专题04因式分解暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固) 2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

专题04因式分解暑假预习讲义 1. 识记：牢记因式分解定义，明确因式分解与整式乘法是互逆变形；熟记提公因式法、平方差公式、完全平方公式三种基础分解方法。 2. 区分：分清整式乘法与因式分解的区别，判断变形过程是展开多项式还是拆成整式乘积形式。 3. 掌握：熟练寻找多项式公因式，会提取数字系数、相同字母组成的公因式，包含负号公因式提取规范步骤。 4. 识别：快速识别可套用平方差、完全平方公式的多项式结构，准确匹配对应公式完成分解。 5. 实操：掌握因式分解通用步骤：一提公因式、二套公式，分解结果要分解到不能再分解为止。 6. 规范：分解后统一整理括号内顺序，去除括号内部同类项，规范处理首项为负的多项式。 7. 运算：结合因式分解进行简便计算，利用整体代换化简代数式，完成分解后代入求值题型。 8. 辨析：判断因式分解正误，排查漏提公因式、分解不彻底、公式套用错误、符号出错等常见问题。 9. 应用：借助因式分解求解参数、判断代数式正负、解决图形面积相关列式问题。 10. 素养：体会转化、逆向思维，熟练恒等变形技巧，为后续分式化简、一元二次方程学习打好基础。 预习必备 知识梳理 1.因式分解基础概念 2.提公因式法 3.公式法 4.因式分解通用步骤 5.拓展：分组分解法 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.因式分解的判断 2.因式分解的参数问题 3.公因式 4.提公因式法分解因式 5.公式法分解因式判断 6.平方差公式分解因式 7.完全平方公式分解因式 8.综合运用公式法分解因式 9.综合法分解因式 10.因式分解在简算中的应用 11.十字相乘法 12.分组分解法 13.因式分解的应用 14.新定义运算 强化题型 解答题8题 知识点 01 因式分解基础概念 1. 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式）。 2. 因式分解 vs 整式乘法（互逆变形） 变形类型 形式特点 举例 整式乘法 积 → 和差（展开） (x+2)(x-2)=x2-4 因式分解 和差 → 积（拆分） x2-4=(x+2)(x-2) 3. 分解标准（三要求） （1）结果必须是几个整式相乘，不能出现加减； （2）每个因式不能再继续分解（分解彻底）； （3）首项系数一般为正，相同因式写成幂的形式，不含中括号。 4. 常见判定误区 x2+2=x(x+) 不是因式分解：右边出现分式，不是整式。 知识点02：提公因式法（通用第一步） 1. 公因式查找方法 查找维度 规则 示例 系数 取各项系数的最大公约数 6x2-9x，系数 6、9，最大公约数为 3 字母 选取所有项共有的字母 a2b+ab2，公共字母为ab 指数 公共字母取最低次幂 x4、x2，取x2 2. 特殊公因式：多项式型公因式 符号转换规律（高频考点） (y-x) = -(x-y) (y-x)2 = (x-y)2 (y-x)3 = -(x-y)3 3. 解题步骤 1.确定完整公因式；2. 整体提取公因式；3. 剩余项为1时不可省略；4. 调整符号，保证首项为正。 4. 常见易错点 漏写剩余常数1、只提字母不提系数、相反数形式因式符号转换出错。 知识点03：公式法 公式类型 适用形式 分解公式 结构特征 平方差公式 二项式 a2-b2=(a+b)(a-b) 两项、一正一负、两项均为完全平方式 完全平方和 三项式 a2+2ab+b2=(a+b)2 首尾项为正的平方项，中间项为两底数乘积的 2 倍 完全平方差 三项式 a2-2ab+b2=(a-b)2 首尾项为正的平方项，中间项为负的两底数乘积的 2 倍 补充说明：a、b可以是数字、单项式、多项式。 知识点04:因式分解通用四步骤 步骤 操作要求 一提 优先提取公因式（含负号），解题第一步必做 二套 两项套平方差公式，三项套完全平方公式 三查 检查每个因式能否继续分解 四整理 化简符号，规范书写结果 知识点 05 拓展：分组分解法（四项及以上多项式） 1. 适用场景：四项式，无整体公因式，分组后能提公因式 / 套公式 类型 1：分组提公因式 ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(x+y)(a+b) 类型 2：分组套平方差 x2-y2+x+y\) =(x+y)(x-y)+(x+y) =(x+y)(x-y+1) 知识点 06 常考易错点汇总表 错误类型 错误写法 正确分解 错误原因 分解不彻底 x4-16=(x2+4)(x2-4) (x2+4)(x+2)(x-2) x2-4还能平方差分解 完全平方漏 2 倍项 x2-4x+4=(x-2)(x+2) (x-2)2 混淆平方差与完全平方 提公因式丢常数 1 5x-5xy=5x(-y) 5x(1-y) 第一项提取后剩余 1 首项负号不变号 -x2+4=-(x2+4) -(x+2)(x-2) 提取负号，平方差符号改变 混淆乘法与分解 (x+3)2=x2+6x+9\)（分解题写展开） x2+6x+9=(x+3)2 搞反互逆变形方向 分解结果含加减 x2-9=x(x-) (x+3)(x-3) 出现分式，不是整式积 题型1.因式分解的判断 【典例】下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【跟踪专练1】下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型2.因式分解的参数问题 【典例】已知整式分解因式的结果为，则______． 