2.3.2 两点间的距离公式同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.2　两点间的距离公式 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】（1）求，两点间的距离； （2）设为实数，已知，两点间的距离是，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用两点间距离公式直接计算； （2）利用两点间距离公式列方程，解方程即可. 【详解】（1）由两点间距离公式， 得； （2）由两点间距离公式， 得， 解得， 故所求实数的值为或． 【例2】已知点和点． (1)求证：点在定直线上，并求直线的方程； (2)点在直线上，且为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) 证明：设点，由点，得，消去得， 所以点在定直线上，直线的方程为. (2)或或. 【分析】（1）利用坐标代换法求出方程即可得证. （2）求出过点与直线垂直的直线方程及垂足的坐标，再按直角顶点情况分类求解. 【详解】（1）略 （2）当为等腰的直角顶点时，，设， 直线的方程为，则，解得，于是； 由，解得或，则点或； 当为等腰的直角顶点时，同理得点，或； 以点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且点为直角顶点， 因此为等腰的直角顶点时，点，或点，点， 所以点的坐标是或或. 【例3】已知三角形的顶点为，，. (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 【答案】(1). (2)直线的方程为或. 【分析】（1）由，，即可求出直线的斜率，由点斜式即可写出直线的方程； （2）设出点的坐标，由两点间的距离公式列出方程，解出的值，根据、点的坐标即可求出直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即直线的方程为：. （2）因为点E在直线上，直线的方程为：， 所以设的坐标为，，， ， 解得：或， 的坐标为或， 因为直线过点， 当直线的斜率不存在时，则， 当直线的斜率存在时，， 所以，化简可得. 直线的方程为或. 【基础夯实】 一、单选题 1．已知的顶点为，，，则边上的中线长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】利用中点坐标公式求AB中点，再用两点间距离公式即可求解. 【详解】设AB中点为D，根据中点坐标公式可知AB中点坐标为， 则边上的中线长即为CD长度， 根据两点间距离公式可知：， 故边上的中线长为. 故选：C. 2．已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形对角线互相垂直可知轴，则可设，由可构造方程求得结果. 【详解】四边形为菱形，轴，轴，可设， ，， 解得：（舍）或，. 故选：A. 3．在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．7 【答案】B 【详解】因为点表示数，所以，由，得， 点表示数，向右平移个单位后，点表示的数为， 所以，解得或， 又因为、在原点两侧，所以，故舍去，即可得. 4．从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】由光的反射原理可知，点关于轴的对称点到点的距离即为光线从到所经过的路程. 【详解】由光的反射原理可知，可作点关于轴的对称点，连接， 则，光线从到所经过的路程为. 故选：D. 5．在平面直角坐标系中，在，，，四个点中任选两个点，则这两点间的距离大于1的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】在，，，四个点中任选两个点， 有六种可能， 其中这两点间的距离大于1的可能有两种，， 故所求概率为. 故选：D. 6．如图，在中，，，，当点、分别在、轴上运动，点到原点的最大距离是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】取的中点，连接，，根据数形结合分析可知，根据，，的位置关系即可求解. 【详解】取的中点，连接，， ，， ， 由图可知，， 当，，三点共线时，等号成立， 所以点到原点的最大距离是. 故选：A 二、多选题 7．已知点，，直线上存在点P满足，则直线可能为（ ） A．-2 B．0 C．1 D．3 【答案】CD 【分析】变形后求出直线过定点，且斜率为，结合，故只需与线段有交点，结合，，求出，得到，得到答案. 【详解】变形为， 故直线过定点，且斜率为， 又， 要想直线上存在点P满足， 即与线段有交点， 因为，， 故，解得， 故CD满足要求，AB错误. 故选：CD 8．已知在以为直角顶点的等腰三角形中，顶点、都在直线上，下列判断中正确的是（    ） A．点的坐标是或 B．三角形的面积等于4 C．斜边的中点坐标是 D．点关于直线的对称点是 【答案】AD 【分析】由几何关系求坐标，对选项逐一判断 【详解】由题意得过与直线垂直的直线方程为，即， 两直线的交点即为的中点，则， 由题意得，，点的坐标是或， ， 点关于直线的对称点，即为点关于点的对称点， 故A，D正确，B，C错误， 故选：AD 9．已知O为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】应用两点距离公式及同角三角函数的平方关系判断各项的正误. 【详解】A：由，对； B：由，，故不一定成立，错； C：由，，结合A分析，则，对； D：由A、C分析，易知，对. 故选：ACD 三、填空题 10．已知点和点，且，则实数______． 【答案】8或． 【分析】根据两点间的距离公式即可得． 【详解】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 11．已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为______；的面积为______. 【答案】 直角三角形 5 【分析】根据两点距离公式，结合勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式进行求解即可. 【详解】因为， ，， 所以，即是以A为直角顶点的直角三角形． 由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以. 故答案为：直角三角形； 12．已知函数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案. 【详解】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 四、解答题 13．已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 【答案】(1) (2)答案及解析 【分析】（1）首先求出线段的中点的坐标，利用平面直角坐标系中两点的距离公式计算可得； （2）利用距离公式求出，，，再由勾股定理逆定理证明即可. 【详解】（1）因为，，所以线段的中点的坐标为， 又，则． （2）因为， ， ， 因为，且， 所以为等腰直角三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.2　两点间的距离公式 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】（1）求，两点间的距离； （2）设为实数，已知，两点间的距离是，求的值． 【例2】已知点和点． (1)求证：点在定直线上，并求直线的方程； (2)点在直线上，且为等腰直角三角形，求点的坐标． 【例3】已知三角形的顶点为，，. (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 【基础夯实】 一、单选题 1．已知的顶点为，，，则边上的中线长为（   ） A． B． C． D．6 2．已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．7 4．从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 5．在平面直角坐标系中，在，，，四个点中任选两个点，则这两点间的距离大于1的概率是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，当点、分别在、轴上运动，点到原点的最大距离是（   ） A． B． C． D．3 二、多选题 7．已知点，，直线上存在点P满足，则直线可能为（ ） A．-2 B．0 C．1 D．3 8．已知在以为直角顶点的等腰三角形中，顶点、都在直线上，下列判断中正确的是（    ） A．点的坐标是或 B．三角形的面积等于4 C．斜边的中点坐标是 D．点关于直线的对称点是 9．已知O为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知点和点，且，则实数______． 11．已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为______；的面积为______. 12．已知函数，则的最小值为______． 四、解答题 13．已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $