x1））； 第二步：写出过点P'（x1，f（x1））的切线方程y－f（x1）＝f'（x1）（x－x1）； 第三步：将点P的坐标（x0，y0）代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f（x1）＝f'（x1）（x－x1）可得过点P（x0，y0）的切线方程. 【跟踪训练】 　求曲线y＝在点处的切线方程. 题型二 求切点坐标或参数值 【例2】　（1）（2024·烟台月考）已知抛物线y＝f（x）＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为　　　　； （2）已知直线x＋y＝b是函数f（x）＝ax＋的图象在点（1，m）处的切线，则a＋b＝　　　，m＝　　　. 通性通法 　　解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等. 【跟踪训练】 　已知曲线f（x）＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g（x）＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0. 题型三 与导数的几何意义有关的图象问题 【例3】　（1）已知y＝f（x）的图象如图所示，则f'（xA）与f'（xB）的大小关系是（　　） A.f'（xA）＞f'（xB） B.f'（xA）＜f'（xB） C.f'（xA）＝f'（xB） D.不能确定 （2）（2024·舟山月考）若函数f（x）的导函数在区间[a，b]上单调递增，则函数f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（　　） 通性通法 　　函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的几何意义就是该函数曲线在x＝x0处的切线的斜率，所以比较两个导数值的大小可以根据函数图象，观察函数y＝f（x）在这两点处对应切线的斜率的大小. 【跟踪训练】 　（2024·汕头月考）已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是（　　） A.f'（1）＜f'（2）＜a B.f'（1）＜a＜f'（2） C.f'（2）＜f'（1）＜a D.a＜f'（1）＜f'（2） 1.若曲线y＝h（x）在点P（a，h（a））处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则（　　） A.h'（a）＝0 B.h'（a）＜0 C.h'（a）＞0 D.h'（a）不存在 2.如图，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））在函数f（x）的图象上，且x2＜x1，则f'（x1）与f'（x2）的大小关系是（　　） A.f'（x1）＞f'（x2） B.f'（x1）＜f'（x2） C.f'（x1）＝f'（x2） D.不能确定 3.（2024·南平月考）已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝x＋2，则f（1）＋f'（1）＝　　　　. 5.2.1　基本初等函数的导数 知识点一　几个常用函数的导数 原函数 导函数 f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝　 f（x）＝x f'（x）＝　 f（x）＝x2 f'（x）＝　 f（x）＝x3 f'（x）＝　 f（x）＝ f'（x）＝　 f（x）＝ f'（x）＝　 知识点二　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝　 f（x）＝xα（α∈R，且α≠0） f'（x）＝　 f（x）＝sin x f'（x）＝　 f（x）＝cos x f'（x）＝　 f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　 f（x）＝ex f'（x）＝　 f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　 f（x）＝ln x f'（x）＝　 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）因为（ln x）'＝，所以（）'＝ln x.（　　） （2）若f'（x）＝sin x，则f（x）＝cos x.（　　） （3）若f（x）＝5x，则f'（x）＝5xlog5e.（　　） 2.若y＝cos，则y'＝（　　） A.－　 　B.－　　C.0　 　D. 3.曲线y＝ex在点（0，1）处的切线方程为　　　　. 　 题型一 基本初等函数的导数 【例1】　（1）求下列函数的导数： ①y＝x0；②y＝；③y＝lg x；④y＝；⑤y＝2cos2－1. （2） 求y＝2x在x＝3处的导数. 通性通法 1.求简单函数的导数的方法 （1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导； （2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导. 2.求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数求解. 【跟踪训练】 1.（多选）下列结论正确的为（　　） A.y＝ln 2，则y'＝ B.y＝（）x，则y'＝－ln 2 C.y＝，则y'｜x＝3＝－ D.y＝log2x，则y'＝ 2.（2024·日照月考）已知函数f（x）＝若f'（a）＝12，则实数a＝　　　　. 题型二 利用导数公式解决切线问题 【例2】　（1）（2024·洛阳月考）曲线y＝在点（，）处的切线方程为（　　） A.4x－4y＋2－1＝0 B.4x－4y＋1＝0 C.4x－4y＋2－＝0 D.4x＋4y－3＝0 （2）已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝　　　　. 