【跟踪专练1】若多项式可分解为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【跟踪专练2】已知可分解因式为，其中，均为整数，则________，________． 【跟踪专练3】若多项式可分解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型3.公因式 【典例】多项式中各项的公因式是__________． 【跟踪专练1】运用提公因式法将分解因式，应提取的最大公因式是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】多项式与的公因式是__________． 【跟踪专练3】把多项式因式分解时，提取的公因式是，则k的值可能为（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 题型4.提公因式法分解因式 【典例】．因式分解：________． 【跟踪专练1】将多项式分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】分解因式：___________ 【跟踪专练3】下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 题型5.公式法分解因式判断 【典例】下列式子能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型6.平方差公式分解因式 【典例】因式分解：__________． 【跟踪专练1】下列多项式因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】因式分解：________． 【跟踪专练3】在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是（     ） A． B． C． D． 题型7.完全平方公式分解因式 【典例】因式分解：__________． 【跟踪专练1】下列各式能用完全平方公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若多项式加上一个单项式______，使它可以利用完全平方公式因式分解． 【跟踪专练3】已知多项式，若该多项式不能因式分解，则整式可能为（     ） A． B． C． D． 题型8.综合运用公式法分解因式 【典例】因式分解：_________． 【跟踪专练1】下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】分解因式：＝____． 【跟踪专练3】将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型9.综合法分解因式 【典例】因式分解：________． 【跟踪专练1】下列因式分解不正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列因式分解中，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是：____________（写出一个即可）． 题型10.因式分解在简算中的应用 【典例】计算：______． 【跟踪专练1】(    ) A． B． C． D． 【跟踪专练2】．______． 【跟踪专练3】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型11.十字相乘法 【典例】因式分解：___________． 【跟踪专练1】下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】因式分解：=___________ 【跟踪专练3】如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因式分解（     ） A． B． C． D． 题型12.分组分解法 【典例】分解因式：___________． 【跟踪专练1】把分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】对于两个实数a、b，规定，如，．将式子分解因式可得______． 题型13.因式分解的应用 【典例】若，，则的值为__________． 【跟踪专练1】已知边长分别为，的长方形的周长为20，面积16，则的值为（    ） A．160 B．80 C．320 D．40 【跟踪专练2】对于，因为，则，所以的最小值为1．利用所学知识，多项式的最小值为______． 【跟踪专练3】对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的密匙值．如当时，因式分解的结果为，则的值为2，，，由此可以得到整式的密匙值为．当时，整式的密匙值是（     ） A．3 B．6 C．9 D．24 题型14.新定义运算 【典例】定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m、n的平方差，且，则称这个正整数为 “智慧优数”．例如：，16 就是一个 “智慧优数”，可以利用进行研究．若将  “智慧优数” 从小到大排列，则第 5 个 “智慧优数”是________． 【跟踪专练1】定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】用“*”定义一种运算：．那么多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．因式分解： (1)； (2)． 3．因式分解： (1) (2) 4．因式分解：． 5．因式分解：． 6．已知二次三项式可以分解为为常数，求m、n的值． 7．用简便方法计算：． 8．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，，则有，，．其中11，17，15分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码111517．取另外一些适当的数字，则得出其它的密码． 【问题解决】 (1)已知多项式，当，时，用上述方法形成的密码是 ； (2)已知多项式，用上述方法形成的密码是121416，若密码的每个因式码都是两位数，求，的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04因式分解暑假预习讲义 1. 识记：牢记因式分解定义，明确因式分解与整式乘法是互逆变形；熟记提公因式法、平方差公式、完全平方公式三种基础分解方法。 2. 区分：分清整式乘法与因式分解的区别，判断变形过程是展开多项式还是拆成整式乘积形式。 3. 掌握：熟练寻找多项式公因式，会提取数字系数、相同字母组成的公因式，包含负号公因式提取规范步骤。 4. 识别：快速识别可套用平方差、完全平方公式的多项式结构，准确匹配对应公式完成分解。 5. 实操：掌握因式分解通用步骤：一提公因式、二套公式，分解结果要分解到不能再分解为止。 6. 规范：分解后统一整理括号内顺序，去除括号内部同类项，规范处理首项为负的多项式。 7. 运算：结合因式分解进行简便计算，利用整体代换化简代数式，完成分解后代入求值题型。 8. 辨析：判断因式分解正误，排查漏提公因式、分解不彻底、公式套用错误、符号出错等常见问题。 9. 应用：借助因式分解求解参数、判断代数式正负、解决图形面积相关列式问题。 10. 素养：体会转化、逆向思维，熟练恒等变形技巧，为后续分式化简、一元二次方程学习打好基础。 预习必备 知识梳理 1.因式分解基础概念 2.提公因式法 3.公式法 4.因式分解通用步骤 5.拓展：分组分解法 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.因式分解的判断 2.因式分解的参数问题 3.公因式 4.提公因式法分解因式 5.公式法分解因式判断 6.平方差公式分解因式 7.完全平方公式分解因式 8.综合运用公式法分解因式 9.综合法分解因式 10.因式分解在简算中的应用 11.十字相乘法 12.分组分解法 13.因式分解的应用 14.新定义运算 强化题型 解答题8题 知识点 01 因式分解基础概念 1. 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式）。 2. 因式分解 vs 整式乘法（互逆变形） 变形类型 形式特点 举例 整式乘法 积 → 和差（展开） (x+2)(x-2)=x2-4 因式分解 和差 → 积（拆分） x2-4=(x+2)(x-2) 3. 分解标准（三要求） （1）结果必须是几个整式相乘，不能出现加减； （2）每个因式不能再继续分解（分解彻底）； （3）首项系数一般为正，相同因式写成幂的形式，不含中括号。 4. 常见判定误区 x2+2=x(x+) 不是因式分解：右边出现分式，不是整式。 知识点02：提公因式法（通用第一步） 1. 公因式查找方法 查找维度 规则 示例 系数 取各项系数的最大公约数 6x2-9x，系数 6、9，最大公约数为 3 字母 选取所有项共有的字母 a2b+ab2，公共字母为ab 指数 公共字母取最低次幂 x4、x2，取x2 2. 特殊公因式：多项式型公因式 符号转换规律（高频考点） (y-x) = -(x-y) (y-x)2 = (x-y)2 (y-x)3 = -(x-y)3 3. 解题步骤 1.确定完整公因式；2. 整体提取公因式；3. 剩余项为1时不可省略；4. 调整符号，保证首项为正。 4. 常见易错点 漏写剩余常数1、只提字母不提系数、相反数形式因式符号转换出错。 知识点03：公式法 公式类型 适用形式 分解公式 结构特征 平方差公式 二项式 a2-b2=(a+b)(a-b) 两项、一正一负、两项均为完全平方式 完全平方和 三项式 a2+2ab+b2=(a+b)2 首尾项为正的平方项，中间项为两底数乘积的 2 倍 完全平方差 三项式 a2-2ab+b2=(a-b)2 首尾项为正的平方项，中间项为负的两底数乘积的 2 倍 补充说明：a、b可以是数字、单项式、多项式。 知识点04:因式分解通用四步骤 步骤 操作要求 一提 优先提取公因式（含负号），解题第一步必做 二套 两项套平方差公式，三项套完全平方公式 三查 检查每个因式能否继续分解 四整理 化简符号，规范书写结果 知识点 05 拓展：分组分解法（四项及以上多项式） 1. 适用场景：四项式，无整体公因式，分组后能提公因式 / 套公式 类型 1：分组提公因式 ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(x+y)(a+b) 类型 2：分组套平方差 x2-y2+x+y\) =(x+y)(x-y)+(x+y) =(x+y)(x-y+1) 知识点 06 常考易错点汇总表 错误类型 错误写法 正确分解 错误原因 分解不彻底 x4-16=(x2+4)(x2-4) (x2+4)(x+2)(x-2) x2-4还能平方差分解 完全平方漏 2 倍项 x2-4x+4=(x-2)(x+2) (x-2)2 混淆平方差与完全平方 提公因式丢常数 1 5x-5xy=5x(-y) 5x(1-y) 第一项提取后剩余 1 首项负号不变号 -x2+4=-(x2+4) -(x+2)(x-2) 提取负号，平方差符号改变 混淆乘法与分解 (x+3)2=x2+6x+9\)（分解题写展开） x2+6x+9=(x+3)2 搞反互逆变形方向 分解结果含加减 x2-9=x(x-) (x+3)(x-3) 出现分式，不是整式积 题型1.