专题12.2 因式分解及应用（拓展） 优等生讲义 （知识精讲+典例+课后巩固）2026－2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

专题12.2 因式分解及应用（拓展） 优等生讲义 （知识精讲+典例+课后巩固）新沪教版（五四制）数学七年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 1. 理解十字相乘法的原理，能熟练分解二次三项式。 1. 掌握分组分解法，能对四项及以上多项式合理分组并分解。 1. 能综合运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法进行因式分解。 1. 会用配方法、换元法、试根法等方法解决因式分解相关问题。 1. 能应用因式分解解决密码编制、代数式求值、几何图形面积等实际问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 十字相乘法 方法：对于二次三项式 ，找到两个数 、，使 ，，则 。对于一般二次三项式 ，可竖分二次项和常数项，交叉相乘凑中项。 典型例题1： 分解因式：。 解析：把 看作常数，找两个数 和 ，使 ，，所以原式。 ☆ 2. 分组分解法 方法：将多项式适当分组，分别提公因式或套公式，再从整体上提公因式或套公式。分组方式不唯一，要保证分组后能继续分解。 典型例题2： 分解因式：。 解析：原式。 ☆ 3. 因式分解的应用 常见类型：①代数式求值；②判断整除；③编制密码；④几何图形面积验证；⑤新定义问题。 典型例题3： 已知 ，，求 的值。 解析：。 ☆ 4. 配方法、换元法与试根法 配方法：添加适当项配成完全平方，再用平方差公式分解。换元法：把某一部分看作整体，简化后再分解。试根法：若 ，则整式含因式 ，再用长除法分解。 典型例题4： 分解因式：。 解析：原式。 ☆ 5. 数形结合与因式分解 方法：用不同方法表示同一图形面积，得到因式分解等式。例如：。 典型例题5： 用图形面积验证：。 解析：构造长方形，长为 ，宽为 ，面积为 ，故等式成立。（可画长方形分割图） 知识总结表 核心概念 方法/定义 注意事项 十字相乘法 ，， 注意符号，二次项系数不为1时需分解系数 分组分解法 适当分组，分别提公因式或套公式，再整体分解 分组不唯一，要保证能继续分解 配方法 添加项配成完全平方，再用平方差公式 注意恒等变形，加项后要减项 换元法 把某一部分看作整体，设为新变量 最后要还原 试根法 若 ，则含因式 常结合长除法或待定系数法 因式分解应用 求值、密码、整除、几何面积等 先分解再整体代入 核心考点 ·3大典型考点精讲 【考点1】因式分解-十字相乘法（第1-15题） 1. 竖分二次项与常数项，交叉相乘凑中项。 1. 二次项系数不为1时，注意分解系数并检验。 1. 整体换元后可转化为二次三项式，再用十字相乘法。 1. 注意符号，常数项分解成两数积，和为一次项系数。 1．（2024秋•杨浦区校级月考）下列各式因式分解正确的是（　　） A．（x+y）2＝x2+2xy+y2 B．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 C． D．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2 【分析】根据因式分解的方法逐项判断即可． 【解答】解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，不是因式分解，不符合题意； B、x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），不符合题意； C、x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），不符合题意； D、x2+6xy+9y2＝（x+3y）2，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查因式分解﹣十字相乘法和公式法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 2．（2025•厦门自主招生）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　） A．1 B．4 C．11 D．12 【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知m＝p+q，pq＝﹣12． 【解答】解：﹣12可以分成：﹣2×6，2×（﹣6），﹣1×12，1×（﹣12），3×（﹣4），﹣3×4， 而﹣2+6＝4，2+（﹣6）＝﹣4，﹣1+12＝11，1+（﹣12）＝﹣11，3+（﹣4）＝﹣1，﹣3+4＝1， 因为11＞4＞1＞﹣1＞﹣4＞﹣11， 所以m最大＝p+q＝11． 故选：C． 【点评】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键． 3．（2025秋•黄浦区校级月考）若x2+kx+12＝（x+a）（x+b），且a、b、k均为整数，则k的值不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．﹣13． 【分析】由等式右边展开得 x2+（a+b）x+ab，与左边比较系数，得 ab＝12 和 a+b＝k．由于 a、b 为整数，枚举所有整数对 （a，b） 满足 ab＝12，计算 k＝a+b，即可确定 k 的可能值． 【解答】解：若x2+kx+12＝（x+a）（x+b），且a、b、k均为整数， ∵x2+kx+12＝（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab， ∴比较系数，得 ab＝12，a+b＝k， ∵a、b 为整数，且 ab＝12， ∴所有整数对 （a，b） 为： （1，12），k＝13； （2，6），k＝8； （3，4），k＝7； （﹣1，﹣12），k＝﹣13； （﹣2，﹣6），k＝﹣8； （﹣3，﹣4），k＝﹣7． （其余对为重复值，略）， ∴k 的可能值为 13，8，7，﹣13，﹣8，﹣7． 选项A.6不在可能值中，故不可能． 故选：A． 【点评】本题考查的是多项式的整数解问题，灵活运用因式分解和整数的性质是解题的关键． 4．（2025秋•上海校级期中）若x2+ax+16在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（　　）个． A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】利用十字相乘法进行求解即可． 【解答】解：当16＝1×16时，a＝1+16＝17， 当16＝﹣1×（﹣16）时，a＝﹣1﹣16＝﹣17， 当16＝2×8时，a＝2+8＝10， 当16＝﹣2×（﹣8）时，a＝﹣2+（﹣8）＝﹣2﹣8＝﹣10， 当16＝4×4时，a＝4+4＝8， 当16＝﹣4×（﹣4）时，a＝﹣4+（﹣4）＝﹣4﹣4＝﹣8， ∴a的值一共有6个． 故选：C． 【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，掌握因式分解的方法是关键． 5．（2025秋•黄浦区校级月考）因式分解x2+mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x﹣6）（x+2），乙看错了n的值，分解的结果为（x+8）（x﹣4），那么x2+mx+n分解因式正确的结果为（　　） A．（x+3）（x﹣4） B．（x+4）（x﹣3） C．（x+6）（x﹣2） D．（x+2）（x﹣6） 【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m、n的值，最后求出答案即可． 【解答】解：（x﹣6）（x+2） ＝x2﹣6x+2x﹣12 ＝x2﹣4x﹣12， （x+8）（x﹣4） ＝x2﹣4x+8x﹣32 ＝x2+4x﹣32， ∵因式分解x2+mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x﹣6）（x+2），乙看错了n的值，分解的结果为（x+8）（x﹣4）， ∴n＝﹣12，m＝4， ∴x2+mx+n ＝x2+4x﹣12 ＝（x+6）（x﹣2）， 故选：C． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等． 6．（2026春•和平区期末）用如图1中的若干个三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是（　　） A．3a2+3ab+b2＝（a+b）（b+3a） B．3a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）（3a+b） C．3a2+4ab+3b2＝（a+b）（3a+b） D．3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b） 【分析】根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项． 【解答】解：A、3a2+3ab+b2≠（a+b）（b+3a），故A错误； B、3a2﹣3ab+b2≠（a﹣b）（3a+b），故B错误； C、3a2+4ab+3b2≠（a+b）（3a+b），故C错误； D、3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b），故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 7．（2025秋•浦东新区校级期末）已知整式mx2+7x﹣20（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是2x+5，则另一个因式是　3x﹣4　 ． 【分析】设另一个因式为一次式，通过比较系数求解． 【解答】解：设另一个因式为ax+b，则（2x+5）（ax+b）＝mx2+7x﹣20． ∴（2x+5）（ax+b）＝mx2+7x﹣20． ∴对于常数项，5b＝﹣20，解得b＝﹣4； 对于一次项系数，2b+5a＝7，代入b＝﹣4得﹣8+5a＝7，解得a＝3． ∴另一个因式为3x﹣4． 故答案为：3x﹣4． 【点评】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2025秋•杨浦区期末）因式分解：x2﹣10xy﹣24y2＝　（x﹣12y）（x+2y）　 ． 【分析】直接根据十字相乘法分解因式即可得出答案． 【解答】解：x2﹣10xy﹣24y2＝（x﹣12y）（x+2y）． 【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底． 9．（2025秋•虹口区校级月考）分解因式：（x+y）2﹣12（x+y）+35＝　（x+y﹣5）（x+y﹣7）　 ． 【分析】把（x+y）看出一个整体，利用十字相乘法分解即可． 【解答】解：原式＝（x+y﹣5）（x+y﹣7）． 故答案为：（x+y﹣5）（x+y﹣7）． 【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 10．（2025秋•普陀区期中）在对整式x2+ax+b进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为（x+2）（x+4）；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为（x﹣1）（x﹣9）．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为x2+ax+b＝ 　（x+3）2 ． 【分析】根据乘法和因式分解的关系，排除甲乙看错的项，得到原二次三项式，再因式分解即可． 【解答】解：∵（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，（x﹣1）（x﹣9）＝x2﹣10x+9， ∵甲同学因为看错了常数项， ∴多项式的二次项和一次项分别是x2、+6x， ∵乙同学因为看错了一次项系数， ∴多项式的二次项和常数项分别是x2、9， 所以该二次三项式为：x2+6x+9． x2+6x+9＝（x+3）2． 故答案为：（x+3）2． 【点评】本题考查了因式分解和多项式乘法的关系及多项式的因式分解．根据题意，确定原来的二次三项式是解决本题的关键． 11．（2024秋•杨浦区校级月考）已知x2﹣3x+k＝（x+k）（x+q），其中k、q均为整数，则k2﹣q2＝ 　﹣9或15　 ． 【分析】把等式右边展开，由对应相等得出k+p＝﹣3，kp＝k，再由k，p均为整数，求出k和p的值，即可求出答案． 【解答】解：∵x2﹣3x+k＝（x+k）（x+q）＝x2+（k+p）x+kp， ∴k+p＝﹣3，kp＝k， 当k＝0时，p＝﹣3， ∴k2﹣q2＝0﹣9＝﹣9， 当k≠0时，p＝1，k＝﹣4， ∴k2﹣q2＝16﹣1＝15． 故答案为：﹣9或15． 【点评】本题考查因式分解﹣十字相乘法等，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 12．（2025秋•虹口区校级期中）因式分解：3x2． 【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法进行二次因式分解即可． 【解答】解：原式（18x2+7xy﹣8y2） （2x﹣y）（9x+8y）． 【点评】本题考查的是因式分解，熟知因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键． 13．（2025秋•闵行区校级期中）因式分解： （1）9m2n（x﹣3y）+n（3y﹣x）； （2）（x2+x）2﹣18（x2+x）+72； （3）an+2﹣18an+81an﹣2（n为大于2的正整数）． 【分析】（1）原式先变形，再提取公因式n（x﹣3y），然后利用平方差公式分解即可； （2）先将原式变形为（x2+x）2﹣18（x2+x）+81﹣9，然后利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （3）先提取公因式an﹣2，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝9m2n（x﹣3y）﹣n（x﹣3y） ＝n（x﹣3y）（9m2﹣1） ＝n（x﹣3y）（3m﹣1）（3m+1）； （2）原式＝（x2+x）2﹣18（x2+x）+81﹣9 ＝（x2+x﹣9）2﹣9 ＝（x2+x﹣9+3）（x2+x﹣9﹣3） ＝（x2+x﹣6）（x2+x﹣12） ＝（x+3）（x﹣2）（x+4）（x﹣3）； （3）原式＝an﹣2（a4﹣18a2+81） ＝an﹣2（a2﹣9）2 ＝an﹣2（a﹣3）2（a+3）2． 【点评】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能再分解为止，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 14．（2024秋•奉贤区期中）阅读：分解因式x2+2x﹣3． 解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）， 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在有理数范围内分解因式：4a2+4a﹣15． 【分析】先加上一个适当的数与多项式的前两项配成完全平方式，再利用平方差公式得结论． 【解答】解：4a2+4a﹣15 ＝4a2+4a+1﹣1﹣15 ＝（2a+1）2﹣16 ＝（2a+1）2﹣42 ＝（2a+1+4）（2a+1﹣4） ＝（2a+5）（2a﹣3）． 【点评】本题考查了因式分解，看懂题例，掌握题例方法是解决本题的关键． 15．（2025秋•九龙坡区期末）阅读材料： 分解因式（x2+3x﹣3）（x2+3x+4）﹣8． 观察代数式：代数式中有两部分都包含x2+3x，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：t＝x2+3x．进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为（t﹣3）（t+4）﹣8，进一步化简得到t2+t﹣20．先对代数式t2+t﹣20进行因式分解： ①竖分二次项与常数项：t2＝t•t，﹣20＝（+5）×（﹣4）； ②交叉相乘，验中项：； ③横向写出两因式，得到t2+t﹣20＝（t+5）（t﹣4）． 以上对代数式t2+t﹣20进行因式分解的过程叫十字相乘法，其要领可简称为“竖乘得首尾，叉乘凑中项”． 将t＝x2+3x代回原式得（x2+3x﹣3）（x2+3x+4）﹣8＝（x2+3x+5）（x2+3x﹣4），进一步因式分解，得到（x2+3x﹣3）（x2+3x+4）﹣8＝（x2+3x+5）（x+4）（x﹣1）． 上述因式分解用到了“换元法”和“十字相乘法”．请同学们根据阅读材料提供的解决问题的思想与方法以及平时所积累的学习经验，对以下式子进行因式分解： （1）2x2﹣3x﹣2； （2）（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12． 【分析】（1）模仿示例方法直接利用十字相乘法进行因式分解即可； （2）模仿示例，利用换元法逐步进行因式分解即可． 【解答】解：（1）①竖分二次项与常数项：2x2＝2x•x，﹣2＝1×（﹣2）， ②交叉相乘，验中间项：• ③横向写出两因式，原式＝（2x+1）（x﹣2）； （2）设y＝x2+x，则原代数式化为（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y+2﹣12＝y2+3y﹣10， 对y2+3y﹣10进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：y2＝y•y，﹣10＝（+5）×（﹣2）， ②交叉相乘，验中间项：， ③横向写出两因式，得到（y+5）（y﹣2）， 还原变量：将y还原x2+x，得到（x2+x+5）（x2+x﹣2） 进一步分解得到（x2+x+5）（x+2）（x﹣1）， 所以，原式＝（x2+x+5）（x+2）（x﹣1）． 【点评】本题主要考查了因式分解，整体思想，换元思想，十字相乘法，掌握换元法和十字相乘法是解题的关键． 【考点2】因式分解-分组分解法（第16-32题） 1. 合理分组：按“提公因式”或“公式”分组。 1. 分组后能继续提公因式或套公式。 1. 有时需要拆项、添项，再分组。 1. 分组方式不唯一，以能分解到底为准。 16．（2025秋•黄浦区校级月考）用分组分解法将x2﹣xy+2y﹣2x分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A．（x2﹣2x）+（2y﹣xy） B．（x2﹣xy）+（2y﹣2x） C．（x2+2y）+（﹣xy﹣2x） D．（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y） 【分析】根据分组分解法解决本题． 【解答】解：A．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2﹣2x）+（2y﹣xy）＝x（x﹣2）﹣y（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣y），那么A分组正确，故A不符合题意． B．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2﹣xy）+（2y﹣2x）＝（x2﹣xy）﹣（2x﹣2y）＝x（x﹣y）﹣2（x﹣y）＝（x﹣y）（x﹣2），那么B分组正确，故B不符合题意． C．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2+2y）+（﹣xy﹣2x）无法进行分组分解，那么C分组错误，故C符合题意． D．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y）＝x（x﹣2）﹣y（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣y），那么D分组正确，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握分组分解法进行因式分解是解决本题的关键． 17．（2024秋•宝山区期中）下列整式中不含有x+1这个因式的是（　　） A．x2﹣1 B．x4﹣x3+x2﹣1 C．x3+1 D．x4﹣x3﹣x2﹣1 【分析】将每个选项进行因式分解，即可作出判断． 【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），含有因式x+1，故此选项不符合题意； B、x4﹣x3+x2﹣1＝（x4﹣x3）+（x2﹣1）＝x3（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（x3+x+1），不含有因式x+1，故此选项符合题意； C、x3+1＝（x+1）（x2﹣x+1），含有因式x+1，故此选项不符合题意； D、x4﹣x3﹣x2﹣1＝（x4﹣x2）﹣（x3+1）＝x2（x2﹣1）﹣（x3+1）＝x2（x+1）（x﹣1）﹣（x+1）（x2﹣x+1）＝（x+1）（x3﹣x2﹣x2+x﹣1）＝（x+1）（x3﹣2x2+x﹣1），含有因式x+1，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，公式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 18．（2026•蚌埠三模）分解因式：x3+x2﹣x﹣1＝（　　） A．（x﹣1）（x+1）2 B．（x+1）（x﹣1）2 C．（x﹣1）（x2﹣x+1） D．（x+1）（x2+x﹣1） 【分析】先分为两组，各自提取公因式后，再进行因式分解． 【解答】解：原式＝x2（x+1）﹣（x+1） ＝（x+1）（x2﹣1） ＝（x﹣1）（x+1）2． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解的方法是关键． 19．（2026春•裕华区校级期末）因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（　　） A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b） C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）2 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【解答】解：原式＝（a3+a2b）﹣（ab2+b3） ＝a2（a+b）﹣b2（a+b） ＝（a2﹣b2）（a+b） ＝（a﹣b）（a+b）（a+b） ＝（a﹣b）（a+b）2； 故选：B． 【点评】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式． 20．（2024春•开化县月考）把多项式x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣8分解因式的结果是（　　） A．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2） B．（x﹣y﹣1）（x﹣y﹣8） C．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2） D．（x﹣y+1）（x﹣y﹣8） 【分析】先把多项式中的前三项分成一组，用完全平方公式分解因式，第四和第五项分成一组，提取公因式2，最后用十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣8 ＝（x2﹣2xy+y2）+2（x﹣y）﹣8 ＝（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣8 ＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）， 故选：C． 【点评】本题主要考查了分解因式，解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法． 21．（2026•松江区二模）分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝　（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）　 ． 【分析】前三项一组，利用完全平方公式分解因式，然后再与第四项利用平方差公式进行因式分解． 【解答】解：x2﹣2xy+y2﹣1， ＝（x2﹣2xy+y2）﹣1， ＝（x﹣y）2﹣1， ＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）． 【点评】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解． 22．（2025秋•宝山区校级期中）因式分解：a2+3b﹣ab﹣3a＝　（a﹣3）（a﹣b）　 ． 【分析】利用分组分解法，将原式重新组合为（a2﹣3a）+（3b﹣ab），再进行因式分解，前两项提公因式a，后两项提公因式﹣b，再应用提公因式法分解即可． 【解答】解：根据题意可知，根据分组分解法进行因式分解， 原式＝（a2﹣3a）+（3b﹣ab） ＝a（a﹣3）﹣b（a﹣3） ＝（a﹣3）（a﹣b）． 故答案为：（a﹣3）（a﹣b）． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解的方法是关键． 23．（2025秋•闵行区期末）因式分解：1+2xy﹣x2﹣y2＝　（1+x﹣y）（1﹣x+y）　 ． 【分析】先分组，再根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解． 【解答】解：1+2xy﹣x2﹣y2 ＝1﹣（x2﹣2xy+y2） ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）； 故答案为：（1+x﹣y）（1﹣x+y）． 【点评】本题主要考查因式分解﹣分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 24．（2025秋•虹口区校级期中）因式分解：2x2+9xy﹣5y2﹣2x+23y﹣12＝　（2x﹣y+4）（x+5y﹣3）　 ． 【分析】先把前三项用十字相乘法分解，再利用十字相乘法分解． 【解答】解：2x2+9xy﹣5y2﹣2x+23y﹣12 ＝（2x﹣y）（x+5y）﹣2x+23y﹣12 ＝（2x﹣y+4）（x+5y﹣3）． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法是解决本题的关键． 25．（2025秋•闵行区校级期中）因式分解：yn+2﹣8yn+1+12yn＝yn（y﹣2）（y﹣6）　 ． 【分析】观察表达式，先提取公因式yn，再利用十字相乘法进行分解即可． 【解答】解：原式＝yn（y2﹣8y+12）＝yn（y﹣2）（y﹣6）． 故答案为：yn（y﹣2）（y﹣6）． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，因式分解﹣提公因式法，掌握因式分解的方法是关键． 26．（2025秋•普陀区期末）因式分解：x2+2x2y﹣9﹣18y． 【分析】将式子分成2组，提取公因式（x2﹣9），再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：x2+2x2y﹣9﹣18y ＝（x2﹣9）+2y（x2﹣9） ＝（1+2y）（x2﹣9） ＝（1+2y）（x+3）（x﹣3）． 【点评】本题考查了因式分解，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式． 27．（2025秋•松江区期末）因式分解：4﹣a2+4ab﹣4b2． 【分析】先分组，再完全平方公式分解因式、最后用平方差公式分解因式． 【解答】解：原式＝22﹣（a﹣2b）2 ＝（2+a﹣2b）（2﹣a+2b）． 【点评】本题主要考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解﹣分组分解法的方法，先分组，再分解因式，完全平方公式和平方差公式的熟练应用是解题关键． 28．（2025秋•闵行区校级期中）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣a+3b． 【分析】先分组分解，再用提取公因式法分解． 【解答】解：原式＝（a2﹣6ab+9b2）﹣（a﹣3b） ＝（a﹣3b）2﹣（a﹣3b） ＝（a﹣3b）（a﹣3b﹣1）． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解的方法是关键． 29．（2025秋•浦东新区月考）因式分解：m3﹣m2n﹣4m+4n． 【分析】先分组，再提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可． 【解答】解：原式＝m2（m﹣n）﹣4（m﹣n） ＝（m﹣n）（m2﹣4） ＝（m﹣n）（m+2）（m﹣2）． 【点评】本题考查了因式分解．熟练掌握该知识点是关键． 30．（2025秋•浦东新区期中）阅读下列解题的过程． 分解因式：x4+64 解：x4+64＝x4+16x2+64﹣16x2 ＝（x2+8）2﹣16x2 ＝（x2+8+4x）（x2+8﹣4x） 请按照上述解题思路完成下列因式分解： （1）a4+4； （2）x4﹣43x2y2+81y4． 【分析】（1）直接利用例题进行补项，进而分解因式得出答案． （2）将﹣43x2y2分解成﹣18x2y2和﹣25x2y2，利用完全平方和平方差公式分解即可． 【解答】解：（1）（1）a4+4 ＝a4+4a2+4﹣4a2 ＝（a2+2）2﹣4a2 ＝（a2+2a+2）（a2﹣2a+2）； （2）x4﹣43x2y2+81y4 ＝x4﹣18x2y2+81y4﹣25x2y2 ＝（x2﹣9y2）2﹣25x2y2 ＝（x2﹣9y2+5xy）（x2﹣9y2﹣5xy）． 【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确补项是解题关键． 31．（2024秋•镇平县期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解． 同学们经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b） ＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）． 解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b） ＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）． 小明由此体会到，对项数较多的多项式进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）．请你也试一试利用分组分解法进行因式分解． （1）因式分解：2x2+4x﹣xy﹣2y； （2）因式分解：x2﹣a2+x+a； （3）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2． 【分析】（1）先分组，再用提公因式法因式分解即可； （2）先分组，再用公式法和提公因式法因式分解即可； （3）先分组，再用公式法和提公因式法因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝（2x2+4x）﹣（xy+2y） ＝2x（x+2）﹣y（x+2） ＝（x+2）（2x﹣y）； （2）原式＝（x2﹣a2）+（x+a） ＝（x+a）（x﹣a）+（x+a） ＝（x+a）（x﹣a+1）； （3）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2） ＝x（a﹣b）+（a﹣b）2 ＝（a﹣b）（x+a﹣b）． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的各种方法是解题的关键． 32．（2025秋•天水校级期中）阅读下列材料：分解因式：3x2+3xy﹣5x﹣5y． 解1：3x2+3xy﹣5x﹣5y＝（3x2+3xy）﹣（5x+5y）＝3x（x+y）﹣5（x+y）＝（x+y）（3x﹣5）． 解2：3x2+3xy﹣5x﹣5y＝（3x2﹣5x）+（3xy﹣5y）＝x（3x﹣5）+y（3x﹣5）＝（3x﹣5）（x+y）． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式：x3+x2+x+1； （2）分解因式：y2+2yz+z2﹣9x2． 【分析】（1）先将原式分组为（x3+x2）+（x+1），再利用提取公因式法进行分解； （2）先将原式变形为（y+z）2﹣（3x）2，再利用平方差公式进行因式分解． 【解答】解：（1）原式＝（x3+x2）+（x+1） ＝x2（x+1）+（x+1） ＝（x2+1）（x+1）； （2）原式＝（y2+2yz+z2）﹣9x2 ＝（y+z）2﹣9x2 ＝（y+z+3x）（y+z﹣3x）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键． 【考点3】因式分解应用（第33-44题） 1. 代数式求值：先因式分解再整体代入。 1. 配方法：配成完全平方后求最值或分解因式。 1. 试根法：试根后长除法或待定系数法。 1. 数形结合：利用面积或体积验证因式分解。 1. 新定义问题：理解定义，转化为因式分解。 33．（2025秋•闵行区校级期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取当x＝9，y＝9时，则各个因式的值是x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3﹣xy2取x＝11，y＝10时，用上述方法产生的密码不可能是（　　） A．113212 B．111232 C．123211 D．123011 【分析】根据题中范例的提示，先提取公因式，再运用平方差公式因式分解，得到x（2x﹣y）（2x+y），可得到六种密码排列，即可判断答案． 【解答】解：∵4x3﹣xy2＝x（2x﹣y）（2x+y），且x＝11，y＝10， ∴x＝11，2x﹣y＝12，2x+y＝32， ∴组成的密码应包含11，12，32， ∴密码共有6种：111232，113212，121132，123211，321112，321211， ∴不能组成的密码为123011． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的应用，用提取公因式法和平方差公式因式分解，熟练掌握用提取公因式法和平方差公式因式分解是解题的关键． 34．（2025秋•虹口区校级期中）若a+2b＝4，ab＝﹣1，则a3+8b3＝　88　 ． 【分析】将8b3写成（2b）3，利用立方和公式a3+（2b）3＝（a+2b）（a2﹣2ab+4b2）；再把a2+4b2用（a+2b）2﹣4ab表示，即可代入已知条件求值． 【解答】解：a3+8b3 ＝a3+（2b）3 ＝（a+2b）（a2﹣2ab+4b2） ＝（a+2b）[（a2+4b2）﹣2ab] ＝（a+2b）[（a+2b）2﹣4ab﹣2ab] ＝（a+2b）[（a+2b）2﹣6ab]， ∵a+2b＝4，ab＝﹣1， ∴原式＝4×（42﹣6×（﹣1）） ＝4×（16+6） ＝4×22 ＝88， 故答案为：88． 【点评】本题主要考查了立方和公式与完全平方公式的综合运用，将a3+8b3转化为只含a+2b与ab的式子是解题的关键． 35．（2025秋•虹口区校级期中）若有理数x满足a＝404+405x，b＝2024+2025x，c＝﹣2017﹣2025x，则代数式25a2﹣5ab+5ac﹣bc的值为　﹣12　 ． 【分析】观察原式25a2﹣5ab+5ac﹣bc，可按“前两项、后两项”分组，提取公因式后得到（5a﹣b）（5a+c）；再分别计算5a﹣b和5a+c，发现x项相互抵消，即可得结果． 【解答】解：25a2﹣5ab+5ac﹣bc ＝（25a2﹣5ab）+（5ac﹣bc）， ＝5a（5a﹣b）+c（5a﹣b）， ＝（5a﹣b）（5a+c）， ∵a＝404+405x，b＝2024+2025x，c＝﹣2017﹣2025x， ∴5a﹣b＝5（404+405x）﹣（2024+2025x） ＝2020+2025x﹣2024﹣2025x ＝﹣4， 5a+c＝5（404+405x）+（﹣2017﹣2025x） ＝2020+2025x﹣2017﹣2025x ＝3， ∴原式＝（﹣4）×3＝﹣12， 故答案为：﹣12． 【点评】本题主要考查了整式的加减与因式分解中的分组分解法，正确分组提取公因式后消去x是解题的关键． 36．（2025秋•虹口区校级期中）若a﹣b＝b﹣c＝1，a2+b2+c2＝5，则ab+bc+ca＝　2　 ． 【分析】由a﹣b＝b﹣c＝1可得a﹣c＝2，再利用恒等式（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）整体代入即可求出ab+bc+ca． 【解答】解：∵a﹣b＝1，b﹣c＝1，∴a﹣c＝（a﹣b）+（b﹣c）＝2， ∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）， ∴12+12+22＝2[5﹣（ab+bc+ca）]， 6＝10﹣2（ab+bc+ca）， 2（ab+bc+ca）＝4， ab+bc+ca＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的变形与整体代入思想，利用（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）是解题的关键． 37．（2025秋•虹口区期末）1261年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作法本源图”（图1），并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术．”这幅图被后人称为“贾宪三角”．这个“三角形”的两条斜的“边”都是由数字1组成，而其他数等于它“肩上”的两个数的和．在图2的“贾宪三角”中，第2斜列上的数依次为：1，2，3，4，5，…，我们把第1个数记为a1，第2个数记为a2，第3个数记为a3，…，第n个数记为an．第3斜列上的数依次为：1，3，6，10，15，…，我们把第1个数记为b1，第2个数记为b2，第3个数记为b3，…，第n个数记为bn．若2bn+1﹣an＝2026，则n的值为　44　 ． 【分析】由题意可得an＝n，，则得到，据此求解即可． 【解答】解：第2斜列上an＝n； 第3斜列上第n+1个数为， ∴由题意得2bn+1﹣an＝2026， ∴， 整理得n2+2n﹣2024＝0， 左边因式分解得（n+46）（n﹣44）＝0， 由有理数乘法可得n+46＝0或n﹣44＝0或， 当n+46＝0时，解得n＝﹣46（不符合题意，舍）； 当n﹣44＝0时，解得n＝44； 当时，方程组无解， ∴n的值为44， 故答案为：44． 【点评】本题考查了数字类规律，多项式乘法运算，因式分解的应用，有理数的乘法运算，解题的关键根据题意找出规律求解． 38．（2025秋•闵行区校级月考）阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3． 原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）． 由上式可知：x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，因为不论x取何值，（x+1）2≥0，所以当x+1＝0，即x＝﹣1时，x2+2x﹣3的最小值是﹣4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27； （2）根据上面解题思路可知多项式x2﹣6x﹣27有最小值，即当x＝　3　 时，最小值是 　﹣36　 ． （3）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性即可解答； （3）先配方后，然后利用偶次幂的非负性得到a＝b＝c，即可解答． 【解答】解：（1）x2﹣6x﹣27 ＝（x2﹣6x+9）﹣36 ＝（x﹣3）2﹣36 ＝（x﹣3+6）（x﹣3﹣6） ＝（x+3）（x﹣9）． （2）x2﹣6x﹣27 ＝（x2﹣6x+9）﹣36 ＝（x﹣3）2﹣36， 当x＝3时，x2﹣6x﹣27最小值为﹣36． 故答案为：3；﹣36； （3）△ABC的形状是等边三角形，理由如下： ∵2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0 ∴2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac＝0， 利用拆项得：（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）＝0， 即：（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是a﹣b＝0，a﹣c＝0， 所以可以得到a＝b＝c，即：△ABC的形状是等边三角形． 【点评】本题主要考查因式分解及其应用，根据材料学会运用配方法因式分解是解题的关键． 39．（2025秋•宝山区期末）【阅读理解】 如果一个正整数能表示成a2﹣b2（a、b是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”． 小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律： 22﹣12＝3， 32﹣12＝8，32﹣22＝5， 42﹣12＝15；42﹣22＝12；42﹣32＝7， … 小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征： 设m为正整数且m≥1，因为（m+1）2﹣m2＝m2+2m+1﹣m2＝2m+1， 所以2m+1这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”． 【尝试运用】 （1）填空：①16　是　 “方差数”（填“是”或“不是”）； ②因为2025＝（　1013　 ）2﹣（　1012　 ）2，所以2025是“方差数”； （2）已知M＝x2﹣y2+8x﹣6y+k（x、y是正整数且x≥y，k是常数），请写出k的值，使得不论x、y取何值，M都是“方差数”，并说明理由； 【深入探究】 （3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由； （4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）． 【分析】根据“方差数”的定义进行解答即可． 【解答】解：（1）①∵52﹣32＝16， ∴16是“方差数”； ②∵2025＝10132﹣10122， ∴2025是“方差数”． 故答案为：①是；②1013，1012； （2）当k＝7时，不论x、y取何值，M都是“方差数”，理由如下： ∵x、y是正整数且x≥y， ∴x+4和y+3都是正整数，且x+4＞y+3． ∵M＝x2﹣y2+8x﹣6y+k ＝（x2+8x+16）﹣（y2+6y+9）+k﹣16+9 ＝（x+4）2﹣（y+3）2+k﹣7， 若不论x、y取何值，M都是“方差数”，则k﹣7＝0，即k＝7． 此时，M＝（x+4）2﹣（y+3）2满足“方差数”的定义， ∴当k＝7时，无论不论x、y取何值，M都是“方差数”； （3）能． 设m为正整数且m≥1，则（m+2）2﹣m2＝m2+4m+4﹣m2＝4m+4＝4（m+1）， 所以4（m+1）这样的数都是“方差数”，即所有4的倍数（4除外）都是“方差数”． （4）由题意和（3）可知，所有奇数（1除外）都是“方差数”，所有4的倍数（4除外）都是“方差数”， 所以40到50之间（不包含40和50）的所有“方差数”是：41，43，44，45，47，48，49． 【点评】本题主要考查了新定义“方差数”的理解与应用，因式分解的应用，解题的关键是理解新定义运算． 40．（2025秋•闵行区期末）材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求（5x4+3x3+2x﹣4）÷（x2+1）的商式和余式，可以计算： 因此，商式是5x2+3x﹣5，余式是﹣x+1． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若m＝n，则当x＝﹣1时，M的值为0；若m＝﹣n，则当x＝1时，M的值为0． 例如，对于一元整式x3﹣5x2+4，由m＝1、n＝﹣5+4＝﹣1得m＝﹣n，所以把x＝1代入整式x3﹣5x2+4，得其值为0． 由此可以确定整式x3﹣5x2+4有因式x﹣1，于是可设x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q）．分别确定p、q的值，再代入x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q），就可以因式分解整式x3﹣5x2+4，这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： （1）整式4x2+8x+3除以整式2x+1，商式是　2x+3　 ，余式是　0　 ． （2）材料二中，p＝　﹣4　 ，q＝　﹣4　 ． （3）对于一元整式x3+8x2﹣11x﹣18，必定有当x＝　﹣1　 ，其值为0． （4）根据材料一和材料二，因式分解x3+8x2﹣11x﹣18＝　（x+1）（x+9）（x﹣2）　 ． 【分析】（1）根据长除法即可求解； （2）根据长除法确定整式x3﹣5x2+4除以整式x﹣1的商式，即可确定p、q的值； （3）根据材料二的内容即可求解； （4）由（3）得，整式x3+8x2﹣11x﹣18有因式x+1，再利用长除法确定整式x3+8x2﹣11x﹣18除以整式x+1的商式，得到x3+8x2﹣11x﹣18＝（x+1）（x2+7x﹣18），再利用十字相乘法因式分解x2+7x﹣18，即可得出答案． 【解答】解：（1）根据长除法求解可得： 因此，商式是2x+3，余式是0． 故答案为：2x+3；0； （2）根据长除法求解可得： 因此，商式是x2﹣4x﹣4，余式是0． 则x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2﹣4x﹣4） 所以p＝﹣4，q＝﹣4． 故答案为：﹣4；﹣4； （3）对于一元整式x3+8x2﹣11x﹣18， 由m＝1﹣11＝﹣10、n＝8﹣18＝﹣10得m＝n， 所以把x＝﹣1代入整式x3+8x2﹣11x﹣18，得其值为0． 故答案为：﹣1； （4）由（3）得整式x3+8x2﹣11x﹣18有因式x+1， 整式x3+8x2﹣11x﹣18除以整式x+1的长除法如下： 因此，商式是x2+7x﹣18，余式是0． 则x3+8x2﹣11x﹣18＝（x+1）（x2+7x﹣18）， 又因为x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）， 所以x3+8x2﹣11x﹣18＝（x+1）（x+9）（x﹣2） 故答案为：（x+1）（x+9）（x﹣2）． 【点评】本题考查了整式的除法，因式分解的应用，理解题意是解题的关键． 41．（2025秋•普陀区期末）【阅读理解】如果三个实数中有两个数乘积的算术平方根等于第三个数，那么我们把这三个实数称为“组合平方数”． （1）3、6、12　是　 “组合平方数”；（填“是”或“不是”） （2）如果﹣2、n、4是“组合平方数”，那么n＝　﹣8　 ； 【问题探究】在学习一元二次方程时，我们知道一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况是由系数a、b、c确定的． 已知关于x的一元二次方程方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有实数根，请回答下列问题． （3）设p（p为有理数，且p≠0）为该方程的两根之和，为该方程的两根之积．求证：a、b、c是“组合平方数”； （4）当a＝1时，a、b、c（b•c≠1）是“组合平方数”，且b2+2c2＝15，求b和c的值． 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）分两种情况讨论：当4n＝4时，n＝1（舍）；当﹣2n＝16时，n＝﹣8； （3）根据根与系数的关系可得p，，两式子相乘得到bc＝a2，即可证明a、b、c是“组合平方数”； （4）根据题意可得b2＝c或c2＝b，再分别结合b2+2c2＝15，求出b、c的值即可． 【解答】（1）解：∵3×12＝36，∴6， ∴3、6、12是“组合平方数”； 故答案为：是； （2）解：∵﹣2、n、4是“组合平方数”， 当4n＝4时，n＝1； 当﹣2n＝16时，n＝﹣8（舍）， 故答案为：1； （3）证明：∵p（p为有理数，且p≠0）为该方程的两根之和，为该方程的两根之积， ∴p，， ∴••p＝﹣1， ∴bc＝a2， ∴a、b、c是“组合平方数”； （4）解：∵当a＝1时，a、b、c（b•c≠1）是“组合平方数”， ∴b2＝c或c2＝b， 当b2＝c时，b2+2c2＝15， ∴c+2c2＝15， 解得c＝﹣3（舍）或c， ∴b＝±； 当c2＝b时，b2+2b＝15， 解得b＝3或b＝﹣5（舍）， ∴c＝±； ∵b＞0，c＞0， ∴b，c， ∵Δ≥0， ∴b2﹣4ac≥0， ∴b＝3，c． 综上所述：b＝3，c． 【点评】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，算术平方根的定义，弄清新定义所描述的数学问题是解题的关键． 42．（2025秋•上海校级期中）阅读材料： 在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为b2（a﹣b）、ab（a﹣b）、a2（a﹣b）． （1）将图（3）中三块长方体体积和因式分解：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝ 　（a﹣b）（a2+ab+b2）　 ． （2）图（1）中立方体的体积和图（3）中三块长方体体积和相同，利用等体积法能得到等式：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）　 ． （3）利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：x3﹣27＝ 　（x﹣3）（x2+3x+9）　 ． （4）应用：若已知2a﹣3b＝3，ab＝1，则8a4b﹣27ab4的值． 【分析】（1）根据提公因式法可得； （2）由（1）可得，立体图形体积等于图3的三个立体图形的体积和，可得立体图形体积关系是：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）； （3）根据a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），可进一步分解因式； （4）根据上述公式进行因式分解，同时运用完全平方公式进行变形可得． 【解答】解：（1）根据提公因式法，原式分解因式＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， 故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）； （2）图（1）中立方体的体积可表示为a3﹣b3； 图（1）中立方体的体积也可表示为a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b），即（a﹣b）（a2+ab+b2）； 则a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， 故答案为：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）； （3）x3﹣27＝x3﹣33＝（x﹣3）（x2+3x+9）； （4）因为2a﹣3b＝3，ab＝1， 所以8a4b﹣27ab4＝ab[（2a）3﹣（3b）3]＝ab（2a﹣3b）（4a2+6ab+9b2） ＝ab（2a﹣3b）[（2a﹣3b）2+18ab] ＝1×3×（32+18×1） ＝3×27＝81， 故答案为：81． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用，立方差公式的几何背景，乘法公式在因式分解中的应用，正方体的体积公式等，理解题意，熟练掌握因式分解的方法与技巧，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． 43．（2025秋•虹口区校级期中）借助完全平方公式，可以将形如ax2+bx+c（a≠0）的关于x的整式变形为a（x+m）2+k的形式，a、b、c和m、k均为有理数，这种变形方法叫作对关于x的整式ax2+bx+c（a≠0）配方．如对整式2x2+4x﹣1配方，得2x2+4x﹣1＝2（x2+2x+1﹣1）﹣1＝2（x+1）2﹣3． （1）对x2+38x﹣368配方，并利用配方结果因式分解； （2）借助配方，求当x取何值时整式3x2+9x+2有最小值，并写出最小值； （3）比较x2+4x﹣1和3x2﹣2x+4的大小，并说明理由． 【分析】（1）利用完全平方公式将二次三项式配成平方差形式，再用平方差公式因式分解； （2）将二次三项式提取二次项系数后配方，根据平方项非负性求最小值； （3）两式作差后配方，由平方项非负性判断差的符号，从而比较大小． 【解答】解：（1）x2+38x﹣368 ＝x2+38x+192﹣192﹣368， ＝（x+19）2﹣361﹣368， ＝（x+19）2﹣729， ＝（x+19）2﹣272， ＝（x+19+27）（x+19﹣27）， ＝（x+46）（x﹣8）； （2）3x2+9x+2 ＝3（x2+3x）+2， ＝3（x2+3x）+2， ＝3（x）22， ＝3（x）2； ∵（x）2≥0， ∴3（x）2； ∴当x时，整式3x2+9x+2有最小值，最小值为； （3）x2+4x﹣1＜3x2﹣2x+4， 理由：（x2+4x﹣1）﹣（3x2﹣2x+4） ＝x2+4x﹣1﹣3x2+2x﹣4， ＝﹣2x2+6x﹣5， ＝﹣2（x2﹣3x）﹣5， ＝﹣2（x2﹣3x）﹣5， ＝﹣2（x）25， ＝﹣2（x）2， ∵（x）2≥0， ∴﹣2（x）2≤0， ∴﹣2（x）20； ∴x2+4x﹣1＜3x2﹣2x+4． 【点评】本题主要考查了配方法、完全平方公式及平方差公式，正确配方并利用平方项的非负性是解题的关键． 44．（2024秋•长宁区校级期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． （1）情境一如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式：　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ． 情境一 （2）情境二如图，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：　2a+b ． ②直接写出所用C木片的数量：　4　 块． 情境二 （3）情境三丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为2a2+7ab+4b2的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【分析】（1）设等腰梯形的高为h，可求，分别表示出图1和图2的面积，即可求解； （2）可得4a2+mab+b2，由拼成了一个正方形可得，能用完全平方公式进行因式分解，求解①②即可； （3）能构成长方形，则2a2+7ab+4b2要能进行分解，故去掉1个ab后即可进行因式分解，从而可求解． 【解答】解：（1）如设等腰梯形的高为h， ∴2h+b＝a， ∴， ∴图1中阴影部分的面积： ＝（a+b）（a﹣b）， 图2中阴影部分的面积：， ∵S1＝S2， ∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）设乙同学用4块A木片、1块B木片和m块C木片拼成了一个正方形，则该正方形的面积为4a2+mab+b2， ∵当m＝4时，4a2+4ab+b2＝（2a+b）2， ∴边长为2a+b，所用C木片的数量为4， 故答案为：①2a+b；②4； （3）赞同丁；去掉1个C以后， 2a2+6ab+4b2 ＝（a+b）（2a+4b）， ∴长为2a+4b，宽为a+b， 【点评】本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，等积转换，掌握等积转换的方法是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 ❤复习建议 熟记十字相乘法口诀：“竖乘得首尾，叉乘凑中项”。 分组分解法注意分组策略，必要时可尝试不同分组。 因式分解要分解到不能再分解为止。 代数式求值优先考虑因式分解，整体代入简化计算。 多总结配方法、换元法、试根法等解题模型。 【作业1】（2025秋•杨浦区期中）已知p＝﹣m﹣n，q＝mn，那么关于x的整式x2+px+q因式分解的结果是（　　） A．（x+m）（x+n） B．（x﹣m）（x﹣n） C．（x+m）（x﹣n） D．（x﹣m）（x+n） 【分析】根据已知条件，将 p 和 q 代入多项式，然后利用十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：由条件可知多项式为x2+（﹣m﹣n）x+mn， ∴x2+px+q＝（x﹣m）（x﹣n）． 即x2+px+q因式分解结果为（x﹣m）（x﹣n）． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 【作业2】（2025秋•官渡区期末）若x2+kx﹣6＝（x+3）（x﹣2），则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【分析】根据多项式乘多项式的计算方法计算（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6即可． 【解答】解：∵x2+kx﹣6＝（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6， ∴k＝1， 故选：A． 【点评】本题考查十字相乘法，掌握十字相乘法与多项式乘多项式之间的关系是正确解答的关键． 【作业3】（2024秋•长宁区校级期中）若x2﹣kx﹣15＝（x+a）（x+b），且a、b为整数，则a+b的值不可能是（　　） A．14 B．2 C．16 D．﹣14 【分析】根据多多项式的乘法法则把等号右边化简，可得a+b＝﹣k、ab＝﹣15，然后对a、b的值讨论可得答案． 【解答】解：由条件可得x2﹣kx﹣15＝x2+（a+b）x+ab， ∴a+b＝﹣k、ab＝﹣15， 若a＝1、b＝﹣15，则a+b＝﹣14； 若a＝﹣1、b＝15，则a+b＝14； 若a＝﹣3、b＝5，则a+b＝2； 若a＝3、b＝﹣5，则a+b＝﹣2； 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解，多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【作业4】（2024•南海区衔接）因式分解ab﹣2a﹣b+2＝（　　） A．（a﹣1）（b+2） B．（a﹣1）（b﹣2） C．（a+1）（b﹣2） D．（a+1）（b+2） 【分析】首先重新分组，进而利用提取公因式法分解因式得出即可． 【解答】解：ab﹣2a﹣b+2 ＝a（b﹣2）﹣（b﹣2） ＝（b﹣2）（a﹣1）． 故选：B． 【点评】此题主要考查了分组分解法以及提公因式法，正确分组是解题关键． 【作业5】（2025秋•虹口区校级期中）若n为自然数，且24n2﹣11n﹣18可以写成两个连续自然数的乘积，则n＝　2　 ． 【分析】根据题意得到24n2﹣11n﹣18＝k2+k24n2﹣11n﹣18﹣k2﹣k＝0，然后列举求得满足条件的n的值． 【解答】解：24n2﹣11n﹣18可以写成两个连续自然数的乘积，即存在自然数 （k） 使得： 24n2﹣11n﹣18＝k（k+1）24n2﹣11n﹣18＝k（k+1）， 首先，我们展开并整理方程： 24n2﹣11n﹣18＝k2+k24n2﹣11n﹣18＝k2+k， 将方程移项整理为： 24n2﹣11n﹣18＝k2+k24n2﹣11n﹣18﹣k2﹣k＝0， 为了简化问题，我们尝试通过试值法来找到合适的 （n） 和 （k）． 我们从较小的自然数开始尝试： 当n＝1时，24×12﹣11×1﹣18＝24﹣11﹣18＝﹣5， ﹣5 不是两个连续自然数的乘积． 当n＝2时，24×22﹣11×2﹣18＝96﹣22﹣18＝56， 检查56是否是两个连续自然数的乘积：7×8＝56， 因此，当n＝2时，24n2﹣11n﹣18＝56 ＝7×8，满足条件． 当n＝3时，24×32﹣11×3﹣18＝216﹣33﹣18＝165， 检查165是否是两个连续自然数的乘积： ∵12×13＝15612×13＝156， 13×14＝18213×14＝182， ∴165不是两个连续自然数的乘积． 当n＝4时，24×42﹣11×4﹣18＝384﹣44﹣18＝322， 检查322是否是两个连续自然数的乘积： ∵17×18＝30617×18＝306， 18×19＝34218×19＝342， ∴322不是两个连续自然数的乘积． 通过以上尝试，我们发现n＝2是唯一满足条件的自然数． 故答案为：2． 【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． 【作业6】（2025秋•浦东新区校级月考）已知a＝2025x+2025，b＝2025x+2024，c＝2025x+2026，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝　3　 ． 【分析】a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，据此即可求解． 【解答】解：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc ， ∵a＝2025x+2025，b＝2025x+2024，c＝2025x+2026， ∴a﹣b＝1，b﹣c＝﹣2，c﹣a＝1， ∴， 故答案为：3． 【点评】本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式形式是解题关键． 【作业7】（2025•上海自主招生）对于正整数n，我们定义：形如的数叫作三角形数，且把与叫作连续的三角形数．已知三个正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a+b，a+c，b+c是三个连续的三角形数，那么a2+b2+c2的最小值是　237　 ． 【分析】方法一设，表示出a，b，c，然后根据n≥3，然后代入整数n的值验证得到最小值解题，方法二由题可知角形数为1，3，6，10，15，21，...分别从最小的三角函数值尝试解答即可． 【解答】解：法一：设， 则c﹣b＝n+1，b﹣a＝n+2，c﹣a＝2n+3， 得， ， ， 由于正整数a，b，c＞0知n≥3， n＝3时，不是整数． n＝4时，a＝2，b＝8，c＝13． 易知，n越大，a，b，c均越大． 故（a2+b2+c2）min＝64+4+169＝237， 法二：由题可知知三角形数为1，3，6，10，15，21，..． 三个正整数a，b，c（a＜b＜c），满足a+b，a+c，b+c是三个连续的三角形数 所以a+b＞1， 若，解得不符； 若，解得不符； 若，解得符合； 此时a2+b2+c2＝64+4+169＝237， 所以（a2+b2+c2）min＝64+4+169＝237； 故答案为：237． 【点评】本题考查因式分解的应用，多项式乘多项式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业8】（2025秋•闵行区校级期中）若整数a不可以表示成两个不同的整数的平方之差，我们称a这样的数为“孤立数”，例如：2不可以表示为两个不同整数的平方之差，则2为“孤立数”；16可以表示为16＝52﹣32，则16不为“孤立数”．那么绝对值小于100的整数中共有　50　 个“孤立数” 【分析】根据孤立数的定义，整数a不能表示为两个不同整数的平方之差，通过分析，整数a是孤立数当且仅当a＝4k+2（k为整数），绝对值小于100的整数中共有50个孤立数． 【解答】解：根据题意，a为孤立数当且仅当a＝4k+2（k为整数）， 绝对值小于100的整数中，要满足a＝4k+2（k为整数），k最小可取﹣25，最大可取24， 故满足条件的孤立数共有50个． 故答案为：50． 【点评】本题主要考查数字类的规律探索，解此题的关键在于准确找到题中所给规律，再根据规律进行归纳总结． 【作业9】（2025秋•宝山区期中）已知（2019﹣x）（x﹣2016）+10＝0，则4035﹣2x的值为 　±7　 ． 【分析】将（2019﹣x）（x﹣2016）+10＝0变形后再因式分解为（x﹣2016﹣5）（x﹣2016+2）＝0，求出x的值，再代入求值即可． 【解答】解：（2019﹣x）（x﹣2016）+10＝0， （2019﹣x）（x﹣2016）＝﹣10， （x﹣2019）（x﹣2016）＝10， （x﹣2016﹣3）（x﹣2016）＝10， （x﹣2016）2﹣3（x﹣2016）﹣10＝0， （x﹣2016﹣5）（x﹣2016+2）＝0， （x﹣2021）（x﹣2014）＝0， 解得：x＝2021或x＝2014， 当x＝2021时，原式＝4035﹣2×2021＝﹣7， 当x＝2014时，原式＝4035﹣2×2014＝7， 故答案为：±7． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练掌握用十字相乘法进行因式分解． 【作业10】（2025秋•金山区期中）如果一个正整数能表示为两个连续非负偶整数的平方差，那么我们称这个正整数为“黄金数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此，4，12，20这三个数都是“黄金数”．已知2028是黄金数，即2028＝m2﹣n2（m，n为连续的正偶整数），那么2m﹣n＝ 　510　 ． 【分析】由题可知m＝n+2，进而代入求解即可． 【解答】解：由题意可知m＝n+2， ∴2028＝m2﹣n2 ＝（n+2）2﹣n2 ＝4n+4， ∴n＝506， ∴m＝n+2＝508， ∴2m﹣n＝2×508﹣506＝510， 故答案为：510． 【点评】本题主要考查了乘法公式及应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业11】（2025秋•黄浦区校级月考）已知x﹣y＝5，xy＝3，则xy2﹣x2y＝　﹣15　 ． 【分析】将原式分解因式可得原式＝﹣xy（x﹣y），因为x﹣y＝5，xy＝3，代入数据计算即可． 【解答】解：因为x﹣y＝5，xy＝3， 所以xy2﹣x2y ＝xy（y﹣x） ＝﹣xy（x﹣y） ＝﹣3×5 ＝﹣15， 故答案为：﹣15． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用提公因式法分解因式． 【作业12】（2025秋•黄浦区校级月考）已知关于x的整式x2+9x﹣m可以写成两个因式的积，其中一个因式为x+11，那么另一个因式为　 　 ． 【分析】设另一个因式为x+b，可得：（x+11）（x+b）＝x2+（b+11）x+11b，所以可得x2+（b+11）x+11b＝x2+9x﹣m，通过比较系数求解． 【解答】解：已知关于x的整式x2+9x﹣m可以写成两个因式的积， 设另一个因式为 x+b， 则（x+11）（x+b）＝x2+（b+11）x+11b ∴x2+（b+11）x+11b＝x2+9x﹣m， b+11＝9， ∴b＝﹣2， ∴另一个因式为 x﹣2， 故答案为：x﹣2． 【点评】本题主要考查了因式分解，正确进行计算是解题关键． 【作业13】（2025秋•嘉定区期中）已知a＝2025x+2025，b＝2025x+2024，c＝2025x+2026，则2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝　6　 ． 【分析】先求出a﹣b，b﹣c，a﹣c的值，再利用完全平方公式分解因式可把原式变形为（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2，据此代值计算即可． 【解答】解：∵a＝2025x+2025，b＝2025x+2024，c＝2025x+2026， ∴a﹣b＝2025x+2025﹣2025x﹣2024＝1， b﹣c＝2025x+2024﹣2025x﹣2026＝﹣2， a﹣c＝2025x+2025﹣2025x﹣2026＝﹣1， ∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac ＝（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2） ＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2 ＝12+（﹣2）2+（﹣1）2 ＝6， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业14】（2025秋•松江区校级月考）若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为5＝22+12，再如：M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数）．所以M也是“完美数”． （1）请你判断29是否为“完美数”； （2）已知S＝x2+y2+4x﹣6y+k（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 【分析】（1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用完全平方公式，将S配成完美数，可求k的值， 【解答】解：（1）已知一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”， ∵29＝52+22， ∴29是完美数， （2）k＝10时，S为“完美数”，理由如下： S＝x2+y2+4x﹣6y+k ＝x2+4x+4+（y2﹣6y+9）+k﹣13 ＝（x+2）2+（y﹣3）2+k﹣13， ∵x、y是整数， ∴x+2，y﹣3也是整数， ∴当k﹣13＝0，即k＝13，S是完美数． 【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用． 【作业15】（2025秋•松江区校级月考）[阅读材料] 进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制﹣X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位．十进制就是逢十进一，十六进制就是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进一．为了与十进制进行区分，我们常把X进制表示的数a写成（a）X． 类比于十进制，我们可以知道：X进制表示的数（1111）X中，右起第一位上的1表示1×X0，第二位上的1表示1×X1，第三位上的1表示1×X2，第四位上的1表示1×X3，所以（1111）X＝1×X0+1×X1+1×X2+1×X3即：（1111）X转化为的十进制表示的数为1×X0+1×X1+1×X2+1×X3如：（1111）2＝1×20+1×21+1×22+1×23＝15．（1111）5＝1×50+1×51+1×52+1×53＝156． 根据材料完成以下问题： （1）把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： （101011）2＝　43　 ；（302）4＝　50　 ；（257）8＝　175　 ； （2）若一个五进制的三位数（a4b）5与八进制三位数（ba4）8之和能被13整除（1≤a≤5，1≤b≤5，且a，b均为整数），求a的值； （3）若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，（mm1）6与（nn5）8是否互为“如意数”？若是，求出这两个数，若不是，说明理由． 【分析】（1）（101011）2＝1×25+1×23+1×21+1×20＝43，（302）4＝3×42+2×40＝50，（257）7＝2×82+5×81+7×80＝175； （2）由（a4b）5＝a×52+4×51+b×50＝25a+20+b，（ba4）8＝b×82+a×81+4×80＝64b+8a+4，可得（a4b）5+（ba4）8＝25a+20+b+64b+8a+4＝33a+65b+24能被13整除，则33a+24能被13整除，由a的取值范围，确定a的具体值即可； （3）（mm1）6＝m×62+m×61+1×60＝42m+1，（nn5）8＝n×82+n×81+5×80＝72n+5，则有（mm1）6+（nn5）8＝42m+72n+6＝666，得到7m+12n＝110，在讨论m与n的值即可． 【解答】解：（1）（101011）2＝1×25+1×23+1×21+1×20＝43， （302）4＝3×42+2×40＝50， （257）8＝2×82+5×81+7×80＝175； 故答案为：43，50，175； （2）（a4b）5＝a×52+4×51+b×50＝25a+20+b， （ba4）8＝b×82+a×81+4×80＝64b+8a+4， ∴（a4b）5+（ba4）8＝25a+20+b+64b+8a+4＝33a+65b+24能被13整除， ∴33a+24能被13整除， ∵1≤a≤5， ∴a＝4； （3）不是，理由如下： （mm1）6＝m×62+m×61+1×60＝42m+1， （nn5）8＝n×82+n×81+5×80＝72n+5， ∴（mm1）6+（nn5）8＝42m+72n+6＝666， ∴7m+12n＝110， ∵1≤m≤5，1≤n≤7， ∴m＝2，n＝8， ∴（mm1）6与（nn5）8不互为“如意数”． 【点评】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键． 【作业16】（2025秋•杨浦区期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），这时就说（x﹣1）和（x+2）是x2+x﹣2的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断（x﹣a）这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式x2+x﹣2我们分别计算： 当x＝1时，原式＝12+1﹣2＝0，当x＝﹣2时，原式＝（﹣2）2+（﹣2）﹣2＝0； 当我们把x＝1和x＝﹣2分别代入x2+x﹣2，整式x2+x﹣2的值都等于0，那么（x﹣1）和（x+2）就是整式x2+x﹣2的两个因式，通过归纳发现： 如果当x＝a时，一个整式的值等于0，那么（x﹣a）就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果（x﹣a）是整式的一个因式，那么当x＝a时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10． （1）请判断（x+1）是否是整式P的一个因式； （2）当整式P的一次项系数变为k时，而（x+1）仍是它的一个因式．求此时k的值； （3）请尝试将整式P进行因式分解． 【分析】（1）根据题意，将x＝﹣1代入整式计算即可判断； （2）根据题意将x＝﹣1代入整式计算，然后解方程即可； （3）根据题意，分别将x＝﹣1、x＝2、x2＝5代入整式计算，然后求解即可． 【解答】解：（1）当x＝﹣1时， P＝（﹣1）4﹣（﹣1）3﹣7×（﹣1）2+5×（﹣1）+10＝0， ∴（x+1）是整式P的一个因式； （2）当整式P的一次项系数变为k时， P＝x4﹣x3﹣7x2+kx+10， ∵（x+1）是它的一个因式， ∴P＝（﹣1）4﹣（﹣1）3﹣7×（﹣1）2+k×（﹣1）+10＝0， 解得：k＝5； （3）P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10， 当x＝﹣1时， P＝（﹣1）4﹣（﹣1）3﹣7×（﹣1）2+5×（﹣1）+10＝0； 当x＝2时， P＝24﹣23﹣7×22+5×2+10＝0； 当x2＝5时， P＝52﹣5x﹣7×5+5x+10＝0； ∴（x+1）和（x﹣2）、（x2﹣5）就是整式P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10的因式， ∴P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10＝（x+1）（x﹣2）（x2﹣5）． 【点评】本题主要考查因式分解、有理数的混合的运算，理解题意是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.2 因式分解及应用（拓展） 优等生讲义 （知识精讲+典例+课后巩固）新沪教版（五四制）数学七年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 1. 理解十字相乘法的原理，能熟练分解二次三项式。 1. 掌握分组分解法，能对四项及以上多项式合理分组并分解。 1. 能综合运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法进行因式分解。 1. 会用配方法、换元法、试根法等方法解决因式分解相关问题。 1. 能应用因式分解解决密码编制、代数式求值、几何图形面积等实际问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 十字相乘法 方法：对于二次三项式 ，找到两个数 、，使 ，，则 。对于一般二次三项式 ，可竖分二次项和常数项，交叉相乘凑中项。 典型例题1： 分解因式：。 解析：把 看作常数，找两个数 和 ，使 ，，所以原式。 ☆ 2. 分组分解法 方法：将多项式适当分组，分别提公因式或套公式，再从整体上提公因式或套公式。分组方式不唯一，要保证分组后能继续分解。 典型例题2： 分解因式：。 解析：原式。 ☆ 3. 因式分解的应用 常见类型：①代数式求值；②判断整除；③编制密码；④几何图形面积验证；⑤新定义问题。 典型例题3： 已知 ，，求 的值。 解析：。 ☆ 4. 配方法、换元法与试根法 配方法：添加适当项配成完全平方，再用平方差公式分解。换元法：把某一部分看作整体，简化后再分解。试根法：若 ，则整式含因式 ，再用长除法分解。 典型例题4： 分解因式：。 解析：原式。 ☆ 5. 数形结合与因式分解 方法：用不同方法表示同一图形面积，得到因式分解等式。例如：。 典型例题5： 用图形面积验证：。 解析：构造长方形，长为 ，宽为 ，面积为 ，故等式成立。（可画长方形分割图） 知识总结表 核心概念 方法/定义 注意事项 十字相乘法 ，， 注意符号，二次项系数不为1时需分解系数 分组分解法 适当分组，分别提公因式或套公式，再整体分解 分组不唯一，要保证能继续分解 配方法 添加项配成完全平方，再用平方差公式 注意恒等变形，加项后要减项 换元法 把某一部分看作整体，设为新变量 最后要还原 试根法 若 ，则含因式 常结合长除法或待定系数法 因式分解应用 求值、密码、整除、几何面积等 先分解再整体代入 核心考点 ·3大典型考点精讲 【考点1】因式分解-十字相乘法（第1-15题） 1. 竖分二次项与常数项，交叉相乘凑中项。 1. 二次项系数不为1时，注意分解系数并检验。 1. 整体换元后可转化为二次三项式，再用十字相乘法。 1. 注意符号，常数项分解成两数积，和为一次项系数。 1．（2024秋•杨浦区校级月考）下列各式因式分解正确的是（　　） A．（x+y）2＝x2+2xy+y2 B．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 C． D．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2 2．（2025•厦门自主招生）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　） A．1 B．4 C．11 D．12 3．（2025秋•黄浦区校级月考）若x2+kx+12＝（x+a）（x+b），且a、b、k均为整数，则k的值不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．﹣13． 4．（2025秋•上海校级期中）若x2+ax+16在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（　　）个． A．2 B．4 C．6 D．8 5．（2025秋•黄浦区校级月考）因式分解x2+mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x﹣6）（x+2），乙看错了n的值，分解的结果为（x+8）（x﹣4），那么x2+mx+n分解因式正确的结果为（　　） A．（x+3）（x﹣4） B．（x+4）（x﹣3） C．（x+6）（x﹣2） D．（x+2）（x﹣6） 6．（2026春•和平区期末）用如图1中的若干个三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是（　　） A．3a2+3ab+b2＝（a+b）（b+3a） B．3a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）（3a+b） C．3a2+4ab+3b2＝（a+b）（3a+b） D．3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b） 7．（2025秋•浦东新区校级期末）已知整式mx2+7x﹣20（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是2x+5，则另一个因式是　 　 ． 8．（2025秋•杨浦区期末）因式分解：x2﹣10xy﹣24y2＝　 　 ． 9．（2025秋•虹口区校级月考）分解因式：（x+y）2﹣12（x+y）+35＝　 　 ． 10．（2025秋•普陀区期中）在对整式x2+ax+b进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为（x+2）（x+4）；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为（x﹣1）（x﹣9）．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为x2+ax+b＝ 　 　 ． 11．（2024秋•杨浦区校级月考）已知x2﹣3x+k＝（x+k）（x+q），其中k、q均为整数，则k2﹣q2＝ 　 　 ． 12．（2025秋•虹口区校级期中）因式分解：3x2． 13．（2025秋•闵行区校级期中）因式分解： （1）9m2n（x﹣3y）+n（3y﹣x）； （2）（x2+x）2﹣18（x2+x）+72； （3）an+2﹣18an+81an﹣2（n为大于2的正整数）． 14．（2024秋•奉贤区期中）阅读：分解因式x2+2x﹣3． 解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）， 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在有理数范围内分解因式：4a2+4a﹣15． 15．（2025秋•九龙坡区期末）阅读材料： 分解因式（x2+3x﹣3）（x2+3x+4）﹣8． 观察代数式：代数式中有两部分都包含x2+3x，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：t＝x2+3x．进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为（t﹣3）（t+4）﹣8，进一步化简得到t2+t﹣20．先对代数式t2+t﹣20进行因式分解： ①竖分二次项与常数项：t2＝t•t，﹣20＝（+5）×（﹣4）； ②交叉相乘，验中项：； ③横向写出两因式，得到t2+t﹣20＝（t+5）（t﹣4）． 以上对代数式t2+t﹣20进行因式分解的过程叫十字相乘法，其要领可简称为“竖乘得首尾，叉乘凑中项”． 将t＝x2+3x代回原式得（x2+3x﹣3）（x2+3x+4）﹣8＝（x2+3x+5）（x2+3x﹣4），进一步因式分解，得到（x2+3x﹣3）（x2+3x+4）﹣8＝（x2+3x+5）（x+4）（x﹣1）． 上述因式分解用到了“换元法”和“十字相乘法”．请同学们根据阅读材料提供的解决问题的思想与方法以及平时所积累的学习经验，对以下式子进行因式分解： （1）2x2﹣3x﹣2； （2）（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12． 【考点2】因式分解-分组分解法（第16-32题） 1. 合理分组：按“提公因式”或“公式”分组。 1. 分组后能继续提公因式或套公式。 1. 有时需要拆项、添项，再分组。 1. 分组方式不唯一，以能分解到底为准。 16．（2025秋•黄浦区校级月考）用分组分解法将x2﹣xy+2y﹣2x分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A．（x2﹣2x）+（2y﹣xy） B．（x2﹣xy）+（2y﹣2x） C．（x2+2y）+（﹣xy﹣2x） D．（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y） 17．（2024秋•宝山区期中）下列整式中不含有x+1这个因式的是（　　） A．x2﹣1 B．x4﹣x3+x2﹣1 C．x3+1 D．x4﹣x3﹣x2﹣1 18．（2026•蚌埠三模）分解因式：x3+x2﹣x﹣1＝（　　） A．（x﹣1）（x+1）2 B．（x+1）（x﹣1）2 C．（x﹣1）（x2﹣x+1） D．（x+1）（x2+x﹣1） 19．（2026春•裕华区校级期末）因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（　　） A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b） C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）2 20．（2024春•开化县月考）把多项式x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣8分解因式的结果是（　　） A．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2） B．（x﹣y﹣1）（x﹣y﹣8） C．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2） D．（x﹣y+1）（x﹣y﹣8） 21．（2026•松江区二模）分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝　 　 ． 22．（2025秋•宝山区校级期中）因式分解：a2+3b﹣ab﹣3a＝　 　 ． 23．（2025秋•闵行区期末）因式分解：1+2xy﹣x2﹣y2＝　 　 ． 24．（2025秋•虹口区校级期中）因式分解：2x2+9xy﹣5y2﹣2x+23y﹣12＝　 　 ． 25．（2025秋•闵行区校级期中）因式分解：yn+2﹣8yn+1+12yn＝　 　 ． 26．（2025秋•普陀区期末）因式分解：x2+2x2y﹣9﹣18y． 27．（2025秋•松江区期末）因式分解：4﹣a2+4ab﹣4b2． 28．（2025秋•闵行区校级期中）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣a+3b． 29．（2025秋•浦东新区月考）因式分解：m3﹣m2n﹣4m+4n． 30．（2025秋•浦东新区期中）阅读下列解题的过程． 分解因式：x4+64 解：x4+64＝x4+16x2+64﹣16x2 ＝（x2+8）2﹣16x2 ＝（x2+8+4x）（x2+8﹣4x） 请按照上述解题思路完成下列因式分解： （1）a4+4； （2）x4﹣43x2y2+81y4． 31．（2024秋•镇平县期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解． 同学们经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b） ＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）． 解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b） ＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）． 小明由此体会到，对项数较多的多项式进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）．请你也试一试利用分组分解法进行因式分解． （1）因式分解：2x2+4x﹣xy﹣2y； （2）因式分解：x2﹣a2+x+a； （3）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2． 32．（2025秋•天水校级期中）阅读下列材料：分解因式：3x2+3xy﹣5x﹣5y． 解1：3x2+3xy﹣5x﹣5y＝（3x2+3xy）﹣（5x+5y）＝3x（x+y）﹣5（x+y）＝（x+y）（3x﹣5）． 解2：3x2+3xy﹣5x﹣5y＝（3x2﹣5x）+（3xy﹣5y）＝x（3x﹣5）+y（3x﹣5）＝（3x﹣5）（x+y）． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式：x3+x2+x+1； （2）分解因式：y2+2yz+z2﹣9x2． 【考点3】因式分解应用（第33-44题） 1. 代数式求值：先因式分解再整体代入。 1. 配方法：配成完全平方后求最值或分解因式。 1. 试根法：试根后长除法或待定系数法。 1. 数形结合：利用面积或体积验证因式分解。 1. 新定义问题：理解定义，转化为因式分解。 33．（2025秋•闵行区校级期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取当x＝9，y＝9时，则各个因式的值是x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3﹣xy2取x＝11，y＝10时，用上述方法产生的密码不可能是（　　） A．113212 B．111232 C．123211 D．123011 34．（2025秋•虹口区校级期中）若a+2b＝4，ab＝﹣1，则a3+8b3＝　 　 ． 35．（2025秋•虹口区校级期中）若有理数x满足a＝404+405x，b＝2024+2025x，c＝﹣2017﹣2025x，则代数式25a2﹣5ab+5ac﹣bc的值为　 　 ． 36．（2025秋•虹口区校级期中）若a﹣b＝b﹣c＝1，a2+b2+c2＝5，则ab+bc+ca＝　 　 ． 37．（2025秋•虹口区期末）1261年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作法本源图”（图1），并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术．”这幅图被后人称为“贾宪三角”．这个“三角形”的两条斜的“边”都是由数字1组成，而其他数等于它“肩上”的两个数的和．在图2的“贾宪三角”中，第2斜列上的数依次为：1，2，3，4，5，…，我们把第1个数记为a1，第2个数记为a2，第3个数记为a3，…，第n个数记为an．第3斜列上的数依次为：1，3，6，10，15，…，我们把第1个数记为b1，第2个数记为b2，第3个数记为b3，…，第n个数记为bn．若2bn+1﹣an＝2026，则n的值为　 　 ． 38．（2025秋•闵行区校级月考）阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3． 原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）． 由上式可知：x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，因为不论x取何值，（x+1）2≥0，所以当x+1＝0，即x＝﹣1时，x2+2x﹣3的最小值是﹣4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27； （2）根据上面解题思路可知多项式x2﹣6x﹣27有最小值，即当x＝　 　 时，最小值是 　 　 ． （3）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 39．（2025秋•宝山区期末）【阅读理解】 如果一个正整数能表示成a2﹣b2（a、b是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”． 小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律： 22﹣12＝3， 32﹣12＝8，32﹣22＝5， 42﹣12＝15；42﹣22＝12；42﹣32＝7， … 小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征： 设m为正整数且m≥1，因为（m+1）2﹣m2＝m2+2m+1﹣m2＝2m+1， 所以2m+1这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”． 【尝试运用】 （1）填空：①16　 　 “方差数”（填“是”或“不是”）； ②因为2025＝（　 　 ）2﹣（　 　 ）2，所以2025是“方差数”； （2）已知M＝x2﹣y2+8x﹣6y+k（x、y是正整数且x≥y，k是常数），请写出k的值，使得不论x、y取何值，M都是“方差数”，并说明理由； 【深入探究】 （3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由； （4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）． 40．（2025秋•闵行区期末）材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求（5x4+3x3+2x﹣4）÷（x2+1）的商式和余式，可以计算： 因此，商式是5x2+3x﹣5，余式是﹣x+1． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若m＝n，则当x＝﹣1时，M的值为0；若m＝﹣n，则当x＝1时，M的值为0． 例如，对于一元整式x3﹣5x2+4，由m＝1、n＝﹣5+4＝﹣1得m＝﹣n，所以把x＝1代入整式x3﹣5x2+4，得其值为0． 由此可以确定整式x3﹣5x2+4有因式x﹣1，于是可设x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q）．分别确定p、q的值，再代入x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q），就可以因式分解整式x3﹣5x2+4，这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： （1）整式4x2+8x+3除以整式2x+1，商式是　 　 ，余式是　 　 ． （2）材料二中，p＝　 　 ，q＝　 　 ． （3）对于一元整式x3+8x2﹣11x﹣18，必定有当x＝　 　 ，其值为0． （4）根据材料一和材料二，因式分解x3+8x2﹣11x﹣18＝　 　 ． 41．（2025秋•普陀区期末）【阅读理解】如果三个实数中有两个数乘积的算术平方根等于第三个数，那么我们把这三个实数称为“组合平方数”． （1）3、6、12　 　 “组合平方数”；（填“是”或“不是”） （2）如果﹣2、n、4是“组合平方数”，那么n＝　 　 ； 【问题探究】在学习一元二次方程时，我们知道一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况是由系数a、b、c确定的． 已知关于x的一元二次方程方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有实数根，请回答下列问题． （3）设p（p为有理数，且p≠0）为该方程的两根之和，为该方程的两根之积．求证：a、b、c是“组合平方数”； （4）当a＝1时，a、b、c（b•c≠1）是“组合平方数”，且b2+2c2＝15，求b和c的值． 42．（2025秋•上海校级期中）阅读材料： 在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为b2（a﹣b）、ab（a﹣b）、a2（a﹣b）． （1）将图（3）中三块长方体体积和因式分解：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝ 　 　 ． （2）图（1）中立方体的体积和图（3）中三块长方体体积和相同，利用等体积法能得到等式：　 　 ． （3）利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：x3﹣27＝ 　 　 ． （4）应用：若已知2a﹣3b＝3，ab＝1，则8a4b﹣27ab4的值． 43．（2025秋•虹口区校级期中）借助完全平方公式，可以将形如ax2+bx+c（a≠0）的关于x的整式变形为a（x+m）2+k的形式，a、b、c和m、k均为有理数，这种变形方法叫作对关于x的整式ax2+bx+c（a≠0）配方．如对整式2x2+4x﹣1配方，得2x2+4x﹣1＝2（x2+2x+1﹣1）﹣1＝2（x+1）2﹣3． （1）对x2+38x﹣368配方，并利用配方结果因式分解； （2）借助配方，求当x取何值时整式3x2+9x+2有最小值，并写出最小值； （3）比较x2+4x﹣1和3x2﹣2x+4的大小，并说明理由． 44．（2024秋•长宁区校级期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． （1）情境一如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式：　 　 ． 情境一 （2）情境二如图，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：　 　 ． ②直接写出所用C木片的数量：　 　 块． 情境二 （3）情境三丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为2a2+7ab+4b2的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 课后巩固 · 针对性练习 ❤复习建议 熟记十字相乘法口诀：“竖乘得首尾，叉乘凑中项”。 分组分解法注意分组策略，必要时可尝试不同分组。 因式分解要分解到不能再分解为止。 代数式求值优先考虑因式分解，整体代入简化计算。 多总结配方法、换元法、试根法等解题模型。 【作业1】（2025秋•杨浦区期中）已知p＝﹣m﹣n，q＝mn，那么关于x的整式x2+px+q因式分解的结果是（　　） A．（x+m）（x+n） B．（x﹣m）（x﹣n） C．（x+m）（x﹣n） D．（x﹣m）（x+n） 【作业2】（2025秋•官渡区期末）若x2+kx﹣6＝（x+3）（x﹣2），则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【作业3】（2024秋•长宁区校级期中）若x2﹣kx﹣15＝（x+a）（x+b），且a、b为整数，则a+b的值不可能是（　　） A．14 B．2 C．16 D．﹣14 【作业4】（2024•南海区衔接）因式分解ab﹣2a﹣b+2＝（　　） A．（a﹣1）（b+2） B．（a﹣1）（b﹣2） C．（a+1）（b﹣2） D．（a+1）（b+2） 【作业5】（2025秋•虹口区校级期中）若n为自然数，且24n2﹣11n﹣18可以写成两个连续自然数的乘积，则n＝　 　 ． 【作业6】（2025秋•浦东新区校级月考）已知a＝2025x+2025，b＝2025x+2024，c＝2025x+2026，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝　 　 ． 【作业7】（2025•上海自主招生）对于正整数n，我们定义：形如的数叫作三角形数，且把与叫作连续的三角形数．已知三个正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a+b，a+c，b+c是三个连续的三角形数，那么a2+b2+c2的最小值是　 　 ． 【作业8】（2025秋•闵行区校级期中）若整数a不可以表示成两个不同的整数的平方之差，我们称a这样的数为“孤立数”，例如：2不可以表示为两个不同整数的平方之差，则2为“孤立数”；16可以表示为16＝52﹣32，则16不为“孤立数”．那么绝对值小于100的整数中共有　 　 个“孤立数” 【作业9】（2025秋•宝山区期中）已知（2019﹣x）（x﹣2016）+10＝0，则4035﹣2x的值为 　 　 ． 【作业10】（2025秋•金山区期中）如果一个正整数能表示为两个连续非负偶整数的平方差，那么我们称这个正整数为“黄金数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此，4，12，20这三个数都是“黄金数”．已知2028是黄金数，即2028＝m2﹣n2（m，n为连续的正偶整数），那么2m﹣n＝ 　 　 ． 【作业11】（2025秋•黄浦区校级月考）已知x﹣y＝5，xy＝3，则xy2﹣x2y＝　 　 ． 【作业12】（2025秋•黄浦区校级月考）已知关于x的整式x2+9x﹣m可以写成两个因式的积，其中一个因式为x+11，那么另一个因式为　 　 ． 【作业13】（2025秋•嘉定区期中）已知a＝2025x+2025，b＝2025x+2024，c＝2025x+2026，则2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝　 　 ． 【作业14】（2025秋•松江区校级月考）若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为5＝22+12，再如：M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数）．所以M也是“完美数”． （1）请你判断29是否为“完美数”； （2）已知S＝x2+y2+4x﹣6y+k（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 【作业15】（2025秋•松江区校级月考）[阅读材料] 进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制﹣X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位．十进制就是逢十进一，十六进制就是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进一．为了与十进制进行区分，我们常把X进制表示的数a写成（a）X． 类比于十进制，我们可以知道：X进制表示的数（1111）X中，右起第一位上的1表示1×X0，第二位上的1表示1×X1，第三位上的1表示1×X2，第四位上的1表示1×X3，所以（1111）X＝1×X0+1×X1+1×X2+1×X3即：（1111）X转化为的十进制表示的数为1×X0+1×X1+1×X2+1×X3如：（1111）2＝1×20+1×21+1×22+1×23＝15．（1111）5＝1×50+1×51+1×52+1×53＝156． 根据材料完成以下问题： （1）把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： （101011）2＝　 　 ；（302）4＝　 　 ；（257）8＝　 　 ； （2）若一个五进制的三位数（a4b）5与八进制三位数（ba4）8之和能被13整除（1≤a≤5，1≤b≤5，且a，b均为整数），求a的值； （3）若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，（mm1）6与（nn5）8是否互为“如意数”？若是，求出这两个数，若不是，说明理由． 【作业16】（2025秋•杨浦区期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），这时就说（x﹣1）和（x+2）是x2+x﹣2的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断（x﹣a）这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式x2+x﹣2我们分别计算： 当x＝1时，原式＝12+1﹣2＝0，当x＝﹣2时，原式＝（﹣2）2+（﹣2）﹣2＝0； 当我们把x＝1和x＝﹣2分别代入x2+x﹣2，整式x2+x﹣2的值都等于0，那么（x﹣1）和（x+2）就是整式x2+x﹣2的两个因式，通过归纳发现： 如果当x＝a时，一个整式的值等于0，那么（x﹣a）就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果（x﹣a）是整式的一个因式，那么当x＝a时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10． （1）请判断（x+1）是否是整式P的一个因式； （2）当整式P的一次项系数变为k时，而（x+1）仍是它的一个因式．求此时k的值； （3）请尝试将整式P进行因式分解． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $