5.1.1 变化率问题（第1课时）教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 《5.1.1 变化率问题（第1课时）》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求 通过实例，了解平均变化率的概念，会求函数在某区间内的平均变化率；通过平均变化率过渡到瞬时变化率，了解瞬时变化率的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会极限思想. 课标分析 本节课是导数概念的起始课，平均变化率是搭建函数单调性与导数之间的桥梁，瞬时变化率是导数的本质内涵.课标要求从具体物理情境（高台跳水、自由落体等）出发，让学生经历“平均→瞬时”的认知过程，落实数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养，为后续导数的几何意义、导数运算及应用奠定基础.教学中需依托实际问题，弱化纯理论推导，强化直观感知与极限思想的渗透. 2、 教材分析 “变化率问题”是人教A版高中数学选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》的开篇内容.本节课以高台跳水为核心情境，从平均速度入手，逐步过渡到瞬时速度，抽象出平均变化率与瞬时变化率的概念，是导数概念形成的关键铺垫.它承接必修第一册函数单调性的定性研究，开启导数定量刻画函数变化快慢的新内容，在函数知识体系中起到承上启下的作用，同时是培养学生极限思想、数学建模素养的重要载体. 3、 学情分析 学生在必修阶段已掌握函数概念、单调性、一次函数、指数函数、对数函数的增长差异，具备一定的函数分析与计算能力.但学生对“变化快慢的定量刻画”较为陌生，极限思想抽象难懂，容易混淆平均变化率与瞬时变化率的区别与联系.同时，学生对物理情境中的速度问题有生活认知，可借助生活经验降低理解难度，通过计算、观察、归纳突破难点. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从高台跳水、火箭发射等实例中，抽象出平均变化率、瞬时变化率的概念，理解变化率的本质含义. 1. 逻辑推理素养：通过平均速度逼近瞬时速度的过程，体会极限思想，推理平均变化率与瞬时变化率的关系. 1. 数学运算素养：熟练计算函数在某区间的平均变化率，会利用极限思想求某点的瞬时变化率（瞬时速度）. 1. 直观想象素养：结合物理运动图像，直观理解平均速度、瞬时速度的几何意义，感知函数变化趋势. 1. 数学建模素养：将物理运动问题转化为函数变化率模型，用数学方法解决实际运动问题. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：平均变化率的概念与计算；瞬时变化率（瞬时速度）的概念与求解. 1. 难点：理解瞬时变化率的极限思想；区分平均变化率与瞬时变化率. 六、教学过程 环节一：检查预习 教师活动 1. 投影预习问题，点名学生回答，对错误答案进行纠正. 1. 强调预习中涉及的函数差值、平均速度等基础要点. 预习问题及答案 1. 已知函数，，，则______，______.（答案：；） 1. 物体做直线运动，位移，则的平均速度为______.（答案：） 1. 计算：，______.（答案：） 1. 判断：平均速度能精确描述物体某一时刻的运动状态.（答案：×） 1. 函数从到的平均变化率为______.（答案：） 学生活动 独立完成预习检测，举手回答问题，核对答案. 设计目的 检测预习效果，夯实基础，为新课探究扫清障碍. 环节二：引入课题 （一）温故知新（3分钟） 教师活动 提问：必修一中我们如何研究函数的单调性？一次函数、指数函数、对数函数的增长速度有何差异？ 引导学生回顾：函数单调性定性描述变化快慢，指数增长快于直线增长，对数增长越来越慢. 追问：如何定量精确刻画函数变化的快慢？引出本节课主题——变化率问题. 学生活动 回顾旧知，回答问题，思考定量刻画变化快慢的方法. 设计目的 衔接新旧知识，引发认知冲突，激发学习兴趣，自然导入新课. 教师活动 1. 展示高台跳水视频与高度函数： 设运动员重心相对于水面的高度（单位：，单位：）. 1. 提出问题：如何描述运动员在某段时间内的运动快慢？ 1. 引导学生回忆物理中平均速度公式：. 学生活动 观察情境，回忆平均速度公式，尝试用公式表示运动快慢. 设计目的 依托真实物理情境，降低概念理解难度，为平均变化率做铺垫 环节三：合作探究 平均变化率（10分钟） 1. 计算平均速度 教师活动 给出计算任务，巡视指导，规范计算步骤： 计算下列时间段内运动员的平均速度： (1) (2) (3) (4) 学生活动 独立计算，小组核对答案. 答案 (1) ， (2) ， (3) ， (4) 2. 抽象平均变化率概念 教师活动 1. 引导学生由平均速度类比得到函数平均变化率： 对于函数，称为函数从到的平均变化率. 1. 强调：平均变化率刻画函数区间内的平均变化快慢. 学生活动 类比归纳，理解平均变化率定义，记录公式. 环节四：学以致用 3. 基础例题 教师活动 出示例题，讲解步骤： 例1：求在上的平均变化率. 解：，，. 学生活动 跟随教师完成计算，掌握步骤. 4. 即时练习 教师活动 出示练习题，提问学生回答： (1) 已知，求从到的平均变化率. (2) 求在上的平均变化率. 学生活动 快速计算，举手回答. 答案 (1) (2) 设计目的 从具体计算到抽象概念，落实数学运算与数学抽象素养，例题+练习足量巩固新知. （五）深度探究：瞬时变化率（12分钟） 1. 提出问题 教师活动 追问：平均速度能精确表示时的运动状态吗？引导学生发现：平均速度是区间内的近似值，某一时刻需要瞬时速度. 学生活动 思考讨论，认同平均速度无法精确刻画某时刻速度. 2. 极限逼近求瞬时速度 教师活动 1. 给出附近的时间间隔，计算平均速度： -0.01 -0.001 -0.0001 0.0001 0.001 0.01 平均速度 -6.951 -6.9951 -6.99951 -7.00049 -7.0049 -7.049 1. 引导观察：当时，平均速度趋近于，此即为时的瞬时速度. 1. 给出瞬时变化率定义： 当时，平均变化率的极限为瞬时变化率，即. 学生活动 观察表格数据，感知极限逼近过程，理解瞬时变化率概念. 3. 例题讲解 教师活动 出示例题，规范解题步骤： 例2：求高台跳水运动员在时的瞬时速度. 解： 例3：求高台跳水运动员在时的瞬时速度. 解：计算得极限为. 学生活动 跟随教师思路，记录解题步骤，理解极限计算方法. 4. 巩固练习 教师活动 出示练习题，巡视批改： (1) 火箭高度，求时的瞬时速度. (2) 小球自由下落，求时瞬时速度. 学生活动 独立完成，同桌互查. 答案 (1) (2) 设计目的 通过数据观察渗透极限思想，双例题+双练习，足量训练突破难点，强化逻辑推理与运算能力. 小试牛刀： 1. 如图,函数在区间上的平均变化率为 （ ） A. B. C. D. 1. 函数在处的瞬时变化率是________. 1. 已知函数,当时,________. 1. 某物体的运动路程(单位:)与时间(单位:)之间的关系为,求物体在时的瞬时速度. . 环节五：课堂小结 教师活动 引导学生回顾： 1. 平均变化率公式： 1. 瞬时变化率：平均变化率的极限 1. 核心思想：极限思想 学生活动 自主梳理知识，构建知识体系. 设计目的 梳理重难点，强化记忆，形成完整认知. 环节六：布置作业 教师活动 1. 书面作业：课本对应练习题，完成5道基础计算题. 1. 拓展作业：查阅生活中变化率的实例（如气温变化、车速变化），记录并计算平均变化率. 1. 预习：导数的几何意义. 学生活动 记录作业，明确预习任务. 设计目的 分层作业巩固新知，预习为下节课做准备. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课以高台跳水为核心情境，从平均速度过渡到瞬时速度，顺利抽象出平均变化率与瞬时变化率概念，极限思想的渗透借助数据表格更直观.教学中通过预习检测夯实基础，足量例题与练习保障训练强度，学生参与度较高.教学中需关注学生对极限计算的理解程度，减少复杂代数推导，多结合实例与图像；同时加强学生自主计算与讨论环节，让学生充分感知“平均到瞬时”的过程，进一步落实核心素养.针对计算薄弱的学生，需加强课后个别指导，确保掌握基本公式与解题步骤. 学科网（北京）股份有限公司 $