通性通法 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 （1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； （2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 【跟踪训练】 　若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，求切点P的坐标及b的值. 题型三 导数公式的实际应用 【例3】　某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p（单位：万元）与时间t（单位：年）有如下函数关系：p（t）＝p0（1＋10%）t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少（精确到0.01万元/年）？（参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝0.095） 通性通法 　　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数. 【跟踪训练】 　从时刻t＝0开始的t（单位：秒）内，通过某导体的电量（单位：库仑）可以由公式q＝cos t表示，求第5秒和第7秒时的电流强度（单位：安）. 1.若f（x）＝sin x，则f'＝（　　） A.－ B.－ C. D. 2.（2024·温州月考）在经济学中，通常把生产成本关于产量的导函数称为边际成本.设生产x个单位产品的总成本函数是C（x）＝，则生产4个单位产品时，边际成本是（　　） A.3 B.4 C.8 D.16 3.（多选）下列结论正确的是（　　） A.若f（x）＝3，则f'（x）＝0 B.若f（x）＝，则f'（x）＝－ C.若f（x）＝ln x，则f'（e）＝ D.若f（x）＝x，则f'（x）＝1 4.求曲线y＝ln x在点M（e，1）处的切线的斜率及切线方程. 5.2.2　导数的四则运算法则 知识点　导数的四则运算法则 1.条件：f（x），g（x）是可导的. 2.结论：（1）[f（x）±g（x）]'＝　　　　； （2）[f（x）g（x）]'＝　　　　； （3）＝　　　　　　　　； （4）[cf（x）]'＝　　　　. 提醒　（1）导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形（一般化），即[u（x）±v（x）±…±w（x）]'＝u'（x）±v'（x）±…±w'（x）； （2）函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u（x）v（x）·…·w（x）]'＝u'（x）v（x）·…·w（x）＋u（x）v'（x）·…·w（x）＋…＋u（x）v（x）·…·w'（x）； （3）注意［］'≠. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）（ex＋cos ）'＝ex.（　　） （2）函数f（x）＝xex的导数是f'（x）＝ex（x＋1）.（　　） （3）当g（x）≠0时，'＝.（　　） （4）函数f（x）＝xln x的导数是f'（x）＝x.（　　） 2.函数y＝x4＋sin x的导数为（　　） A.y'＝4x3 B.y'＝cos x C.y'＝4x3＋sin x D.y'＝4x3＋cos x 3.已知f（x）＝xsin x，则f'（x）＝　　　　. 4.若f（x）＝，则f'（x）＝　　　　. 　 题型一 利用运算法则求函数的导数 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝x2＋xln x； （2）y＝x5－x3＋cos x； （3）y＝； （4）y＝（2x2－1）（3x＋1）. 通性通法 利用导数的四则运算法则求函数导数的策略 （1）分析待求导的式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式； （2）如果待求导的式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等； （3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差式求导，尽量少用积、商的求导法则求导. 【跟踪训练】 　求下列函数的导数： （1）y＝x3ex； （2）y＝x2＋tan x； （3）y＝. 题型二 导数运算法则的应用 角度1　曲线的切线问题 【例2】　（1）曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程为（　　） A.y＝－2x＋1 B.y＝－3x＋2 C.y＝2x－3 D.y＝x－2 （2）若曲线f（x）＝xsin x在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝（ ） A.－2 B.－1 C.1 D.2 角度2　含f'（c）函数的求导问题 【例3】　（2024·潍坊月考）设函数f（x）的导数为f'（x），且f（x）＝x3＋f'（）x2－x，则f'（1）＝　　　　. 角度3　导数在实际生活中的应用 【例4】　（2024·驻马店月考）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数为y＝h（t）＝，当t＝3时，水面下降的速度为（　　） A.－ cm/s B. cm/s C.－ cm/s D. cm/s 通性通法 1.解决有关切线问题的关注点 （1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以转化为这三个要素间的关系； （2）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点. 2.含f'（c）函数的求导问题的解决策略 含f'（c）函数在求导时一定要抓住f'（c）为常数这一特点，也就是说，不管应用加、减、乘、除哪一法则，求导时，把f'（c）一律充当常系数处理. 【跟踪训练】 1.若函数f（x）满足f（x）＝－f'（1）·x2－x.则f'（1）＝（　　） A.0 B.2 C.1 D.－1 2.（2024·中山月考）函数f（x）＝excos x的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（　　） A.0　　　B. C.1　　　D. 1.设f（x）＝ax－b，若f'（－1）＝4，则a＝（　　） A.－2 B.－1 C.0 D.4 2.函数y＝x2sin x的导数为（　　） A.y'＝2x＋cos x B.y'＝x2cos x C.y'＝2xcos x D.y'＝2xsin x＋x2cos x 3.函数f（x）＝的导数是（　　） A. B. C. D. 4.（2024·南平月考）若曲线y＝x3＋ax在坐标原点处的切线方程是2x－y＝0，则实数a＝　　　　. 5.2.3　简单复合函数的导数 知识点　复合函数 1.概念：一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的复合函数，记作y＝　　　　. 2.求导法则：一般地，对于由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g（x）），它的导数与函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y'x＝　　　　.即y对x的导数等于　　　　　的导数与 　　　　　的导数的乘积. 提醒　求复合函数的导数应处理好以下环节：①中间变量的选择应是基本函数结构；②关键是正确分析函数的复合层次；③一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后要把中间变量换成自变量的函数. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）f（x）＝2x2－是复合函数.（　　） （2）y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成.（　　） （3）函数f（x）＝e2x－1的导数为f'（x）＝2e2x－1.（　　） 2.设f（x）＝cos 2x－3x，则f'（）＝（　　） A.－5 B.－3 C.－4 D.－ 3.（2024·三明月考）曲线f（x）＝e－2x＋3在点（1，f（1））处的切线的斜率是　　　　. 　 题型一 复合函数概念的理解 【例1】　（多选）下列哪些函数是复合函数（　　） A.y＝xln x B.y＝（3x＋6）2 C.y＝ D.y＝sin（x＋） 通性通法 　　若f（x）与g（x）均为基本初等函数，则函数y＝f（g（x））或函数y＝g（f（x））均为复合函数，而f（x），g（x）不是复合函数. 【跟踪训练】 判断下列哪些函数是复合函数，并说明是如何复合的： （1）y＝log2（2x＋1）；（2）y＝2x2－； （3）y＝2ln x；（4）y＝cos（3x－）. 题型二 求复合函数的导数 【例2】　求下列函数的导数： （1）y＝； （2）y＝cos（x2）； （3）y＝log2（2x＋1）； （4）y＝e3x＋2. 通性通法 求复合函数的导数的步骤 提醒　求复合函数的导数的注意点：①选择的中间变量通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁. 【跟踪训练】 　求下列函数的导数： （1）y＝； （2）y＝5log2（1－x）； （3）y＝sin4x＋cos4x. 题型三 复合函数求导的应用 【例3】　（1）质点M按规律s（t）＝（2t＋1）2做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2时的瞬时速度为　　　　m/s； （2）已知函数f（x）＝e2x，则过原点且与曲线y＝f（x）相切的直线方程为　　　　. 通性通法 1.求解与复合函数有关的切线问题的两个关键 （1）求复合函数的导数，这是正确解题的前提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不要有遗漏； （2）求切线方程，注意切线所过的点是否为切点. 2.将复合函数的求导与问题中的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况. 【跟踪训练】 1.（2024·江门月考）已知函数f（x）＝xex－a，曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝（　　） A.－4 B.－2 C.2 D.4 2.（2024·湖州月考）随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系N（t）＝N0，其中N0为t＝0时钍234的含量.已知t＝24时，钍234含量的瞬时变化率为－8ln 2，则N（96）＝　　　　贝克. 1.（2024·嘉兴月考）设f（x）＝sin 2x，则f'（x）＝（　　） A.cos 2x B.2cos 2x C.－cos 2x D.－2cos 2x 2.设f（x）＝ln（3x＋2）＋3x2，则f'（0）＝（　　） A.1 B. C.－1 D.－2 3.（2024·宁波月考）设曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝　　　　. 4.求下列函数的导数： （1）y＝（－2x＋1）2； （2）y＝23x＋2； （3）y＝. 5.3.1　函数的单调性 第1课时　导数与函数的单调性 知识点一　函数的单调性与导数的关系 　定义在区间（a，b）内的函数y＝f（x）： f'（x）的正负 f（x）的单调性 f'（x）＞0 单调递　　 f'（x）＜0 单调递　　 提醒　若在某区间内有有限个点使f'（x）＝0，在其余的点恒有f'（x）＞0（＜0），则f（x）在该区间上单调递增（递减）.知识点二　函数值变化快慢与导数的关系 　设函数y＝f（x），在区间（a，b）上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“　　”（向上或向下） 越小 慢 比较“　　”（向上或向下） 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数f（x）在定义域上都有f'（x）＜0，则函数f（x）在定义域上是减函数.（　　） （2）函数f（x）在某区间内单调递增，则一定有f'（x）＞0.（　　） （3）函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大.（　　） 2.函数f（x）＝ln x－x的单调递增区间是（　　） A.（0，1） B.（0，＋∞） C.（1，2） D.（2，＋∞） 3.函数f（x）＝cos x－x在（0，π）上的单调性是（　　） A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 　 题型一 函数的单调性与导数的关系 【例1】　（1）下列函数中，在（1，＋∞）上单调递增的是（　　） A.y＝x3－3x B.y＝ln x－x C.y＝x＋ D.y＝x2－3x＋1 （2）（2024·枣庄月考）函数y＝xln x在（0，5）上的单调性是（　　） A.单调递增 B.单调递减 C.在（0，）上单调递减，在（，5）上单调递增 D.在（0，）上单调递增，在（，5）上单调递减 通性通法 利用导数判断函数的单调性的策略 利用导数证明或判断一个可导函数在给定区间内的单调性，实质上就是判断f'（x）的正负或证明不等式f'（x）≥0（或f'（x）≤0）在给定区间内恒成立.一般步骤为：①求导数f'（x）；②判断f'（x）的符号；③得出结论. 【跟踪训练】 　（多选）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（　　） A.y＝2x3＋4x B.y＝x＋sin（－x） C.y＝log2｜x｜ D.y＝2x－2－x 题型二 利用导数求函数的单调区间 【例2】　求下列函数的单调区间： （1）f（x）＝x3－4x2＋4x－1； （2）f（x）＝（x＞0且x≠1）. 通性通法 利用导数求函数单调区间的方法 （1）列表法：①求定义域：确定函数f（x）的定义域；②求导：求f'（x）；③确定零点：判断导函数f'（x）有无零点，若有零点，通过解方程f'（x）＝0求出零点；④列表：用f'（x）的零点和函数的无定义点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各区间上的正负；⑤得结论：由此得出函数f（x）在定义域内的单调性. （2）解不等式法：①求定义域：确定函数f（x）的定义域；②求导：求f'（x）；③解不等式：在定义域内，令f'（x）＞0，解得函数f（x）的单调递增区间；令f'（x）＜0，解得函数f（x）的单调递减区间. 【跟踪训练】 　求下列函数的单调区间： （1）f（x）＝； （2）f（x）＝2x2－ln x. 题型三 函数图象与导函数图象的关系 【例3】　已知导函数f'（x）的下列信息：当x＜0或x＞7时，f'（x）＞0；当0＜x＜7时，f'（x）＜0；当x＝0或x＝7时，f'（x）＝0，试画出函数f（x）的大致图象. 通性通法 研究函数图象与导函数图象之间关系的方法 导函数f'（x）图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f（x）图象上升部分对应的区间（单调递增区间），导函数f'（x）图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f（x）图象下降部分对应的区间（单调递减区间）. 【跟踪训练】 1.（2024·宁德月考）函数y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f'（x）的图象可能是（　　） 2.已知f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（　　） 　　 1.函数f（x）＝sin x－2x在（－∞，＋∞）上（　　） A.是增函数 B.是减函数 C.先增后减 D.先减后增 2.（2024·惠州月考）已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能为（　　） 3.函数f（x）＝x3－3x的单调递减区间为　　　　. 4.证明：函数f（x）＝在区间（0，2）上单调递增. 第2课时　函数单调性的应用 题型一 含参数函数的单调性 【例1】　讨论函数f（x）＝ax2＋x－（a＋1）ln x（a≥0）的单调性. 通性通法 讨论含参函数的单调性的关键点 （1）涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数f'（x）在某一个区间内的正负是否有影响.若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结； （2）求含参函数y＝f（x）的单调区间，实质上就是解含参数的不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0. 【跟踪训练】 　设函数f（x）＝ex－ax－2（a∈R），求f（x）的单调区间. 题型二 根据函数的单调性求参数 【例2】　已知函数f（x）＝x3－ax－1为R上的增函数，求实数a的取值范围. 通性通法 由函数的单调性求参数的技巧 （1）转化为导数不等式恒成立问题：若f（x）在区间上单调递增（减），则f'（x）≥（≤）0恒成立，可以利用分离参数法或函数性质求参数，注意检验参数取“＝”时是否满足题意； （2）若f（x）在区间上不是单调函数，则解法通常有以下两种： ①转化为单调函数求参数，再求其补集； ②转化为函数的导函数有变号的零点，再求参数. 【跟踪训练】 1.（2024·青岛月考）若函数f（x）＝ax－ln x在[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，1] B.[1，＋∞） C.［，＋∞） D.（－∞，］ 2.若函数f（x）＝x3－12x在区间（k－1，k＋1）上不单调，则实数k的取值范围是（　　） A.（－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞） B.（－3，－1）∪（1，3） C.（－2，2） D.不存在这样的实数k 题型三 函数单调性的应用 【例3】　（1）（2024·郑州月考）已知函数f（x）＝＋ln x，则（　　） A.f（e）＜f（π）＜f（2.7） B.f（π）＜f（e）＜f（2.7） C.f（e）＜f（2.7）＜f（π） D.f（2.7）＜f（e）＜f（π） （2）已知函数f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1），若f（1－a）＋f（1－a2）＜0成立，则实数a的取值范围为（　　） A.（0，1） B.（1，） C.（－2，－） D.（－∞，－2）∪（1，＋∞） 通性通法 比较大小及求函数不等式解集的一般思路 （1）在比较两数（式）的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小，有时还需要根据待比较式的结构特征构造新的函数，由新函数的单调性来比较大小. （2）对于利用导数解不等式问题，需要利用导数判断出函数的单调性，再利用单调性解不等式.注意函数定义域. 【跟踪训练】 1.已知实数x，y满足2x＋2x＜2y＋2y，则（　　） A.x＞y B.x＝y C.x＜y D.x，y的大小不确定 2.如图所示的是函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，f'（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x·f'（x）＜0的解集为　　　　. 1.设函数f（x）＝2x＋sin x，则（　　） A.f（1）＞f（2） B.f（1）＜f（2） C.f（1）＝f（2） D.以上都不正确 2.若函数f（x）＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为（　　） A.[－1，＋∞） B.[1，＋∞） C.（－1，＋∞） D.（1，＋∞） 3.（2024·温州月考）已知函数f（x）＝，若f（a＋3）＞f（2a），则a的取值范围是　　　　. 4.已知函数f（x）＝x3＋ax2－a2x＋2（a＞0）.求函数f（x）的单调区间. 培优课　导数中函数的构造问题 题型一 利用f（x）与x构造 【例1】　（2024·厦门质检）已知f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜－xf'（x），则不等式f（x＋1）＞（x－1）f（x2－1）的解集是（　　） A.（0，1） B.（2，＋∞） C.（1，2） D.（1，＋∞） 通性通法 常见构造函数的形式 （1）对于f'（x）±g'（x）＞0，构造h（x）＝f（x）±g（x）； （2）对于f'（x）＞a，构造h（x）＝f（x）－ax； （3）对于xf'（x）＋f（x）＞0，构造h（x）＝xf（x）； （4）对于xf'（x）－f（x）＞0，构造h（x）＝. 【跟踪训练】 设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　） A.（－∞，－1）∪（0，1） B.（－1，0）∪（1，＋∞） C.（－∞，－1）∪（－1，0） D.（0，1）∪（1，＋∞） 题型二 利用f（x）与ex构造 【例2】　（2024·绍兴月考）若函数f（x）对任意x∈R都有f'（x）＞f（x）成立，则（　　） A.3f（ln 5）＞5f（ln 3） B.3f（ln 5）＝5f（ln 3） C.3f（ln 5）＜5f（ln 3） D.3f（ln 5）与5f（ln 3）的大小不确定 通性通法 f（x）与ex构造常见的形式 （1）对于f'（x）＋nf（x）＞0，构造函数h（x）＝enxf（x）； （2）对于f'（x）－nf（x）＞0，构造函数h（x）＝. 【跟踪训练】 函数f（x）的导函数为f'（x），对任意x∈R，都有f'（x）＞－f（x）成立，若f（ln 2）＝，试求不等式f（x）＞的解集. 题型三 利用f（x）与sin x，cos x构造 【例3】　已知函数f（x）的定义域为（0，π），其导函数是f'（x）.若f'（x）sin x－f（x）cos x＞0恒成立，则关于x的不等式f（x）＜2f（）·sin x的解集为　　　　. 通性通法 f（x）与sin x，cos x构造常见的形式 （1）对于f'（x）sin x＋f（x）cos x＞0，构造函数h（x）＝f（x）sin x； （2）对于f'（x）sin x－f（x）cos x＞0，构造函数h（x）＝； （3）对于f'（x）cos x－f（x）sin x＞0，构造函数h（x）＝f（x）cos x； （4）对于f'（x）cos x＋f（x）sin x＞0，构造函数h（x）＝. 【跟踪训练】 （2024·茂名月考）已知R上的奇函数f（x），其导函数为f'（x），且当x∈（0，＋∞）时，f'（x）sin x＋f（x）cos x＜0，若a＝f（－），b＝－f（），则a与b的大小关系为　　　　. 1.（2024·三明月考）已知f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）＋f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（　　） A.bf（b）≤af（a） B.bf（a）≤af（b） C.af（a）≤bf（b） D.af（b）≤bf（a） 2.已知函数f（x）的导函数为f'（x），对任意x∈R，都有f'（x）＜f（x）成立，则（　　） A.ef（2）＜f（3） B.ef（2）≤f（3） C.ef（2）＞f（3） D.f（2）＜e2f（3） 3.已知f（x）是定义在（0，）上的函数，其导函数为f'（x），f（）＝2，且当x∈（0，）时，f'（x）sin x＋f（x）cos x＞0，试求不等式f（x）sin x＜3的解集. 5.3.2　函数的极值与最大（小）值 第1课时　函数的极值 知识点　极小值、极大值的概念 极小值 极大值 图象 定义 函数y＝f（x）在点x＝a处的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点处的函数值都　　，f'（a）＝0；而且在点x＝a附近的左侧　　　，右侧　　　，把　　叫做函数y＝f（x）的极小值点，　　　叫做函数y＝f（x）的极小值 函数y＝f（x）在点x＝b处的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点处的函数值都　　，f'（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧　　　，右侧f'（x）　　　0，把　　叫做函数y＝f（x）的极大值点，　　　叫做函数y＝f（x）的极大值 极小值点、极大值点统称为　　　　，极小值和极大值统称为　　　 提醒　（1）极值点不是点； （2）极值是函数的局部性质； （3）函数的极值不唯一； （4）极大值与极小值两者的大小不确定； （5）极值点出现在区间的内部，端点不可能是极值点. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）导数为0的点一定是极值点.（　　） （2）函数的极大值一定大于极小值.（　　） （3）函数y＝f（x）一定有极大值和极小值.（　　） （4）函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.（　　） 2.已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）有（　　） A.两个极大值，一个极小值 B.两个极大值，无极小值 C.一个极大值，一个极小值 D.一个极大值，两个极小值 3.已知函数f（x）＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则a＝　　　　. 　 题型一 极值的图象特征 【例1】　（2024·济宁月考）函数f（x）的定义域为R，导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（　　） A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点 通性通法 解决函数极值与函数、导函数图象关系的注意点 （1）对于导函数的图象，重点关注导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，图象在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数的值是怎样变化的； （2）对于函数的图象，重点关注函数在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减，哪个点是极大值点，哪个点是极小值点. 【跟踪训练】 已知函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）上的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）上的极小值点共有（　　） A.3个 B.2个 C.1个 D.4个 题型二 利用导数求函数的极值 角度1　求不含参数的函数的极值 【例2】　求下列函数的极值： （1）f（x）＝（x3－1）2＋1； （2）f（x）＝. 通性通法 函数极值和极值点的求解步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求方程f'（x）＝0的根； （3）用方程f'（x）＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； （4）由f'（x）在方程f'（x）＝0的根左右的符号，来判断f（x）在这个根处取极值的情况. 角度2　求含参数的函数的极值 【例3】　已知函数f（x）＝x－aln x（a∈R），求函数f（x）的极值. 通性通法 求含参数函数极值的基本思路 　　求含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想解决问题，讨论的依据有两种：一是看参数是否对f'（x）的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看零点附近的符号是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论. 【跟踪训练】 　求函数f（x）＝x3－3ax＋b（a≠0）的极值. 题型三 由极值求参数值（范围） 【例4】　（1）（2024·阳江月考）已知函数f（x）的导数f'（x）＝a（x＋1）（x－a），若f（x）在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，－1） B.（0，＋∞） C.（0，1） D.（－1，0） （2）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，试求a的值. 通性通法 由函数极值求参数的方法 　　对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件： （1）极值点处的导数值为0，极值点附近两侧的导数值异号，利用待定系数法列方程（不等式）求解； （2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 【跟踪训练】 　设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则（　　） A.a＜－ B.a＞－1 C.a＜－1 D.a＞－ 1.已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，若f（x）在x＝x0处有极值，则x0＝（　　） A.－3 B.0 C.3 D.7 2.（2024·三门峡月考）函数f（x）＝x3－x2－3x＋6的极大值为　　　　，极小值为　　　　. 3.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝　　　　，b＝　　　　. 第2课时　函数的最大（小）值 知识点　函数的最大（小）值 1.函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最值 （1）取得最值的条件：在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条　　　　　的曲线； （2）结论：函数y＝f（x）必有最大值和最小值，函数的最值在　　　　或　　　　　取得. 提醒　连续可导函数，在闭区间上一定有最值. 2.求函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 （1）求函数y＝f（x）在区间（a， b）内的　　　； （2）将函数y＝f（x）的　　　　与端点处的函数值　　　　，　　　　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数的最大值不一定是函数的极大值.（　　） （2）函数f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.（　　） （3）函数f（x）在区间（a，b）上连续，则f（x）在区间（a，b）上一定有最值，但不一定有极值.（　　） 2.连续函数y＝f（x）在[a，b]上（　　） A.极大值一定比极小值大 B.极大值一定是最大值 C.最大值一定是极大值 D.最大值一定大于极小值 3.函数f（x）＝x3－4x＋3在[0，3]上的最小值为　　　　. 　题型一 极值与最值的关系 【例1】　如图是函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值. 通性通法 极值与最值的关系 （1）最值在极值点或区间端点处取得； （2）开区间的连续函数若有最值，最值在极值点处取得. 提醒　函数的极值可以有多个，但最值只能有一个. 【跟踪训练】 设f（x）是区间[a，b]上的连续函数，且在（a，b）内可导，则下列结论中正确的是（　　） A.f（x）的极值点一定是最值点 B.f（x）的最值点一定是极值点 C.f（x）在区间[a，b]上可能没有极值点 D.f（x）在区间[a，b]上可能没有最值点 题型二 求函数的最值 角度1　求不含参数的函数的最值 【例2】　求下列各函数的最值： （1）f（x）＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]； （2）f（x）＝ex（3－x2），x∈[2，5]. 通性通法 求不含参数的函数的最值的步骤 （1）确定函数的定义域，对函数进行求导，并检验f'（x）＝0的根是否在给定区间内； （2）判断函数的单调性，研究函数的极值； （3）比较函数的极值与端点函数值的大小，确定函数的最大值或最小值. 角度2　求含参数的函数的最值 【例3】　若a＞0，求函数f（x）＝－x3＋3ax（0≤x≤1）的最大值. 通性通法 求含参函数的最值的步骤 （1）求函数的导函数f'（x）； （2）求方程f'（x）＝0的全部实根，同时根据参数的范围，判断f'（x）＝0的根是否在区间[a，b]内； （3）根据参数的取值范围，确定函数的极大值、极小值； （4）将函数的极值与端点处的函数值进行比较，得到函数的最大值、最小值. 【跟踪训练】 1.（2024·东营月考）函数y＝x－sin x，x∈［，π］的最大值是（　　） A.π－1 B.－1 C.π D.π＋1 2.已知函数f（x）＝x3－ax2－a2x，求函数f（x）在[0，＋∞）上的最小值. 题型三 由函数的最值求参数 【例4】　（1）（2024·中山月考）函数f（x）＝x3－x2－x＋a在区间[0，2]上的最大值是3，则a＝（　　） A.3 B.1 C.2 D.－1 （3） 已知函数f（x）＝ln x－ax存在最大值0，求a的值. 通性通法 　　已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根据已知最值列方程（不等式）解决问题. 【跟踪训练】 　已知函数h（x）＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围. 1.下列结论正确的是（　　） A.若f（x）在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B.若f（x）在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C.若f（x）在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得 D.若f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上存在最大值和最小值 2.函数f（x）＝（x＋1）ex的最小值是　　　　. 3.（2024·濮阳月考）若函数f（x）＝x3＋x2＋m在[－2，1]上的最大值为，试求m的值. 第3课时　利用导数解决与函数有关的问题 题型一 利用导数画函数的大致图象 【例1】　已知f（x）＝（a－x＋1）ex，其中a＞0，试画出函数f（x）的大致图象. 通性通法 利用导数画函数大致图象的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）利用导数确定函数的单调性与极值； （3）确定f（x）的图象经过一些特殊点，以及图象的变化趋势； （4）画出f（x）的大致图象. 【跟踪训练】 　试画出函数f（x）＝的图象. 题型二 利用导数研究函数的零点与方程的根 【例2】　判断函数f（x）＝ex（x2－2x＋1）－x的零点个数. 通性通法 利用导数确定函数零点或方程根的个数的方法 （1）数形结合：将函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点，利用导数画出函数的大致图象，进而得到函数零点的个数； （2）利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值和区间端点处的函数值的符号，进而判断函数在该区间上的零点个数. 【跟踪训练】 　（2024·郑州月考）若函数f（x）＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f（x）取得极值－. （1）求函数f（x）的解析式； （2）若方程f（x）＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围. 题型三 生活中的优化问题 【例3】　（2024·宁波月考）某小型电子产品厂经过市场调研，生产某小型电子产品需要年投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W（x）万元，在年产量不足4万件时，W（x）＝x3＋2x；在年产量不小于4万件时，W（x）＝7x＋－27.每件产品售价6元.通过市场分析，生产的商品当年能全部售完. （1）写出年利润P（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） （2）年产量为多少万件时，在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 通性通法 1.利用导数解决实际问题时，要注意以下几点 （1）当问题中涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量间的关系式； （2）确定函数关系式中自变量的取值范围； （3）所得的结果要符合问题的实际意义. 2.要注意方法的灵活运用，如配方法、基本不等式法等. 【跟踪训练】 　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元（π为圆周率）. （1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域； （2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 1.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（　　） A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件 2.（2024·揭阳月考）函数f（x）＝（x－1）ex的图象大致为（　　） 3.已知函数f（x）＝（x2＋a）ex有最小值，则函数y＝f'（x）的零点个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.不确定 培优课　利用导数研究不等式 　　 题型一 利用导数证明不等式 【例1】　已知x＞1，证明：ln x＋＞1. 通性通法 证明不等式f（x）＞g（x），x∈（a，b）的方法 （1）将要证明的不等式f（x）＞g（x）移项可以转化为证明f（x）－g（x）＞0； （2）构造函数F（x）＝f（x）－g（x），研究F（x）的单调性； （3）若[f（x）－g（x）]'＞0，说明函数F（x）＝f（x）－g（x）在（a，b）上是增函数.只需保证F（a）≥0； （4）若[f（x）－g（x）]'＜0，说明函数F（x）＝f（x）－g（x）在（a，b）上是减函数.只需保证F（b）≥0. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝x2＋ln x，g（x）＝x3，求证：在区间（1，＋∞）上，f（x）＜g（x）. 题型二 利用导数研究不等式恒成立问题 【例2】　已知函数f（x）＝ln x＋ax－a2x2（a＞0）.若f（x）＜0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围. 通性通法 由不等式恒成立求参数的取值范围的策略 （1）求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题； （2）分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a＞f（x）max或a＜f（x）min的形式，通过导数的应用求出f（x）的最值，即得参数的取值范围. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝xln x，若对于所有x≥1都有f（x）≥ax－1，求实数a的取值范围. 1.已知函数f（x）＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f（x）＋9≥0恒成立，则m的取值范围是（　　） A.m≥ B.m＞ C.m≤ D.m＜ 2.（2024·许昌月考）若不等式ax2≥ln x恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A.［，＋∞） B.（，＋∞） C.（－∞，］ D.（－∞，） 3.当x＞0时，证明：不等式ln（x＋1）＞x－x2. 培优课　两个经典不等式ex≥x＋1、ln x≤x－1的证明及应用 题型一 经典不等式ex≥x＋1 【例1】　证明不等式ex≥x＋1. 【母题探究】 证明不等式ex≥ex（x∈R）. 通性通法 与ex有关的常用不等式 （1）e－x≥1－x（x∈R，当x＝0时，等号成立）； （2）ex≥ex（x∈R，当x＝1时，等号成立）； （3）ex≤（x＜1，当x＝0时，等号成立）； （4）xex＝ex＋ln x≥x＋ln x＋1； （5）＝ex－ln x≥x－ln x＋1. 【跟踪训练】 设函数f（x）＝1－e－x，求证：当x＞－1时，f（x）≥. 题型二 经典不等式ln x≤x－1 【例2】　证明不等式ln x≤x－1. 【母题探究】 　证明不等式ln（x＋1）≤x. 通性通法 与ln x有关的常用不等式 （1）≤ln x≤x－1（x＞0，当且仅当x＝1时，等号成立）； （2）ln x≤（x＞0，当且仅当x＝e时，等号成立）； （3）ln x≤（0＜x≤1，当且仅当x＝1时，等号成立）； （4）ln x≥（x≥1，当且仅当x＝1时，等号成立）； （5）x＋ln x＝ln（xex）≤xex－1； （6）x＋nln x＝ln（xnex）≤xnex－1. 【跟踪训练】 求证：对任意正整数n，不等式ln（1＋n）－ln n＜都成立. 题型三 两个经典不等式的简单应用 【例3】　已知函数f（x）＝x2＋x－ln x.证明：对任意的x＞0，f（x）＋ex＞x2＋x＋2. 通性通法 　　由ex＞x＋1＞x＞x－1＞ln x，可用该不等式通过放缩证明一些不等式. 提醒　在应用两个经典不等式时，要注意：①等号成立的条件；②对于小题可直接应用，对于解答题要写出证明过程. 【跟踪训练】 1.（2024·济南月考）若函数y＝ln（ex－x＋a）的值域为R，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－1] B.（－∞，0] C.[0，＋∞） D.[1，＋∞） 2.已知函数f（x）＝ex－2－x，求证：f（x）＞. 1.已知a＝，b＝，c＝ln，则a，b，c的大小关系为（　　） A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.b＜a＜c 2.（2024·洛阳月考）已知正实数x，y满足＋2y－2＝ln x＋ln y，则xy＝　　　　. 3.已知x＞0，求证：＜ln（1＋x）. 第 1 页 共 107 页 学科网（北京）股份有限公司 $