因式分解的判断 【典例】下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】③④ 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的对象是多项式，结果是几个整式的积，与整式乘法互为逆运算是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各等式变形是否符合定义． 【详解】解：等式①左边为积的形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 等式②左边为单项式，不是多项式，不符合因式分解对象要求； 等式③左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式④左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式⑤右边不是积的形式，因此不是因式分解． 故答案为：③④． 【跟踪专练1】下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解是将多项式转化为几个整式乘积的变形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．是整式乘法运算，结果为多项式，不是乘积形式，不符合定义，不是因式分解； B．，将多项式分解为整式乘积，符合因式分解定义，是因式分解； C．，结果是和的形式，不是整式乘积，不符合定义，不是因式分解； D．是整式乘法运算，结果为多项式，不是乘积形式，不符合定义，不是因式分解． 【跟踪专练2】下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项 ，将多项式化为整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解； B选项 ，是整式乘法运算，将乘积化为多项式，不属于因式分解； C选项 ，结果为和差形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解； D选项 右边式子中不是整式，不符合因式分解要求，不属于因式分解． 题型2.因式分解的参数问题 【典例】已知整式分解因式的结果为，则______． 【答案】100 【分析】将分解因式后的结果展开，对比原式对应项的系数即可求得． 【详解】解：， 由题意得， ． 【跟踪专练1】若多项式可分解为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先展开因式分解后的式子，利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，再计算即可． 【详解】首先展开因式分解后的式子 又原多项式为，两个多项式相等对应系数相等 ∴， 将代入得 ∴ 故选：C． 【跟踪专练2】已知可分解因式为，其中，均为整数，则________，________． 【答案】 56 【分析】首先提取公因式，进而合并同类项得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵ ， ， ∴，， 故， ． 【跟踪专练3】若多项式可分解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】展开，与原多项式比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：B． 题型3.公因式 【典例】多项式中各项的公因式是__________． 【答案】 【分析】根据公因式的定义，确定多项式各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，即可得到公因式． 【详解】解：多项式的第一项为，第二项为，各项系数的最大公约数是，相同字母为和，的最低次幂是次，的最低次幂是次， 因此各项的公因式为． 【跟踪专练1】运用提公因式法将分解因式，应提取的最大公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求系数的最大公约数，再找各项相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到最大公因式； 【详解】解：∵ 多项式中，系数4和12的最大公约数为4，各项共有的字母是a和b，a的最低次幂为，b的最低次幂为，c仅在第二项出现，不参与公因式构成， ∴ 最大公因式为； 【跟踪专练2】多项式与的公因式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的定义，因式分解，先对两个多项式分解因式，根据公因式的定义即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴多项式与的公因式是， 故答案为：． 【跟踪专练3】把多项式因式分解时，提取的公因式是，则k的值可能为（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】公因式中相同字母的次数取多项式各项中该字母的最低次数，据此确定k的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵提取的公因式为，多项式中第一项的次数为， ∴第二项中的次数满足， ∵选项中只有满足， ∴的值可能为． 题型4.提公因式法分解因式 【典例】．因式分解：________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】将多项式分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将多项式分解因式时，应提取的公因式是． 【跟踪专练2】分解因式：___________ 【答案】 【分析】本题使用分组分解法分解因式，先对原式合理分组，再分别运用平方差公式和提公因式法分解，最后提取整体公因式即可得到结果． 【详解】解： ． 【跟踪专练3】下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，提公因式法，平方差公式对各选项逐一判断即可． 【详解】A项：的公因式是， 正确结果应为，原分解公因式未提尽，A错误； B项：，由平方差公式可得 ，与选项结果不符，B错误； C项：因式分解要求结果为几个整式的乘积形式，该选项右边是和的形式，不符合定义，C错误； D项：提取公因式，可得 ，分解正确，D正确． 题型5.公式法分解因式判断 【典例】下列式子能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】能用平方差公式因式分解的多项式需满足可写成两个平方项的差的形式，即的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、是两个平方项的和，符号相同，不符合要求，因此A错误； B、，是两个平方项的和，符号相同，不符合要求，因此B错误； C、符合两个平方项差的形式，可分解为，能用平方差公式因式分解，因此C正确； D、，本质为两个平方项和的相反数，不符合要求，因此D错误． 【跟踪专练1】下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用完全平方公式分解因式，解题关键是掌握完全平方公式的结构特征，根据公式结构逐一判断选项即可． 【详解】解：∵完全平方公式的结构为， 对于选项A：，符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解因式，符合题意； 对于选项B：的常数项为负数，无法写成正平方项，不符合完全平方公式结构，不能分解，不符合题意； 对于选项C：只符合平方差公式结构，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式分解，不符合题意； 对于选项D：中，若符合完全平方公式，常数项应为，不是1，因此不符合结构，不能分解，不符合题意． 【跟踪专练2】下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 题型6.平方差公式分解因式 【典例】因式分解：__________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列多项式因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴A错误． ∵，分解正确， ∴B正确． ∵，且无法因式分解， ∴C错误． ∵，且无法进一步分解， ∴D错误． 【跟踪专练2】因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，解题思路为先将原式整理为平方差的形式，利用平方差公式分解后，再对可分解的多项式继续分解，直到不能再分解为止． 【详解】解： ． 【跟踪专练3】在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得：． 题型7.完全平方公式分解因式 【典例】因式分解：__________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列各式能用完全平方公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】完全平方公式的结构为，逐一判断选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A．中，中间项不满足，不符合结构，不能用完全平方公式因式分解； B．中，常数项为负数，无法写成某个整式的平方，不符合结构，不能分解； C．是平方差形式，只能分解为，不符合完全平方公式结构； D．，符合完全平方公式结构，可以因式分解． 【跟踪专练2】若多项式加上一个单项式______，使它可以利用完全平方公式因式分解． 【答案】或或 【分析】分情况讨论待添加的单项式，使原式符合完全平方公式的形式，即可得到结果． 【详解】解：分情况讨论如下： ①若和为完全平方公式中的两个平方项， 由，，可得中间项为 ． 添加单项式后，可得： ， ，均可利用完全平方公式因式分解，符合要求； ②若为完全平方公式中的中间项，可得：， 添加单项式后，也可利用完全平方公式因式分解，符合要求． 【跟踪专练3】已知多项式，若该多项式不能因式分解，则整式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、当时，原多项式为，可以因式分解，不符合要求； B、当时，原多项式为，可以因式分解，不符合要求； C、当时，原多项式为，可以因式分解，不符合要求； D、当时，原多项式为，在有理数范围内不能因式分解，符合要求． 题型8.综合运用公式法分解因式 【典例】因式分解：_________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键． 利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据提公因式法、公式法进行因式分解，逐项判断即可． 【详解】解：A、，因式分解正确，故不符合题意； B、，因式分解正确，故不符合题意； C、不能进行因式分解， D、，因式分解正确，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解；熟练掌握提公因式法和公式法正确进行因式分解是解题的关键． 【跟踪专练2】分解因式：＝____． 【答案】3（5a﹣2）（a﹣2）． 【分析】构造平方差公式分解即可 【详解】 ＝ ＝（4a﹣4+a+2）（4a﹣4﹣a﹣2） ＝（5a﹣2）（3a﹣6） ＝3（5a﹣2）（a﹣2） 故答案为：3（5a﹣2）（a﹣2）． 【点睛】本题考查了因式分解,熟练构造平方差公式是解题的关键． 【跟踪专练3】将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 题型9.综合法分解因式 【典例】因式分解：________． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式即可因式分解． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】下列因式分解不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A、对提取公因式，得，因式分解正确； 选项B、是完全平方式，由完全平方公式得，因式分解正确； 选项C、的公因式为，，原式分解未提尽公因式，因式分解错误； 选项D、由平方差公式分解得，因式分解正确． 【跟踪专练2】下列因式分解中，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解，因式分解要分解到每个因式不能再分解为止，逐一判断选项即可． 【详解】选项A，，原式分解不彻底，错误，不符合题意； 选项B，，与右边不相等，错误，不符合题意； 选项C，，正确，符合题意； 选项D，，与右边不相等，错误，不符合题意． 【跟踪专练3】在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是：____________（写出一个即可）． 【答案】121236或361212或123612（答案不唯一） 【分析】先对多项式运用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入，计算各因式的值，将各因式的值按顺序组合即可得到密码． 【详解】解： ， 当，时，，， 将三个因式的值按顺序排列，可得密码为121236或361212或123612． 题型10.因式分解在简算中的应用 【典例】计算：______． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用因式分解进行简便运算，提公因式法进行因式分解后，再进行计算即可． 【详解】解：原式； 故选C． 【跟踪专练2】．______． 【答案】2025 【分析】先提取公因式2026，再利用裂项相消法拆分括号内的分数，抵消中间项后通过有理数运算求解． 【详解】解： ． 【跟踪专练3】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 题型11.十字相乘法 【典例】因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，通过十字相乘法将二次三项式分解为两个一次因式的乘积． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用十字相乘法、完全平方公式、平方差公式验证各选项，找出分解错误的选项即可． 【详解】解：A，对用十字相乘法分解，得，A分解正确； B，是完全平方式，得，B分解正确； C，利用平方差公式分解，得，C分解正确； D，整理得，根据平方差公式： D分解错误． 【跟踪专练2】因式分解：=___________ 【答案】 【分析】将看成一个整体，利用十字相乘法进行分解，再对各因式进行分解． 【详解】解：原式 ． 【跟踪专练3】如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因式分解（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算四个小图形的面积之和，再确定拼成的大长方形的长和宽，根据面积相等即可得出多项式的因式分解形式，注意因式分解是将和化为积的形式． 【详解】解：∵四个小图形的面积分别为：，，，， ∴四个图形的面积之和为：， 又∵这四个图形能拼成一个大长方形， ∴大长方形的长为，宽为或长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∴根据面积相等可得：且符合多项式的因式分解． 题型12.分组分解法 【典例】分解因式：___________． 【答案】 【详解】解： ． 【跟踪专练1】把分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是先分组，再利用提公因式与平方差公式分解因式，把原式分为两组，再提取公因式，结合平方差公式分解因式即可. 【详解】解： ； 故选D 【跟踪专练2】已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知可以得，之后进行整式乘法计算即可求解本题． 【详解】解：设， ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是整式乘法和因式分解，这里掌握它们互为逆运算是解题的关键． 【跟踪专练3】对于两个实数a、b，规定，如，．将式子分解因式可得______． 【答案】 【分析】首先依据新定义的运算法则把所给式子转化为常规的代数式，然后利用因式分解的步骤和方法分解因式即可． 【详解】解：原式 题型13.因式分解的应用 【典例】若，，则的值为__________． 【答案】8 【详解】解：∵，， ∴ ． 【跟踪专练1】已知边长分别为，的长方形的周长为20，面积16，则的值为（    ） A．160 B．80 C．320 D．40 【答案】A 【分析】根据长方形周长和面积公式得到和的值，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵边长为、的长方形周长为，面积为， ∴，， ∴， ∴． 【跟踪专练2】对于，因为，则，所以的最小值为1．利用所学知识，多项式的最小值为______． 【答案】 【分析】先利用配方法将多项式变形为完全平方式与常数的和，再根据完全平方式的非负性，即可求出多项式的最小值． 【详解】解： ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 【跟踪专练3】对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的密匙值．如当时，因式分解的结果为，则的值为2，，，由此可以得到整式的密匙值为．当时，整式的密匙值是（     ） A．3 B．6 C．9 D．24 【答案】C 【分析】先对整式进行因式分解，确定因式个数n，再根据密匙值的定义，取，计算所有因式的和得到结果，用到初中因式分解的提公因式法与平方差公式． 【详解】解：∵ ， ∴ 分解后得到个不能再分解的非常数因式， 根据定义取， 分别计算各因式得：，，， ∴ 密匙值为． 题型14.新定义运算 【典例】定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m、n的平方差，且，则称这个正整数为 “智慧优数”．例如：，16 就是一个 “智慧优数”，可以利用进行研究．若将  “智慧优数” 从小到大排列，则第 5 个 “智慧优数”是________． 【答案】20 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 根据智慧优数的定义，枚举满足条件的平方差，从小到大排列并去重，找到第5个数，即可解题． 【详解】解：、为正整数且． 则当，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； ，时，得； …．将所得数从小到大排列并去重，得序列：，，，，，…， 故第5个智慧优数为． 故答案为：． 【跟踪专练1】定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，利用作差法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； ∴． 【跟踪专练2】用“*”定义一种运算：．那么多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新运算法则，再结合因式分解的方法即可得到结果．根据新运算定义，先计算 得到多项式，然后进行因式分解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 解答题 1．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提取公因式法因式分解即可； （2）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用提取公因式法因式分解即可； （4）利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 2．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因数，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．因式分解：． 【答案】 【分析】根据十字相乘法因式分解即可． 【详解】解： ． 5．因式分解：． 【答案】 【分析】采用分组分解法，将含相同公因式的项分组，逐步提取公因式完成因式分解． 【详解】解： ． 6．已知二次三项式可以分解为为常数，求m、n的值． 【答案】， 【分析】本题考查根据因式分解的结果求参，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 先计算，再比较即可得到答案 【详解】解：∵ ∴ 解得：． 7．用简便方法计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了因式分解的应用，先设，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用． 【详解】解：设， 则原式， ， ， ∴原式． 8．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，，则有，，．其中11，17，15分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码111517．取另外一些适当的数字，则得出其它的密码． 【问题解决】 (1)已知多项式，当，时，用上述方法形成的密码是 ； (2)已知多项式，用上述方法形成的密码是121416，若密码的每个因式码都是两位数，求，的值． 【答案】(1)101822 (2)，或，或， 【分析】（1）将多项式分解因式，代入数值计算因式码，然后按从小到大的顺序排列形成密码即可； （2）设，且，分三种情况，结合题中定义求得m， n，再计算a、b值即可． 【详解】（1）解：， 当，时，，，， 将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码101822； （2）解：∵形成的密码是121416， ∴设，且， 分三种情况： 若，则，， 解得，， ∴， ∴，； 若，则，， 解得，， ∴， ∴，； 若，则，， 解得，， ∴， ∴，， 综上，满足条件的a、b为，或，或，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $