第4章 4.4 数学归纳法-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

单元学习四*　数学归纳法

　　[单元整体设计]　本单元内容为选学内容，不作为考试要求.数学归纳法是一种特殊的数学演绎证明方法，是证明与正整数n有关的数学命题的非常实用的研究工具，蕴含着丰富的数学文化和哲学思想. 通过具体情境，了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单问题，学习计划1课时.

　　本单元内容重点是数学归纳法的原理和应用，难点是数学归纳法的原理.通过学习数学归纳法的过程，积累从特殊到一般、猜想再证明的数学活动经验，提升数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养.

任务一　数学归纳法

(阅读教材P44－47，完成探究问题1，2)

问题1.如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？

提示：　不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确.例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，只能留给你们了.

问题2.在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？

提示：　要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下.像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫做数学归纳法.它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的.

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.

[微提醒]　(1)初始值n0的选择不一定是1，要结合题意恰当地选择．(2)证明n＝k＋1时命题成立，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间严密的逻辑关系，造成推理无效．

角度1　 初始项与归纳假设问题

(1)用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n≥n0，n0，n∈N*)时，初始值n0应等于________．

(2)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n-1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：

①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k-1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k-1＋2k＝＝2k+1－1，所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明，错误是____________.

答案：(1)6　 (2)未用归纳假设

解析：(1)由题意，得当n＝1时，21<(1＋1)2；当n＝2时，22<(2＋1)2；当n＝3时，23<(3＋1)2；当n＝4时，24<(4＋1)2；当n＝5时，25<(5＋1)2；当n＝6时，26>(6＋1)2，所以用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n≥n0，n0，n∈N*)时，初始值n0应等于6.

(2)本题在由n＝k成立证明当n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．

数学归纳法的三个关键点

1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.

2．递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律．

3．利用假设是核心：在第二步证明当n＝k＋1时，一定要利用归纳假设．

角度2　归纳递推过程中项的变化问题

用数学归纳法证明“＋…＋”的过程中，从n＝k(k∈N*)到n＝k＋1时，不等式的左边增加了(　　 )

A．    B．

C．    D．

答案：B

解析：用数学归纳法证明不等式＋…＋的过程中，假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，左边＝＋…＋，则当n＝k＋1时，左边＝＋…＋，所以从n＝k(k∈N*)到n＝k＋1时，不等式的左边增加了＝.故选B.

弄清楚等式或不等式两侧的项的变化规律，才能清楚增加了哪些项或增加了多少项以及减少了哪些项或减少了多少项．　　

对点练1.(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)，验证当n＝1时，左边应取的项是(　　)

A．1    B．1＋2